Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
TÀI LIỆU VỀ: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT, RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
PHẦN I. LÝ THUYẾT
1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ
a. Tính chất về phân số ( phân thức):
A.M A
( M 0, B 0)
B.M B
b. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A - B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Chú ý: A B ( A B )( A B )
2. Các kiến thức về căn bậc hai
Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,
Để
a = x x2 = a
A có nghĩa A 0
A2 A
AB A. B ( với A 0; B 0)
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 1
Lê Trung – Uyên Vi
A
B
A2 B A B ( với B 0)
Toán học là đam mê
A
( với A 0; B 0)
B
A B A2 B ( với A 0; B 0)
A B A2 B ( với A 0; B 0)
A
B
A
A B
( với B 0)
B
B
C
C ( A B)
( với A 0; A B 2 )
A B2
AB
C
C( A
B)
( với A 0; B 0 và A B)
A B
A B
AB
( với AB 0; B 0)
B
3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN
CÓ LIÊN QUAN
Xét biểu thức A với biến số x
Dạng 1. Rút gọn biểu thức
- Ngoài việc rèn kỹ năng thực hiện các phép tính trong bài toán rút gọn. Học sinh hay
quên hoặc thiếu điều kiện xác định của biến x ( ĐKXĐ gồm điều kiện để các căn thức
bậc hai có nghĩa, các mẫu thức khác 0 và biểu thức chia (nếu có) khác 0)
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 2
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = m ( với m là số hoặc biểu thức chứa x)
- Nếu m là biểu thức chứa căn ( bằng số), trước tiên phải rút gọn; nếu m là biểu thức có
dạng căn trong căn thường đưa về hằng đẳng thức để rút gọn; nếu m là biểu thức ta
phải đi giải phương trình tìm x.
- Trước khi tính giá trị của biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn
ĐKXĐ hay không rồi mới được thay vào biểu thức dã rút gọn để tính.
Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để A k ( với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x)
- Thực chất đây là việc giải phương trình.
- Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x dó có thảo
mãn ĐKXĐ của A hay không.
Dạng 4. Tìm giá trị của biến x để A k ( hoặc A k , A k , A k ,<) trong đó k là
hằng số hoặc là biểu thức chứa x.
- Thực chất đây là việc giải bất phương trình.
- Học sinh thường mắc sai lầm khi giải bất phương trình thường dùng tích chéo hoặc sử
dụng một số phép biến đổi sai.
Dạng 5. So sánh biểu thức A với một số hoặc một biểu thức.
- Thực chất đây là việc đi xét hiệu của biểu thức A với một số hoặc một biểu thức rồi so
sánh hiệu đó với số 0.
Dạng 6. Chứng minh biểu thức A k ( hoặc A k , A k , A k ) với k là một số.
- Thực chất đây là việc đưa về chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức.
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 3
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
Dạng 7. Tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị
nguyên
- Cách làm: chia tử thức cho mẫu thức, rồi tìm giá trị của biến x để mẫu thức là ước của
phần dư (một số)
- Học sinh thường quên kết hợp với điều kiên xác định của biểu thức.
Dạng 8. Tìm giá trị của biến x là số thực, số bất kì để biểu thức A có giá trị nguyên
- Học sinh thường nhầm lẫn cách làm của dạng này với dạng tìm giá trị của biến x là số
nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên.
- Cách làm: sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức A nằm trong khoảng giá trị nào, rồi
tính giá trị của biểu thức A và từ đó tìm giá trị của biến x.
Dạng 9. Tìm giá trị của biến x để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm.
- Thực chất đây là việc giải phương trình hoặc giải bất phương trình.
Dạng 10. Tìm giá trị của biến x để A A (hoặc A A ; A A ;...)
- Nếu A A A < 0
- Nếu A A A > 0
Dạng 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
- Học sinh cần biết cách tìm cực trị của phân thức ở một số dạng tổng quát.
