(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x3 là:
Câu 1
A.
x4
+ C.
4
B.
x4
+ C.
2
C. 2 x 2 + x + C.
D.
x4
+ x + C.
4
Đáp án B
Áp dụng công thức: ax n dx =
Ta có:
3
2 x dx =
a n +1
x +C
n +1
2 4
x4
x +C = +C
4
2
1 + m ln t
dt = 0. Khi đó, điều nào sau đây đúng?
t
1
e
Câu 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết
B. −6 m −3.
A. m 1.
D. −3 m 0.
C. m −2.
Đáp án D
1 + m ln t
1
1
m
2
dt = (1 + m ln t ) d (1 + m ln t ) =
Ta có:
(1 + m ln t ) = + 1 = 0 m = −2
t
m1
2m
2
1
1
e
e
e
−3 m 0
5
Câu 3:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết I =
1
dx
được kết quả I = a ln3 + b ln5.
x 3x + 1
Giá trị của 2a 2 + ab + b 2 là:
A. 8.
B. 7.
C. 3.
D. 9.
Đáp án B
Cách 1: Đặt
3x + 1 = t 3x + 1 = t 2 dx =
2
dt
3
Đổi cận x = 1 t = 2, x = 5 t = 4
2
4
tdt 4
1
t −1
3
1
1
3
I = 2
=
−
dt = ln
= ln − ln = 2 ln 3 − ln 5 a = 2, b = −1
t −1 2 t −1 t +1
t +1 2
5
3
2
t
3
2
2a + ab + b 2 = 7
4
Cách 2: Ta có: a ln 3 + b ln 5 = log e 3a5b
5
Dùng CASIO ta được I =
1
dx
0.5877 → SHIFT → STO → A
x 3x + 1
A)
log e 3a 5b = A 3a 5b = e A =
9
= 32.5−1
5
(Gán nghiệm đó cho
a = 2
Vậy
2a 2 + ab + b2 = 7
b = −1
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
Câu 4:
9
f
( x ) dx = 4 và
x
1
thỏa mãn
2
0
3
f ( sin x ) cos xdx = 2. Tích phân I = f ( x ) dx bằng:
0
B. I = 6.
A. I = 8.
C. I = 4.
D. I = 10.
Đáp án B
Đặt t = x dt =
1
2 x
dt
Khi đó x = 1 t = 1; x = 9 t = 3
9
Suy ra
f
1
( x ) dx = 2
x
3
1
3
f ( t ) dt = 4 f ( t ) dt = 2
1
Đặt t = sin x; x − ; dt = cos x
2 2
Khi đó x = 0 t = 0; x =
t =1
2
2
1
0
0
f ( sin x ) cos xdx = f ( t ) dt = 2
Suy ra
3
1
3
0
0
1
I = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = 2 + 2 = 4
Câu 5:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x2 ,
tiếp tuyến tại A (1;1) và trục Oy bằng S1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x2 , tiếp
tuyến tại A (1;1) và trục Ox bằng S 2 . Khi đó, tỉ số
A.
1
.
4
B. 4.
S1
bằng:
S2
C.
Đáp án D
Phương trình tiếp tuyến: y = f ' (1)( x −1) + 1 = 2 x −1
1
1 1
1
Ta có: S2 = x 2 dx − . .1 =
2 2
12
0
1
.
3
D. 3.
1
S
1 1
1
S1 = S 2 + . .1 = x 2 dx = 1 = 4
2 2
3
S2
0
(Gv Nguyễn Bá Tuấn) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2x
Câu 6
1
A. e 2x dx = − e 2x + C.
2
1
B. e2x dx = e 2x + C.
2
C. e2x dx = 2e2x + C.
D. e2x dx = −2e2x + C.
Chọn B.
1
1
Theo công thức nguyên hàm cơ bản eax + b dx = eax + b + C . Suy ra e 2x dx = e 2x + C .
a
2
2
Câu 7
(Gv Nguyễn Bá Tuấn) Kết quả của tích phân I = cos xdx bằng bao nhiêu?
0
B. I = −2.
A. I = 1.
2
I = cos xdx = sinx
2
0
= sin
0
D. I = −1.
C. I = 0.
− sin 0 = 1 . Chọn đáp án A.
2
Câu 8 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 −
A.
x3
x
− ln
+C
3
x +1
B.
1
là
x ( x + 1)
x3
− ln x ( x + 1) + C
3
x3 1
x
D. − ln
+C
3 2 x +1
x3 1
x
C.
