Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho hai
x 4t
x 2 y 4 1 z
đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là
; y 1 6t ; t .
2
3
2
z 1 4t
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.
A. Song song nhau.
B. Trùng nhau.
C. Cắt nhau.
D. Chéo nhau.
Đáp án A
Đường thẳng d qua M 2; 4;1 và có vectơ chỉ phương là u 2;3; 2
Đường thẳng d’ qua M ' 0;1; 1 và có vectơ chỉ phương là u ' 4;6; 4
Do u và u ' cùng phương đồng thời M d ' nên hai đường thẳng đó song song nhau
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 :
x 1 y 2 z 1
x 2 y 1 z 2
và 2
. Đường vuông góc chung của 1 và 2
2
1
1
4
1
1
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. M 3;1; 4
B. N 1; 1; 4
C. P 2;0;1
D. Q 0; 2; 5
Đáp án A
Gọi A 2a 1; a 2; a 1 1 ; B 4b 2; b 1; b 2 2
Suy ra AB 2a 4b 1; a b 3; a b 3 .
Vectơ chỉ phương của 1 và 2 lần lượt có phương trình là u1 2;1;1 , u2 4;1; 1
AB.u1 0
.
Ta có
AB
.
u
0
2
Giải hệ phương trình ta được a 1; b 1 .
x 1 t
Suy ra phương trình đường vuông góc chung là y 1 t
z 2 3t
Lần lượt thay tọa độ các điểm M ta thu được kết quả đúng là A.
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho A 1; 2;1 ; B 0; 2;0 . Viết
phương trình mặt cầu S đi qua hai điểm A; B và có tâm nằm trên trục Oz.
A. S : x 1 y 2 z 2 5.
2
B. S : x 2 y 2 z 1 5.
2
C. S : x 2 y 1 z 5 5.
D. S : x 1 y 2 z 2 5.
2
2
Đáp án B
Tâm nằm trên trục Oz nên có tọa độ I 0;0; z0
Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A; B nên ta có
IA IB
1 0
2
2 0 1 z0
2
2
0 0
2
2 0 0 z0
2
2
1 z02 2 z0 1 z02 z0 1
Vậy S : x 2 y 2 z 1 5
2
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ
a.x 3
a 2;3;1 ; b 1; 2; 1 ; c 2; 4;3 . Tìm tọa độ vectơ x sao cho b.x 4.
c.x 2
A. 4;5;10 .
B. 4; 5;10 .
C. 4; 5; 10 .
D. 4;5; 10 .
Đáp án B
Gọi x x1 ; x2 ; x3
a.x 3
2 x2 3 x2 x3 3
x1 4
Khi đó b.x 4 x1 2 x2 x3 4
x2 5.
2 x 4 x 3 x 2
x 10
1
2
3
3
c.x 2
Vậy x 4; 5;10 .
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 2;3
và đường thẳng d :
x 1 y z 3
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A,
2
1
2
vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
A.
x 1 y 2 z 3
.
2
2
3
B.
x 2 y 2 z 3
.
1
2
3
C.
x 1 y 2 z 3
.
2
2
3
D.
x2 y2 z 3
.
1
2
3
Đáp án A
Gọi B Ox . Khi đó B b;0;0
Vì vuông góc với đường thẳng d nên AB ud .
Ta có AB b 1; 2; 3 , ud 2;1; 2
Suy ra AB.ud 0 b 1
Do đó AB 2; 2; 3 . Chọn vectơ chỉ phương cho đường thẳng là u 2; 2;3 .
Phương trình đường thẳng là
x 1 y 2 z 3
.
