Câu 1: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d và mặt
phẳng P có phương trình: d :
x 12 y 9 z 1
; P : 3x 5y z 2 0 . Tìm tọa độ
4
3
1
giao điểm.
A. 0;0;1
B. 0;0; 2
C. 0;0; 2
D. 1; 2; 2
Đáp án C
Giả
sử
d
và
(P)
cắt
nhau
tại
A x 0 ; y0 ; z0
ta
có
:
3x 0 5y0 z 0 2 0
x 0 12 y0 9 z 0 1 A 0;0; 2
4 3 1
Vậy d cắt (P) và tọa độ giao điểm là A 0;0; 2
Câu 2: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
P : y 2z 0 ; điểm
A 1; 2;3 , B 1;1;1 . Tìm tổng tọa độ của điểm M trên P sao cho
chu vi tam giác MAB đạt giá trị bé nhất.
A.
14
55
B.
2
5
C.
1
5
D.
17
5
Đáp án A
Ta có:
CMAB MA MB AB AB const C MAB
Min
MA MB Min
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A B với (P) (Với A’ là điểm đối
xứng của A qua (P)).
6 17
Dựa vào yếu tố vuông góc và trung điểm ta tính được A 1; ;
5
5
x 1 10t
11 22
A B 2; ; 10;11; 22 A B : y 1 11t
5 5
z 1 22t
5 2 1
Từ đây ta tìm được giao điểm: M A B P M ; ;
11 5 5
Câu 3: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Một cặp véc tơ chỉ phương của 2 phương trình 2
đường
d2 :
phân
giác
tạo
bởi
2
đường
thẳng
sau
là
d1 :
x 1 y z 2
3
2
1
và
x 1 y z 2
2
3
1
A. 1;5;0 ; 5; 1; 2
B. 1;5;0 ; 5;1;5
C. 1;5;0 ; 5;1; 2
D. 1;5;0 ; 5;1; 5
Đáp án A
Ta có d1 d 2 A 1;0; 2 . Gọi vectơ đơn vị của d1 và d 2 lần lượt là e1 và e 2 ta có:
u d1 u d2
3
2
1 2 3
1
e1 ;e 2 e1
;
;
;
;
;e 2
. Hai vectơ chỉ
u d1
u d2
14 14 14
14 14 14
u d1 e1 e 2
phương của 2 đường phân giác lần lượt
u e e
1
2
d2
;0 1;5;0
14 14
5
1 2
;
;
5; 1; 2
14 14 14
1
;
5
Câu 4: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác
ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tìm tổng tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
A. 1
B. 2
C. 0
D. Không có điểm H
Đáp án A
- Cách 1: Giả sử H x; y; z là trực tâm của tam giác ABC, ta có điều kiện sau:
AH.BC 0
AH BC
BH
AC
BH.AC 0
H ABC
AB, AC .AH 0
Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ điều kiện trên.
Do nhận xét được AB.AC 0 AB AC nên ta tìm được cách giải độc đáo sau:
- Cách 2: Vì tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H của tam giác ABC trùng với
điểm A
- Lời giải chi tiết cho cách 2: AB 1;0;1 ; AC 1;1;1 , nhìn nhanh thấy
AB.AC 0 AB AC nên tam giác ABC vuông tại A và A là trực tâm
- Lời giải chi tiết cho cách 1:
Ta có AB 1;0;1 ; AC 1;1;1 AB, AC 1; 2; 1 . Nên phương trình mặt
phẳng (ABC) là:
x 1 2y z 0 x 2y z 1 0
Gọi H x; y; z là trực tâm tam giác ABC, ta có
HC 2 x;1 y;1 z , HC AB HC.AB 0 2 x 1 z 0 1
HB x; y;1 z , HB AC HB.AC 0 x y z 1 0 2
Và H ABC nên x 2y z 1 0 3
Từ (1);(2); và (3) ta có x 1; y 0; z 0 . Vậy H 1;0;0 trùng với A
Câu 5(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
d:
x 1 y z 1
và điểm A 1; 4;1 . Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với
2
1
1
đường thẳng d có bán kính là:
A. 2 3
B. 12
C. 14
D. 14
Đáp án C
- Gọi H là hình chiếu A lên D.
