[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
CHUY£N §Ò:
MÆT TRßN XOAY
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế
MÆt cÇu ngo¹i tiÕp, néi tiÕp khèi ®a diÖn
I- PHƯƠNG PHÁP
1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét
quan trọng sau :
+ Điểm M thuộc S(O;R) OM R .
+ Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính của mặt cầu dưới 1 góc vuông.
2. Điều kiện cần và đủ:
+ Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.
+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và
có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp.
3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:
Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng ( ) được gọi
A
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
khi mp ( ) đi qua trung điểm I của AB và
vuông góc với AB.
Lưu ý: là tập hợp tất cả các điểm M trong
I
B
không gian cách đều A, B.
Dạng toán:
CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU
Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét
quan trọng sau:
+ Điểm M thuộc S(O;R) OM R .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
+ Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông.
I- Thuật toán 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Cho hình chóp S.A1 A2 ...An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác
định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên.
Lúc đó:
S
+ Tâm O của mặt cầu: mp( ) O
+ Bán kính: R OA OS .
I
Tuỳ vào từng trường hợp.
O
D
A
C
H
B
Lưu ý:
Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất:
Suy ra:
M
M : MA MB MC
MA MB MC M
A
H
C
B
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
VD: Một số trường hợp đặc biệt
Tam giác vuông
Tam giác đều
H
B
Tam giác bất kì
C
B
B
C
H
C
H
A
A
A
3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
SMO đồng dạng với SIA
S
SO SM MO
SA SI
IA
M
O
I
A
4. Nhận xét quan trọng:
MA MB MC
M , S, M S :
SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .
SA SB SC
Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Cho hình chóp S.A1 A2 ...An (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để
xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.
Lúc đó:
Δ
+ Tâm I của mặt cầu: d I
S
+ Bán kính: R IA IS . Tuỳ vào từng trường
R
hợp.
d
I
D
C
A
B
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho điểm I nằm ngoài mặt cầu O; R . Đường thẳng 1 qua I cắt mặt cầu tại hai điểm
A, B; đường thẳng 2 cắt mặt cầu tại hai điểm C , D. Biết IA 3 cm , IB 8 cm , IC 4 cm .
Tính độ dài ID.
A. 3 cm .
B. 4 cm .
C. 6 cm .
D. 8 cm .
Lời giải
Áp dụng tính chất: Do 4 điểm A, B, C , D cùng
thuộc
1
đường
IA.IB IC.ID ID
tròn
B
nên
A
IA.IB
6 cm .
IC
O
Chọn đáp án C.
I
D
C
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD.
B. R
A. R a.
a 3
.
2
C. R
a 2
.
2
D. R
a 3
.
3
Lời giải
Ta có: SO
a 3
. Xét hai tam giác SMI và SOC
2
đồng dạng suy ra:
S
SI SM
SM.SC a 3
SI
.
SC SO
SO
3
M
Chọn đáp án D.
Nhận
xét:
I
là
trọng
tâm
I
2
2 a 3 a 3
SAC R SI SO .
.
3
3 2
3
D
A
C
O
B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA 2a, ABC
1200 , AB AC a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A, BAC
A. R a 5.
B. R a 2.
C. R
a 6
.
2
cân tại
D. R 2a.
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
3a2
Ta có: BC 2 AB2 AC 2 2 AB.AC.cos BAC
BC a 3. Xét ABC :
S
BC
2 R R a :
sin BAC
K
bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
Lúc đó: R
2
SA2
R a 2.
4
I
R
C
A
Chọn đáp án B.
R'
O
B
Ví dụ 4: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA OB OC 1. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. 1.
B.
1
.
2
3
.
2
C.
D.
2
.
2
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC , qua M dựng d / /OA.
Gọi
K
là trung điểm
/ /OM d I :
OA,
Tâm
qua
mặt
K
cầu
A
dựng
và
K
OA2
3
R IO
OM 2
.
4
2
I
R
Chọn đáp án C.
C
O
M
B
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, ABC vuông cân tại C , AC 2 2 ,
góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC.
A.
112
.
3
B.
224
.