- Học sinh cần đưa biểu thức rút gọn A về một trong những dạng sau để tìm cực trị:
+ Tử thức và mẫu thức là một số hoặc là một biểu thức có dấu xác định trong tập
ĐKXĐ
+ Biến đổi biểu thức A thành một hằng đẳng thức có chứa biến x.
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 4
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
+ Biến đổi biểu thức A thành một tổng của hai (hoặc nhiều) số dương rồi áp dụng bất
đẳng thức Cô – si hoặc một vài bất đẳng thức phụ.
- Học sinh thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh biểu thức A k ( hoặc A k ) chưa
chỉ ra dấu bằng nhưng đã kết luận cực trị của biểu thức A.
PHẦN II. VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1. Cho các biểu thức : A
x
2
và B
x 1 x x
1
( với x > 0; x 1)
x 1
1. Tính giá trị của biểu thức B khi x 9
2. Đặt C A : B , rút gọn biểu thức C
3. Tìm giá trị của x để C 3
4. So sánh C với
1
4
5. Chứng minh C 2
6. Tìm x nguyên để biểu thức C có giá trị nguyên
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C
8. Tìm các giá trị của m để nghiệm x thoản mãn bất phương trình : x .C x m 3
Hướng dẫn giải
1. Với x 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) thay vào biểu thức B, ta được : B
Vậy khi x 9 thì giá trị của biểu thức B
1
1
9 1 8
1
8
2. Đặt C A : B , rút gọn biểu thức C
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 5
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
C (
x
2
1
):
x 1 x x
x 1
C (
x
2
1
):
x 1
x ( x 1)
x 1
C
( x )2 2
x 1
.
1
x ( x 1)
C
( x 2)( x 1)
x ( x 1)
C
x2
x
3. ĐKXĐ: x > 0; x 1
Để C 3
x2
3
x
x2 3 x
0
x
x
x3 x 2 0
(*)
Giải phương trình (*) ta suy ra được : x 1 ( loại) và x 4 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy để C 3 thì x 4
2
1 127
2x
1 x 2 1 4x x 8
4
16
4. Xét hiệu C
4
x 4
4 x
4 x
2
1
Vì 2 x 0 với mọi x nên
4
Vì x 0 nên
2
1 127
0
2x
4
16
x 0 suy ra 4 x 0
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 6
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
2
1 127
2x
1
4
16
Suy ra
0 . Do đó C
4
4 x
5. Xét hiệu C 2
Vì
2
x 0 , suy ra
2
x 1 1
x2
x2
2
x
x
x 1 0 với mọi x nên
Vì x 0 nên
x 2
x
2
x 1 1 0
2
x 1 1
x
0 . Do đó C 2
6. ĐKXĐ: x > 0; x 1
Ta có : C
x2
2
x
x
x
Để giá trị của biểu thức C nguyên thì
x
2
nguyên
x
Suy ra
2
Z x là ước của 2
x
Từ đó
x nhận các giá trị 1 ; 2 nên x nhận các giá trị x 1 (loại) và x 4 ( TMĐK)
Khi đó với x 4 thì C có giá trị là 3
Vậy với x 4 thì biểu thức C có giá trị nguyên
7. Ta có : C
x2
2
x
x
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương
x
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
x và
2
, ta được :
x
2
2 2
x
Page 7
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
Amin 2 2
Dấu “ = ” xảy ra x
2
x 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x
Vậy giá trị nhỏ nhất Amin 2 2 x 2
8. Ta có : x .C x m 3
Suy ra : x x 1 m 0
x x 1 m 0
1
5
x x m 0
4
4
2
1
5
x m 0
2
4
2
1 5
x m
2 4
2
Vì x 0 nên
1 1
x 0 , suy ra x
2
4
2
1 5
1
1 5
Suy ra x m m m 1
4
2 4
4 4
Vậy với m 1 thì x thoản mãn bất phương trình : x .C x m 3
Bài 2. Cho các biểu thức :
x 3 x 9 x
4 x 8
x 3
x 2
M
1 :
và N
x 3
x 3
x 9
x x 6 2 x
(với x 0; x 4; x 9)
1. Rút gọn biểu thức M
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 8
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
2. Tìm x để M M
3. Đặt Q M .N , tìm các giá trị của x để biểu thức Q có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
1. Rút gọn biểu thức M
x 3 x 9 x
x 3
x 2
M
1 :
x 3
x 9
x x 6 2 x
M
M
M
3
x 3
9 x
:
x 3
3 x 2 x 3
.
