Mô tả:
Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Bạn Huyền gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng trong
10 năm. Có 2 hình thức để lựa chọn.
Hình thức 1: Lãi suất là 5% 1 năm.
5
Hình thức 2: Lãi suất % 1 tháng.
12
Biết rằng trong suốt thời gian 10 năm lãi suất ngân hàng luôn ổn định theo từng hình thức
chọn gửi. Khẳng định nào sau đây là đúng? (số tiền làm tròn đến nghìn đồng)
A. Cả 2 hình thức có số tiền lãi như sau là 6.289.000 đồng.
B. Số tiền lãi của hình thức 2 cao hơn 181.000 đồng.
C. Số tiền lãi của hình thức 1 cao hơn 181.000 đồng.
D. Cả 2 hình thức có cùng số lãi là 6.470.000 đồng.
Đáp án B.
- Số tiền sau 10 năm với lãi suất 5%/ năm là:
10000000 (1 + 5% ) = 16280000 đồng
10
- Số tiền sau 10 năm với lãi suất
5
% / tháng là:
12
120
5
10000000 1 + %
12
= 16470000 đồng
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2018x là:
2018x
f ( x ) dx =
+C
ln 2018
A.
C.
f ( x ) dx = 2018 .ln 2018 + C
B.
x
D.
2018x +1
f ( x ) = dx =
+C
x +1
x.2018x
f ( x ) dx =
+C
ln 2018
Đáp án A.
4
Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Có
cos x
1
sin x + cos x dx = a + b ln c với a, b, c
0
a 2 + b + c là:
A. 14
B. 66
C. 66 + 2
Đáp án D.
4
4
1
1
sin x + cos x ) + ( cos x − sin x )
(
cos x
2
dx
0 sin x + cos x dx = 0 2
sin x + cos x
D. 70
thì
=
4
4
1
1 cos x − sin x
1 4 1 4 d ( sin x + cos x )
dx
+
dx
=
x +
2 0
2 0 sin x + cos x
2 0 2 0 sin x + cos x
4
1
1
1
= + ln ( sin x + cos x ) = + ln 2 = + ln 2
8 2
8 2
8 4
0
a 2 + b + c = 70 .
Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x.e x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 thì diện tích hình ( H ) là:
A. S = e −
1
2
B. S = 2e −1
C. S = 1
D. S =
e
2
Đáp án C.
Ta có x.e x = 0 x = 0
1
1
0
0
Diện tích hình ( H ) là S = x.e x dx = x.e x dx = 1
Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên thì công
thức tính diện tích hình phẳng phần tô đậm trong hình là:
b
A. S = f ( x ) dx
a
0
b
a
0
0
b
a
0
B. S = f ( x ) dx + f ( x ) dx
C. S = f ( x ) dx − f ( x ) dx
0
b
a
0
D. S = f ( x ) dx − f ( x ) dx
Đáp án C.
Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
tan xdx = − ln cos x + C .
x
x
C. sin dx = 2 cos + C .
2
2
Đáp án A
Cách 1: Tư duy tự luận
B. cot xdx = − ln sin x + C .
x
x
D. cos dx = −2sin + C .
2
2
Phương án A: tan xdx =
d ( cos x )
sin x
dx = −
= − ln cos x + C .
cos x
cos x
Phương án B: cot xdx =
d ( sin x )
cos x
dx =
= ln sin x + C .
sin x
sin x
x
x
x
Phương án C: sin dx = − 2d cos = − 2 cos + C .
2
2
2
x
x
x
Phương án D: cos dx = 2d sin =2sin + C .
2
2
2
Vậy phương án A đúng.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như
hình vẽ dưới đây
2
A. S = 2 3 − .
3
B. S =
28
.
3
C. S =
29
.
3
Đáp án A
Cách 1: Xét phương trình: x 2 = 3 x = 3; x 2 = 1 x = 1 .
Quan sát hình vẽ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 3, x = 0 là
1
D. S = 3 2 − .
3
0
x3
0
2
x
−
3
dx
=
−
3
x
= 2 3 (đvdt).
(
)
3
−
3
− 3
0
S1 =
x 2 − 3 dx =
− 3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 1, x = 0 là
0
S2 =
x
0
2
− 1 dx =
−1
(
−1
x3
0
2
x − 1 dx = − x
= (đvdt).
3
−1 3
2
)
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S = S1 − S 2 = 2 3 −
2
(đvdt).