3
C. 160 .
D. 40 .
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
BC AC
BC SAC BC SC
Do
BC SA
SBC ; ABC SCA
S
R
I
SA
Xét SAC vuông tại A : tan SCA
AC
2 6. Do SCB vuông tại C
SA AC.tan SCA
nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
trung
điểm
C
A
60
SB
SB R
.
2
Tính
0
được
B
AB 4; SB 2 10 R 10. Vậy S 4 R2 40 .
Chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Cho hai đường tròn C1 tâm O1 , bán kính bằng 1 , C2 tâm O2 , bán kính bằng 2 lần
lượt nằm trên hai mặt phẳng P1 , P2 sao cho P1 / / P2 và O1O2 P1 ; O1O2 3. Tính diện
tích mặt cầu qua hai đường tròn đó,
A. 24 .
B. 20 .
C. 16 .
D. 12 .
Lời giải
Đặt
IO1 x 0 x 3
R
x 2 IB2 O1 B2 R2 1 R2 1 x 2
2
2
2
2
2
2
3 x IA O2 A R 4 R 4 3 x
4 3 x 1 x x 2 R IO BO 5.
2
2
2
1
O2
A
P1
R
P2
2
1
B
I
O1
Vậy S 4 R2 20 .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 7: (Đề minh họa Bộ GD và ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1,
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. V
5 15
.
18
B. V
5 15
.
54
C. V
4 3
.
27
D. V
5
.
3
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
Gọi H là trung điểm cạnh AB, G, G lần lượt là
S
trọng tâm các tam giác ABC và SAB.
IG SG '
2
Ta có: SI
2
2
HG 2 SG '
2
2
1
2
15
HC SH
.
6
3
3
Vậy
thể
tích
I
G'
khối
cầu
là
C
A
4
4
5 15
V R3 SI 3
.
3
3
54
Chọn đáp án B.
G
H
B
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC có AB 2; AC 2 và
1200 . Biết góc giữa SBC và ABC bằng với tan 2. Tính bán kính mặt cầu ngoại
BAC
tiếp hình chóp S.ABC.
A.
B. 2.
5.
C.
D.
3.
2.
Lời giải
Gọi
M
là
trung
điểm
của
cạnh
BC AM
BC
BC SAM BC SM.
BC SA
.
Suy ra SBC ; ABC SMA
Theo giả thiết: tan
S
K
SA
SA AM.tan
AM
.tan 2.
AB.cos BAM
C
A
12
Ta có: BC 2 AB2 AC 2 2 AB.AC.cos BAC
α
M
BC a 3.
Xét
ABC :
BC
2 R R 2 :
sin BAC
bán
I
R
kính
R'
O
B
đường tròn ngoại tiếp ABC.
SA2
5.
Vậy bán kính mặt cầu là R R '
4
2
Chọn đáp án A.
Ví dụ 9: (Đề thử nghiệm Bộ GD và ĐT) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' có
AB a, AD 2a, AA ' 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB ' C '.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A. 3a.
B.
3a
.
4
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
C.
3a
.
2
D. 2a.
Lời giải
Ta
chứng
minh
được
' AB
ABC
' C ' 900 A, B, B ', C ' cùng thuộc mặt
C
B
A
cầu với đường kính AC '.
Ta có: IA
D
R
AB ' B ' C '
2
2
I
3a.
IA 3a
.
2
2
Chọn đáp án C.
D'
Suy ra R
C'
B'
A'
Ví dụ 10:Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước a, b, c. Gọi T là một tứ diện có sáu cạnh là
sáu đường chéo của sáu mặt bên của hình hộp đã cho. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đó.
a
D. S
A. S 4 a2 b2 c 2 .
C. S 2 a b c .
2
2
2
c
.
B. S a2 b2 c 2 .
2
b2
2
2
Lời giải
Nhận xét rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
Vậy bán kính mặt cầu là R
a2 b2 c 2
suy ra diện tích mặt cầu là S 4 R2 a2 b2 c 2 .
2
Chọn đáp án B.
Ví dụ 11:Cho hình lập phương cạnh a. Gọi R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả
các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. R22 R1 .R3 .