x 3
x 2
x 3
x 2 x 3
x 3
x 3
x 2
2
2
3
x 2
2. ĐKXĐ : x 0; x 4; x 9
Để M M M 0
3
0
x 2
x 20
x 2
x4
Kết hợp với ĐKXĐ: x 0 , suy ra 0 x 4
Vậy với 0 x 4 thì M M
3. ĐKXĐ : x 0; x 4; x 9
Q M .N
3
4 x 8
.
x 2
x 3
12
x 3
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 9
Lê Trung – Uyên Vi
Vì x 0 x 0
Toán học là đam mê
12
0
x 3
Vì x 0 x 0 x 3 3
1
1
x 3 3
12
4
x 3
Do đó: 0 Q 4
Mà Q Z , suy ra Q 1; 2; 3; 4
TH1: Q 1
12
1 x 3 12 x 9 x 81 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3
TH2: Q 2
12
2 x 3 6 x 3 x 9 ( loại)
x 3
TH3: Q 3
12
3 x 3 4 x 1 x 1 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3
TH4: Q 4
12
4 x 3 3 x 0 x 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3
Vậy để biểu thức Q có giá trị nguyên thì x 0; 1; 81
Bài 3. Cho biểu thức A
x 1
x 1 3 x 1
với x 0, x 1
x 1
x 1
x 1
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tính giá trị của A khi x 9 .
3) Tìm giá trị của x để A
1
.
2
4) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
5) Tìm m để phương trình mA x 2 có hai nghiệm phân biệt.
6) Tính các giá trị của x để A 1.
7) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Hướng dẫn giải
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 10
Lê Trung – Uyên Vi
1) A
A
A
A
Toán học là đam mê
x 1
x 1 3 x 1
x 0; x 1
x 1
x 1
x 1
x 1 3
x 1 x 1
2
2
x 1
x 1
x 2 x 1 x 2 x 1 3 x 1
x 1
x 1
2x 3 x 1
x 1 x 1
2 x 1 x 1
A
x 1 x 1
A
2 x 1
x 1
2) Thay x 9 (TMĐK) vào A ta được: A
Vậy với x 9 thì A
2 9 1 5
9 1 4
5
4
3) ĐKXĐ: x 0, x 1
A
1
2 x 1 1
2
x 1 2
4 x 2 x 1
3 x 3
x 1
x 1 (Không thỏa mãn)
Vậy không có giá trị của x để A
1
2
4) ĐKXĐ: x 0, x 1
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 11
Lê Trung – Uyên Vi
Ta có: A
2 x 1 2
x 1
Toán học là đam mê
x 1 3
x 1
Để A nhận giá trị nguyên thì
2
3
x 1
3
nhận giá trị nguyên 3
x 1
x 1 x 1U 3
U3 3; 1;3;1
Ta có bảng sau:
3
x 1
1
x
4
2
x
ĐK
Vậy x 0; 4 thì A nhận giá trị nguyên
3
1
0
2
0
TM
4
TM
5) ĐKXĐ: x 0, x 1
Để m. A x 2
m.