− ln
+C
2 2 x +1
2
( x + 1) − x dx
1
1
x3
2
dx = −
Ta có. x −
dx = x dx −
x ( x + 1)
x ( x + 1)
3
x ( x + 1)
=
x3
1
x3
x3
x
1
− −
dx
=
−
ln
x
−
ln
x
+
1
+
C
=
− ln
+C
(
)
3
3
3
x +1
x x +1
Câu 9 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 x 3) là một tam giác đều có cạnh là
thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 ; x = 3 là
A.
Đáp án C
9+ 3
2
B.
9+ 3
2
C.
9 3 +3
2
D.
9 3+3
2
4x + x . Khi đó
Cạnh của thiết diện là a = 4 x + x diện tích thiết diện S =
Vậy thể tích của hình cần tính là: V =
3
9 3 +3
4x + x =
4
2
Câu
(Gv
3
0
10.
(
(
3 2
3
a =
4x + x
4
4
)
)
Nguyễn
Bá
Tuấn)
Biết
2
( n + 1) + + c;a, b, c
cos n x
*
dx
n
N
=
a
, khi đó a + b + c bằng
(
)
0 cosn x + sin n x
2
b
A. 4
B. 6
C. 9
D. 11
Đáp án A
2
2
sin n x
cos n x
x
=
−
t
I
=
dx
Xét I =
đặt
0 cosn x + sin n x dx
2
cos n x + sin n x
0
2
cos x
sin n x
dx
+
dx = I =
n
n
n
n
cos x + sin x
cos x + sin x
2
4
0
0
n
2
2I =
Vậy a = c = 0; b = 4 a + b + c = 4
Câu 11
(H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
(Gv Nguyễn Bá Tuấn)Kí hiệu
y = ( x − 2) e2x , trục tung và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay
hình
(H) xung quanh trục Ox có dạng
A. 2
( ea + b )
c
; ( a, b, c
) . Khi đó a + b + c bằng
D. −24
C. −1
B. 56
Đáp án C
Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình
(H) xung quanh trục Ox là:
2
V = ( x − 2 ) e 4 x dx = I
2
0
( x − 2 )2 = u du = 2 ( x − 2 ) dx
Đặt
1 4x
4x
v = e
e dx = dv
4
2
2
2 1
1
1
2
I = e 4 x ( x − 2 ) | − ( x − 2 )e 4 x dx = −1 − ( x − 2 )e 4 x
4
0 2
20
0
du = dx
2 1 2
( x − 2 ) = u
1 1 4x
I
=
−
1
−
e
x
−
2
Đặt 4 x
(
) | − e4 x dx
1 4x
24
0 4
e dx = dv
0
v = 4 e
1 1 e8 1 e8 − 41
I = −1 − − + =
a + b + c = −1
2 2 16 16
32
b
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Giá trị của I = 2 xdx được tính là:
Câu 12
a
b
Ta có:
D. b + a.
C. b − a.
B. b 2 + a 2 .
A. b 2 − a 2 .
2
2
2
2 xdx = x = b − a .
b
a
a
Câu 13:
x
x
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 cos 2 x sin cos
2
2
biết F ( 0) = 1:
1
B. − cos 2 x sin x + 1. C. − cos3 x + 2.
3
2
5
A. − cos3 x + .
3
3
4 cos
2
x
x
2
5
x sin cos dx = 2 cos 2 x sin xdx = − cos3 x + C. Mà F ( 0 ) = 1 C = .
2
2
3
3
Câu 14:
1
D. Đáp án khác.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
f ( x ) dx = 1 và
1
f ( x ) dx = 2. Giá trị của
3
0
. Biết
3
f ( x ) dx là:
0
A. 2. B. 16. C. −1. D. −4.
Ta có:
1
3
3
1
3
3
1
0
0
1
f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx = −2. Vậy f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = −1.
Câu 15:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
y = log 2 x, y = 0, x = 4. Đường thẳng x = 2 chia hình phẳng đó thành hai hình có diện tích là
S1 S2 . Tỉ lệ diện tích
S1 − 2
là:
S2
A. 2.
B.
7
.
4
D. Đáp án khác.
C. 3.
Đáp án A
Xét phương trình: log 2 x = 0 x = 1. Ta có:
2
2
1
1
2
2
S2 = log 2 x − 0 dx = log 2 xdx = ( x log 2 x ) 1 − xd ( log 2 x ) = ( x log 2 x ) 1 −
2
1
2
x
1
S 2 = x log 2 x −
.
= 2−
ln 2 1
ln 2
2
1
x
dx
x ln 2
Tương tự:
4
x
2
S1 = log 2 x − 0 dx = x log 2 x −
.