3
y 0
Cách 2: Ta có y = x 3
. Từ hình vẽ ta thấy x 0 x = − y .
x = y
Diện tích hình phẳng cần tính là:
3
3
1
1
S = − y − 0 dy = ydy =
2 y3 3
2
= 2 3 − (đvdt).
3 1
3
Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
1
1
1
0
0
0
x
f ( x ) dx = 9 và f ( x ) dx = 2 . Tính giá trị của biểu thức I = f 3 + f (3x ) dx
A.
92
.
3
B. −4 .
C. 9.
D. −9 .
Đáp án A
9
Dễ thấy
1
9
0
1
f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = 9 + 2 = 11 .
0
x
x
Ta có I = f + f ( 3x ) dx = f dx + f ( 3x ) dx = I1 + I 2 .
3
3
0
0
0
3
3
3
x
x
* Tính I1 = f dx : Đặt t = dx = 3dt . Đổi cận x = 0 t = 0; x = 3 t = 1 .
3
3
0
3
1
1
0
0
Khi đó I1 = 3 f ( t ) dt = 3 f ( x ) dx = 3.9 = 27 .
3
1
* Tính I 2 = f ( 3x ) dx : Đặt t = 3x dx = dt . Đổi cận x = 0 t = 0; x = 3 t = 9 .
3
0
9
Khi đó I 2 =
9
11 92
1
1
11
.
f ( t ) dt = f ( x ) dx = . Vậy I = I1 + I 2 = 27 + =
3
3
30
30
3
và
e
ln 2 x
dx
x
1
Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính tích phân I =
1
A. I = .
6
1
D. I = .
4
1
C. I = .
3
1
B. I = .
8
Đáp án C
Cách 1: Tư duy tự luận
dx
= dt .
x
x = 1 t = 0; x = e t = 1 .
ln x = t
Đặt
1
Khi đó I = t 2 dt =
0
Đổi
cận
t3 1 1
= .
3 0 3
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =
2
f ( x ) dx
−
A. I =
4
.
3
B. I =
và thỏa mãn
2
1
.
3
C. I =
2
.
3
D. I = 1 .
Đáp án C
Cách 1: Thay x bởi − x ta được f ( x ) + 2 f ( − x ) = cos ( − x ) = cos x . Kết hợp với giả thiết ta
có f ( − x ) + 2 f ( x ) = f ( x ) + 2 f ( − x ) f ( x ) = f ( − x ) .
1
Suy ra f ( x ) = cos x . Vậy I =
3
2
2
1
2
f ( x ) dx = 3 cos xdx = 3 .
−
2
−
2
2
Cách 2: Từ giả thiết ta có
f ( − x ) + 2 f ( x ) dx = cos xdx
−
2
2
2
2
−
2
2
2
2
2
f ( − x ) dx + 2 f ( x ) dx = 2 f (t ) dt + 2 f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx = 3.
−
2
−
2
−
2
−
2
−
2
Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 .
2
+C
B.
f ( x ) dx = x
2
+C
D.
f ( x ) dx = 2 ( 2 x + 1)
A.
f ( x ) = dx = ( 2x + 1)
C.
f ( x ) dx = 4 ( 2 x + 1)
1
2
+ 2x + C
1
2
+C
Đáp án C.
1
( 2 x + 1) dx = 4 ( 2 x + 1)
2
+C
x
Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = cos tdt
0
A. F ' ( x ) = x2 .cos x
B. F ' ( x ) = 2 x.cos x
C. F ' ( x ) = cos x
D.
F ' ( x ) = cos x − 1
Đáp án B.
Ta có G ( t ) = cos tdt
G ' ( t ) = cos t
F ' ( x ) = G ( x 2 ) − G ( 0 ) ' = 2 x.cos x
Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục và a 0 . Giả sử với
a
dx
.
1+ f ( x)
0
mọi x 0; a ta có f ( x ) 0 và f ( x ) . f ( a − x ) = 1. Tính I =
A. I =
a
2
B. I = 2a
C. I =
a
3
D.
I = a ln ( a + 1)
Đáp án A.
a
f ( t ) dt
dt
=
1 + f ( a − t ) 0 1 + f (t )
a
0
Đặt t = a − x I = −
a
2 I = dt I =
0
1 a
a
dt = .
2 0
2
Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác đều ABC có diện tích là
xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.