2
2
3
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
S : x2 y 2 z 2 2x 2z 2 0
Oxyz
cho mặt cầu
và các điểm A 0;1;1 , B 1; 2; 3 , C 1;0; 3 . Tìm điểm
K thuộc mặt cầu S sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
A. D 1; 2; 1
B. D 1;0; 3
7 4 1
D. D ; ;
3 3 3
C. D 3;0; 1
Đáp án D
(S) có tâm I 1;0; 1 , bán kính R 2
AB 1; 3; 4 , AC 1; 1; 4
Gọi là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n AB, AC 8; 8; 4 làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
8 x 1 8 y 2 4 x 3 0 2 x 2 y z 1 0
d I ,
2 0 11
22 2 12
2
2
2 R S
3
1
Ta có VABCD hD .S ABC nên VABCD lớn nhất hD lớn nhất
3
Gọi D1 D2 là đường kính của (S) vuông góc với mặt phẳng
Vì D là điểm bất kì thuộc (S) nên d D, max d D1 , , d D2 ,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm D1 hoặc D2
D1 D2 qua I nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
x 1 2t
số D1 D2 : y 2t , t
z 1 t
Gọi D 1 2d 0 ; 2d 0 ; 1 d 0 D1 D2 là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương trình:
(Gv Văn Phú Quốc 2018)
1 2d0
2
4d 02 1 d 0 2 1 2d 0 2 1 d 0 2 0 d 0
2
2
3
2
2
9. 2
9.
2
9d 0 2
2
3
. Vì 3
Ta có d D,
nên D phải ứng với d 0
3
3
3
3
7 4 1
Vậy D ; ; là điểm cần tìm
3 3 3
Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H 4;5;6 . Viết
phương trình mặt phẳng P qua H, cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
H là trực tâm của tam giác ABC
A. 4 x 5 y 6 z 77 0
B. 4 x 5 y 6 z 77 0
C. 4 x 5 y 6 z 77 0
D. 4 x 5 y 6 z 77 0
Đáp án B
Giả sử P Ox A a;0;0 , P Oy A 0; b;0 , P Oz A 0;0; c
Khi đó (P) có phương trình
x y z
1
a b c
4 5 6
1
a b c
AH 4 a;5;6 , BH 4;5 b;6 BC 0; b; c , AC a;0; c
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) H 4;5;6 P
AH .BC 0
5b 6c 0
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
4b 6c 0
BH . AC 0
77
a
4 5 6
4
a b c 1
77
Giải hệ phương trình 5b 6c 0 b
5
4b 6c 0
77
c 6
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
x
y
z
1 4 x 5 y 6 z 77 0
77 77 77
4
5
6
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 0
và mặt phẳng : 2 x 2 y z 17 0 . Viết phương
trình mặt phẳng song song với và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi
bằng 6
A. 2 x 2 y z 7 0
B. 2 x 2 y z 7 0
C. 2 x 2 y z 7 0
D. 2 x 2 y z 7 0
Đáp án B
Do / / nên : 2 x 2 y z D 0 D 17
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 5
Đường tròn có chu vi là 6 nên bán kính của đường tròn này là r 3
Ta có d I R 2 r 2
2.1 2. 2 3 D
22 22 1
2
D 7
4 D 5 12
D 17
Nhận giá trị D 7 . Vậy có phương trình là 2 x 2 y z 7 0
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
A 4;0;0 , B 0; 4;0 và măt phẳng P : 3 x 2 y z 4 0 . Gọi I là trung điểm của AB. Tìm
K sao cho KI vuông góc với P đồng thời K cách đều gốc O và P
1 1 3
A. K ; ;
4 2 4
1 1 3
B. K ; ;
4 2 4
1 1 3
C. K ; ;
4 2 4
1 1 3
D. K ; ;
4 2 4
Đáp án C
Ta có I là trung điểm AB I 2; 2;0
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) n 3; 2; 1
Vì KI P nên đường thẳng KI qua I nhận n 3; 2; 1 làm vectơ chỉ phương nên có
x 2 3t
phương trình y 2 2t
z t
K KI K 2 3t ; 2 2t ; t
Theo đề ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
d K P KO
6 9t 4 4t t 4
14
2 3t 2 2t
2
14t 2 20t 4 14 t 1 14t 2 20t 4 14t 2 28t 14
t
3
4
1 1 3
Vậy K ; ; thỏa mãn yêu cầu bài toán
4 2 4
2
t2
Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A 0;0; 4 , B 2;0;0 và mặt phẳng P : 2 x y z 5 0 . Lập phương trình mặt cầu S đi
qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P bằng
5
6
A. x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 0; x 2 y 2 z 2 2 x 20 y 4 z 0
B. x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 0; x 2 y 2 z 2 2 x 20 y 4 z 0
C. x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 0; x 2 y 2 z 2 2 x 20 y 4 z 0
D. x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 0; x 2 y 2 z 2 2 x 20 y 4 z 0
Đáp án A
Giả sử S có phương trình là
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 .