= 6−
ln
2
ln
2
2
2
S −2
1
= 2.
S2
4
x
Câu 16:
dt
( x 1) . Tập giá trị của
t +t
1
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) =
2
hàm số là:
D. ( 0;ln 2) .
C. ( ln 2;1) .
B. ( 0; + ) .
A. (1; + ) .
Đáp án D
Ta có:
x
dt
t
x
2x
2
1 1
f ( x) = 2
= −
= ln
+ ln 2 = ln
= ln 2 −
dt = ln
t + t 1 t t +1
t +1 1
x +1
x +1
x +1
1
x
Vì x 1 0
x
2
2
1 2 2 −
1 ln 2 f ( x) 0.
x +1
x +1
Câu 17 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + e− x là:
A.
f ( x ) dx = e
C.
f ( x ) dx = e
x
+ e − x + C.
B.
f ( x ) dx = −e
x
− e − x + C.
D.
f ( x ) dx = −e
Đáp án C Áp dụng e x dx = e x + C , e ax +b dx =
x
+ e − x + C.
x
− e − x + C.
1 x
e +C
a
3
Câu 18 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tích phân I =
2
1
dx bằng với tích phân nào sau
x −1
2
đây?
1 1
1
−
A.
dx.
2 2 x + 1 x −1
1 1
1
−
B.
dx.
2 2 x −1 x +1
1
1
−
C.
dx.
x −1 x + 1
2
1
1
+
D.
dx.
x −1 x +1
2
3
3
3
3
Đáp án B
3
Sử dụng CASIO tính
1
2 x 2 − 1 dx và các phương án ta thấy
1
1 1
1
2 x2 − 1 dx = 2 2 x − 1 − x + 1 dx.
3
3
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Nguyên hàm của hàm số y =
Câu 19
3x − 5
có dạng
x − 3x + 2
2
a ln x −1 + b ln x − 2 + C. Giá trị của a + 2b là:
A.
3
.
2
B. 4.
C. 2.
D.
4
.
3
Đáp án B
Ta có:
3x − 5
1
2
dx =
+
dx =2ln x − 1 + ln x − 2 + C
− 3x + 2
x − 2 x −1
a = 2; b = 1 a + 2b = 4.
x
2
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng ( H )
Câu 20
quay quanh trục Ox biết hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = ln x, y = x, x = 1, x = e2 là:
2
A. e5 + 2e 2 + .
3
e6
5
B. − 2e2 + .
3
3
e4
2
D. − 2e2 + .
3
3
C. ( e5 − 2e2 + 2 ) .
Đáp án B
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:
e2
e2
e2
e6
x3
5
2
2
2
2
2
2
ln
x
−
x
dx
=
−
ln
x
+
x
dx
=
−
x
ln
x
+
2
x
ln
x
−
2
x
+
=
)
− 2e +
1
1 (
3 1
3
3
(đvtt)
Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Hàm số nào sau đây có một nguyên hàm là đạo hàm
của hàm số y = sin 2 x ?
A. y = sin 2 x. B. y = cos 2 x. C. y = −4sin 2 x.
Đáp án C Ta chú ý
f ( x ) dx = (sin 2x ) f ( x ) = (sin 2x )
'
"
= −4sin 2 x
(
)
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x x 2 + 1
Câu 22
thỏa mãn F ( 0 ) =
(x
A.
D. y = 4 cos 2 x.
2
6
là:
5
+ 1) .2 x + ( x 2 + 1)
4
2
5
x 6
C. x ( x 2 + 1) + + .
5 5
Đáp án B
3
7
+ .
10
(x
B.
2
+ 1)
5
5
+ 1.
D. Đáp án khác.
4
Ta có: 2 x ( x + 1) dx = ( x + 1) d ( x + 1)
2
4
4
2
2
(x
=
+ 1)
5
2
5
+ C. Mà F ( 0 ) =
6
C = 1.
5
a
Câu 23: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Với giá trị nào của a thì I = ( 3x 2 + 2 x + 1) dx = −4?
1
A. a = −1.
B. a = 1.
D. a = −2.
C. a = 2.
Đáp án A Ta có: I = ( x3 + x 2 + x ) = a3 + a 2 + a − 3. Có I = −4 a = −1.
a
1
Câu 24
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x + sin 2 x, y = x, x = 0, x = là:
.
2
A.
B.
2
− 1.
C. − 1.
D. .
Đáp án A
1
sin 2 x
Diện tích hình phẳng đó là: ( x + sin 2 x ) − x dx = sin 2 xdx = x −
=
2
2 0 2
0
0
(đvdt).