2 x 1
x 2
x 1
2m x m x x 2
x 2m 1 x m 2 0 (1)
Đặt t x t 0; t 1 ta có phương trình:
1 t 2 2m 1
x m 2 0 *
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt khác 1 và t2 t1 0
0
P 0
S 0
a b c 0
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 12
Lê Trung – Uyên Vi
4m2 9 0 m
m 2
1
m
2
m 2
Vậy với m 2 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
2m 1 2 4. m 2 0
m 2 0
2m 1 0
1 (2m 1) m 2 0
Toán học là đam mê
m2
6) ĐKXĐ: x 0, x 1
Để A 1
2 x 1
1
x 1
2 x 1 x 1
0
x 1
x 2
0
x 1
Ta có :
x 0 x ĐKXĐ
x 1 1 x ĐKXĐ
x 2
0
x 1
x 20
x 2
x4
Kết hợp với điều kiện ta có 0 x 4; x 1
Vậy với 0 x 4; x 1 thì A 1
7) ĐKXĐ: x 0, x 1
A 2
3
x 0; x 1
x 1
Ta có: x 0 x 1 1
3
3
3 2
2 3 A 1
x 1
x 1
Dấu “ = “ xảy ra x 0 x 0 (TMĐK)
Vậy GTNN của A là 1 khi x 0
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 13
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
x
1
x 1
Bài 4. Cho biểu thức B
với x 0, x 1
:
x x 1
x 1 x x 1
1) Rút gọn B
2) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 3 2 2.
3) Tìm x để B x
4) Với x >1, hãy so sánh B với B
Hướng dẫn giải
1) B
B
. x x 1
x 1
x 1 x x 1
B
1
x 1
:
x 1 x x 1
x 1 x x 1
x
x x x 1
x 1
x 1
2) x 3 2 2 3 2 2
2
2 1
2 1
2
2 1 2 1 2
Thay x = 2 (TMĐK) vào B ta được
2 1
B
2 1
2 1
2
1
3 2 2 .
Vậy khi x 3 2 2 3 2 2 thì B 3 2 2
3) ĐKXĐ: x 0, x 1
B x
x 1
x
x 1
x 1 x x
x 2 x 1 0
2
x 1 2 0
x 1 2
x 1 2 0
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 14
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
x 1 2 L
x 1 2
x 1 2
2
x 3 2 2
4) Xét hiệu B B B
B 1
CÁCH 1
+) Ta có : x 1 B 0 B có nghĩa
+) Xét 1 B 1
x 1
x 1
2
x 1
0
B 1
B 1
+) Ta có : B B B ( B 1) 0
B B
CÁCH 2
+) Ta có: x 1 x 1 x 1 0
Mà x 1 0
+) Lại có: B
x 1
0 B 0 B 0 1
x 1
2 x 9
x 3 2 x 1
x 5 x 6
x 2 3 x
x 1
x 1 x 1
1
x 1
x 1
2
Mà x 1 0
0
x 1
B 1 0
B 1
B 1
2
x 1
B 1 0
Mà B 0
B 1 0
B 1 0 2
Từ (1) và (2) B
B 1 0
B B 0
B B
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 15
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
2 x 9
x 3 2 x 1
với x 0, x 4, x 9
x 5 x 6
x 2 3 x
Bài 5. Cho biểu thức C
1) Rút gọn biểu thức C
2) Tính giá trị của x để C đạt giá trị lớn nhất
1
3) So sánh
với 1
C
Hướng dẫn giải
1) C
C
C
C
2
2 x 9
x 3 2 x 1
x 2
x 3
x 3
x 9 x 3 x 3 2 x 1
x 2 x 3
x 2
x 2
2 x 9 x 9 2x 3 x 2
C
x 2
x x 2
x 2
x 3
x 3
x 1
x 3
2) ĐKXĐ: x 0, x 4, x 9
1
Để Cmax min
C
Ta có:
Ta có:
1
C
x 3
x 1
x 1 4
x 1
1
4
x 1
x 0 x ĐKXĐ
x 1 1
1
1
x 1
4
4
x 1
4
1
3
x 1
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 16
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
1
3
C
1
C
x ĐKXĐ
3
Dấu “ = ” xảy ra x 0 x 0 (TMĐK)
1
Vậy GTLN của C là khi x = 0
3
3) Xét hiệu
Ta có:
1
1
C
x 3
1
x 1
4
x 1
x 0 x ĐKXĐ
x 1 1 0
4
0
x 1
1
1 0
C
1
1 x ĐKXĐ
C
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 17
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
PHẦN III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
A. Đề bài
Bài 1 . Cho biểu thức A
x 1
x4
x 2
3
và B
Với x 0, x 1, x 4 .