B. R22 R12 R32 .
C. R12 R22 R32 .
D. R32 R1 .R2 .
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
8
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ta có: R1
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
B' D 3 a
AB a
; R2
;
2
4
2
2
R3 IO2 OM 2
D
M
C
O
B
A
R3
a2 a2 a 2
R12 R22 R32 .
4 4
2
R2
R1
Chọn đáp án C.
D'
C'
B'
A'
Ví dụ 12:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h 2. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.
9
.
8
B.
9
.
4
C.
3
.
4
D.
3
.
2
Lời giải
Xét hai tam giác SHI và SOC đồng dạng:
S
SH SI
SH.SC 9
SI
SO SC
SO
8
9
R SI .
8
Chọn đáp án A.
H
I
D
C
O
A
B
Ví dụ 13:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h
3
. Tính bán kính
2
mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.
A.
3.
B.
3
.
2
3
.
4
C.
D.
3
.
6
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ta có SPK cân và có PK 1, SO
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
3
SPK
2
S
đều.
GH SBC
Gọi G là trọng tâm SPK
GO ABCD
H
G
1
a 3
R GO GH SO
.
3
6
Chọn đáp án D.
D
C
P
K
O
A
B
Ví dụ 14:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h 2. Tính bán kính
mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.
A.
17
.
8
B.
17 1
.
8
C.
17 1
.
4
D.
17 2
.
4
Lời giải
Đặt GH x GO R 0 x 2 .
(Sử dụng hình trên)
Xét hai tam giác đồng dạng SHG và SOK :
S
HG SG
x
2x
17 x 2 x
1
OK SK
17
2
2
x
2
1 17
H
1 17
1 17
R
.
8
8
G
Chọn đáp án B.
P
K
O
600. Biết hai mặt
Ví dụ 15:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD
phẳng SDC và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SC và mặt đáy bằng
450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.
A. 7 .
B.
7
.
2
C.
7
.
4
D.
7
.
3
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
SDC ABCD
SD ABCD
Ta có:
SAD
ABCD
.
SC ; ABCD SCD
S
Mặt
khác:
cân
tại
ABD
A
600 ABD đều BCD đều.
BAD
R
K
và
I
Gọi G là trọng tâm BCD và I là giao điểm
45
D
hai đường như hình vẽ.
G
O
21
R SI SK 2 KI 2
.
6
A
Vậy mặt cầu có diện tích S 4 R2
0
C
M
B
7
.
3
Chọn đáp án D.
600 , SA vuông góc với
Ví dụ 16:Cho hình chóp S.ABC với ABC có AB 1, AC 2 và BAC
đáy. Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính diện tích mặt cầu qua
các đỉnh A, B, C , B1 , C1 .
B. 12 .
A. 16 .
C. 8 .
D. 4 .
Lời giải
3
Ta có: BC 2 AB2 AC 2 2 AB.AC.cos BAC
S
BC 3. Lúc đó AB BC AC ABC
2
2
2
vuông tại B.
C1
BC SA
BC SAB BC AB1
Ta có:
BC
AB
AB1 SBC AB1 B1C .
B1
AB
Do ABC
C AC
C 900 A, B, C , B1 , C1
1
1
cùng
thuộc
AC R
mặt
cầu
có
đường
kính
A
60
0
R
I
AC
1.
2
Vậy diện tích mặt cầu là S 4 R2 4 .
B
Chọn đáp án D.
Ví dụ 17:Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc, C là một điểm cố định trên Oz , đặt OC 1, A, B
thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA OB OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện OABC.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A.
6
.
4
B.
Lời giải
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
6
.
3
6
.
2
C.
Đặt OB b, OA a a b 1 ; a; b 0;1 .
D.
6.
z
Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB, OC
C
1 b2 c 2
4
4
2
1 1
1 1 3
a b
4 8
4 8 8
R IH 2 OH 2 R2
1 1
.2. b2 c 2
4 8
K
6
6
Rmin
.
4
4
Chọn đáp án A.
R
I
B
b
O
y
H
a
A
x
Ví dụ 18:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB 1 ,
góc giữa A ' C và ABC bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C '.ABB ' A '.
A.
5
.
2
B. 5 .
5
.