Câu
2018)Biết
25
(Gv
Nguyễn
Bá
Tuấn
2
xdx
( x + 1)( 2 x + 1) = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 ( a, b, c ) . Giá trị abc là:
1
1
.
2
A.
B.
2
.
3
C.
3
.
4
D.
4
.
5
Đáp án C
Ta có:
2
xdx
1
1
3
1
1
1 ( x + 1)( 2 x + 1) = 1 x + 1 − 2 x + 1 dx = ln ( x + 1) − 2 ln ( 2 x + 1) 1 = − ln 2 + 2 ln 3 − 2 ln 5.
2
2
3
−1
3
a = −1; b = ; c =
abc = .
2
2
4
1
Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x − 2 là:
3
A.
1
1
1
1
sin x − 2 + C. B. 3sin x − 2 + C. C. −3sin x − 2 + C.
3 3
3
3
1 1
− sin x − 2 + C.
3 3
1
1
cos 3 x − 2 dx = 3sin 3 x − 2 + C.
D.
dx
là:
2x − 3 + 5
Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Họ nguyên hàm của hàm số I =
A.
1
2 x − 3 − 5ln
2
C.
2 x − 3 + 5ln
(
(
)
2 x − 3 + 5 + C.
)
2 x − 3 + 5 + C.
B. −
1
2 x − 3 + 5ln
2
D.
2 x − 3 − 5ln
(
(
)
2 x − 3 + 5 + C.
)
2 x − 3 + 5 + C.
Đặt t = 2 x − 3 t 2 = 2 x − 3 dt = dx
I =
tdt
5
= 1 −
dt = t − 5ln t + 5 + C = 2 x − 3 − 5ln
t +5
t +5
(
)
2x − 3 + 5 + C
4
Câu 28
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Biết
cos 2 x
1
3 + sin 2 x dx = 2 ( ln a − ln b ) .
Khi đó a 2 + b 2
0
bằng:
A. 16.
B. 13.
C. 25.
Đặt t = 3 + sin 2x dt = 2cos 2xdx. Đổi cận: x =
4
1 dt 1
I = = ln t
23 t
2
4
=
2
4
D. 17.
t = 4; x = 0 t = 3
1
( ln 4 − ln 3) a 2 + b 2 = 25
2
Câu 29 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho I =
1
2
x 2 dx
1 ( e x + 1)( x2 − 1) = a + b ln 3 . Khi đó
−
(a+b)
2
bằng:
A. 0.
B. 1.
D. −2.
C. 5.
Đáp án A
a
Công thức: I =
1
2
a
f ( x)
− a m x + 1 dx = 0 f ( x)dx nếu f (-x)=f (x) ( hàm chẵn)
1
1
2
x2
1
1
x −1
1 1
dx = (1 + 2 )dx = ( x + ln |
|) 2 = − ln 3
=> I = 2
x −1
x −1
2
x +1
2 2
0
0
0
=> a+b =0
Câu 30
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Biết thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
được giới hạn bởi các đồ thị y = x 2 − 2 x, y = − x 2 quanh trục Ox là
kính bằng 1. Khi đó k bằng:
1
thể tích mặt cầu có bán
k
A.
1
.
2
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Đáp án D
x = 0
Xét phương trình: x 2 − 2 x = − x 2
x = 1
+ Thể tích khối tròn xoay là:
1
4 x3
V = x − ( x − 2 x ) dx = ( 4 x − 4 x )dx =
− x4 =
3
0 3
0
0
1
4
2
1
2
2
3
(đvtt)
+ Vậy thể tích mặt cầu là:
4
kV = .13 k = 4 k = 4.
3
3
3
1
Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Giá trị tích phân I = ( x3 + 6 x )
2017
. ( x 2 + 2 ) dx
0
A.
7 2018
.
3.2017
B.
7 2018
.
3.2018
C.
7 2018
.
2018
D.
7 2017
.
3.2017
Đáp án B.
7
Đặt t = x3 + 6x dt = 3( x2 + 2) dx I = t 2017
0
dt
72018
=
.
3 3.2018
1
Câu 32
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tích phân
3x
2
− 2 x + ln ( 2 x + 1) dx = b ln a − c
0
với a, b, c là các số hữu tỉ, thì
a + b + c bằng
A.
3
.
2
B.
7
.
2
C.
2
.
3
4
D. − .
3
Đáp án B.
1
1
1
0
0
0
I = 3x2 − 2x + ln ( 2x + 1) dx = 3x2 − 2x dx + ln ( 2x + 1) dx = I1 + I 2 .
