Tài liệu Luận văn thạc sỹ khoa học bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN MINH BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN MINH BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội - Năm 2012 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 5 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên . . . . . . Một số kiến thức cơ sở toán tài chính . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Chứng khoán phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ 2.1 5 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ 2.1.1 13 . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu Âu trong thị trường đầy đủ. . . . . . . . . . . 19 3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 3.1 23 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian các chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Tính đóng của GT (Θ) và phân tích Föllmer-Schweizer . . . 28 3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.2 Bổ đề 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.4 Hệ quả 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.5 3.3.6 3.4 Hệ quả 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bổ đề 3.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Mô tả chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.1 Định lí 3.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.2 Hệ quả 3.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ 3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian . . . . . . 47 3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . 44 54 2 Lời nói đầu Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quan trọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng. Trong thị trường đầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịch duy nhất. Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó. Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Nhưng trong luận văn này chỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộ bình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục. Mục tiêu chính là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặc không đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này. R Cho X là nửa martingale có dạng X = X0 + M + dhM iλ̂. Quá trình R cân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là K̂ = λ̂tr dhM iλ̂ và Θ là không gian các quá trình khả đoán ϑ sao cho tích phân ngẫu nhiên R G(ϑ) = ϑdX là nửa martingale bình phương khả tích. Cho hằng số c ∈ R và biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình phương trung bình ξ (c) làm cực tiểu khoảng cách trong L2 giữa H − c và không gian GT (Θ). Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ (c) để xấp xỉ cho tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạn chế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θ không gian các chiến lược đầu tư. Nếu K̂ là bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản cho tính đóng của không gian GT (Θ) trong L2 (P ) và sự tồn tại phân tích Föllmer-Schweizer của H. Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện 3 thì ta có thể mô tả được chiến lược tối ưu bình phương trung bình dưới dạng công thức liên hệ ngược và trong luận văn cũng đưa ra một số ví dụ có thể dễ dàng so sánh các trường hợp với giả thiết khác nhau. Khi có thêm điều kiện thì có khẳng định rằng độ đo martingale tối ưu phương sai và độ đo martingale nhỏ nhất là trùng nhau. Trong số những ví dụ đưa ra điều giả sử này được thỏa mãn, qua đó ta cũng chỉ ra lỗi điển hình nếu K̂T không tất định và bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không được sinh ra bởi X. Luận văn có cấu trúc 3 chương : Chương 1: Bao gồm sơ lược các kiến thức nền tảng của giải tích ngẫu nhiên và toán tài chính. Chương 2: Giới thiệu về định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ áp dụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản. Chương 3 : Phần chính của luận văn đưa ra việc định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình. Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn rất tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy các chuyên đề cao học đã tạo dựng cho tác giả một kiến thức nền tảng và thầy cô trong tổ Xác Suất Thống Kê của khoa Toán-Cơ-Tin đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Do trình độ tác giả và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ điểm qua một số kiến thức cơ sở về giải tích ngẫu nhiên và một số khái niệm của toán tài chính được sử dụng trong luận văn. 1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1. Martingale Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất. Quá trình X = {Xt , At , t ∈ R} được gọi là một martingale (trên ,dưới) đối với (At , t ∈ R) nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1.X = {Xt , At , t ∈ R} là quá trình thích nghi với bộ lọc At (tức là Xt là At −đo được). 2.E|Xt | < ∞ với mọi t ∈ R. 3.Với mọi t ≥ s (t, s ∈ R) E(Xt /As ) = Xs (E(Xt /As ) ≤ Xs ; E(Xt /As ) ≥ Xs ) P − h.c.c. Định nghĩa 1.2. Martingale địa phương Quá trình ngẫu nhiên {Xt , At , t ≥ 0} được gọi là martingale địa phương nếu tồn tại dãy thời điểm Markov (τn ) đối với (At ) sao cho (i) P{τn ≤ n} = 1, P{limn→∞ τn = ∞} = 1. (ii) Đối với mỗi n = 1, 2, ... dãy {Mt∧τn , At , t ≥ 0} là martingale khả tích đều. 5 Định nghĩa 1.3. Nửa martingale liên tục Một quá trình X được gọi là nửa martingale liên tục nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng Xt = Mt + At , t ≥ 0 trong đó M là martigale địa phương liên tục và A là quá trình biến phân bị chặn thích nghi liên tục thỏa mãn A0 = 0. Định lý 1.1. Burkholder-David-Gundy Giả sử {Mi , Ai , 0 ≤ i ≤ N } là một martingale, 1 < p < ∞ và d0 = M0 , di = Mi+1 − Mi , 0 = i < · · · < n = N . Khi đó tồn tại các hằng số C1 , C2 chỉ phụ thuộc p không phụ thuộc dãy di , i = 1, . . . , N. sao cho C 1 E| N X p d2i | 2 p ≤ E|MN | ≤ C2 E| N X p d2i | 2 . i=1 i=1 Kí hiệu [M ]N = N X d2i i=1 được gọi là biến phân bình phương của MN . Khi đó ta có q q C1 || [M ]N ||p ≤ ||MN ||p ≤ C2 || [M ]N ||p . Định lý 1.2. Girsanov Cho Yt là một quá trình Ito có vi phân ngẫu nhiên như sau: dYt = a(t, ω)dt + dWt , t ≤ T ≤ ∞, Y0 = 0 trong đó hệ số dịch chuyển a(t, ω) thỏa mãn điều kiện Novikov E[e 1 2 RT 0 a2 (s,ω)ds ] < ∞. Xác định một độ đo xác suất mới Q như sau Rt Rt dQ − 0 a(s,ω)dWs − 21 0 a2 (s,ω)ds = LT , trong đó Lt = e . dP 6 Với xác suất mới Q này thì Yt trở thành một martingale đối với họ Rt (Ft ), FtW = σ(Ws , s ≥ t). 0 ||gs ||2 ds < ∞h.c.c. Ta định nghĩa Z Z t 1 t ||gs ||2 ds] αt = exp[ (gs , dWs ) − 2 0 0 Định lý 1.3. Bất đẳng thức Doob Nếu {Xt , At , 0 ≤ t ≤ T } là martingale dưới không âm với E|Xt |p < ∞, 0 ≤ t ≤ T, 0 < p < ∞ thì ||XT ||p ≤ || sup |Xt |||p ≤ q||XT ||p , 0≤t≤T trong đó 1 ||X||p = (E|X|p ) p , 1 1 + = 1. p q Định lý 1.4. Công thức Ito Nếu Xt là quá trình Ito vi phân ngẫu nhiên có dạng dXt = a(t, w)dt + b(t, w)dWt . Cho Yt = g(t, Xt ) với g(t, x) là hàm xác định trên [0, ∞) × R và có các đạo hàm riêng gt , gx , gxx liên tục. Khi đó Yt = g(t, Xt ) là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là: ∂g ∂g 1 2 ∂ 2 g ∂g +a + b ]dt + b dWt . ∂t ∂x 2 ∂x2 ∂x Công thức Ito nhiều chiều dYt = [ Cho W (t, ω) = (W1 (t, ω), ..., Wm (t, ω)) là chuyển động Brown m-chiều. X(t, ω) = (X1 (t, ω), ..., Xn (t, ω)) và dX = hdt + f dW là một vi phân ngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h là các hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ω ). Giả sử g(t, x) = (g1 (t, x), ..., gp (t, x)) là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục R+ × Rn → R+ . Khi đó quá trình Y (t, ω) = g(t, Xt ) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà thành phần thứ k là Yk được cho bởi X ∂gk ∂gk 1 X ∂ 2 gk dYk = (t, X)dt + (t, X)dXi + (t, X)dXi dXj , ∂t ∂x 2 ∂x ∂x i i j i i,j 7 trong các biểu thức dXi dXj thì dWi dWj = σij dt, dtdWi = dtdWj = 0. Định nghĩa 1.4. Nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt hoặc tương đương Z t X t = X0 + Z a(s, Xs )ds + 0 t b(s, Xs )dWs . 0 Nghiệm mạnh của phương trình trên là quá trình Xt liên tục thích nghi với At sao cho T Z
|a(t, Xt (ω))|dt < ∞ = 1, P 0 Z T E
|b(t, X(t, ω))|2 dt < ∞ 0 và biểu thức tích phân thỏa mãn với xác suất 1 với mỗi t ∈ [0, T ]. Định lý 1.5. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm Giả sử T > 0 và a, b : [0, T ] × R → R, là các hàm đo được thỏa mãn các điều kiện |a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T ] |a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ D|x − y|, x ∈ R, t ∈ [0, T ] trong đó C,D là các hằng số dương nào đó. Giả sử Z là biến ngẫu nhiên độc lập với A∞ sao cho E|Z|2 < ∞. Khi đó phương trình vi phân dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , 0 ≤ t ≤ T, X0 = Z có nghiệm duy nhất Xt thuộc NT ( lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω →
RT R đo được, thích nghi đối với At và 0 E|f (t, ω)|2 dt < ∞ ). 8 Định nghĩa 1.5. Độ đo martingale nhỏ nhất Cho độ đo martingale P̂ ≈ P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất nếu P̂ (A) = P (A), ∀A ∈ F0 và mọi martingale bình phương khả tích bất kì trực giao mạnh với martingale tùy ý cố định M ∈ M theo P cũng là martingale theo P̂ tức là : L ∈ M2 và hL, M i = 0 ⇒ L là martingale theo P̂ . (với M; M2 tương ứng là các không gian martingale khả tích; bình phương khả tích.) Định nghĩa 1.6. Độ đo tối ưu phương sai Độ đo có dấu Q trên (Ω, F) được gọi là độ đo Θ−martingale có dấu nếu Q[Ω] = 1, Q  P với E  dQ dP dQ dP ∈ L2 (P ) và  GT (ϑ) = 0 với mọi ϑ ∈ Θ (Θ tập các quá trình khả đoán). Kí hiệu P là tập tất cả độ đo Θ−martingale có dấu và  dQ  D= D= Q ∈ P(Θ) . dP Độ đo Θ−martingale có dấu Pe được gọi là độ đo tối ưu phương sai nếu Pe làm cực tiểu V ar  dQ  dP =E  dQ
2   dQ
2  −1 =E −1 dP dP với mọi Q ∈ P(Θ). Nếu Pe là tối ưu phương sai thì kí hiệu dPe dP e. =D Định nghĩa 1.7. Quá trình mũ martingale địa phương Cho M là liên tục, martingale địa phương giá trị thực. Khi đó mũ martingale địa phương E(M ) là quá trình 1 Xt = Et (M ) = exp(Mt − hM it ). 2 9 Và Xt là nghiệm duy nhất của phương trình dXt = Xt dMt , X0 = 1. Nếu γ ∈ L(M ) thì nghiệm Xt của phương trình dXt = γt Xt dMt được cho bởi Xt = X0 Et (γ • M ). Nếu W là chuyển động Brown nhận giá trị trong Rd và γ ∈ L(W ) thì nghiệm của phương trình dXt = γt Xt dWt được cho bởi 1 Xt = X0 Et (γ • W ) = X0 exp(− 2 Z t 2 ||γs || ds + 0 Z t γs dWs ). 0 1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính 1.2.1 Chứng khoán phái sinh Định nghĩa 1.8. Quyền mua cổ phần Là loại chứng khoán do công ty cổ phần phát hành kèm theo đợt phát hành cổ phiếu thường bổ sung và được phát hành cho cổ đông hiện hành sau đó chúng có thể được đem ra giao dịch. Ví dụ 1.1. Công ty A muốn huy động thêm vốn nên đã phát hành thêm cổ phiếu cho các cổ đông, các cổ đông này được nhận các quyền mua cổ phần, các cổ đông này nếu không mua cổ phiếu có thể nhường lại cho người khác bằng cách bán quyền mua cổ phần của mình. Định nghĩa 1.9. Hợp đồng kì hạn Là một thỏa thuận trong đó một người mua một người bán