4
C.
D.
5
.
6
Lời giải
Ta có: AA ' ABC A ' C; ABC A
' CA.
A'
C'
K
Xét A ' CA vuông tại A :
AA '
AA ' AC.tan A
' CA 3.
AC
Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C '.ABB ' A '
tan A
' CA
B'
R
cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' .
Gọi H , K
lần lượt là trung điểm các cạnh
BC , B ' C '.
Bán kính mặt cầu là R IC ' IK KC '
2
2
5
.
2
5
5 .
Vậy diện tích mặt cầu là S 4 R 4.
4
Chọn đáp án B.
60
A
0
C
H
2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
B
12
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ví dụ 19:Cho hình lăng trụ đứng
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC
là tam giác vuông tại
A, AB 3, BC 5 , hình chiếu vuông góc của B ' trên ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Biết góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB ' A ' bằng 600. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp B '.ABC.
A.
73 3
.
48
B.
73 3
.
24
C.
73 6
.
48
D.
73 3
.
24
Lời giải
Gọi
là
K
AB
ABB ' A ' ; ABC
trung
B
' KH.
vuông
B ' KH
B ' H KH.tan B
' KH 2 3.
Xét
tại
Suy ra: B ' A AH 2 B ' H 2
tam
giác
điểm
73
.
2
B ' PI
A'
C'
B'
H:
Xét
hai
B ' HA :
B' I
B' P
B ' A.B ' P 73 3
IB '
.
B' A B' H
B' H
48
P
và
R
I
73 3
.
48
Chọn đáp án A.
C
A
R IB '
H
K
B
Ví dụ 20: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC và BCD vuông góc với nhau. Biết tam
giác ABC đều cạnh a , tam giác BCD vuông cân tại D . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD.
A.
a 2
.
3
B.
a 3
.
2
C.
2a 3
.
3
D.
a 3
.
3
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , H là trung
điểm cạnh BC . Do
ABC BCD
A
và tam giác
BCD vuông cân tại D nên AH là trục đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD .
a
Suy ra : G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD và bán kính mặt cầu là :
G
2
a 3
AH
.
3
3
Chọn đáp án D.
D
B
R AG
H
C
Ví dụ 21: Tính Bán kính mặt cầu nội tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a.
A. r
a 6
.
6
B. r
a 6
.
3
C. r
2a 6
.
3
D. V
a 6
4
Lời giải
Gọi H là trung điểm BC và O là tâm hình vuông
E
ABCD . Dựng OK EH OK SBC .
Dễ chứng minh tương tự với các mặt khác thì khoảng
a
cách từ O đến các mặt của bát diện đều bằng nhau và
K
bằng OK O là tâm và r OK là bán kính mặt cầu
D
C
nội tiếp bát diện đều.
H
O
1
1
1
a 6
Xét SOH :
OK
.
2
2
2
6
OK
OH OE
Chọn đáp án A.
A
B
a
F
Ví dụ 22:Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm AB và
SH a 3 là độ dài đường cao của hình chóp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp đó.
A. R
a 21
.
3
B. R
a 21
.
7
C. R
a 7
.
3
D. R
a 3
.
3
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
S
Δ
Qua O dựng ABCD / /SH.
SH ABCD
Ta có:
OH SAB
SAB ABCD AB
R
d
I
G
B
C
H
O
A
D
Mặt khác: SAB cân có AB 2a và SH a 3 suy ra SAB đều cạnh 2a. Gọi G là trọng tâm
SAB , qua G dựng d SAB d OI .
IA IB IC ID
Lúc đó: d I . Ta có:
IA IB IC ID IS hay I là tâm mặt cầu ngoại
IA IB IS
tiếp hình chóp S.ABCD và có bán kính R SI .
2
4 2 2 a 21
2
.3a a
.
Xét SGI vuông tại G, ta có: SI SG GI SH IO 2
9
3
3
2
2
Chọn đáp án A.
Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AB AD a, CD 2a .
Cạnh bên SD ABCD và SD a . Gọi E là trung điểm của DC. Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.
A. R
a 11
.
4
B. R
a 11
a 11
. C. R
.
2
3
D. R
2a 11
.