Dùng casio ta có I1 = 0
1
u = ln ( 2x + 1)
1
2x
I
=
x
ln
2
x
+
1
−
dx
Giải I 2 đặt
(
)0
2
2
x
+
1
dv = dx
0
I2 =
3
3
7
ln3 − 1 b = ; a = 3; c = −1 a + b + c = .
2
2
2
Câu 33 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hàm số f ( x ) =
1
x2 1 − x2
. Tìm nguyên hàm của
hàm số g ( t ) = cos t.f ( sin t ) , với t − ; \ 0 là
2 2
A. F ( t ) = − tan t + C. B. F ( t ) = − cot t + C. C. F ( t ) = tan t + C.
D. F ( t ) = cot t + C.
Đáp án B.
Đặt x = sin t t − ;
2 2
Ta có dx = costdt
Câu 34.
dx
x 1− x
2
2
=
costdt
dt
= 2 = − cot t + C.
2
sin t cost
sin t
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x2 ,
tiế p tuyế n tại A (1;1) và trục Oy bằng S1 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x2 ,
tiếp tuyến tại A (1;1) và trục Ox bằng S 2 . Khi đó
1
.
4
A.
B. 4.
S1
bằng
S2
C.
1
.
3
D. 3.
Đáp án B
Tiếp tuyến tại x = 1 có PT y = 2 x − 1 = 0
1
2
1
S2 = x 2 dx + ( x 2 − 2 x + 1) dx + =
1
2
0
1
1
1
+
=
24 24 12
1 1 1 1
= + =
4 12 4 3
S 1 1
1 = : =4
S2 3 12
S1 = S2 +
Câu
35
(Gv
(1 + sin x )1+ cos x
0 ln 1 + cos x
2
A. −5.
Đáp án C
Nguyễn
Bá
Tuấn
2018).
Biế t
giá
trị
của
dx = a ln 2 + b ; a, b là các số hữu tỉ. Khi đó a 3 + b 2 bằng là
B. 13.
C. 9.
D. −7.
tích
phân
(1 + sin x )1+ cos x
0 ln 1 + cos x
2
2
1+ cos x
dx − ln (1 + cos x ) dx
dx = ln (1 + sin x )
0
0
2
1 + sin x
= (1 + cos x ) ln (1 + sin x ) dx − ln (1 + cos x ) dx = cos x ln (1 + sin x ) dx − ln
dx
1 + cos x
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
1
= cos x ln (1 + sin x ) dx + 0 = ln (1 + sin x ) d (1 + s inx ) = ln udu = u ln u |12 − du = 2 ln 2 − 1
0
a +b = 9
3
2
Câu 36 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos5x .
1
A. f (x)dx = − sin5x + C .
5
B. f (x)dx = 5sin5x + C .
1
C. f (x)dx = sin5x + C .
5
D. f (x)dx = −5sin5x + C .
1
1
f (x)dx = 5 cos5xd ( 5x ) = 5 sin 5x + C .
Câu 37
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số g(x) có đạo hàm trên đoạn −1;1 . Có
1
g ( −1) = 3 và g (1) = 1 . Tính I = g ( x )dx .
−1
A. −2 .
B. 2.
1
3
D. − .
2
C. 4.
I = g ( x ) dx = g ( x ) −1 = g (1) − g ( −1) = −2 .
1
−1
π
a
x
16
Câu 38 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Giá trị của a để 1 − 2sin 2 dx =
là.
4
15
0
B. a = 2 .
A. a = 1.
π
C. a = 5 .
D. a = 4 .
A
x
16 CALC
→A = ..., X = 1 A = 5 được kết quả = 0.
Dùng casio nhập 1 − 2sin 2 dx − ⎯⎯⎯
4
15
0
Vậy a = 5.
Câu 39
π
π π
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho y = f x + là hàm chẵn trên − ; và
2
2 2
π
2
π
f ( x ) + f x + = sin x + cos x . Tính f ( x ) dx .
2
0
A. −1 .
B. 1.
D. −2 .
C. 2.
Đáp án B
π
Từ f ( x ) + f x + = sin x + cos x cho x = , x = − ta có
2
2
2
π π π
π
π
π
f 2 + f 2 + 2 = sin 2 + cos 2 = sin 2
f − π + f π − π = sin − π + cos − π = sin − π
2 2 2
2
2
2
π
Chú ý do y = f x + là hàm chẵn trên
2
π π
π π
− 2 ; 2 nên f 2 + 2 =
π π
f −
2 2
π
π π
π
f − f − = sin − sin − f ( x ) = s inx
2
2 2
2
π
2
π
2
0
0
Vậy f ( x ) dx = sinxdx = 1
Câu 40.