(Điều
kiện:
(Gv
Văn
Phú
Quốc
2018)
a 2 b2 c2 d 0 )
O S d 0
A 0;0; 4 S 16 8c d 0 . Mà d 0 nên suy ra c 2
A 2;0;0 S 4 4a d 0 . Mà d 0 nên suy ra a 1
b5
b 0
5
5
6
6
6
b 5
Với I 1; b; 2 , ta có d I ; P
Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 0; x 2 y 2 z 2 2 x 20 y 4 z 0
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
: x y z 0, : x 2 y 2 z 0 . Viết phương trình mặt cầu S
kính bằng 3 và tiếp xúc với tại M biết điểm M Oxz
A. x 1 y 2 z 3 9; x 1 y 2 z 3 9
2
2
2
2
2
2
B. x 1 y 2 z 3 9; x 1 y 2 z 3 9
2
2
2
2
2
2
C. x 1 y 2 z 3 9; x 1 y 2 z 3 9
2
2
2
2
2
2
D. x 1 y 2 z 3 9; x 1 y 2 z 3 9
2
2
2
2
2
Đáp án D
Gọi M a;0; b Oxz .M a 2b . Suy ra M 2b;0; b
2
có tâm thuộc , bán
Gọi I là tâm của (S). Do (S) tiếp xúc với tại M nên IM
Phương trình đường thẳng IM :
x 2b y z b
1
2
2
Điểm I IM nên I 2b t ; 2t ; b 2t
Mặt khác, I 2b t 2t b 2t 0 t b I b; 2b;3b
Ta có d I , R
9b
3 b 1
3
Với b 1 suy ra I 1; 2;3 và R 3 . Do đó phương trình mặt cầu (S) là
x 1
2
y 2 z 3 9
2
2
Với b 1 làm tương tự, ta cũng thu được phương trình mặt cầu (S) là
x 1
2
y 2 z 3 9
2
2
Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A 3;0;0 , B 0;3;0 và mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 9 . Viết phương trình mặt
2
2
2
ACB 45
phẳng ABC biết C S và
A. z 3 0
B. x 3 0
C. y 3 0
D. x y z 3 0
Đáp án A
(S) có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 3
Ta có AB 3 2 . Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Theo định lí hàm số sin ta có
AB
AB
2r r
3 R
sin
ACB
2sin
ACB
Do đó mặt phẳng ABC đi qua tâm I
Ta có AB 3;3;0 , AI 0;3;0 , AB, BI 0;0;9
Mặt phẳng
ABC
qua A 1; 1;3 có vectơ pháp tuyến n AB, AI 0;0;9 nên có
phương trình ABC là z 3 0
Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tam
giác đều S . ABC với A 3;0;0 , B 0;3;0 và C Oz . Tìm tọa độ của điểm biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 9
A. S 3;3;3 , S 1; 1; 1
B. S 3;3;3 , S 1;1;1
C. S 3; 3; 3 , S 1; 1; 1
D. S 3; 3; 3 , S 1;1;1
Đáp án A
Do S . ABC là hình chóp tam giác đều nên ABC là tam giác đều cạnh AB 3 2
Điểm C Oz suy ra C 0;0; c với c 0
Ta có AC 3 2 9 c 2 18 c 3 C 0;0;3
Gọi G là trọng tâm ABC , suy ra G 1;1;1
Theo giả thiết bài toán, ta có
1
1 18 3
VS .ABC S ABC .SG 9 .