A. V = 2
7
V=
8
Đáp án A.
B. V =
7
C. V =
4
D.
3 quay
Do S ABC = 3 AB = BC = CA = 2
(
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sao cho O ( 0;0 ) , A (1;0 ) , C ( −1;0 ) , B 0; − 3
)
với O là
trung điểm của AC. Phương trình đường thẳng
AB : y = 3 ( x − 1)
Thể tích khối tròn xoay khi quay ABO quanh AC
là:
1
V ' = 3 ( x − 1) dx = V = 2V ' = 2
2
0
Câu 15*:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho
y = f ( x)
xác
f ( x ) 0, x
định
trên
,
thỏa
hàm
số
mãn
và f ' ( x ) + 2 f ( x ) = 0 . Tính f ( −1) , biết rằng f (1) = 1.
A. e −2
B. e3
C. e 4
D. e
Đáp án C.
Ta có f ' ( x ) + 2 f ( x ) = 0 f ' ( x ) = −2 f ( x )
1
Lấy tích phân hai vế, ta được
−1
f '( x)
= −2 (do f ( x ) 0 )
f ( x)
1
1
f '( x)
1
dx = −2 dx ln f ( x ) = −2 x −1
−
1
f ( x)
−1
ln f (1) − ln f ( −1) = −4 ln1 − ln f ( −1) = −4
ln f ( −1) = 4 f ( −1) = e 4
Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cắt một vật thể (T ) bởi hai mặt phẳng ( P ) và
( a b ) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc
với trục Ox tại điểm x ( a x b ) cắt (T ) theo thiết diện có diện tích là S ( x ) . Giả sử S ( x )
liên tục trên đoạn a; b . Thể tích V của phần vật thể (T ) giới hạn bởi mặt phẳng ( P ) và
(Q ) được cho bởi công thức nào dưới đây?
(Q)
vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b
b
A. V = S ( x ) dx .
b
B. V = S ( x ) dx .
b
C. V = 2 S ( x ) dx .
a
a
a
b
D. V = S 2 ( x ) dx .
a
Đáp án A.
Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
1
1
dx
1
= ln ( 2 x + 1) .
A.
2x +1 2
0
0
4
B.
0
4
dx
= 2x +1 .
0
2x +1
−1
C.
dx
4 .
=
tan
x
0 cos 2 x
0
4
dx
−1
−2 x = ln x −2 .
D.
Đáp án C.
−1
Ta có
−1
1
dx
= ln ( x ) −2 . Hơn nữa trên đoạn −2; −1 thì x < 0 nên một nguyên hàm của
phải
x
x
−2
là ln( − x) . Do vậy phương án sai là C.
Phân tích phương án nhiễu.
1
dx
2x + 1 = ln 2x + 1
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng
1
0
. Nhưng thực chất trên đoạn 0;1 thì
0
2x + 1 0 nên một nguyên hàm của
1
1
là ln(2x + 1).
2
2x + 1
4
Phương án B: Sai do HS hiểu rằng
0
(
4
0
)
2x + 1 ' =
dx
2x + 1
1
2 2x + 1
).
Nhưng
thực
dx
2x + 1
= 2 2x + 1
(
chất
)
4
0
2x + 1 ' =
(vì HS hiểu rằng
( 2x + 1) ' =
2 2x + 1
1
2x + 1
nên
4
= 2x + 1 .
0
dx
4.
=
cot
x
0 cos2 x
0
4
Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm rằng
Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) = ( 2 x − 1) sin
x
3
. Giá trị của
1
f − bằng
2
A.
3− 3
.
3
B. −1 − 3 .
C.
3
3
Đáp án D.
Ta có f ' ( x ) = 2sin
x ( 2 x − 1)
3
+
3
cos
x
3
3+ 3
1
( −1 − 1)
f ' − = 2sin − +
cos − = −
3
3
2
6
6
Phân tích phương án nhiễu.
.
D. −
3+ 3
.
3
1
Phương án A: Sai do HS tính đúng f ' ( x ) nhưng lại tính sai giá trị lượng giác sin − =
6 2
.
1 3− 3
Do đó tính được f ' − =
.