Vì H d H 1 2t; t; 1 t AH 2t; t 4; 2 t
- Gọi u 2;1; 1 là VTCP của D.
Vì AH d nên AH.u 0 2t.2 t 4 2 t 0 t 1 H 1; 1;0
- Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm.
Do mặt cầu tiếp xúc với d nên R d A,d AH; AH 2;3; 1 R AH 14
Câu 6(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
A 0;1;0 , B 2; 1; 2 . Phương trình mặt phẳng P đi qua các điểm A, B và cắt tia Ox, Oz
lần lượt tại M và N sao cho diện tích tam giác AMN nhỏ nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt
phẳng P .
A. 1;3; 2
B. 1;3; 2
C. 2;3; 2
D. 2;3; 6
Đáp án C
Giả sử M m;0;0 , N 0;0; n do M,N thuộc các tia Ox, Oz nên m,n >0.
Mặt phẳng (P) đi qua A,M,N có phương trình là P :
x
z
y 1.
m
n
2
2
1 1 m n mn.
m
n
Ta có AM m; 1;0 , AN 0; 1; n AM, AN n; mn; m .
Vì B 2; 1; 2 P
1
m2 n 2 m2 n 2
AM, AN
.
2
2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
Suy ra SAMN
mn m n 2 mn m 2 n 2 4mn mn 4.
Do đó m 2 n 2 m 2 n 2 2mn m 2 n 2 24 SAMN 6.
x
z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m n 2 P : y 1 P : x 2y z 2 0
2
2
Vậy mặt phẳng cần tìm là P : x 2y z 2 0
Câu 7 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho vectơ
a x1;y1;z1 ,b x 2 ;y 2 ;z2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
x1 x 2 0
A. a b y1 y 2 0
z z 0
1 2
C. a b x1 x 2 ;y1 y 2 ;z1 z2
B. ka kx1;ky1;kz1 x
D. a.b x1x 2 y1y 2 z1z2
Đáp án D
Em có: a.b x1x 2 y1y 2 z1z2
Đáp án D sai, còn các đáp án A, B, C đều đúng
Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt cầu (S) có
phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0 . Khi đó (S) có:
A. tâm I 2;4; 6 và bán kính R 58 .
B. tâm I 2; 4;6 và bán kính R 58 .
C. tâm I 1;2; 3 và bán kính R 4 .
D. tâm I 1; 2;3 và bán kính R 4 .
Đáp án D
Phương trình mặt cầu có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 có tâm I a; b; c , bán
kính R a2 b2 c2 d
I 1; 2;3 , R 12 2 32 2 16 4 .
2
Câu 9: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;2;3 . Tìm tọa
độ của điểm M trên trục tung sao cho AM 5 .
A. M 0;6;0 , M 0;2;0
B. M 0;6;0 , M 0; 2;0
C. M 0; 6;0 , M 0; 2;0
D. M 0; 6;0 , M 0;2;0
Đáp án B
Gọi M 0;b;0 Oy
Em có: AB 5 AB2 25
b 2 4
b 6
2
2
2
2
0 0 b 2 0 3 25 b 2 16
b 2 4 b 2
M 0;6;0
M 0; 2;0
Câu 10(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
a 4;3; 2 ,b 6;5;1 ,c x;2x;3x 2 . Để ba vectơ a , b , c đồng phẳng thì giá trị của x
là:
A.
4
13
B.
13
4
Đáp án C
Em có: a,b 13; 16;2
Ba vectơ a,b,c đồng phẳng thì
C.
4
13
D.
