ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========
ĐINH THỊ NGỌC MINH
PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ
CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ
ĐẠO HÀM CỦA NÓ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chương 1: Hai định lý cơ bản của Nevanlinna ....................................................... 3
1.1. Công thức Poison – Jensen .............................................................................. 3
1.1.1. Định lý .......................................................................................................... 3
1.1.2. Hệ quả ........................................................................................................... 6
1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất ........................................................ 7
1.2.1. Định nghĩa .................................................................................................... 7
1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng ............................................... 9
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất ................................................................................. 9
1.3. Định lý cơ bản thứ hai.................................................................................... 10
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) .................................................................. 10
1.3.2. Bổ đề 1 ........................................................................................................ 11
1.3.3. Bổ đề 2 ........................................................................................................ 12
1.3.4. Định lý ........................................................................................................ 16
1.3.5. Định nghĩa .................................................................................................. 17
1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết) ....................................................................... 18
1.3.7. Định lý ........................................................................................................ 20
Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. ................... 24
2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. .................................................. 24
2.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 24
2.1.2. Định lý (Milloux) ........................................................................................ 24
2.1.3. Định lý ........................................................................................................ 26
2.1.4. Định lý ........................................................................................................ 28
2.1.5. Bổ đề:.......................................................................................................... 28
2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó ............................... 32
2.2.8. Định lý ........................................................................................................ 34
2.2.9. Định lý ........................................................................................................ 36
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 39
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna )
là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang
thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài
luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết
quả gần đây của lý thuyết phân phối giá trị.
Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó là vấn đề
không những được quan tâm trong giải tích phức mà còn có nhiều ứng dụng
trong nghiên cứu các vấn đề khác, chẳng hạn như phương trình vi phân.
Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Phân
phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó”. Luận văn gồm phần mở
đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương1: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản
của Nevanlinna,...
Chương2: Trình bày định nghĩa, định lý, một số kết quả của Milloux và
vấn đề chính của luận văn: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm
của nó.
Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà
Huy Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi
lời cảm ơn sâu sắc tới thầy!
Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng
bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong
việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa
sau đại học của Đại học Sư phạm, Khoa toán cùng các thầy cô giáo đã tạo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
http://www.lrc-tnu.edu.vn
điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận
văn của mình.
Xin cảm ơn các anh, chị , các bạn học viên lớp cao học Toán_K16 Đại
học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong
suốt thời gian viết luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong
quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo,
các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1
Hai định lý cơ bản của Nevanlinna
1.1. Công thức Poison – Jensen
1.1.1. Định lý
z R , 0 R , có
Giả sử f z là hàm phân hình trong hình tròn
các không điểm a 1,2,..., M ; các cực điểm b 1,2,..., N trong hình
tròn đó( mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của
nó).
Khi đó, nếu z rei ; 0 r R , f z 0, ; ta có:
1
log f z
2
2
i
log f Re
0
M
R z a
1
R 2 a z
log
R2 r 2
d
R 2 2 Rr cos r 2
N
R z b
1
R 2 b z
log
.
Chứng minh.
+ Bước 1: Trước tiên, giả sử rằng hàm f z không có không điểm và
cực điểm trong z R . Ta chứng minh công thức cho trường hợp z 0 .
Theo giả thiết f z chỉnh hình và khác 0 trong z R nên log f z là hàm
chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:
1
log f 0
2 i
dz 1
z R log f z z 2
2
log f Re d .
i
0
Lấy phần thực hai vế ta được:
1
log f 0
2
2
log f Re d .
i
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
http://www.lrc-tnu.edu.vn
+ Bước 2: Xét trường hợp z rei , r 0.
Theo công thức Cauchy ta có:
log f z
1
d
log f
.
2 i R
z
R2
R2 R2
Mặt khác, do điểm
có môđun
R nên điểm đó nằm ngoài hình
z
z
r
tròn, do đó:
1
d
log f
0.
R2
2 i R
z
Từ đó ta có:
1
1
1
log f z
log
f
d
2
2 i R
z R
z
R2 z
1
log f
d .
2 i R
z R 2 z
2
Thay Rei , d iR ei d,
R
2
z z Rei R 2 2 Rr cos r 2 .
Ta được:
1
log f z
2
2
R2 r 2
0 log f Re R2 2Rr cos r 2 d .
i
Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp
hàm f z chỉnh hình và khác không.
+ Bước 3: Giả sử f z không có không điểm và cực điểm trong
R nhưng có thể có không điểm và cực điểm trên biên R .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
http://www.lrc-tnu.edu.vn
(*) Nhận xét: f z chỉ có hữu hạn không điểm, cực điểm trên biên.