3
2
Phương án B: Sai do HS tính sai f ' ( x ) = 2sin
x
+ ( 2 x − 1) cos
3
x
3
nên tính được
f ' ( x ) = −1 − 3
x
x 2
Phương án C: Sai do HS tính sai f ' ( x ) = ( 2 x − 1) '. sin
nên tính được
cos
' =
3
3
3
1 3
.
f ' − =
3
2
Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính nguyên hàm I =
dx
x x2 + 4
bằng cách đặt
t = x2 + 4 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. I =
dt
.
t −4
2
B. I =
1
dt
.
2
2 t −4
C. I =
dt
.
t−4
D. I =
tdt
.
t −4
2
Đáp án A
x2 = t 2 − 4
.
Ta có t = x + 4
xdx = tdt
2
Suy ra I =
xdx
x2 . x2 + 4
=
tdt
dt
= 2
.
(t − 4) t t − 4
2
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Do sai HS tính sai vi phân. Cụ thể dt =
Phương án C: Sai do HS biến đổi sai I =
Phương án D: Sai do HS biến đổi sai I =
xdx
x . x +4
2
2
xdx
x . x +4
2
2
3
Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho
0
3
Tính I = 2 f ( x ) + 6 g ( x ) dx .
2
2x
x2 + 4
dx xdx =
=
tdt
dt
=
.
t − 4t
t −4
=
tdt
.
t −4
1
tdt.
2
2
2
f ( x ) dx = 5;
2
0
3
f ( t ) dt = 2; g ( x ) dx = 11 .
2
A. I = 72.
C. I = 60.
B. I = 80.
D. I = 63.
Đáp án A
3
Từ giả thiết, ta có
3
2
0
0
f ( x )dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx = 5 − 2 = 3.
2
3
3
2
2
Suy ra I = 2 f ( x ) dx + 6 g ( x ) dx = 2.3 + 6.11 = 72.
Phân tích phương án nhiễu.
3
Phương án B: Sai do HS tính sai
2
3
3
2
2
3
2
0
0
f ( x )dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = 7.
Suy ra I = 2 f ( x ) dx + 6 g ( x ) dx = 2.7 + 6.11 = 80.
Phương án C: Sai do HS tính sai
3
3
2
2
3
2
3
2
0
0
f ( x )dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx = −3.
Suy ra I = 2 f ( x ) dx + 6 g ( x ) dx = 2.(−3) + 6.11 = 60.
3
3
2
2
Phương án D: Sai do HS viết I = f ( x )dx + 6 g ( x)dx = 3 + 6.11 = 63
Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong có
phương trình y = x 2 − 4 x + 3 và đường thẳng y = x + 3 (phần
đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) .
A. S =
47
.
2
B. S =
39
.
2
C. S =
169
.
6
D. S =
109
.
6
Đáp án D.
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình
x + 3 0
x + 3 0
x2 − 4 x + 3 = x + 3 2
hoặc 2
x − 4x + 3 = x + 3
x − 4x + 3 = − ( x − 3)
x −3
x −3
x = 0
.
2
hoặc 2
x − 3x + 6 = 0 x = 5
x − 5x = 0
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3 với trục hoành là x = 1; x = 3.
5
3
0
1
Từ hình minh họa, ta có S = ( x + 3) − ( x2 − 4x + 3) dx + 2 ( x2 − 4x + 3)dx
5
(
3
)
(
)
= − x − 5x dx + 2 x2 − 4x + 3 dx =
2
0
1
125 8 109
− =
.
6 3
6
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS viết sai công thức tính diện tích. Cụ thể:
5
(
3
)
(
)
S = ( x + 3) − x2 − 4x + 3 dx − 2 x2 − 4x + 3 dx
0
5
1
(
3
)
(
)
= − x2 − 5x dx − x2 − 4x + 3 dx =
0
1
125 8 47
+ = .
6 3 2
Phương án B: Sai do HS viết sai công thức tính diện tích. Cụ thể:
5
(
3
)
(
)
S = ( x + 3) − x2 − 4x + 3 dx + x2 − 4x + 3 dx
0
5
(
1
3
)
(
)
= − x − 5x dx + x2 − 4x + 3 dx =
2
0
1
125 4 39
− = .
6 3 2
Phương án C: Sai do HS viết đúng công thức tính diện tích nhưng lại tính sai tích phân. Cụ
thể:
5
(
3
)
(
)
S = ( x + 3) − x2 − 4x + 3 dx + 2 x2 − 4x + 3 dx
0
5
(
1
3
)
(
)
= − x − 5x dx + 2 x2 − 4x + 3 dx
2
0
1
5
5
3
3
x3
5
2
169
3
=−
+ x2 + x3 − 2x2 + 3x 1 =
.