chấp thuận một giao dịch hàng hóa với khối lượng xác định tại một thời điểm xác định trong tương lai với một mức giá được ấn định vào ngày hôm nay. Định nghĩa 1.10. Hợp đồng tương lai Là cam kết mua hoặc bán các loại chứng khoán, nhóm chứng khoán hoặc chỉ số chứng khoán nhất định với một số lượng nhất định và mức giá nhất định vào ngày xác định trước trong tương lai. 10 Định nghĩa 1.11. Quyền lựa chọn Là quyền được ghi trong hợp đồng cho phép người mua lựa chọn quyền mua hoặc quyền bán một số lượng chứng khoán được xác định trước trong khoảng thời gian nhất định với một mức giá được xác định trước. Quyền lựa chọn là một bản hợp đồng mang tính thỏa thuận nhưng ràng buộc về mặt pháp lý trong đó có tham gia của người mua, người viết và cơ quan quản lý. Định nghĩa 1.12. Quyền chọn mua Là một hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyền mua một khối lượng hàng hóa nhất định tại một mức giá xác định trong một thời hạn nhất định. Bên được quyền mua phải trả cho bên còn lại một khoản được gọi là giá quyền mua. Và khi kết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng. Ví dụ 1.2. Một người định mua cổ phiếu của công ty A nhưng vì một lí do nào đó anh ta chưa muốn mua ngay nên đã đến ngân hàng mua một số quyền chọn mua rằng anh ta có thể mua một số lượng cổ phiếu nhất định của công ty A với mức giá là X vào ngày cố định T đã thỏa thuận. Đến ngày T người mua có thể không cần thực hiện hợp đồng và chấp nhận mất tiền mua quyền mua. Định nghĩa 1.13. Quyền chọn bán Là hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyền bán một khối lượng nhất định hàng hóa tại một mức giá xác định trong một thời hạn nhất định. Người mua quyền chọn bán phải trả cho người bán quyền một khoản tiền được gọi là giá quyền hoặc phí quyền. Và khi kết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng. 11 1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá Định nghĩa 1.14. Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá Vt (φ) của phương án đầu tư đó thỏa mãn : (i) P (V0 (φ) = 0) = 1 (ii)P (VT (φ) ≥ 0) = 1 (iii)P (VT (φ) > 0) > 0 T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng. Định nghĩa 1.15. Ta nói thị trường M = (S, Φ) là một thị trường không có cơ hội chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ có độ chênh thị giá. Định nghĩa 1.16. Chiến lược đầu tư đáp ứng Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ φ sao cho VT (φ) = XT . tức là giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị đáo hạn XT đã định trước và ghi trong hợp đồng. Quá trình giá VT (φ) của phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng. Một bài toán đặt ra là định giá cho các sản phẩm phái sinh như thế nào ? và sau khi các sản phẩm này được mua bán thì phải bảo hộ chúng như thế nào?. Luận văn này nghiên cứu một số cách tiếp cận toán học chặt chẽ để có thể định giá và bảo hộ các sản phẩm phái sinh này. 12 Chương 2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ Trong chương này ta sẽ đi tìm hiểu việc định giá và đưa ra chiến lược bảo hộ giá cho quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ. Định nghĩa 2.1. Thị trường đầy đủ Một thị trường M được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạt được trong M tức là đều có phương án đầu tư đáp ứng được phái sinh đó, hay nói một cách tương đương nếu với mọi biến ngẫu nhiên X đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một quá trình khả đoán φ ∈ Φ sao cho VT (φ) = XT . (XT là giá đáo hạn của chứng khoán được ghi trong hợp đồng và VT (φ) là quá trình giá đầu tư bởi chiến lược φ) Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường. Vì với tính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá. Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X. Ví dụ 2.1. Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa 13 mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau: dSt = µSt dt + σSt dBt , với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học. Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thị trường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược tự tài trợ. Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau. 2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định. Cho F = {Ft ; 0 ≤ t ≤ T } là một bộ lọc với F0 chứa Ω và những tập có độ đo 0 theo P với FT = F. Cho X = {Xt ; 0 ≤ t ≤ T } là quá trình ngẫu nhiên có giá trị véctơ với thành phần là X 0 , X 1 , ..., X d thích nghi liên tục phải, giới hạn trái và dương thực sự. Hơn nữa X 0 là nửa martingale thoả mãn X00 = 1 và Xtk biểu diễn giá trị của chứng khoán thứ k tại thời điểm t, đặt βt = 1/Xt0 . Ta xác định một quá trình giá chiết khấu Z = (Z 1 , Z 2 , ..., Z d ) với Ztk = βt Xtk ; k = 1, ..., d. Kí hiệu P = {Q ∈ (Ω; F)|Q tương đương P và Z là martingale theo Q }. Giả sử P khác rỗng (dẫn tới không có sự chênh thị giá) ta có X và Z là các nửa martingale theo P. Một phần tử tuỳ ý P ∗ ∈ P được gọi là độ đo quy chiếu và E∗ là kì vọng toán học tương ứng. Kí hiệu L(Z) = {H = (H 1 , H 2 , ..., H d ) = {Ht , 0 ≤ t ≤ T } khả tích đối với Z} Một chiến lược giao dịch đáp ứng là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán Φ = (Φ0 , ..., Φd ) = {Φt , 0 ≤ t ≤ T } sao cho: i) (Φ1 , ..., Φd ) ∈ L(Z), ii) V ∗ (Φ) ≥ 0 trong đó V ∗ (Φ) = βΦX = β iii)V ∗ (Φ) = V0∗ (Φ) + G∗ (Φ) trong đó 14 Pd k k k=0 Φ X , G∗ (Φ) = Z ΦdZ = d Z X Φk dZ k k=1 và iv) V ∗ (Φ) là một martingale theo P ∗ . Trong đó Φkt mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k được giữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t, V ∗ (Φ) là quá trình giá chiết khấu mô tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư và G∗ (Φ) mô tả quá trình lãi chiết khấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư. Trong đó (ii) nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trị của phương án đầu tư âm. (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trị của phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêm hoặc bớt vốn. Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vào việc chọn độ đo quy chiếu. Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương. Một quyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ sao cho VT∗ (ψ) = βT S . Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu E ∗ βT S < ∞. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệ giữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng. Định lý 2.1. Các mệnh đề sau là tương đương: (a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đo P ∗ . (b) Mỗi martingale Mt được biểu diễn dưới dạng. Z Mt = M0 + t HdZ với H ∈ L(Z). 0 (c) P có duy nhất một phần tử. Chứng minh. (a) ⇒ (b) Cho M là một martingale tuỳ ý. Từ martingale bất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do 15 vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương. Đặt S = XT0 MT khi đó tồn tại chiến lược đáp ứng Φ sao cho VT∗ (Φ) = MT . Hơn nữa theo định RT nghĩa chiến lược đáp ứng, martingale VT∗ (Φ) = V0∗ (Φ) + 0 HdZ , trong đó H = (Φ1 , ..., Φd ). Do đó M có cùng biểu diễn hay Mt = E ∗ (βT S|Ft ) = Vt∗ (Φ). (b) ⇒ (a) Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý. Định nghĩa một độ đo martingale M bằng cách đặt Mt = E ∗ (βT S|Ft ) và cho H ∈ L(Z) Rt sao cho Mt = M0 + 0 HdZ đặt Φ1 = H 1 , ..., Φd = H d trong đó Φ0 = R M0 + HdZ − HZ . Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với Vt∗ (Φ) = Mt do đó VT∗ (Φ) = βT S . Hay S được đáp ứng, suy ra thị trường là đầy đủ. Trước khi chứng minh (b) ⇒ (c) ta có một số định nghĩa Kí hiệu M (Z) = {Q|Z là martingale địa phương theo Q} và ta có P là tập con của M (Z) Một phần tử Q ∈ M (Z) được gọi là điểm vô cùng nếu nó không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai martingale trong M (Z). Kí hiệu Me (Z) là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trong M (Z). Ta có kết quả : Q ∈ Me (Z) nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q. Hệ quả của nó là Q ∈ Me (Z) nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b) được thỏa mãn. (b) ⇒ (c) Nếu P ∗ ∈ Me (Z) thì không thể tồn tại Q ∈ M (Z) với Q tương đương với P ∗ . (c) ⇒ (b) Ta chỉ ra P ∗ ∈ Me (Z). Thật vậy giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại α ∈ (0, 1) và Q0 , Q00 ∈ M (Z) sao cho P ∗ = αQ0 + (1 − α)Q00 . Ta có Q0 ≤ P ∗ /α và chỉ ra Z là martingale theo Q0 tương tự cho Q00 do đó Z là martingale theo Qβ = βQ0 + (1 − β)Q00 với mỗi β ∈ (0, 1). Từ Qβ tương đương với P ∗ với mọi β ∈ (0, 1) tức là Qβ ∈ P với mọi β ∈ (0, 1). Nhưng điều này là mâu thuẫn do P có duy nhất một phần tử. Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ. 16 2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ. Chiến lược giao dịch Φ = (K, H) được gọi là chiến lược giao dịch tự tài trợ nếu nó thỏa mãn : dVt (Φ) = Kt dBt + Ht dXt chiến lược Φ được hiểu như liên tục tự cân bằng các danh mục đầu tư mà không rút vốn hoặc thêm vốn vào. Ta có một chiến lược giao dịch tự tài trợ được gọi là đáp ứng quyền 0 phái sinh h nếu VT (Φ) = h và quá trình giá chiết khấu VtX (Φ) là PX 0 − martingale tức là 0 VtX (Φ) = EPX 0 [h/X 0 T |Ft ], với t ∈ [0, T ], và đặt Vt (Φ) = Xt0 EPX 0 [h/X 0 T |Ft ] với t ∈ [0, T ]. Định lý 2.2. Nếu quyền phái sinh h là PX 0 − khả tích thì nó được đáp ứng. Chứng minh. Đặt Mt = EPX 0 [h/XT0 |Ft ] cho Φ = (K, H) là một chiến lược giao dịch và đặt Vt = Vt (Φ). Khi đó Φ đáp ứng h nếu và chỉ nếu 0 0 Kt + Ht XtX = VtX = Mt với t ∈ [0, T ]. 0 0 Ta cần xác định Ht với điều kiện tự tài trợ cho Φ là dVtX = Ht dXtX tức Rt 0 0 dạng tích phân VtX = V0 + 0 Hs dXsX = Mt với t ∈ [0, T ]. 0 Gọi (Ft ) là bộ lọc tăng sinh bởi chuyển động Brown hình học WtX . Theo định lí III.5.d.0 [11] ta có Ft −martingale Mt có thể biểu diễn Z t 0 Mt = M0 + Js dWsX , t ∈ [0, T ], 0 17 0 0 0 0 với quá trình khả đoán J ∈ L(W X ). Ta lại có dXsX = σXsX dWsX suy Rt 0 0 ra Mt = M0 + 0 Js /(σXsX )dXsX , ta cần Z t Z t 0 0 0 M0 + Js /(σXsX )dXsX = Mt = V0 + Hs dXsX , với mọi t ∈ [0, T ]. 0 0 Suy ra 0 0 M0 = V0 , Hs = Js /(σXsX ), Ks = Ms − Hs XsX . Rt 0 Khi đó Mt = M0 + 0 Hs dXsX . Sau đây ta sẽ chỉ ra Φ là một chiến lược giao dịch tức là K ∈ L(X 0 ) và H ∈ L(X). Từ dXt = Xt (µdt + σdWt ) chúng ta thu được duX (s) = µXs ds (uX (s) là compensator của X ) và dhXis = σ 2 Xs2 ds. Quá trình khả đoán J ∈ 0 L(W X ) thoả mãn Z T Js2 ds < ∞, PX 0 − as. 0 RT RT RT R T 2 02 Do đó 0 dhSis = 0 Js X s ds < ∞ và 0 |Hs ||duX (s)| = 0 |σ −1 µJs |X 0 s ds < ∞, P − as. 0 Suy ra H ∈ L(X), Ks = Ms − Hs XsX = Ms − Js /σ. Suy ra J ∈ L(X 0 ) theo tính liên tục của M suy ra K ∈ L(X 0 ). Vậy ta 0 có chiến lược giao dịch Φ thoả mãn VtX (Φ) = Mt , t ∈ [0, T ]. Hơn nữa với t = T suy ra VT (Φ) = X 0 T MT = h. Phần còn lại ta sẽ chỉ ra chiến lược Φ là tự tài trợ. Rt 0 Thực vậy, từ Mt = M0 + 0 Hs dXsX suy ra 0 dVtX (Φ) = dMt = 0 Ht dXtX dV X Suy ra Ht = t dXt 0 Vậy ta có điều phải chứng minh. Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là: Φs = X0 dVs (Ms − Hs XsX ; dX ) X0 0 s 0 Xét trong trường hợp rời rạc ta có H = họa bởi ví dụ mục sau đây. 18 ∆VtX 0. ∆XtX Điều này sẽ được minh