.SG SG 2 3
3
3 4
Đường thẳng SG qua G 1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng ABC nên có vectơ chỉ phương
x 1 y 1 z 1
u AB, AC 9;9;9 . Do đó SG :
1
1
1
S SG S 1 t ;1 t ;1 t
SG 2 3 t 2 t 2 t 2 2 3 t 2 S 3;3;3 , S 1; 1; 1
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2 y 2z 1 0
và hai điểm A 1;7; 1 , B 4; 2;0 . Lập phương trình đường thẳng d là
hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P).
x 3 4s
A. y 3s
z 2 s
x 3 4s
B. y 3s
z 2 s
x 3 4s
C. y 3s
z 2 s
x 3 4s
D. y 3s
z 2 s
Đáp án C
x 4 3t
Phương trình tham số của đường AB : y 2 5t
z t
Gọi M AB P tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình
4 3t 2 2 5t 2t 1 0 t 1 M 7; 3;1
Gọi I là hình chiếu của B lên (P). Dễ dàng tìm được I 3;0; 2 . Hình chiếu d của đường thẳng
AB lên (P) là MI
x 3 4s
Vậy phương trình đường thẳng d là y 3s
z 2 s
Câu
15:
(Gv
Văn
Phú
Quốc
2018)
A 5;3;1 , B 4; 1;3 , C 6; 2; 4 , D 2;1;7 .
Trong
Tìm
tập
không
hợp
Oxyz
gian
các
điểm
M
cho
điểm
sao
cho
3MA 2 MB MC MD MA MB
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
10
1 1
A. x y z
3
3
3 9
8
10
1 1
B. x y z
3
3
3 9
8
10
1 1
C. x y z
3
3
3 9
8
10
1 1
D. x y z
3
3
3 9
Đáp án B
Giả sử tồn tại điểm I x0 ; y0 ; z0 thỏa mãn hệ thức 3IA 2 IB IC ID 0
8 10 1
Dễ dàng tìm được điểm I ; ;
3 3 3
1
Ta có 3MA 2 MB MC MD MA MB MI MI AB
3
1
1
8 10 1
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I ; ; , bán kính R AB
3
3
3 3 3
2
2
2
8
10
1 1
Và phương trình mặt cầu là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x y z
3
3
3 9
Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z m 2 2m 5 0
và mặt phẳng : x 2 y 2z 3 0 . Tìm
m để giao tuyến giữa và S là một đường tròn
A. m 4; 2; 2; 4
B. m 2 hoặc m 4
C. m 4 hoặc m 2
D. m 4 hoặc m 2
Đáp án D
(S) có tâm I 2;1; 1 và bán kính R m 2 2m 1 m 1
Giao tuyến của và (S) là đường tròn
m 4
d I R m 1 3
m 2
Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm
A 2;0;0 , B 0; 4;0 , C 0;0;6 , D 2; 4;6 . Xét các mệnh đề sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
(I). Tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC MD là một mặt phẳng
(II). Tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC MD 4 là một mặt cầu tâm I 1; 2;3 và
bán kính R 1
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Không có
D. Cả (I) cả (II)
Đáp án D
* Xét mệnh đề (I): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó
MA MB MC MD 2 MI 2 MJ MI MJ
Do đó tập hợp các điểm M là mặt phẳng trung trực của IJ
Vậy mệnh đề này đúng.