1
3 0 2 0 3 1
6
Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
2
1
1;2 thỏa mãn f ( 2 ) = 0, f ( x ) dx = 45 và
1
A. I = −
1
.
12
2
B. I = −
2
2
1
1 ( x − 1) f ( x ) dx = − 30 . Tính I = 1 f ( x ) dx .
1
.
15
C. I = −
Đáp án A.
2
Ta có −
2
2
=
(
1
1
2
= ( x − 1) f ( x)dx = f ( x)d ( x − 1)
30 1
21
1
1
2
2
2
( x − 1) f ( x) 1 − ( x − 1) f ' ( x ) dx
2
21
)
1
.
36
D. I =
1
.
12
2
( x − 1) f ' ( x ) dx =
2
1
2
Ta lại có
( x − 1)
4
dx =
1
1
.
15
1
1
5 2
( x − 1) 1 = .
5
5
Từ giả thiết và các kết quả ta có
2
2
2
9 f ' ( x ) dx − 6 ( x − 1) f ' ( x ) dx + ( x − 1) dx = 0.
2
1
2
4
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
Mặt khác:
2
2
2
4
2
9 f ' ( x ) dx − 6 ( x − 1) f ' ( x ) dx + ( x − 1) dx = 3 f ' ( x ) − ( x − 1) dx 0.
Do vậy xét trên đoạn 1;2 , ta có
3 f ' ( x ) − ( x − 1) = 0 f ' ( x ) =
2
Lại do f(2) = 0 nên C +
1
1
2
3
( x − 1) f ( x ) = ( x − 1) + C.
3
9
1
1
1
1
3
= 0 C = − f ( x) = ( x − 1) − .
9
9
9
9
2
2
2
1
1
1
1
3
4
Suy ra I = ( x − 1) − 1 dx = ( x − 1) − ( x − 1) = − .
91
36
9
12
1
1
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS sử dụng sai tính chất của tích phân. Cụ thể:
2
−
2
2
2
2
1
1
1
= ( x − 1) f ( x ) dx = ( x − 1) dx. f ( x ) dx = f ( x ) dx f ( x ) dx = − .
30 1
21
15
1
1
1
Phương án C: Sai do HS giải như trên nhưng khi tính I lại bị sai. Cụ thể:
2
2
2
1
1
1
1
3
4
I = ( x − 1) − 1 dx = ( x − 1) − ( x − 1) = − .
91
36
18
36
1
1
Phương án D: Sai do HS tìm sai hàm số f(x). Cụ thể:
3 f ' ( x ) − ( x − 1) = 0 f ' ( x ) =
2
Lại do f ( 2) = 0 nên C −
1
1
2
3
(1− x ) f ( x ) = (1− x ) + C.
3
9
1
1
1
1
1
3
= 0 C = f ( x ) = (1− x ) + . Do đó tính được I = .
9
9
12
9
9
Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
10 x3 − 7 x + 2
thỏa mãn F (1) = 5 . Giả sử rằng F ( 3) = a + b 5 , trong đó a , b là các
2x −1
số nguyên. Tính tổng bình phương của a và b.
f ( x) =
A. 121.
B. 73.
C. 265.
D. 361.
Đáp án C
1 2
x = ( t + 1)
Đặt t = 2 x − 1
.
2
dx = tdt
Do đó 10 x 2 − 7 x + 2 =
f ( x ) dx =
(
1 5t 4 + 3t 2 + 2
1
tdt = ( t 5 + t 3 + 2t ) + C
2
t
2
) (
1
=
2
5
2x −1 +
Suy ra F ( x ) =
F (1) = 5
1 4
( 5t + 3t 2 + 2 ) .
2
(
1
2
)
2 x − 1 + 2 2 x − 1 + C.
3
) (
5
2x −1 +
)
2 x − 1 + 2 2 x − 1 + C.
3
1
(1 + 1 + 2 ) + C = 5 C = 3.
2
1
F ( x) =
2
(
) (
5
2x −1 +
)
2 x − 1 + 2 2 x − 1 + 3.
3
F ( 3) = 3 + 16 5. Suy ra a = 3; b = 16 . Do đó a 2 + b 2 = 265.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai F ( 3) = 3 + 8 5 và hiểu sai tổng bình của 3 và 8 bằng
( 3 + 8)
2
= 121.