13
4
a,b .c 0
13x 32x 6x 4 0
13x 4
Câu 11(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
x
4
13
x t
M 0;5; 3 và đường thẳng d : y 3 t . Tổng tọa độ điểm M’ là hình chiếu
z 2
song song của M trên (Oxz) theo phương d là:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Đáp án A
Đường thẳng d có vtcp ud 1; 1;0 .
x t
quaM 0;5; 3
Đường thẳng :
: y 5 t .
z 3
vtcpu ud 1; 1;0
Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (Oxz) M ' Oxz M ' 5;0; 3 .
Vậy tổng tọa độ của điểm M’ là 2.
Câu 12: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M a;b;c , a 0 thuộc đường thẳng d : x 3
y 2 z 1
. Hình chiếu song song của điểm
1
2
x 3 t
M trên mặt phẳng P : x 5y 2 0 theo phương của đường thẳng : y 1 2t là điểm
z 3t
M’ sao cho MM ' 14 . Tính giá trị của biểu thức T a b c là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án A
Vì M d nên M t 3; t 2;2t 1 ,t
Đường thẳng có vtcp u 1;2; 3 .
quaM t 3; t 2;2t 1
x t 3 y t 2 z 2t 1
d' :
Đường thẳng d' :
.
1
2
3
vtcpud' u 1;2; 3
1 2
5
M’ là hình chiếu song song của M trên (P) M ' d' P M ' t 2; t; t 2 .
9 3
9
2
2
2
4
8
4
Em có: MM ' 14 t 1 t 2 t 3 14
9
9
3
224 2 112
t
t 14 14
81
9
9 M 3 ; 5 ; 8
t
2 2 2
M 3; 2;1
t 0
Mà a 0 nên M 3; 2;1 .
Vậy T a b c 3 2 1 0 .
Câu 13: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A 0;4;1 ,B 1;2; 1 và đường thẳng d :
x 1 y 1 z
. Trên d lấy điểm M sao cho diện
2
1 3
tích tam giác ABM đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi M’ là điểm đối xứng với điểm M qua đường
thẳng AB. Tổng tọa độ của điểm M’ là:
A.
7
19
B.
Đáp án B
M d M 2t 1; t 1;3t .
14
9
C.
17
9
D. 2
AM 2t 1; t 3;3t 1
AM,BM 8t 4; t 3;5t 5 .
Em có:
BM 2t 2; t 1;3t 1
1
1
1
2
2
2
SABM . AM,BM . 8t 4 t 3 5t 5 . 90t 2 120t 50
2
2
2
10
10
2
. 3t 2 1
t .
2
2
2
1 5
Dấu “=” xảy ra khi t M ; ; 2 .
3
3 3
x t
quaA 0;4;1
Đường thẳng AB:
AB : y 4 2t
z 1 2t
vtcpu AB 1; 2; 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng AB.
1
7
H t;4 2t;1 2t MH t ;2t ;2t 3 .
3
3
Em có:
1
7
11
11 14 13
MH AB MH.AB 0 t 2. 2t 2. 2t 3 0 t H ; ;
3
3
9
9
9 9
19 13 8
H là trung điểm của MM’ nên M ' ; ; .
9 9 9
14
Vậy tổng tọa độ của điểm M’ là: .
9
Câu 14(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
P 2; 1;3 ,Q 3;2;1 . Gọi là mặt phẳng chứa P và cách Q một khoảng dài nhất. Phương
trình mặt phẳng là
A. 3x y z 2 0.
B. x 3y 2z 7 0.
C. x 2y 3z 18 0.
D. 6x 2y 3z 1 0.
Đáp án B
Mặt phẳng có phương trình dạng Ax By Cz D 0 (điều kiện A 2 B2 C2 0 )
Vì P thuộc nên 2A B 3C D 0 D 2A B 3C
Khoảng cách từ Q đến mặt phẳng là
d Q,
3A 2B C D
A 2 B2 C2
A 3B 2C
A 2 B2 C2
12 32 2 . A 2 B2 C2
2
A 2 B2 C2
A B C
Như vậy khoảng cách từ Q đến lớn nhất d 14 khi
.
1 3 2
14
Do A, B, C không đồng thời bằng 0 nên chọn A 1,B 3,C 2, D 7 .