* Xét mệnh đề (II): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD
Khi đó MA MB MC MD 4
4 MG 4 MG 1
Do đó tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G 1; 2;3 và bán kính R 1
Vậy mệnh đề này đúng
x 1 t
Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 3t
z 3 2t
và mặt phẳng : x 2 y 2 z 1 0 . Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M
đến bằng 3
A. M 1;3;3 , M 0;6;5
B. M 10; 24; 15 , M 0;6;5
C. M 10; 24; 15 , M 8;30; 21
D. M 8;30; 21 , M 1;3;3
Đáp án C
M d M 1 t ;3 3t ;3 2t
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
d M 3
1 t 2 3 3t 2 3 2t 1
1 2 2
2
2
2
3
t 9 t 9
Suy ra M 10; 24; 15 , M 8;30; 21
Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau
1 : 2 x y z 4 0
2 : x z 3 0
1 : 3x y 7 0
2 : 2 x 3z 5 0
1 : x my 2 z 3 0
2 : 2 x y z 6 0
Gọi d1 , d 2 , d3 lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng 1 và 2 ; 1 và 2 ; 1
và 2 . Tìm m để d1 , d 2 và d3 đồng quy.
A. m 2
B. m 2
C. m 1
D. m 1
Đáp án D
Gọi I d1 d 2 . Khi đó tọa độ điểm I (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình
2 x y z 4 0
x z 3 0
I 2;1;1
3 x y 7 0
2 y 3 z 5 0
d1 , d 2 và d3 đồng quy
2 m 2 3 0
I d3
m 1
4 1 1 6 0
Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P : 2 x y 2 z 12 0
và hai điểm A 1;1;3 , B 2;1; 4 . Tìm tập hợp tất cả các điểm
C P sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất
x t
8
A. y
9
8
z 9 t
Đáp án B
x t
8
B. y
9
8
z 9 t
x 2t
8
C. y
9
8
z 9 t
x 2t
8
D. y
9
8
z 9 t
Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) y 2 x 2 z 12 nên tọa độ
điểm C a; 2a 2b; b
Ta có AB 1;0;1 , AC a 1; 2a 2b 13; v 3
Suy ra AB, AC 2a 2b 13; b a 2;13 2a 2b
Do đó S ABC
1
2
1
AB, AC
2
2a 2b 13 b a 2 13 2a 2b
2
2
2
Đặt t a b thì
4 S 2ABC 2t 13 t 2 13 2t 9t 2 100t 342
2
2
2
2
50 578 578
30t
3
9
9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t
Do đó min S ABC
50
9
50
50
17 2
khi t
. Vì thế b a
9
9
6
8
50
Suy ra C a; ; a
9
9
x t
8
Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình y
t
9
8
z 9 t
Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh
C 1; 1; 2 và đường chéo BD :
x 1 y 1 z 1
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết điểm B có
4
1
1
hoành độ dương
A. A 1; 2;3 , B 5; 2; 2 , D 7; 1;1
B. A 1; 2;3 , B 3;0;0 , D 7; 1;1
C. A 1; 2;3 , B 5; 2; 2 , D 9;3; 3
D. A 1; 2;3 , B 3;0;0 , D 1;1; 1
Đáp án D
Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) I 1 4t ;1 t ; 1 t nên CI 4t 2; 2 t ; t 1
1
Vì CI BD nên CI .uBD 0 4 4t 2 2 t t 1 0 t
2
3 2
1 1
Do đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018) I 1; ; , CI
2
2 2
I là trung điểm AC A 1; 2;3
Tọa độ điểm B 1 4t ;1 t ; 1 t với t
1
4
Ta có IB IC nên
2 4t
2
2
2
t 0
1 1 9
t t t2 t 0
2
2 2
t 1
Tọa độ điểm B 3;0;0 . Suy ra D 1;1; 1
Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
d:
x 1 y 4 z
và các điểm A 1; 2;7 , B 1;5; 2 , C 3; 2; 4 . Tìm tọa độ điểm M thuộc d
2
1
2
sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất
A. M 1; 4;0
B. M 1;3; 2
C. M 1;3; 2
D. M 5;6; 4
Đáp án C
M d M 2t 1; t 4; 2t
MA2 MB 2 MC 2 9t 2 18t 12 21 9 t 1 21
2
Dấu “=” xảy ra khi t 1
Vậy max MA2 MB 2 MC 2 khi M 1;3; 2
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
5
5
A 1; 2; , B 4; 2; . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABM
2
2
vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất
5
A. M ;0;0
2
5
B. M ;0;0
2
1
C. M ;0;0
2
Đáp án A
5 5
Gọi I là trung điểm AB I ;0; ; AB 5
2 2
2
2
5
5
25
M thuộc mặt cầu S : x y 2 z
2
2
4
1
D. M ;0;0
2
z 0
2
2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
5
5
25
2
x 2 y z 2 4
Hạ MH AB; HK Oxy
AB / / Oxy HK d AB, Oxy không đổi mà MH HK nên S ABM nhỏ nhất MH
nhỏ nhất M nằm trên đường thẳng là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng
Oxy
Mặt khác S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy nên M
5
Vậy M ;0;0
2
Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 2 0 . Tìm điểm A thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ A đến
mặt phẳng P : 2 x 2 y z 6 0 lớn nhất
7 4 1
B. A ; ;
3 3 3
A. A 1;1; 6
C. A 3;0;0
D. A 0;3;0
Đáp án B
Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Ta có S : x 1 y 2 z 1 4 có tâm I 1;0; 1 , bán kính R 2
P : 2 x 2 y z 6 0 có vecto pháp tuyến là n 2; 2;1
2
2
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I 1;0; 1 và vuông góc với P . Suy ra d có phương trình
x 1 2t
là y 2t
z 1 t
Tọa độ giao điểm A của d với mặt cầu S có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2t 2t
2
2
2
7 4 1
1 4 5
t 2 4 t . Suy ra A1 ; ; , A2 ; ;
3
3 3 3
3 3 3
Dễ dàng tính được d A1 , P
13
1
d A2 , P
3
3
7 4 1
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A ; ;
3 3 3
Cách 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Giả sử điểm A x0 ; y0 ; z0 S x0 1 y02 z0 1 4
2
2
d A, P
2 x0 2 y0 z0 6
3
2 x0 1 2 y0 z0 1 7
3
2 x0 1 2 y0 z0 1
3
7
3
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2
2
2 x0 1 2 y0 z0 1 9 x0 1 y02 z0 1 9.4 6
Suy ra d A, P
13
3
x0 12 y02 z0 12 4
Dấu “=” xảy ra khi x 1 y
z 1
0
0 0
2
2
1
7
4
1
Giải hệ phương trình này ta tìm được x 0 , y 0 , z 0
3
3
3
Vậy max d A, P
13
7 4 1
khi A ; ;
3
3 3 3
Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua
điểm M 0; 1;1 và có vectơ chỉ phương u 1; 2;0 . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d
và có vectơ pháp tuyến là n a; b; c với a 2 b 2 c 2 0 . Cho biết kết quả nào sau đây đúng?
A. a 2b .
B. a 3b .
C. a 3b .
D. a 2b .
Đáp án D
Đường thẳng d đi qua M 0; 1;1 và có vectơ chỉ phương là u 1; 2;0 .
Do d P nên u.n 0 a 2b 0 a 2b .
Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
M 3;1;1 , N 4;8; 3 , P 2;9; 7 và mặt phẳng Q : x 2 y z 6 0 . Đường thẳng d qua G
vuông góc với Q . Tìm giao điểm K của mặt phẳng Q và đường thẳng d. Biết G là trọng
tâm MNP .
A. K 1; 2;1 .
B. K 1; 2; 1 .
C. K 1; 2; 1 .
D. K 1; 2; 1 .
Đáp án D
MNP có trọng tâm G 3;6; 3 .