Phương án B: Sai do HS tính sai F ( 3) = 3 + 8 5 nên tính được kết quả là 73.
Phương án D: Sai do HS tính đúng nhưng hiểu sai tổng bình phương của 3 và 16 bằng
( 3 + 16 )
2
= 361.
Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2x + 3
là
x −1
A. 2 x + 5ln x −1 + C . B. 2 x2 − 5ln x − 1 + C . C. 2 x2 + ln x − 1 + C . D. 2 x2 + 5ln ( x − 1) + C .
Đáp án A.
Ta có
f ( x )dx =
2 ( x − 1) + 5
2x + 3
5
dx =
dx = 2 +
dx
x −1
x −1
x −1
= 2 x + 5ln x − 1 + C
3
Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tích phân
x
2
a , b, c
3
1
dx = a ln 3 + b ln 2 + c với
+ x2
. Tính tổng S = a + b + c
2
A. S = − .
3
7
B. S = − .
6
C. S =
2
.
3
D. S =
7
.
6
Đáp án D.
Phân tích
→
Ax ( x + 1) + B ( x + 1) + Cx 2
1
1
A
C
=
=
+
+
=
x3 + x 2 x 2 ( x + 1) x x 2 x + 1
x 2 ( x + 1)
( A + C ) x2 + ( A + B ) x + B .
1
=
x 2 ( x1)
x 2 ( x + 1)
Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình:
A + C = 0
A = −1
1
1
1 1
1
= 2
=− + 2 +
A + B = 0 B = 1 . Vậy 3
2
x +x
x ( x + 1)
x x
x +1
B =1
C =1
Lời giải chi tiết
3
1
1
1
x +1 1 3
1 1
dx
=
2 x3 + x2
2 x2 − x + x + 1 dx = ln x − x 2 = 3ln 2 − 2 ln 3 + 6 .
3
Ta có
Vậy a = −2, b = 3, c =
1
1 7
→ S = a + b + c = −2 + 3 + = .
6
6 6
Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay
xung quanh trục hoành một elip có phương trình
x2 y 2
+
= 1 . V có giá trị gần nhất với giá trị
25 16
nào sau đây?
A. 550.
B. 400.
C. 670.
D. 335.
Đáp án C
Ta có
x2 y 2
4
+
=1 y =
25 − x 2 .
25 16
5
Do elip nhận Ox, Oy làm các trục đối xứng nên thể tích V cần tính bằng 4 lần thể tích hình
4
25 − x 2 , y = 0 và các đường thẳng
sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y =
5
x = 0 , x = 5 quay xung quanh Ox .
2
640
4
25 − x 2 dx =
670, 2
Ta có V = 4
5
3
0
5
(đvtt).
3
Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính x 2 + − 2 x dx , ta có được kết quả là
x
A.
x3
4 3
+ 3ln x −
x +C
3
3
B.
x3
4 3
+ 3ln x −
x +C
3
3
C.
x3
4 3
+ 3ln x +
x +C
3
3
D.
x3
4 3
− 3ln x −
x +C
3
3
Đáp án A.
3
dx
x3
4 3
Ta có x 2 + − 2 x dx = x 2 dx + 3 − 2 xdx = + 3ln x −
x + C.
x
x
3
3
a
Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Giá trị của a thỏa mãn
x
x.e 2 dx = 4 là
0
B. a = 0
A. a = 1
D. a = 2
C. a = 4
Đáp án D.
x
u = x
du = dx
2
→
Đặt
x
x → I = 2 xe
dv = e 2 dx v = 2e 2
a
x a
→ I = 2a.e 2 − 4e 2
a
a
0
a
x
− 2 e 2 dx
0
a
= 2a.e 2 − 4e 2 + 4.
0
a
a
Từ giả thiết ta có 2a.e 2 − 4e 2 + 4 = 4 a = 2 .
Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho
2
4
−2
−2
f ( x ) dx = 1, f ( t ) dt = −4 .
4
I = f ( y ) dy
2
C. I = 3
B. I = −3
A. I = −5
D. I = 5
Đáp án A.