(E) :
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi
(H) và
(K) là hình phẳng giới hạn bởi
x 2 y2
+
= 1 và đường x = k ( k 0) . Để tỉ số thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay
16 9
(H) và
(K) quanh Ox bằng
A. k = −4 .
VH
5
=
thì k bằng.
VK 27
B. k = −3 .
C. k = −2 .
Đáp án C
(E) :
x2 y2
3
+
=1 y =
16 − x 2
16 9
4
Đường thằng x = k chia elip thành hai phần
(H) và
(K) khi đó
k
3
1
1
16 − x 2 ) dx = ( 48 x − x3 ) |k−4 = ( 48k − k 3 + 128 )
(
4
4
4
−4
VH =
4
VK =
k
3
1
1
16 − x 2 ) dx = ( 48 x − x3 ) |4k = (128 − 48k + k 3 )
(
4
4
4
D. k = −1 .
VH 48k − k 3 + 128 5
48k − k 3 + 128 5
=
=
=
k 3 − 48k − 88 = 0
3
VK 128 − 48k + k
27
256
32
với k nguyên âm
k = −2
ln 2
Câu 41 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Biết rằng
x + 2e
1
x
0
1 a
5
dx = ln 2 + b ln 2 + c ln .
+1
2
3
Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S = a + b + c bằng.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Đáp án A
ln 2
0
1
x + x dx =
2e + 1
ln 2
ln 2
xdx +
0
0
ln 2
x 2 ln 2
1
dx
=
|0 +
de x
x
x
x
2e + 1
2
0 ( 2e + 1) e
1
1
2
1 2
1 2
5
x
x
x
ln 2
−
0 e x ( 2e x + 1) de = 2 ln 2 + ln e − ln ( 2e + 1) |0 = 2 ln 2 + ln 2 − ln 3
a+b+c = 2
1
= ln 2 2 +
2
(
ln 2
)
Câu 42 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x .sin x và
các đường thẳng x = 0, x = π, trục hoành. Một đường x = k cắt diện tích trên tạo thành 2 phần
có diện tích bằng S1 ;S2 sao cho ( 2S1 + 2S2 − 1) = ( 2S1 − 1) khi đó k bằng:
2
π
.
4
A.
B.
π
.
2
C.
π
.
3
D.
π
.
6
Đáp án B
k
Ta có S1 = e sin xdx; S 2 = e sin xdx S = S1 + S 2 = e x sin xdx
x
x
0
0
k
( 2S1 + 2S2 − 1) = ( 2S1 − 1)
2
S2 = 2 S12 − 3S1 + 1 2 S12 − 2S1 + 1 − S = 0
2
k
k
2 e x sin xdx − 2 e x sin xdx + 1 − e x sin xdx = 0
0
0
0
Tính toán trực tiếp qua các đáp án ta thấy PT trên đúng với k =
2
Câu 43 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 1 là
A. x 3 + C .
Đáp án D
( 3x
2
+ 1) dx = x 3 + x + C
B.
x3
+ x +C.
3
C. 6x + C .
D. x 3 + x + C .
Câu 44
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a;b . Gọi D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b ( a b ) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được
tính theo công thức
A. V = f 2 ( x ) dx . B. V = 2 f 2 ( x ) dx . C. V = 2 f 2 ( x ) dx . D. V = 2 f ( x ) dx .
b
b
b
b
a
a
a
a
Đáp án A
Ta có công thức tính thể tích khối tròn xoay quay đồ thị hàm số y = f ( x ) quanh trục hoành,
giới hạn bởi 2 đường thẳng x = a, x = b ( a b ) là. V = f 2 ( x ) dx .
b
a
Câu 45 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tích phân
A.
16
225
B. log
5
3
2
0
dx
bằng
x +3
C. ln
5
3
. Đáp án B
2
dx
x + 3 = ln ( x + 3)
2
0
0
5
= ln 5 − ln 3 = ln .
3
Câu 46 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho ( H ) là hình phẳng giới
hạn bởi parabol y = 3x 2 , cung tròn có phương trình y = 4 − x 2
(với 0 x 2 ) và trục hoành
(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện
tích của ( H ) bằng
A.
4 + 3
12
B.
4 − 3
6
C.
4 + 2 3 − 3
6
D.
5 3 − 2
3
D.
2
15
Đáp án
Cách 1. Khi miền giới hạn có đường 3 đường thì ta phải tách thành các miền sao cho trên
mỗi miền chỉ được giới hạn bởi 2 đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) nào đó và hai đường
x = a, x = b .