Phương trình mặt phẳng : x 3y 2z 7 0
Câu 15: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB?
A. b 1;0; 2
B. c 1; 2; 2
C. d 1;1; 2
D. a 1;0; 2
Đáp án A
Ta có AB x A x B ; y A y B ; z A z B 1;0; 2 .
Vậy b 1;0; 2 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Câu 16: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y z 5 0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?
A. Q 2; 1;5 .
B. P 0;0; 5 .
C. N 5;0;0 .
D. M 1;1;6 .
Đáp án D
Ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P):
Với Q 2; 1;5 : 2 2. 1 5 5 4 Q P
Với P 0;0; 5 : 0 0 5 5 10 P P
Với N 5;0;0 : 5 0 0 5 10 N P
Với M 1;1;6 : 1 2 6 5 0 M P .
Câu 17: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
I(1;2;3) và mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0. Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H. Tìm
tọa độ H.
A. H 1; 4; 4 .
B. H 3;0; 2 .
C. H 3;0; 2 .
Đáp án C
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n 2; 2; 1
Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH
Vì IH P nên u n 2; 2; 1
Phương trình đường thẳng IH qua I(1;2;3) và có vectơ chỉ phương
x 1 2t
u 2; 2; 1 là y 2 2t
z 3 t
Tọa độ của H IH là H 1 2t; 2 2t;3 t
D. H 1; 1;0 .
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H nên H P
Khi đó 2 1 2t 2 2 2t 3 t 4 0 t 1 H 3;0; 2
Câu 18(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 3; 1;1 và vuông góc với đường
thẳng :
x 1 y 2 z 3
?
3
2
1
A. 3x 2y z 12 0. B. 3x 2y z 8 0. C. 3x 2y z 12 0. D. x 2y 3z 3 0.
Đáp án C
x 1 y 2 z 3
có véc tơ chỉ phương là u 3; 2;1
3
2
1
Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua M và vuông góc với đường thẳng
x 1 y 2 z 3
:
nên nhận u 3; 2;1 làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
3
2
1
3 x 3 2 y 1 1 z 1 0 3x 2y z 12 0
:
Câu 19(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A 2;0; 2 , B 3; 2; 4 , C 2; 2;0 . Điểm D trong mặt phẳng Oyz có tung độ dương và
cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt
phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là:
A. D 0; 3; 1
B. D 0;1; 1
C. D 0; 2; 1
Đáp án D
D Oyz D 0; y 0 ; z 0 , điều kiện z 0 0.
Phương trình Oxy : z 0 d D, Oxy z 0 z 0 1.
Suy ra z 0 1 D 0; y 0 ; 1 .
Ta có AB 1; 1; 2 , AC 4; 2; 2 , AD 2; y 0 ;1 .
Suy ra AB, AC 2;6; 2 AB, AC .AD 6y 0 6
VABCD
1
6
y 3
AB, AC .AD y 0 1 2 0
y 0 1
Suy ra D 0;3; 1 hoặc D 0; 1; 1 (loại)
D. D 0;3; 1
Câu 20(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm
A 0; 2; 4 , B 1; 2; 3 và mặt phẳng P : x y z 0. Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P)
và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc
một đường tròn cố định. Bán kính R của đường tròn đó là:
A. R
38
.
2
B. R
3
.
2
1
C. R .
2
D. R
3 3
.
2
Đáp án A
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có vtpt là: n p 1;1;1 .
qua A 0; 2; 4
AK : x y 2 z 4.
Đường thẳng AK :
u
n
1;1;1
AK
p
Mà K AK P K 2;0; 2 .
AK d
Ta có:
KH d KHB 90. Vậy điểm H luôn thuộc đường tròn đường
AH d
kính BK cố định. Bán kính của đường tròn đó là: R
BK
38
.