:
x 1
x 1 x 1
x 2
1) Tìm giá trị của x để A 4.
2) Rút gọn biểu thức B
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2. Cho hai biểu thức A
18
.
A.B
1
x
x
2 x 1
và P
1 x 0; x 1
:
x x 1
x 1 1 x x 1
1) Tính giá trị của biểu thức A với x 16
2) Rút gọn biểu thức P .
3 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
A
.
P
Bài 3. Cho hai biểu thức
A
4
2 x x 13
x
x 0; x 9 và B
x 9
x 3
x 3
x 5
x 0; x 9
x 3
1) Tính giá trị của biểu thức B với x 11 6 2
2) Rút gọn biểu thức P
3) Tìm x để P
A
.
B
1
.
9
Bài 4. Cho biểu thức A
1) Tính A khi x
x
và B
x 2
x
5
x 4
x 0; x 1
x 1
x 2 x x 2
1
.
4
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 18
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
2) Rút gọn B.
3) Biết P
A
. Hãy Chứng tỏ P P với x 1 .
B
Bài 5. Cho hai biểu thức
A
x 2
4 x 13
x 2
6 x 8
và B
x 0; x 1; x 4
x 1
x 2 x 3 x 2
x 1
1) Tính giá trị của biểu thức B với x 36
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A.B
Bài 6. Cho biểu thức A
15 x
3 x 3
2 x
và B
, x 0, x 25.
:
x 5 x 5
3 x
x 25
1) Khi x 9 3 5 2. 3 5 2, Tính giá trị của A.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để P A B nhận giá trị nguyên.
Bài 7 . Cho hai biểu thức A
1) Rút gọn B và tính P
x 2
x
1
1
; B
( x 0; x 2)
x4
x
x 2
x 2
A
B
2) Tìm x để B = |B|
3) Tìm x thỏa mãn: xP 10 x 29 x 25
Bài 8. Cho biểu thức: A
x
2 x 3x 9 x 2
25 x
1
và B
.
x
9
3
x
3
x
3
x 1
(với x 0, x 9 )
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
Page 19
Lê Trung – Uyên Vi
Toán học là đam mê
1) Tính giá trị của A khi x 19 8 3 19 8 3
2) Rút gọn B
3) Gọi M A.B . So sánh M và
Bài 9. Cho biểu thức P
M
2x 2 x x 1 x2 x
với x 0, x 1 .
x
x x x x x
1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tìm giá trị của biểu thức P khi x 3 2 2 .
3) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x đề biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
7
chỉ
P
nhận một giá trị nguyên.
x3 x 2
1 1
Bài 10. Cho hai biểu thức U
với x 0 và x 4 .
x 2
x
x x 8
1) Rút gọn biểu thức U .
2) Tìm giá trị của U tại x 14 6 5 .
3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức K 8U có giá trị là số nguyên
Bài 11 . Cho hai biểu thức A
x
và B
4 x 3
x
x 10
9
với x 0, x 4, x .
x4
16
x 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm giá trị của x để B 2 A.
x
2
6
1
Bài 12. : Cho biểu thức P
: 1
x 2 x x 2 1 x
x 1
với x 0 , x 1 , x 4 .
1) Rút gọn P .
2) Tính P biết x 3 2 2 .
Tài liệu tự học - luyện thi vào 10
1
3) Tìm x để P .
2
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
46 
204 
90 