1
2
Ta có S = 3x dx +
2
0
1
1
2
3 3
4 − x dx =
x + 4 − x 2 dx
3
1
0
2
Sau đó dùng casio ta tìm được đáp án xấp xỉ kết quả tính được. Nếu bạn muốn làm theo cách
2
tự luận thì để tính
4 − x 2 dx ta đặt x = sin t .
1
Cách 2. Phần diện tích giới hạn bởi đường x = 4 − y 2 ; x =
3
cần tìm là S =
y
dy rồi dùng máy tính cầm tay để kết luận.
3
4 − y2 −
0
Câu 47.
y
; y = 0; y = 3 nên diện tích
3
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết
dx
= a − b − c với a, b, c
x + x x +1
2
( x + 1)
1
là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c
B. P = 12
A. P = 24
D. P = 46
C. P = 18
Đáp án D
2
( x + 1)
1
2
=
1
2
2
dx
dx
x +1 − x
=
=
2
1
x + x x + 1 1 x. ( x + 1) x + 1 + x
x. ( x + 1) x + 1 −
(
)
x +1 − x
dx
dx
dx =
−
= 2 x − 2 x +1
x + 1. x
x 1 x +1
1
2
(
2
(
)
) ( )
x
2
dx
2
1
a = 32
= 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 b = 12
c = 2
Câu 48.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 thỏa mãn f (1) = 0, 0 f ( x )
1
A.
Đáp án A
7
5
B. 1
C.
7
4
2
dx = 7 và
D. 4
1
x 2 f ( x ) dx = . Tích phân
0
3
1
f ( x ) dx bằng
1
0
Có
x f ( x ) dx = x f ( x ) − ( 2x f ( x ) + x f ( x )) dx x f ( x ) dx = −1 .
1
2
3
0
f ( x )
1
Có
0
2
1
1
0
0
2
1
3
3
0
+ 14x 3f ( x ) + 49x 6dx = 0 f ( x ) + 7x 3 dx = 0 hay f ( x ) = −7x 3 trên
0
1
0;1 .
Lại có f (1) = 0 f ( x ) = −
7x 4 7
+ nên
4
4
7
f ( x ) dx = 5
1
0
2
3
3
1
1
2
( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Biết f ( x ) dx = 3, f ( x ) dx = 2 . Khi đó f ( x ) dx bằng
Câu 49
B. −1
A. 1
C. 5
D. −5
Chọn đáp án B.
2
3
3
3
1
2
1
2
Cách 1: f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx f ( x ) dx = 2 − 3 = −1
Cách 2:
2
3
1
1
f ( x ) dx = 3 F ( 2 ) − F (1) = 3, f ( x ) dx = 2 F (3) − F (1) = 2
3
Vậy f ( x ) dx = F ( 3) − F ( 2 ) = F ( 3) − F (1) − F ( 2 ) − F (1) = 2 − 3 = −1
2
Câu 50 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x3 − sin a với a là tham
số
A.
Ta có
1 4
x + cos a + C
2
B. 4x 4 + sin a + C
(
x4
+ x sin a + C
2
)
2x 3 − sin a dx =
C.
1 4
x +C
4
D.
1 4
x − x.sin a + C
2
f ( x ) dx
0
3
bằng
A. 1
B. 2
Đặt t = 2x + 3 dt = 2dx
x = 0 t = 3; x = 1 t = 5
5
I=
5
1
f ( t ) dt = 4 f ( t ) dt = 8
2 3
3
Chọn đáp án C.
5
1
Câu 51 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho I = f ( 2x + 3) dx = 4 . Khi đó giá trị của
C. 8
D. 11
Câu 52 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho hàm số y = x 2 − 5x + 7 ( C1 ) ; y = x + k ( C2 ) , gọi H là
hình phẳng giới hạn bới
A. 1
( C1 ) , ( C2 ) . Để diện tích ( H )
B. 2
bằng
32
thì giá trị của k bằng
3
C. 3
D. 4
Đáp án B
Xét PT x 2 − 5x + 7 = x + k x 2 − 6x + 7 − k = 0
3+ 3
(x
+) k=1 x1 = 3 3 S =
2
− 6 x + 6 ) dx = 6,9
3− 3
5
+) k=2 x1 = 1; x2 = 5 S =
(x
2
− 6 x + 5) dx = 10, 666 =
1
32
3
( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Nguyên hàm của hàm y =
Câu 53.