2
2
Câu 21(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường
x 3 2t
z 3
. Phương trình
thẳng d1 và d 2 có phương trình: d1 : y 2 t và d 2 : x 2 y 1
2
z 1 t
mặt phẳng (P) chứa d1 và tạo với d 2 một góc lớn nhất là:
A. 4x y 7z 3 0. B. 4x y 7z 3 0. C. 4x y 7z 3 0. D. 4x y 7z 3 0.
Đáp án B
Ta có:
P , d d , d P , d
2
1
2
2 max
d1 , d 2 khi d1 là hình chiếu vuông góc của d 2
trên (P).
Đường thẳng d1 có vtcp u1 2;1;1 .
Đường thẳng d 2 có vtcp u 2 1;1; 2 .
Ta có: A d1 d 2 A 1;0;1 .
Q P
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d1 và d 2
n Q u1 , u 2 1; 3;1
qua A 1;0;1
Mặt phẳng P :
n P n Q , u1 4;1;7
Phương trình mặt phẳng P : 4x y 7z 3 0.
Câu 22GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian Oxyz, cho vectơ a 2 2; 1; 4 .
Vectơ b ngược hướng với a và có b 10 . Gọi (x, y, z) là tọa độ của b . Lựa chọn phương
án đúng.
A. xyz 64 2.
B. xyz 64 2.
C. xyz 8 2.
D. xyz 8 2.
Đáp án A
Do vectơ b ngược hướng với a nên b k.a , k 0 . Suy ra: b k . a k a .
Em dễ dàng tính được: a 5 và b 10 gt .
Từ đó suy ra: k 2 và b 4 2; 2; 8
Câu 23: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;1;0 ,
B 2; 4;1 . M là điểm trên trục Oy và MA MB . Lựa chọn phương án đúng.
11
A. M 0; ;0 .
6
11
B. M 0; ;0 .
10
11
C. M 0; ;0 .
6
11
D. M 0;0; .
2
Đáp án A
Em cần nhớ điểm thuộc trục Oy có hoành độ và cao độ đều bằng 0. Do vậy em sẽ gọi
tọa độ điểm M là 0; m;0 .
Khi đó em có:
MA
3 0 1 m 0 0
MB
2 0 4 m 1 0
2
2
2
2
2
m 2 2m 10
2
m 2 8m 21
11
.
6
Câu 24: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng
Do MA MB nên
m 2 2m 10 m 2 8m 21 m
hàng A 0;1;1 , B 1;0; 2 , C 1;1;0 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
A.
6
.
5 3 2
B.
C.
2 6
.
5 3 2
D.
2
6
5 3 2
6.
.
5 3 2 .
Đáp án A
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, 2p là chu vi của tam giác đó thì
S
SABC pr r ABC .
p
Em có: BA 1;1; 1 , BC 0;1; 2 , CA 1;0;1 .
SABC
Suy ra: r
1
6
BA, BC
, 2p AB BC AC 3 5 2.
2
2
6
.
5 3 2
Câu 25(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho là mặt
x 12 3t
x 1 y 2 z 1
phẳng chứa hai đường thẳng d1 :
và d 2 : y t
. Phương trình mặt
3
1
2
z 10 2t
phẳng là
A. 15x 11y 17z 54 0.
B. 15x 11y 17z 10 0.
C. 15x 11y 17z 24 0.
D. 15x 11y 17z 10 0.
Đáp án D
Đường thẳng d1 đi qua M 1 1; 2; 1 và có VTCP u1 3; 1;2 .
Đường thẳng d2 đi qua M 2 12;0;10 và có VTCP u2 3;1; 2 .
Như vậy: u1 u2 ,M 1 d2 . Suy ra d1//d2.
Chú ý: Hai đường thẳng d1 và d2 song song nên em không thể lấy tích có hướng của hai
VTCP để tìm VTPT của mặt phẳng vì tích có hướng của hai vectơ cùng phương là vectơkhông.
Gọi n là một VTPT của mặt phẳng thì vuông n góc với hai vectơ không cùng
phương u1 3; 1;2 và M 1M 2 11;2;11 . Chọn n u1,M 1M 2 15; 11;17 .