Ta có
4
Từ
−2
2
2
−2
−2
f ( x ) dx = 1 = f ( y ) dy
f ( y ) dy =
2
−2
và
4
4
−2
−2
f ( t ) dt = −4 = f ( y ) dy
4
4
2
2
f ( y ) dy + f ( y ) dy → I = f ( y ) dy
4
=
−2
2
f ( y ) dy − f ( y ) dy = −5
−2
Tính
Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Với giá trị nào của a để diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi ( C ) : y =
x2 − 2 x
, đường tiệm cận xiên của ( C ) và hai đường thẳng
x −1
x = a, x = 2a ( a 1) bằng ln 3 ?
B. a = 2
A. a = 1
D. a = 4
C. a = 3
Đáp án B.
Ta có đồ thị ( C ) : y =
x2 − 2 x
1
có đường tiệm cận xiên là y = x − 1
= x −1−
x −1
x −1
2a
Diện tích của hình phẳng cần tính là S =
a
2a
=
a
1
dx = ln x − 1
x −1
2a
a
x2 − 2 x
−1
− ( x − 1) dx =
dx
x −1
x −1
a
2a
2a − 1
2a − 1
= ln
= ln
do a 1.
a −1
a −1
2a − 1
2a − 1
= 3 a = 2.
Theo bài ra ta có ln
= ln 3
a −1
a −1
Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 2x
thỏa
F (0) =
mãn
1
.
ln 2
Tính
giá
trị
biểu
thức
T = F ( 0) + F (1) + F ( 2) + ... + F ( 2017 ) .
A. T = 1009.
22017 + 1
ln 2
B. T = 22017.2018
C. T =
22017 − 1
ln 2
D. T =
22018 − 1
ln 2
Đáp án D.
Ta có
F ( x ) = 2 x dx =
2x
+ C , mà
ln 2
F ( 0) =
1
C = 0 . Vậy
ln 2
F ( x) =
2x
.
ln 2
Vậy
2017
1
1 2 (1 − 2 ) 1
0
1
2
2017
T=
( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) = ln 2 1 + 1 − 2 = ln 2 ( 22018 − 1) .
ln 2
Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết
A. −22 .
3
3
2
2
f ( x)dx = 5 . Khi đó 3 − 5 f ( x)dx bằng:
B. −28 .
C. −26 .
D. −15 .
Đáp án B.
3
Ta có
2
3
3 − 5 f ( x )dx = 3dx − 5 f ( x ) dx = 3x
2
2
3
2
− 5.5 = 9 − 6 − 25 = −28
2
Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Nguyên hàm của hàm số y =
1
(a > 0) là:
x − a2
2
A.
x
2
C.
x
2
1
1 x−a
dx = ln
+C .
2
−a
a x+a
B.
x
2
1
x−a
dx = ln
+C .
2
−a
x+a
D.
x
2
1
1
x−a
dx =
ln
+C.
2
−a
2a x + a
1
1
x+a
dx =
ln
+C.
2
−a
2a x − a
Đáp án B.
Ta có
=
x
2
1
1 1
1
dx =
−
dx
2
−a
2a x − a x + a
1
1
x−a
ln x − a − ln x + a ) + C =
ln
+C
(
2a
2a x + a
3
f (3) = 3 ;
Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết
f ( x)dx = 14 .
Tính
0
1
I = 2 x. f '(3 x )dx .
0
A. I =
2
.
9
B. I =
10
.
9
C. I = −
10
.
9
2
D. I = − .
9
Đáp án C.
1
Đặt 3 x = t 3dx = dt dx = dt
3
Đổi cận: x = 0 t = 0 ; x = 1 t = 3
3
3
2t
1
2
2
. f ' ( t ) . dt = td ( f ( t ) ) = t. f ( t ) 30 − f ( t ) dt
3
3
90
9
0
0
3
I =
=
2
2
10
3. f ( 3) − 14 = ( 3.3 − 14 ) = −
9
9
9
Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x( x − 1)2 và trục hoành. Khi quay (H) quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể
tích là:
A.
1
.
12
B.
.
12
C.
1
.
105
D.
.
105
Đáp án D.
1
2
x = 0
2
x ( x − 1)2 dx =
v
=
x
x
−
1
=
0
Ta có: (
Thể tích (H) là:
)
x = 1
0
105
Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn
x 2 + ( y − a)2 R 2 (0 R a) khi quay quanh trục Ox là:
A. 8 2 aR 2 .
B. 4 2 aR 2 .
C. 2 aR 2 .
D. 2 2 aR 2 .
Đáp án D.