11
Lời giải
900
Vì AB DE AD a và DAB
S
Δ
nên ABED là hình vuông.
N
I
Tam giác BCD có EB ED EC a
nên vuông tại B, BE CD nên
J
a
trung điểm M của BC là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác EBC.
a
D
E
a
C
a
A
M
a
B
+ Qua M dựng ABCD / /SD.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
+ Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SC, mặt phẳng này cắt tại I.
IB IE IC
IB IE IC IS. . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC và
IC IS
Ta có:
R IC
SN / / DM
* Kẻ
SD a
cắt MI tại N, ta có SDMN là hình chữ nhật, với
và
2
AB2 AD DC 2 EC 2 EB2 5a2
DB2 DC 2 BC 2
.
DM
2
4
2
2
4
2
Ta có: SI SN NI SN NM IM
2
2
2
2
Mặt khác : IC 2 IM 2 MC 2 IM 2
Suy ra:
2
5a 2
a IM .
2
2
a2
và R IC SI .
2
2
a2 a 11
5a 2
a2
3a
.
. R IC IM 2
a IM IM 2 IM
2
2
2
2
2
Chọn đáp án B.
Ví dụ 24:Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB AC a, SBC ABC và
SA SB a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SC x.
A. R
a2
3a 2 2 x 2
B. R
a2 1
C. R
3a 2 x 2
a2
D. R
a2 x2
a2
3a 2 x 2
Lời giải
Gọi K là trung điểm AB, qua K dựng đường trung trực
A
của AB. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của trục
đường tròn của SBC và đường trung trực của AB.
a
a
K
Lúc đó: R IA . Xét hai tam giác KAI và OAB đồng
a
dạng:
AB2
a2
AI KA
AB.KA
AI
AB AO
AO
2 AC 2 OC 2
3a 2 x 2
a2
R AI
.
2
2
3a x
O
B
C
I
a
x
S
Chọn đáp án D.
III-BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Xét điểm M trong không gian mà
MA2 MB2 MC 2 MD2 2 . Trong các câu sau, tìm câu đúng.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
A. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và có bán kính
2
.
2
B. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện ABCD và có bán kính
2
.
4
C. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện ABCD và có bán kính
2
.
2
D. M thuộc một đường tròn cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và có bán kính
Câu 2.
Trong các hình dưới đây, hình nào không có mặt cầu ngoại tiếp?
hình 1
hình 2
A. Hình 1.
Câu 3.
2
.
4
hình 4
hình 3
B. Hình 2.
C. Hình 3.
D. Hình 4.
Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc. C là điểm cố định trên Oz , C O ; A, B là hai điểm
thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA2 OB2 k 2 ( k cho trước). Kí hiệu (S) là tập hợp tâm các
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Trong các câu sau, tìm câu đúng.
Câu 4.
A. (S) là một mặt trụ.
B. (S) là một mặt phẳng.
C. (S) là một đoạn thẳng.
D. (S) là một cung tròn.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 5.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA a. Hình chiếu của S
trên ABC là trung điểm H của BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SH.
B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là H.
C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trọng tâm của tam giác ABC.
D. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm AH.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Câu 6.
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc. C là điểm cố định trên Oz , C O ; A, B là hai điểm
thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA OB OC . Kí hiệu (S) là tập hợp tâm các mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện OABC . Trong các câu sau, tìm câu đúng.
Câu 7.
A. (S) là một mặt phẳng.
B. (S) là một mặt trụ.
C. (S) là một đoạn thẳng.
D. (S) là một cung tròn.
Xét các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R . Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh
đề đúng: tổng độ dài các cạnh của hình hộp lớn nhất.
A. Khi hình hộp có đáy là hình vuông.
B. Khi hình hộp là hình lập phương.
C. Khi hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng với công sai khác 0 .
D. Khi hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 .
Câu 8.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là tâm của đáy.
B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm của đoạn thẳng nối S với
tâm của mặt đáy.
C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trọng tâm của tam giác SAC.
D. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là S.
Câu 9.
Hình chóp D.ABC có DA vuông góc với
ABC ,
BC vuông góc với DB , AB c ,
BC a AD h . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
1 2 2 2
1 2 2 2
B.