Vì vậy phương trình của là:
15 x 1 11 y 2 17 z 1 0 15x 11y 17z 10 0.
Câu 26(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;1; 2 và hai
mặt phẳng P : 3x y 1 0 , Q : x 2z 3 0 . Phương trình đường thẳng d qua điểm A
đồng thời song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q) là
x 2 t
A. y 6 t .
z 1 2t
x 5 2t
B. y 13 6t .
z t
x 1 2t
C. y 1 6t .
z 2 t
x 2 t
D. y 6 t .
z 1 2t
Đáp án B
Mặt phẳng (P) có VTPT n P 3; 1;0 , mặt phẳng (Q) có VTPT n Q 1;0; 2 .
n P , n Q 2;6;1 .
Đường thẳng d cần tìm có một VTCP là: u n P , n Q 2;6;1 .
x 1 2t
Vì A 1;1; 2 d nên phương trình của đường thẳng d là: y 1 6t
z 2 t
Câu 27(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S : x 2 y 2 z 2 2x 2y 4z 3 0 . Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc mặt cầu (S)?
A. P : 2x y 2z 3 0.
B. Q : 2x 2y z 7 0.
C. R : 3x 4y 10 0.
D. T : x 2y 5z 11 0.
Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 1; 2 và bán kính R 3 .
Kiểm tra thấy tâm I thuộc hai mặt phẳng (P) và (T) Loại A, D.
Tính khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng (Q) và (R) em được:
d I, Q
d I, R
2.1 2. 1 2 7
22 22 12
3.1 4. 1 10
3 4 0
2
2
2
3R
11
R
5
Câu 28(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A 1;0;0 và mặt cầu
S : x 2 y 2 z 2 2x 4y 3 0 . Có bao nhiêu tiếp tuyến
và vuông góc với đường thẳng d :
A. 1
của (S) biết đi qua điểm A
x 1 y z
2
1 1
B. 0
C. 2
D. 3
Đáp án C
Để tìm đường thẳng đã cho trước hết ta cần xác định mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
góc với d. Khi đó đường thẳng cần tìm nằm trên (P).
Mặt cầu (S) có tâm I 1;2;0 , bán kính R 2 .
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u 2;1;1 .
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d suy ra nP u 2;1;1 .
Phương trình mặt phẳng P : 2 x 1 y z 0 P : 2x y z 2 0 .
Giả sử tiếp điểm và mặt cầu (S) là điểm M x;y;z
M P
M S
2
2
2
MA IA IM 2 2 2
1
x
2x y z 2 0
x 1
5 M 1;1; 1
2
2
2
Ta có hệ phương trình: x y z 2x 4y 3 0 y 1 y 1 1 3 .
M ;1;
z 1
2
2
2
3 5 5
x 1 y z 2
z
5
x 1
+ TH1: Nếu M 1;1; 1 AM 0;1; 1 : y t .
z t
x 1 y z
1 3 4 3
+ TH2: Nếu M ;1; AM ;1; :
.
4 5 3
5 5
5 5
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
x 1
x 1 y z
: y t hoặc :
4
5 3
z t
Câu 29: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;1;3 và
B 1;3; 1 và mặt phẳng (P) có phương trình x 2y z 1 0 . M là điểm trên mặt phẳng (P)
thỏa mãn MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là
3 1
A. M ;1; .
2 2
5
3
B. M ;1; .
2
2
C. M 1;1;0 .
D. Không có M.
Đáp án A
Thay tọa độ điểm A, B vào biểu thức vế trái của phương
trình
P:1 2.1 3 11 2.3 1 1 0
A, B nằm cùng phía đối với (P).
Gọi A ' x ';y ';z' đối xứng A qua (P), K là trung điểm của
AA ' .
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP 1; 2; 1 . Khi đó:
1 y ' 3 z'
1 x '
2 2. 2 2 1 0 k 1
K P
x ' 2
x
'
1
k
y ' 1 2k
y ' 1
AA ' knP
z' 2
z' 3 k
. Vậy A ' 2; 1;2
MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M I là giao điểm của A 'B và (P).