Đường thẳng d qua G và vuông góc với Q có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
x 3 t
y 6 2t ; t .
z 3 t
K d Q tọa độ điểm K ứng với tham số t là nghiệm của phương trình: (Gv Văn Phú
Quốc 2018) 3 t 2 6 2t 3 t 6 0 t 2 K 1; 2; 1 .
Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu S đi
qua điểm M 1; 4; 1 và tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
A. x 3 y 3 z 3 27 .
B. x 2 y 2 z 2 3 x 3 y 3 z 9 0 .
C. x 3 y 3 z 3 9 .
D. x 2 y 2 z 2 6 x 6 y 6 z 18 0 .
2
2
2
2
2
2
Đáp án C
Phương trình mặt cầu ở đáp án (C) có tâm I 3;3; 3 và bán kính R 3 nên
R xI y I z I .
Do đó S tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
Hơn nữa M thỏa mãn phương trình S nên M S .
Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và điểm A 1; 1; 2 . Gọi
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với P . Tính bán kính của mặt cầu S có tâm
thuộc đường thẳng , đi qua A và tiếp xúc với P .
3
.
2
A. R
B. R
3
.
3
C. R
3
.
4
D. R
3
.
5
Đáp án A
Do vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương u n p 1; 1;1 .
x 1 t
Phương trình đường thẳng qua A 1; 1; 2 là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) y 1 t .
z 2 t
Gọi tâm I I 1 t , 1 t , 2 t . Lúc đó
R IA d I , P 3t 2
Vậy R
3 3t
3
t
1
2
3
.
2
Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của hai mặt cầu
sau
S1 : x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 2 z 4 0 .
S2 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 5 0
A. Ngoài nhau.
B. Cắt nhau.
C. Tiếp xúc ngoài.
D. Tiếp xúc trong
Đáp án B
S1
có tâm I1 2; 4;1 và bán kính R1 5 .
S2
có tâm I 2 1; 2; 2 và bán kính R2 2 .
I1 I 2 46 .
Để ý rằng R1 R2 I1 I 2 R1 R2 cho nên S1 và S 2 cắt nhau.
Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
d:
x 1 y
z
và hai điểm A 2;1;0 , B 2;3; 2 . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B
2
1 2
và có tâm thuộc đường thẳng d.
A. x 1 y 1 z 2 17
B. x 1 y 2 z 2 17
C. x 3 y 1 z 2 17
D. x 5 y 2 z 4 17
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Đáp án A
Tâm I d I 1 2t ; t ; 2 t
I 1; 1; 2
IA2 IB 2 t 1
.
R IA 17
Vậy phương trình mặt cầu S là x 1 y 1 z 2 17 .
2
2
2
Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Q : 4 x 3 y 12 z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu
S : x2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 2 0 .
A. 4 x 3 y 12 z 78 0; 4 x 3 y 12 z 26 0
B. 4 x 3 y 12 z 78 0; 4 x 3 y 12 z 26 0
C. 4 x 3 y 12 z 78 0; 4 x 3 y 12 z 26 0
D. 4 x 3 y 12 z 78 0; 4 x 3 y 12 z 26 0
Đáp án D
Q
có vectơ pháp tuyến là n 4;3; 12 .
S
có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 4 .
P // Q
nên P : 4 x 3 y 12 z d 0 (với d 1 ).
P
tiếp xúc với S d I , P R
4.1 3.2 12.3 d
16 9 44
d 26
4 d 26 52
.
d 78
Vậy P có phương trình 4 x 3 y 12 z 78 0; 4 x 3 y 12 z 26 0 .
Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2;3
và đường thẳng d1 :
x 2 y 2 z 3
x 1 y 1 z 1
và d 2 :
.
2
1
1
1
2
1
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2 .
A.
x 1 y 2 z 3
1
3
5
B.
x 1 y 2 z 3
1
3
5
C.
x 1 y 2 z 3
1
3
5
D.
x 1 y 2 z 3
1
3
5
Đáp án C
x 1 t
d 2 có phương trình tham số là y 1 2t .
z 1 t
d1 có vectơ chỉ phương u 2; 1;1 . Gọi B d d 2 , khi đó
B d 2 B 1 t ;1 2t ; 1 t AB t ; 2t 1; t 4 .