Ta có x2 + ( y − a ) = R2 y = a R2 − x 2
2
Nửa trên hình tròn có phương trình là y = a + R 2 − x 2
Nửa dưới hình tròn có phương trình là y = a − R 2 − x 2
Thể tích của hình xuyến là
V = V1 − V2 =
(
R
−R
a+ R −x
2
2
)
2
(
R
dx −
a− R −x
2
−R
2
)
2
R
dx = 4 a
R 2 − x 2 dx
−R
x = R sin t dx = R costdt
Đặt
x = − R t = − 2 ; x = R = t = 2
2
V = 4 a
−
2
R 2 − R 2 sin 2 t .R cos tdt = 4 aR 2
cos
−
2
2
tdt = 2 2 aR 2
2
Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) là
F ( x ) = x2 + 4 x + 1. Khi đó f ( 3) bằng:
A. 6
B. 10
C. 22
D. 30
Đáp án B.
f ( x ) = F ' ( x ) = 2 x + 4 f ( 3) = 10
Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
f ( x) =
1
, biết F ( 0) = − ln 2 . Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3 .
e +1
x
A. S = −3;3
B. S = 3
S = −3
Đáp án B.
1
ex
x
dx
=
dx
−
e x + 1 e x + 1 dx = x − ln ( e + 1) + C
Vì F ( 0 ) = − ln 2 C = 0 F ( x ) = x − ln ( e x + 1)
Xét phương trình F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3 x = 3
C. S =
D.
Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số thực a 0 . Đặt b =
a
1
( 2a + x ) e
x
dx . Tính
−a
2a
I=
0
ex
dx theo a và b.
3a − x
A. I =
b
ea
B. I =
b
e
C. I = b.e a
a
D.
a
I=
eb
Đáp án C.
a
a
dx = −dt
e a −t
1
I =
dt = e a .b
Đặt 3a − x = 2a + t
( −dt ) = e a .
t
x
=
a
−
t
2a + t
2a + t ) e
−a
−a (
Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
y = x + 2, y = x + 2, x = 1 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình ( H ) quanh
trục hoành.
A. V =
V=
27
2
B. V =
9
2
C. V = 9
D.
55
6
Đáp án D.
x = −2
Xét phương trình x + 2 = x + 2
x = −1
1
V = V1 + V2 với V1 = ( x + 2 ) dx = 9
2
−2
−1
V2 =
−2
(
x+2
Vậy V = 9 +
6
)
=
2
2
− ( x + 2 ) dx =
6
55
6
Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
2
1
2 f ( x) + 3 f (−x) =
. Tính tích phân I = f ( x ) dx .
4 + x2
−2
và thỏa mãn
A. I =
I =−
B. I = −
10
C. I =
10
D.
20
20
Đáp án C.
Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) =
2
2
−2
−2
2 f ( x ) dx + 3 f ( − x ) dx =
1
−2 4 + x2 dx 2I + 3−2 f ( − x ) dx = 4 .
2
2
x = −2 → t = 2
2
Xét J =
1
, ta được
4 + x2
f ( − x ) dx . Đặt t = −x dt = −dx . Đổi cận: x = 2 → t = −2
−2
−2
Suy ra J = − f ( t ) dt =
2
2
Vậy 2 I + 3 f ( − x ) dx =
2
2
−2
−2
f (t ) dt = f ( x ) dx = I .
−2
4
2 I + 3I =
4
I=
20
.
Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A.
n
n −1
x dx = n.x + C.
B.
n
x dx =
x n +1
+ C.
n +1
D. sin xdx = − cos x + C.
C. e x dx = e x + C.
Đáp án A.
b
Câu
43:(
GV
ĐẶNG VIỆT
ĐÔNG
2018)
Cho
x.cos x
x.sin x + cos xdx = m.
Tính
a
b
a
x.sin x + ( x + 1) cos x
dx.
x.sin x + cos x
A. I = a + b + m.
B. I = a − b + m.
C. I = b + a − m.
D. I = b − a + m.
Đáp án D.
b
b
a
a
I = dx +
x.cos x
dx = b − a + m .
x.sin x + cos x
Câu 44:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) có đạo hàm liên tục
trên a, b. Khi đó:
b
A.
f ( x ) .g ' ( x ) dx = f ( x ) .g ( x )
a
b
b
a
− f ' ( x ) .g ( x ) dx.
a
- Xem thêm -
.PDF 
29 
13 
56 