Điểm I x;y;z thỏa mãn
x 2y z 1 0
1
t
x
2
t
1
2
I P
2
3 1
I ;1;
2 2
A 'I tA 'B y 1 t 3 1
x 3 ;y 1;z 1
z 2 t 1 2
2
2
3 1
Vì M I M ;1;
2 2
Cách giải nhanh:
A P
AB / / P .
Kiểm tra được
AB.nP 0
Do đó I là trung điểm của A 'B
Câu 30(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
P : 2x y 2z 3 0 . Mặt phẳng (Q) chứa
x 2 y 1 z
và mặt phẳng
2
1
1
và tạo với (P) một góc nhỏ nhất, điểm nào
sau đây thuộc mặt phẳng (Q).
10
A. 1;1;
13
Đáp án A
1
B. 2;3;
10
1
C. ; 2;0
13
3
D. ;1; 2
10
Đường thẳng có VTCP u 2;1; 1 .
Mặt phẳng (P) có VTPT nP 2;1; 2 .
Gọi A P A 2;1;0 .
Gọi d P Q .
Lấy I , H là hình chiếu của I lên (P).
Dựng HE vuông góc với d.
là góc giữa (P) và (Q).
Suy ra IEH
IH IH
. Dấu “=” xảy ra khi E A .
EH AH
Khi đó đường thẳng d vuông góc với tại A. Chọn ud u ,nP 1;6;4 .
Em có: tan
Như vậy (Q) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và .
Do đó (Q) đi qua A và nhận vectơ uQ u ,ud 10; 7;13 .
Phương trình mặt phẳng Q :10 x 2 7 y 1 13z 0 10x 7y 13z 13 0
Câu 31(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho đường thẳng d có phương trình
x
1
y
1
z1
1
. Tìm
khoảng cách từ điểm A 1; 0; 0 đến đường thẳng d?
A. 1
B.
1
2
C.
2
3
D.
1
3
Đáp án C.
Cách 1. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
AM,U
d
d A,d =
Ud
Lấy M 0; 0;1 thay vào công thức ta được khoảng cách
2
3
Cách 2.
Để ý thấy d qua M 1;1; 0 và N 0; 0;1 nên tam giác AMN là tam giác vuông tại A, Và
khoảng cách cần tìm là đường cao của tam giác đó có hai cạnh góc vuông là 1 và
2 . Nên
2
3
Câu 32(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
khoảng cách là
M 2; 1; 0 và mặt phẳng Q : 2x 2y z 1 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và
tiếp xúc với mặt phẳng (Q)
A. S : x 2 y 1 z2
7
3
B. S : x 2 y 1 z2
7
3
C. S : x 2 y 1 z2
49
9
D. S : x 2 y 1 z2
49
9
2
2
2
2
2
2
2
2
Đáp án C.
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n 2; 2; 1
Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên có bán kính
R d M , Q
2.2 2 1
4 41
7
3
49
9
Câu 33(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
Phương trình mặt cầu S : x 2 y 1 z2
2
2
P : x 6y z 2017 0 và điểm A1; 2; 1 . Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông
góc với (P) là:
x 1 t
A. : y 2 6t
z 1 t
x 1 t
B. : y 2 6t
z 1 t
x 1 t
C. : y 6 2t
z 1 t
x 1 t
D. : y 6 2t
z 1 t
Đáp án A.
Ta có vuông góc với P VTCP của là u0 1; 6;1 .
x 1 t
Vậy : y 2 6t
z 1 t
Câu 34(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm
x 1 t
M 2;1; 4 . Điểm H thuộc đường thẳng : y 2 t t sao cho đoạn MH ngắn nhất
z 1 2t
có tọa độ là:
A. 2;3;2
B. 3;2;3
Đáp án D.
M 2;1; 4 , H d H 1 t;2 t;1 2t
MH 1 t;1 t; 3 2t
Mà: ad 1;1;2
C. 3;3;2
D. 2;3;3
MH ngắn nhất MH d MH .ad 0
1 t 1 t 6 4t 0 t 1 H 2;3;3
Bình luận: Nhận thấy ở các đáp án chỉ có điểm
H 2;3;3 d .
Câu 35(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x 2 y 1
2
2
z2 1 và mặt phẳng Q :2x 2y z 1 0 . Viết phương trình mặt
cầu S đối xứng với mặt cầu S qua mặt phẳng Q
2
2
2
2
7
2
B. x y z 1
3
3
3
2
2
2
2
7 2
D. x y z 1
3
3
3
2
7 2
A. x y z 1
3
3
3
2
7 2
C. x y z 1
3
3
3
2
2
2
2
2
2
Đáp án D.
Mặt cầu S1 có tâm M 2;1; 0 và có bán kính R1 1
Gọi M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Q)
Ta có MM Q nên đường thẳng MM đi qua điểm M và nhận vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (Q) làm vectơ chỉ phương.
x 2 2t
phương trình tham số đường thẳng MM : y 1 2t , t
z t
Vì M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Q M MM Q
tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình:
1
t 3
2x 2y z 1 0 2 2 t 2 1 2t t 1 0
4
x
x 2 2t
x 2 2t
3
y 1 2t
y 1 2t
y 5
z t
z t
3
1
z
3
4 5 1
M ; ;
3 3 3
Gọi I x; y; z là tâm của mặt cầu S , do mặt cầu S đối xứng với mặt cầu S qua mặt
phẳng Q I đối xứng với M qua mặt phẳng (Q)
I đối xứng với M qua mặt phẳng M
M là trung điểm của đường thẳng IM.
2
x 2xM xM 3
2 7 2
7
y 2yM yM I ; ;
3
3 3 3
2
z 2zM zM 3
Khi đó mặt cầu
2
S
2
2 7 2
có tâm I ; ; , bán kính R R 1 nên có phương trình:
3 3 3
2
2
7 2
x y z 1
3
3
3
Câu 36(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng d :
x 1 y 3 z
và điểm I 2;1; 1 . Tọa độ điểm M a; b; c có hoành độ nguyên
2
3 2
thuộc đường thẳng d sao cho IM 6 . Tính tổng S a 3b 2017c . Chọn đáp án đúng
A. 2009
B. –8
C. 4
D. 2015
Đáp án B.
x 1 2t
d : y 3 3t , t R M d M 1 2t;3 3t;2t IM 2t 1;2 3t;2t 1
z 2t
Từ giả thiết: IM 6
2t 1 2 3t 2t 1 6 4t 2 4t 1 4 12t 9t 2 4t 2 4t 1 6
2
2
2
t 0
17t 12t 0 12
t
17
2
Với t1 0 M 1;3; 0 ; với t
41 15 24
12
M ; ; (loại)
17
17 17 17
Câu 37: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
M 0;0;1 , N 0;1;0 , P 1;0;0 , Q 3; 1; 2 . Góc giữa hai đường thẳng MN và PQ có số đo
bằng:
A. 30
B. 45
C. 60
D. 135
Đáp án B
Em có: MN 0;1; 1 , PQ 2; 1; 2
MN.PQ
0 1 2
1
cos MN, PQ cos MN, PQ
2.3
2
MN . PQ
Câu 38: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho mặt cầu S có tâm I 2;1; 1 và tiếp xúc với mặt
phẳng có phương trình 2x-2y-z +3 = 0. Bán kính mặt cầu S là
A.
2
9
B. 2
C.
2
3
D.
4
3
Đáp án B
Ta có: bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng là khoảng cách từ I đến mặt
phẳng
R d I;
2.2 2.1 (1) 3
2
4 4 1
Câu 39: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 1; 2;3 , B 2;1;0 . Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua B.
A. 3;0; 3
B. 3; 4;3
Đáp án D
Gọi C x C ; y C ; z C
Em có: C đối xứng với A qua B
B là trung điểm của AB
C. 5;0;3
D. 5;0; 3
- Xem thêm -