Chứng minh. Giả sử f z có vô hạn không điểm, cực điểm trên R .
Do R compact, tồn tại 0 là điểm giới hạn của tập hợp các không điểm
suy ra f 0 .
(+) Giả sử f z có vô hạn cực điểm trên n
0 : lim nk 0 . Do các nk là các cực điểm.
k
Suy ra 0 là bất thường cốt yếu f không phân hình.
Giả sử 0 là một không điểm hoặc cực điểm cấp k trong lân cận 0 ; f có
khai triển:
f 0 g ; g
chỉnh hình khác 0 trong lân cận
0 ;
log f log 0 trong lân cận 0 .
Với mỗi 0 là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm 0 bán kính
0 đủ nhỏ.
Xét C : Hợp các cung tròn bán kính nằm bên trong
R thay tích
phân trên C, R tại lân cận 0 bởi cung C .
Suy ra trên chu tuyến mới f z không có không điểm, cực điểm.
Áp dụng được bước 2.
Tích phân trên chu tuyến mới khác tích phân trên C R một đại lượng
là:
1
2
r
1
log 2 0 log ,
2
log 0 khi 0 .
Vậy cho 0 ta được công thức cần chứng minh.
+ Bước 4: Trường hợp tổng quát.
Với các giả thiết như trong định lý ta đặt:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
http://www.lrc-tnu.edu.vn
R b
2
1 R b
,
M R a
N
f
1
R 2 a
dễ thấy 0, bên trong hình tròn R , nên ta áp dụng được công
thức đã chứng minh trong bước 3.
Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình
tròn R lên hình tròn đơn vị, nên môđun của chúng bằng 1 khi R .
Từ đó, nếu Rei thì f .
Ta có:
1
log z
2
2
log f Re
i
0
R2 r 2
d.
R 2 2 Rr cos r 2
Từ công thức của hàm ta được công thức Poisson-Jensen cho trường
hợp tổng quát.
1.1.2. Hệ quả
Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu f 0 0, , ta có:
1
log f 0
2
2
log
log f Re d
M
i
1
0
a
R
N
log
1
b
.
R
Khi f 0 0 hoặc công thức trên thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu f 0 0
hoặc f 0 hàm f z có khai triển tại lân cận z 0 dạng:
f z C z ... .
R f z
Xét hàm z
.
z
Ta thấy 0 0, , đồng thời khi Rei , f . Từ đó ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
log C
2
2
log
log f Re d
M
i
1
0
a
R
N
b
log R .
R
log
1
(*) Nhận xét: Giả sử f z là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi
cấp của hàm f z tại điểm z0 G , ký hiệu ord z0 f , là số nguyên m sao cho
hàm g z
f z
z z0
m
chỉnh hình và khác không tại z0 .
(*) Ví dụ:
(1)
z0 là 0 điểm cấp k của f z ord z0 f k k 0 .
(2)
z0 là cực điểm cấp k của f z ord z0 f k .
(3)
Tại z0 hàm f z chỉnh hình, khác 0 ordz0 f 0 .
Công thức Poisson – Jensen có thể viết dưới dạng:
1
log f z
2
2
log f Re
i
0
R2 z
2
Rei z
2
ord f log
R z
,
R2 z
trong đó tổng lấy theo mọi trong hình tròn R .
1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa:
log x max 0;logx
Ta có: log x log x log
1
,
x
vì: x 1: log x 0 log x log x
1
1
log 0 log 0 .
x
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
http://www.lrc-tnu.edu.vn
0 x 1:log x 0 log x 0
1
1
1
log 0 log log log x.
x
x
x
Như vậy, ta có:
1
2
2
log f Re
i
0
1
Đặt m R, f
2
1
d
2
2
2
log f Re
i
0
1
d
2
2
log
0
1
d .
f Rei
log f Re d .
i
0
Giả sử f có các cực điểm bv v 1, n (mỗi cực điểm được tính một số lần
bằng bậc của nó), và các không điểm a 1, M trong
số cực điểm của f trong
N
z R; n t , f là
z t .
R
R
dt
Đặt N R, f log
n t, f .
bv 0
t
v 1
R
1 M
1 dt
R
n t, .
Như vậy, N R, log
a 0 f t
f 1
Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:
1
1
log f 0 m R, f m R, N R, f N R,
f
f
1
1
m R, f N R, f m R, N R, log f 0 .
f
f
Đặt T R, f m R, f N R, f ,
(1.1)
1
thì T R, f T R, log f 0 .
f
(1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
http://www.lrc-tnu.edu.vn
T R, f được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f.