Theo giả thiết d d1 AB.u 0 t 1 AB 1; 3; 5 .
Vậy phương trình đường thẳng là
x 1 y 2 z 3
.
1
3
5
Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A 1;1;1 và đường thẳng d :
x 1 y z 1
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và
2
2
1
cắt d sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến là nhỏ nhất.
A.
x 1 y 2 z 1
1
3
9
B.
x 1 y 2 z 1
1
3
9
Đáp án B
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) qua A và chứa d. Khi đó
P : 3x 2 y z 4 0 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên P . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
x 3t
y 2t
6 4 2
H ; ; .
7 7 7
z t
3 x 2 y z 4 0
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên , khi ấy d O; OK OH .
d O; nhỏ nhất K H H .
Đường thẳng qua hai điểm A và H nên có phương trình là
x 1 y 2 z 1
. (Rõ ràng cắt d).
1
3
9
C.
x 1 y 2 z 1
1
3
9
D.
x 1 y 2 z 1
1
3
9
Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x 1
2
y 1 z 1 9 và đường thẳng d :
2
2
x 3 y 3 z 2
.
1
1
2
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
có bán kính nhỏ nhất.
A. x y z 4 0
B. x y z 4 0
C. x y z 4 0
D. x y z 4 0
Đáp án A
Mặt cầu S có tâm I 1;1;1 và bán kính R 3 .
Gọi K là hình chiếu của I lên P , H là hình chiếu của I lên d và r là bán kính đường tròn tức
giao tuyến của P với S .
Khi đó ta có r R 2 IK 2 R 2 IH 2 .
Dấu “=” xảy ra K H . Từ đó suy ra để P cắt S theo một đường tròn có bán kính
nhỏ nhất thì P phải vuông góc với IH.
x 3 t
Phương trình tham số của d là y 3 t H 3 t ;3 t ; 2 2t .
z 2 2t
Do IH d nên ta có IH .ud 0 t 1 H 2; 2;0 .
qua H 2; 2;0 và nhận IH 1;1; 1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
P
x y z 4 0.
Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x2 y 2 z 2 4x 4 y 4z 0
và điểm A 4; 4;0 .
Viết phương trình mặt phẳng OAB , biết điểm B S và tam giác OAB đều.
A. x y z 0, x y z 0 .
B. x y z 0, x y z 0 .
C. x y z 0, x y z 0 .
D. x y z 0, x y z 0 .
Đáp án B
Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
B S và OAB đều nên ta có hệ phương trình sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
xB2 yB2 z B2 4 xB 4 yB 4 z B 0
2
2
OA OB
OA2 AB 2
xB2 yB2 z B2 4 xB yB z B
xB y B z B 8
32 xB2 yB2 z B2
xB2 yB2 z B2 32
2
2
2
2
2
2
xB y B z B 8 xB y B 0
32 4 xB 4 yB z B
zB 4
xB y B z B 8
2
xB2 yB2 z B2 32 xB yB 2 xB yB z B2 32
x y 4
x y 4
B
B
B
B
xB 0
xB 4
yB 4 hay yB 0
z 4
z 4
B
B
Trường
hợp
1:
(Gv
Văn
OA 4; 4;0 , OB 0; 4; 4 OA, OB 16; 16;16
Phú
Quốc
2018)
Trường
hợp
2:
(Gv
Văn
Phú
OA 4; 4;0 , OB 4;0; 4 OA, OB 16; 16; 16 .
Quốc
2018)
Phương trình mp OAB : x y z 0
Phương trình mp OAB : x y z 0 .
Cách 2
S
có tâm I 2; 2; 2 , bán kính R 2 3 . Nhận thấy O và A đều thuộc S .
- Xem thêm -
.PDF 
26 
12 
144 