A. e tan x + C
2e tan x
là
1 + cos 2x
C. ln tan x + C
B. ecos x + C
D. esin x + C
Đáp án A
2e tan x
e tan x
tan x
tan x
dx
=
1 + cos 2 x cos2 xdx = e d ( tanx ) = e + C
1
( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Cho I =
Câu 54
0
x 3 + 3x 2 − x − 3
(
x 2 + 2x + 3
)
2
dx = a ( ln b − 1) . Khi đó
4a 2 + b 2 bằng
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
Đáp án C
1
I=
0
x 3 + 3x 2 − x − 3
(x
2
+ 2x + 3
)
2
1 x 2 + 2x − 3
dx =
d x 2 + 2x + 3
2
2
2 0 x + 2x + 3
1
(
)
(
)
1 t −6
1
6 6 1
I = 2 dt = ln t + | = ( ln 2 − 1)
23 t
2
t 3 2
6
1
Vậy a = , b = 2 4a 2 + b 2 = 1 + 4 = 5
2
Câu 55
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Một nguyên hàm của hàm số y =
A. ln ( x + 1)
Đáp án A
2
B. ln 2 ( x + 1)
C. ln ( x 2 + 2x )
2x + 2
( x + 1)
2
là
D. ln 2 ( x 2 + 2x )
2x + 2
2
2
e2 x
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2
Câu 56
A.
2
( x + 1) dx = x + 1dx = 2 ln ( x + 1) = ln ( x + 1)
Ta có
e2 x +1
f ( x) =
+ C B.
4
f ( x ) = e2 x + C
C.
e2 x
f ( x) =
+C
4
D.
f ( x) = e
2 x +1
+C
Đáp án C
e2 x
1 e2 x
e2 x
2 dx = 2 . 2 + C = 4 + C
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Câu 57.
y = x3 + 1, y = 0, x = 1 là
A. 1
B. 2
D. 4
C. 3
Đáp án B
1
Xét x + 1 = 0 x = −1 S =
3
x
3
+ 1 dx = 2
−1
Câu 58.
(H )
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y = x 2 ( C ) và đường cong ( C ) . Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên. Biết rằng thể tích tạo bởi hình
( H ) quay quanh trục Ox
A. x = y 2
có giá trị bằng
64
( đvtt ) khi đó ( C) có phương trình là
15
C. x 2 = 4 y
B. y = 4 x 2
D. y = 2 x
Đáp án D
Thử từng đáp án ta tìm được đáp án D ứng với hàm ố thỏa mãn. Thật vậy:
x = 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị hàm số: x 2 = 2 x
x = 2
Khi đó, thể tích khối tròn xoay tạo bởi 2 đồ thị hàm số khi quay quanh trục Ox là:
2
V = (x
) − ( 2x)
2 2
0
2
2
dx = 4 x 2 − x 4 dx =
0
64
15
(đvtt)
Thỏa mãn.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho các số thực a, b khác 0 . Xét hàm số
Câu 59.
f ( x) =
a
( x + 1)
A. 42
+ bxe với x −1. Biết f ( 0 ) = −22 và
x
3
1
f ( x )dx = 5 . Tính a
0
B. 72
C. 68
D. 10
2
+ b2 .
Đáp án C
Ta có: f ' ( x ) = −3a ( x + 1) + b ( xe x + e x ). Do f ' ( 0) = −22 3a − b = 22
−4
(1)
Mặt khác:
1
1
1
f ( x ) dx = 5 a ( x + 1)
0
−3
0
−a ( x + 1)−2
3a
+ bxe dx = 5
+ b ( xe x − e x ) = 5
+b = 5
2
8
0
x
( 2)
a = 8
Từ (1) và ( 2 )
a 2 + b 2 = 68.
b = 2
Câu 60.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên
2
1
đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện f ( 0 ) = 1 và 3 ( f ' ( x ) . f ( x ) ) + dx 2
9
0
0
1
1
1
f ' ( x ). f ( x ) dx .
3
f ( x ) dx
Tính
0
3
2
A.
B.
5
4
C.
Đáp án D
b
f ( x) dx = 0( f ( x) 0) = f ( x) = 0
Nhớ:
a
Ta có:
1
1
1
1
3 [ f '( x)][ f ( x)] dx + dx − 2
30
0
0
2
1
= (3 f '( x) f ( x) − 1) 2 dx 0
0
= 3 f '( x). f ( x) = 1
= 9 f '( x).[ f ( x)] 2 = 1
= 3.{ [ f ( x)]3} '=1
1
x
<=>(f ( x))3 = dx = + C
3
3
Mà f (0) = 1 = C = 1
f ( x) f ( x)dx 0
5
6
D.
7
6
- Xem thêm -
.PDF 
21 
18 
95 