1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng
Giả sử f1 z ,..., f n z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức
sau đây:
(1)
l
l
m r , f k z m r , f k log l .
k 1
k 1
(2)
l
l
m r, fk z m r, fk .
k 1
k 1
(3)
l
l
N r, fk N r, fk .
k 1 k 1
(4)
l
l
N r, fk N r, fk .
k 1 k 1
(5)
l
l
T r , f k T r , f k log l .
k 1 k 1
(6)
l
l
T r , f k T r , f k .
k 1 k 1
Đặc biệt, với mọi hàm phân hình f z và mọi a C ta có:
T r , f T r , f a log a log 2 .
(1.3)
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất
Giả sử f z là hàm phân hình trong hình tròn
z R, R 0, a
phức tùy ý. Khi đó ta có:
1
1
m R,
N
R
,
f a T R, f log f 0 a a, R ,
f a
trong đó a, R log a log 2 .
Chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
http://www.lrc-tnu.edu.vn
là số
Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:
1
1
1
m R,
N
R
,
T
R
,
f a
f a T R, f a log f 0 a .
f a
Từ (1.3) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.
(*) Nhận xét :
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ
1
bản thứ nhất. Hàm đếm N R,
được cho bởi công thức :
f
a
1 M
R
N R,
log
,
f
a
a
1
trong đó a là các nghiệm của phương trình f z a trong hình tròn z R .
1 1
Hàm xấp xỉ m R,
2
f
a
2
log
0
1
f Rei a
d .
Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là f Rei a nhỏ) thì hàm
m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất
là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình f z a ’’ và ‘‘độ lớn
tập hợp tại đó f z nhận giá trị gần bằng a’’. Trong khi đó vế phải của đẳng
thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình f z nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau.
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản)
Giả sử f z là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn
z r ;
a1,..., aq ; q 2 , là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
http://www.lrc-tnu.edu.vn
q
m r , m r , av 2T r , f N1 r S r ,
v 1
trong đó N1 r 0 , được cho bởi:
1
N1 r N r , 2 N r , f N r , f ' ,
f '
q
f'
1
3q
,
S r m r,
log 2 log
q log
f
a
f
'
0
v
v1
min a av 0.
1 v q
( Để đơn giản ta giả thiết: f ' 0 0, ).
Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề
sau.
1.3.2. Bổ đề 1
Giả sử g z là hàm phân hình trong hình tròn
z r, g 0 0,
khi đó ta có:
2
1 1
N r, g N r,
g 2
log
0
1
g re
i
d log g 0 .
Chứng minh.
1
1
1
N r , g N r , T r , g m r , g T r , m r ,
g
g
g
1
1
T r , g T r , m r , g m r ,
g
g
1
1
log
g 0 2
2
1
log
g
re
d
0
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
i
0 log g rei d
2
1
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
1
log
g 0 2
q
Đặt F z
v 1
2
log g re d .
i
0
1
.
f av
1.3.3. Bổ đề 2
Với các giả thiết của định lý, ta có:
q
log F z log
1
1
3q
q log
log 2.
f a
*
Chứng minh.
+ Nếu với mọi , f a
3q
thì (*) đúng.
Thật vậy với mọi ta có :
q
1
3q
1
3q
log
q log .
f a
f a
1
Vế phải của (*) 0
+ Giả sử tồn tại v : f av
3q
.
Nếu tồn tại thỏa mãn thì v là duy nhất. Vì nếu ngược lại: f av
f a
3q
av a
.
2
. (vô lý)
3q
Với mọi v ; f a
3q
,
f a a av f av
3q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
.
3
12
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3q
;
1
3 1 3q 1
1
.
f a 2 2q 2q f av
f av
f a
F z
1
3q
.
2
2q
3
q
1
f a
v 1
=
v
1
1
f av v f a
f av
1
1
f av
f a
1 q 1
1
.
1
f av
2
q
2
f
a
v
q
1
1
1
log F z log
log 2 log
log
log 2
f av
f a v
f a
1
q
log
1
q
log
1
1
3q
q 1 log
log 2
f a
1
3q
q log
log 2 .
f a
(*) Chứng minh định lý:
1
Lấy
2
1
2
2
2
d
hai vế ta được:
0
1
log
F
re
d
0
1 2
i
q
q
m r , F m r , av q log
v 1
q
m r, a m r , F q log
v 1
v
2
log
0
3q
3q
1
3q
d q log log 2 .
f a
log 2 .
log 2 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 f
m r , F m r ; . . f '.F
f f'
q
1
f
f'
m r, m r, m r,
.
f
f '
v1 f av
1
1
1
m r, T r, N r,
f
f
f
1
1
T r , log f 0 N r , .