C. a2 b2 c 2 .
D. 2 a2 b2 c 2 .
a b c .
a b c .
3
2
Câu 10. Mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh a có bán kính là :
A.
A.
a 2
.
2
B.
a 2
.
4
D. 2a 2.
C. a 2.
Câu 11. Gọi O1 , O2 , O3 lần lượt là tâm các mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tiếp xúc với các cạnh của
hình lập phương. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng.
A. O1 trùng với O2 nhưng khác O3 .
B. O2 trùng với O3 nhưng khác O1 .
C. Trong ba điểm O1 , O2 , O3 không có hai điểm nào trùng nhau.
D. O1 , O2 , O3 trùng nhau.
Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi B , C , D lần lượt là trung điểm các cạnh
AB , AC , AD . Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B , C , D , B , C , D .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
18
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
11
11
22
22
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
4
8
8
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh cùng bằng a . Tính bán kính mặt cầu
A.
ngoại tiếp của hình chóp đó.
a 2
.
C. a 3 .
2
Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy
A. a 2 .
B.
a 3
.
2
là tam giác vuông tại
D.
ABC
C , AC a , AB 2 3a , AC ' a 5. Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
ABC.A ' B ' C '.
A.
8 a 3
..
3
B.
4 a 3
.
3
C.
16 a3
.
3
D.
Câu 15. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h
32 a 3
.
3
3
. Tính tỉ số thể tích
2
khối cầu nội tiếp hình chóp và thể tích khối chóp đã cho.
.
B. .
C. .
D. .
4
9
2
3
Câu 16. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 1. Tính tỉ số thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối chóp đã cho.
27
27
27
27
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
4
8
16
1200 , cạnh bên bằng
Câu 17. Hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , đáy ABC có AC 1, BC 2, ACB
A.
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
40
40
40
.
C.
.
D.
.
3
9
27
Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh cùng bằng 1 . Tính diện tích mặt cầu ngoại
A. 40 .
B.
tiếp hình lăng trụ.
A. 7 .
B.
7
.
2
C.
7
.
3
D.
7
.
6
Câu 19. Cho tam giác đều ABC cạnh 1 . Gọi P là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt
phẳng ABC . Trong P xét đường tròn T đường kính BC . Tính diện tích mặt cầu nội
tiếp hình nón có đáy T , đỉnh là A .
A.
.
2
B.
.
3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
C. .
19
D. .
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Luyện thi THPT Quốc gia 2018
Câu 20. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh 1, BC
D 1200 , SD vuông góc với mặt
phẳng ( ABCD) , góc giữa SB và mặt đáy bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
SBCD
13
13
13
.
C.
.
D.
.
4
2
8
Câu 21. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB 2a. Trên đường thẳng đi qua A và
A.
13 .
B.
vuông góc với mặt phẳng ABC , lấy điểm S sao cho SC tạo với mặt phẳng ABC một
góc 600. Tính theo a đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
a 10
B. 2 5a.
C. 10a.
D. 2 10a.
.
2
Câu 22. Xét mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều cạnh bằng 1 . Tính bán kính mặt
A.
cầu đó.
2
2
.
B.
.
C. 2 .
D. 2 2 .
2
4
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB a, BC 2a . Mặt bên SCD là
A.
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD là
50 a2
16 a2
32 a2
14 a2
A. S
B. S
C. S
D. S
.
.
.
.
9
3
3
3
Câu 24. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mà AD 3 , AC 5 ; SA vuông góc
với mặt phẳng ABCD , góc giữa SCD và mặt phẳng ABCD bằng 450 . Tính thể tích
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
17 34
17 34
17 34
.
B.
.
C. 34 34 .
D.
.
3
6
9
Câu 25. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , B , AB BC 1 ; AD 2 ;
A.
mặt phẳng SAD vuông góc với ABCD và tam giác SAD đều. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện SABC .
3
5
.
B. 2 .
C. 5 .
D.
.
2
2
Câu 26. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Tam giác BCD là tam
A.
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Thể tích khối cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD là
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
20
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Xem thêm -
.PDF 
22 
1204 
52 