f
f
f
f
f
m r, T r, N r,
f '
f '
f '
f 0
f
f
T r , log
N r,
f ' 0
f '
f '
f 0
f '
f '
f
m r , N r , N r , log
.
f ' 0
f
f
f '
Từ bổ đề một ta có:
f '
f 1
N r, N r,
f
f ' 2
2
log
0
f rei
f ' rei
f ' 0
.
f 0
d log
1
f '
m r , F T r , f log f 0 N r , m r ,
f
f
f 0
f'
m r,
log
f ' 0
v 1
f av
q
1
2
2
log
0
f rei
f ' rei
d log
q
f ' 0
.
f 0
m r , m r , av m r , m r , F q log
v 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
3q
log 2
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
f '
m r , T r , f log f 0 N r , m r ,
f
f
1
2
1
2
2
log
0
2
f rei
f ' rei
log f re
i
0
f'
3q
d m r ,
log 2
q log
v 1
f av
q
1
d
2
2
log f ' re d
i
0
1
1
N r , N r , f N r , N r , f ' .
f
f '
Vậy:
q
m r , m r , av 2T r , f N r , f log f 0
v 1
1
1
N r , S r log f ' 0 N r , N r , f
f
f
1
log f 0 N r , N r , f ' log f ' 0
f '
1
2T r , f N r , 2 N r , f N r , f
f '
2T r , f N1 r S r ,
' S r
1
trong đó, N1 r N r , 2 N r , f N r , f ' .
f '
Định lý được chứng minh.
(*) Nhận xét:
Có thể chỉ ra rằng N1 r 0 . Thật vậy, giả sử b là một cực điểm cấp k
của hàm f z trong đĩa
z r .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi đó đại lượng log
r
được tính k lần trong tổng N r , f . Mặt khác, b là
b
cực điểm cấp k 1 của đạo hàm f ' z . Do đó, đại lượng log
r
được tính
b
k 1 lần trong tổng N r, f ' . Từ đó suy ra: 2N r, f N r, f ' 0
Từ bất đẳng thức cơ bản ta có Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna.
1.3.4. Định lý
Giả sử r là một số thực dương, f z là hàm phân hình trong ;
a1,..., aq là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
q
q 1T r , f N r , av N r , N1 r S r ,
v 1
trong đó:
1
N1 r N r , 2 N r , f N r , f '.
f '
S r o log T r , f log r .
Chứng minh.
Từ bất đẳng thức cơ bản ta có:
q
m r , m r , av 2T r , f N1 r S r .
v 1
q
Cộng vào hai vế đại lượng N r , N r , av ta có:
v 1
q
N r , m r , m r , av N r , av
v 1
q
2T r , f N r , N r , av N r S r
v 1
Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta thấy với mọi v 1,2,..., q ;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
http://www.lrc-tnu.edu.vn
m r, av N r , av T r , f O 1 .
Từ đó suy ra:
q
q 1T r , f 2T r , f N r , av N r , N1 r S r .
v 1
Tức là:
q
q 1T r , f N r , av N r , N1 r S r .
v 1
1.3.5. Định nghĩa
Giả sử f z là hàm phân hình trên mặt phẳng phức , a , ta đặt.
a a, f lim
N r , f log
m r, a
N r, a
1 lim
.
T r, f
T r, f
r
; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm, b r ; đồng thời
b
mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.
a a, f 1 lim
a a, f lim
N r, a
.
T r, f
N r, a N r, a
.
T r, f
a được gọi là số khuyết của giá trị a.
a được gọi là chỉ số bội của giá trị a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết)
Giả sử f z là hàm phân hình trên , khi đó tập hợp các giá trị a mà
a 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có:
a a
a
a
a 2 .
Chứng minh.
Từ định nghĩa suy ra rằng: a a a .
Chọn dãy rn , rn sao cho S rn O log T rn , f .
Từ Định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt
a1, a2 ,..., aq ta có:
q
q 1T rn , f N rn , av N rn , N1 rn O log T rn , f
v 1
1
N rn , av N rn , 2 N rn , N rn , f ' N rn , O log T rn , f
v 1
f '
q
1
N rn , av N rn , f N rn , f ' N rn , ' O log T rn , f .
v 1
f
q
Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau:
1
q 1 O 1 T rn , f N r , av N rn , f ' N rn , f N rn , .
v 1
f
q
Nếu b là một cực điểm cấp k của hàm f z trong
log
z r
n
thì đại lượng
rn
tham gia k lần trong công thức tính N rn , , đồng thời do b là cực
b
điểm của f ' z cấp k 1 nên đại lượng đó tham gia k 1 lần trong công
thức tính N rn , f ' . Từ đó, suy ra:
N rn , f ' N rn , N rn , .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -