2
Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho
1
( 2 x − 1 − sin x ) dx = a − b − 1.
Mệnh đề nào
0
trong các mệnh đề sau là sai?
A. a + 2b = 8.
B. a + b = 5.
C. 2a − 3b = 2.
D. a − b = 2.
Đáp án B
2
( 2 x − 1 − sin x ) dx = x − x + cos x|02 =
2
Ta có
0
1
− − 1.
4 2
Suy ra a = 4, b = 2.
Vajay a + b = 6 (B sai).
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa f (1) = 30; f ' ( x ) liên tục và
4
f ' ( x ) dx = 70 . Tính giá trị của f ( 4)
1
A. 100.
B. 50.
C. 40.
D. 21.
Đáp án A
4
Ta có 70 = f ' ( x ) dx = f ( x )| = f ( 4 ) − f (1) = f ( 4 ) − 30
4
1
1
Vậy f ( 4) = 100.
Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính nguyên hàm
ln ( ln x )
x dx.
A. ln x.ln ( ln x ) + C.
B. ln x.ln ( ln x ) + ln x + C.
C. ln x.ln ( ln x ) − ln x + C.
D. ln ( ln x ) + ln x + C.
Đáp án C
Đặt t = ln x dt =
Khi đó
dx
.
x
ln ( ln x )
dx = ln tdt
x
dt
u = ln t
du =
Đặt
t . Khi đó ln tdt = t ln t − t + C .
dv = dt v = t
ln ( ln x )
dx = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C .
x
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a 0; . Hãy tính
2
e
xdx
+
1 + x2
C. I = e
B. I = −1
A. I = 1
tan a
cot a
dx
x (1 + x )
2
e
D. I = −e
Đáp án B
Xét hàm số T ( x ) =
tan x
e
tdt
+
1+ t2
cot x
dt
t (1 + t )
2
e
xác định với mọi x 0;
2
Ta sẽ tính T ( a )
Gọi F ( t ) , G ( t ) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số
y=
t
1
và y =
2
1+ t
t (1 + t 2 )
Khi đó T ( x ) = F ( tan x ) − F ( e ) + G ( cot x ) − G ( e )
Suy ra T ' ( x ) = F ' ( tan x ) .
=
1
1
− G ' ( cot x ) . 2
2
cos x
sin x
tan x
1
1
−
= tan x −
=0
2
2
2
2
cot x
(1 + tan x ) cos x cot x (1 + cot x ) sin x
Do đó T ( x ) là hàm hằng trên khoảng x 0; . Khi a = thì
4
2
xdx
dx
dx
T =
+
= = −1
2
2
4 e 1 + x e x (1 + x ) e x
1
1
1
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho biết với mỗi u 0 phương trình t 3 + ut − 8 = 0 có
nghiệm dương duy nhất f ( u ) . Hãy tính
7
f ( u ) du
2
0
A.
31
2
B.
33
2
C.
35
2
D.
37
2
Đáp án A
Xét hàm số h ( t ) = t 3 + ut − 8
Ta có h ' ( t ) = 3t 2 + u 0 với mọi t 0 . Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng ( 0; + )
Mặt khác h ( 0) = −8, h ( 2) = 2u 0 nên tồn tại duy nhất c ( 0;2) suy cho h ( c ) = 0
Với mỗi 0 x 2 ta có u ( x ) =
8 − x3
0 . Suy ra x3 + u ( x ) .x − 8 = 0 . Do đó x là nghiệm
x
dương của phương trình t 3 + u ( x ) .t − 8 = 0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra
f (u ( x )) = x
Ta có u ' ( x ) = −
8
− 2x
x2
Khi x = 2 thì u = 0 và khi x = 1 thì u = 7 . Áp dụng công thức đổi biến ta có
7
1
2
0
0
f 2 ( u ) du = − f 2 ( u ( x ) ) dx = ( 8 + 2 x 3 ) dx =
0
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho
31
2
6
6
0
0
6
ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3) 0 − f ( x ) dx . Tìm hàm số
f ( x) .
C. f ( x ) =
B. f ( x ) = x 2 .
A. f ( x ) = x.
x
.
x+3
D. f ( x ) =
1
.
x+3
Đáp án C
1
u = ln ( x + 3) du =
dx
Đặt
x+3
dv = dx
v = x
6
6
Khi đó ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3)| −
6
0
0
0
Vậy f ( x ) =
Câu
7:
x
( 3t
2
x
dx
x+3
x
.
x+3
(Gv
Văn
Phú
Quốc
2018)
Tìm
tập
nghiệm
của
phương
− 2t + 3) dt = x 3 + 2 .
0
A. S = 1; 2
B. S = 1; 2;3
C. S =
Đáp án A
x
( 3t
2
− 2t + 3) dt = x 3 + 2 t 3 − t 2 + 3t| = x 3 + 2
x
0
0
x = 1
x3 − x 2 + 3x = x3 + 2 x 2 − 3x + 2 = 0
.
x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 1; 2.
D. S =
trình
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là
thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
- Ban đầu bể không có nước.
- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3 .
- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 .
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
B. 2200 m3 .
A. 8400 m3 .
C. 600 m3 .
D. 4200 m3 .
Đáp án A
5
Ta có
( 3at
2
0
1
25
5
+ bt ) dt = at 3 + bt 2 = 125a + b = 150.
2
2
0
Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100.
Vậy từ đó ta tính được a = 1; b = 2.
Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
20
h ' ( t ) dt = ( t
3
+ t 2 )| = 8400 ( m3 )
20
0
0
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1 . Hỏi mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
xf ( sin x ) dx = f ( sin x ) dx
0
0
C.
B.
0
0
0
xf ( sin x ) dx = 2 f ( sin x ) dx
2
xf ( sin x ) dx = f ( sin x ) dx
D.
xf ( sin x ) dx =
0
0
2 0
f ( sin x ) dx
Đáp án D
Đặt I = xf ( sin x ) dx
0
Đổi biến x = − t ta được
0
0
0
I = − ( − t ) f ( sin ( − t ) ) dt = ( − t ) f ( sin t ) dt = f ( sin t ) dt − I
Đén đây ta suy ra được kết quả ở (D)
Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a bất kì và giả sử f là môt hàm liên tục. Hỏi
mệnh đề nào sau đây đúng?
a
A.
0
a
C.
0
a x
f ( x )( x − a ) dx = f ( t ) dt dx
00
a
B.
0
x
f ( x )( x − 2a ) dx = f ( t ) dt dx
00
a x
f ( x )( a − x ) dx = f ( t ) dt dx
00
a
a
D.
0
x
f ( x )( 2a − x ) dx = f ( t ) dt dx
00
a
Đáp án B
x
Đặt F ( x ) = f ( t ) dt . Ta cần chứng minh
0
a
a
0
0
f ( x )( a − x ) dx = F ( x ) dx
Ta có F ' ( x ) = f ( x ) . Khi đó
a
a
a
a
0
0
0
f ( x )( a − x ) dx = a f ( x ) dx − xf ( x ) dx = aF ( a ) − xF ' ( x ) dx
0
Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có
a
a
0
0
xF ' ( x ) dx = aF ( a ) − F ( x ) dx
Thay vào ta thu được kết quả ở B
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược
xuống mặt phẳng nghiêng được xác định bởi công thức
2
20 − 3vdv (giây). Chọn gốc thời gian
là lúc vật bắt đầu chuyển động. Hãy tìm phương trình vận tốc.
A.
20 20 − 32t
− e
3
3
B.
C.
20 20 − 32t
20 20 − 3t
− e hoặc + e 2
3
3
3
3
D. 4 + 4e
20 20 − 32t
+ e
3
3
Đáp án A
Ta có t =
2
2
dx = − ln 20 − 3v + C với C là hằng số
20 − 3v
3
Vào thời điểm t = 0 thì vật có vận tốc bằng 0. Suy ra
2
2
0 = − ln 20 + C C = ln 20
3
3
2
2
Khi đó t = − ln 20 − 3v + ln 20
3
3
3
ln 20 − 3v = ln 20 − t
2
20 − 3v = 20.e
3
− t
2
−
3t
2
3
− t
v =
2
20 − 3v = 20.e
3
− t
20 − 3v = −20.e 2
v =
20 20 − 32 t
− e
3
3
20 20 − 32 t
+ e
3
3
Để ý rằng phương trình thứ hai không thể đạt v = 0 tại t = 0 cho nên ta chỉ nhận phương trình
thứ nhất là v =
20 20 − 32 t
− e
3
3
Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x 2 và y = x . Tính giá trị của biểu thức 3S ( 3S − 2 )
B. −1
A. 1
2018
.
D. 32018
C. 0
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong
x 2 = x x = 0 hoặc x = 1
1
1
Diện tích hình phẳng cần tìm là S = x 2 − x dx =
0
Do đó 3S ( 3S − 2 )
2018
(
)
x − x 2 dx =
0
=1
Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình phẳng
(C ) : y = x3 − 3x + 2 và ( P ) : y =
(H )
1
3
(H )
giới hạn bởi đường cong
2 x + 2 . Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho
quay quanh trục Ox có dạng V =
a
b
+ 2018c + 2019d
Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. abcd = 0
B. 9a − b − c − d = 1
C. a + b + 2c + 3d = 39
D.
b+d
=8
a + c +1
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( P ) là
x3 − 3x + 2 = 2 x + 2 2 x = x3 − 3x
Giải phương trình này, ta thu được hai nghiệm là x = 0; x = 2
2
Thể tích vật thể cần tìm là V =
0
Suy ra a = 4; b = 35; c = 0; d = 0
((
) −(x
2
2x
3
)
− 3 x ) dx =
2
4
35
Kiểm tra từng mệnh đề, nhận thấy D sai vì
b+d
35 + 0
=
=7
a + c +1 4 + 0 +1
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân I =
tan 2 x − tan x
dx = e − k . Tính giá
x
e
3
4
trị của k
A. −1
B. 1
D. −
C. 0
1
2
Đáp án B
Ta có I =
2
−x
( tan x − tan x )e dx =
3
4
Trong đó J =
e
−x
tan xdx; K =
2
3
4
−x
2
e tan xdx −
3
4
e
−x
e
−x
tan xdx = J − K
3
4
tan xdx
3
4
Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần
2
u = tan x
du = (1 + tan x ) dx
Đặt
−x
−x
dv = e dx
v = −e
−x
Khi đó K = −e tan x
=e
−
+
e
−x
3
4
dx + J = −e
−
+
e (1 + tan x ) dx
−x
2
3
4
3
4
−e
−x
3
4
3
4
+ J = −e − + J
Vậy I = e − = e − k k = 1
Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
x3 x 2
+ + x+C
3 2
A. F ( x ) =
x3 x 2
− + x+C
3 2
B. F ( x ) =
C. F ( x ) =
x3 x 2
+ − x+C
3 2
D. F ( x ) = −
x3 x 2
+ − x+C
3 2
Đáp án A
Ta có
f ( x ) dx =
(x
2
+ 1) − x 2
2
x2 + x + 1
dx = ( x 2 − x + 1) dx =
x3 x 2
− + x+C
3 2
x4 + x2 + 1
x2 + x + 1
Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
và thỏa mãn
f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =
2
f ( x ) dx
−
A. I =
1
3
2
3
B. I =
2
D. I = 2
C. I =
Đáp án B
2
f ( − x ) dx
Xét tích phân J =
−
2
Đặt x = −t dx = −dt
Đổi cận x = −
2
t =
2
;x =
2
t =−
2
Khi đó
I=
2
2
−
f ( −t ) dt = J 3I + 2 I =
−
2
Vậy I =
f ( − x ) + 2 f ( x ) dx =
2
cos xdx = 2
−
2
2
2
3
Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=
(
A.
)
x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành
8e3 − 9e2 + 13
9
B.
8e3 − 9e2 + 13
3
C.
8e3 + 9e2 + 13
3
Đáp án D
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó f ( x ) 0, x 1; e 2 nên
e2
e2
S = f ( x ) dx =
1
(
)
x + 1 ln xdx
1
1
u = ln x
du = x dx
Đặt
dv = x + 1 dx v = 2 x x + x
3
(
)
2 x
+ 1 x ln x
Khi đó S =
3
e2
1
2 x
8e3 + 8e 2 + 13
−
+ 1 dx =
3
9
1
e2
D.
8e3 + 9e2 + 13
9
Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh
trục Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0
1
A. V = + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
B. V = + log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
1
C. V = − log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
D. V = − log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
Đáp án A
Ta có x + y − 3 = 0 y = 3 − x
Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là
( 2;1) , (1;0)
3
2
2
Khi đó V = log 2 xdx + ( 3 − x ) dx = V1 + V2
2
1
2
2
1
1
Trong đó V1 = log 2 xdx = log 2 e ln xdx = log 2 e ( 2ln 2 − 1)
3
V2 = ( 3 − x ) dx =
2
2
3
1
Vậy V = + log 2 e. ( 2 ln 2 − 1)
3
Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một vật chuyển động là
v (t ) =
1 sin ( t )
(m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5
+
2
giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m
B. 0,36 m
C. 0,35 m
D. 0,34 m
Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1 sin ( t )
1
1
S= +
dt = t + 2 cos ( t )
2
2
0
1,5
1,5
=
0
3
1
+ 2 0,34 (m)
4
e x dx
ae + e3
=
ln
với a, b là các số nguyên
2 + ex
ae + b
−1
2
Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử
b
b
+ 2017 + cos
− sin 2018
dương. Tính giá trị của biểu thức P = sin
a
a
B. −1
A. 1
C.
1
2
D. −
1
2
Đáp án B
d (2 + e
e x dx
−1 2 + e x = −1 2 + e x
2
Ta có
2
ln
x
) = ln
( 2 + ex )
2
= ln ( 2 + e 2 ) − ln ( 2 + e −1 )
−1
2 + ee
2e + e3
ae + e3
=
ln
=
ln
2 + e−1
2e + 1
ae + b
Suy ra a = 2; b = 1 hay P = sin + 2017 + cos + 2018 = −1
2
2
Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho
1
mx + m − 8
2
dx =
2
3x + 1 + C . Tính giá trị của
3
e
tích phân I =
x ln 2 xdx
m−2
A. −
1
( e + 1)
2
B.
1
( e + 1)
2
C.
1
( e − 1)
4
D. −
1
( e − 1)
4
Đáp án C
Do
1
mx + m − 8
2
dx =
2
3x + 1 + C nên
3
'
1
2
=
3x + 1 + C =
m=3
3x + 1
mx + m2 − 8 3
1
e
Khi đó I = x ln 2 xdx =
1
1 2
( e − 1)
4
Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
x2
dt
ln t
với x 1 . Tìm tập giá trị T của
x
hàm số
B. T = 1; + )
A. T = ( 0; + )
C. T = ( −;ln 2 )
D. T = ( ln 2; + )
Đáp án D
Ta có g ' ( x ) = 2 x
1
1
x −1
−
=
0, x 1 g ( x ) đồng biến trên (1; + )
2
ln x ln x
ln
(
Suy ra tập giá trị của hàm số g ( x ) là T = g (1+ ) ; g ( + )
Do
)
1
1
→ + khi x → +
là hàm số nghịch biến nên g ( x ) ( x 2 − x )
ln t
ln x 2
Do đó g ( + ) = +
Để tính g (1
+
2ln x
) đặt t = e , ta được g ( x ) =
v
ln x
Khi đó g ( x ) e
2ln x
2ln x
=
ln x
ev
dv
v
dv
= x 2 ln 2
v
Chứng minh tương tự, ta thu được g ( x ) x ln 2
Theo định lí kẹp, ta suy ra g (1+ ) = ln 2
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = ( ln 2; + )
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ
sáng được mô hình hóa bởi hàm T ( t ) = 50 + 14sin
t
2
. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng
thời gian từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)
B. 45, 45 F
A. 54,54 F
C. 45,54 F
D. 54, 45 F
Đáp án C
Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho
nên được tính bằng: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
t
14
50 + 14sin dt = 50 − 45,54 F
20 − 8 8
2
20
Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;2a . Hỏi mệnh
đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
2a
2a
0
0
f ( x ) dx = f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
2a
2a
0
0
f ( x ) dx = − f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
2a
a
0
0
f ( x ) dx = f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
Đáp án C
Đặt t = 2a − x . Khi đó
2a
f ( x ) dx = f ( x ) dx +
a
2a
0
0
0
a
a
a
0
0
0
a
0
0
a
f ( x ) dx = f ( x ) dx − ( 2a − t ) dt
= f ( x ) dx + f ( 2a − x ) dx = f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
2a
D.
a
f ( x ) dx = − f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
0
0
Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình
phẳng giới hạn bởi đường cong y = x , trục tung và đường thẳng y = 2 quay quanh trục Oy.
A. V =
31
5
B. V =
32
5
C. V =
33
5
D. V =
34
5
Đáp án B
2
2
0
0
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = x 2 dy = y 4 dy =
32
5
Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol ( P ) : y = x2 . Viết
phương trình đường thẳng d đi qua M (1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và
d đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 2 x − y + 1 = 0
B. 2 x + y + 1 = 0
C. x − 2 y + 1 = 0
D. x + 2 y + 1 = 0
Đáp án A
Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A ( a; a 2 ) , B ( b; b 2 ) với b a
Phương trình đường thẳng d : y = ( a + b ) x − ab
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có: (Gv Văn Phú Quốc
2018)
b
b
b
a
a
a
S = ( a + b ) x − ab − x 2 dx = ( x − a )( x − b ) dx = − ( x − a )( x − b ) dx
a+b 2
1
3
1
= − x3 −
x + abx = ( b − a )
2
3
a 6
b
Do M (1;3) d nên a + b = ab + 3
Suy ra S 2 =
3
1
1
1
2 3
2
2
b − a) =
a + b ) − 4ab =
(
(
( ab + 3) − 4ab
36
36
36
3
1
83 128
8 2
2
=
S
( ab + 1) + 8 =
36
36
9
3
min S =
8 2
ab + 1 = 0 ab = −1 a + b = 2
3
Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y = 2 x + 1 2 x − y + 1 = 0
Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân
3
4
tan 2 x − tan x
dx = e − k . Tính giá trị
ex
của k
A. −1
B. 1
D. −
C. 0
1
2
Đáp án B
Ta có I =
( tan
2
x − tan x ) e dx =
−x
3
4
tan
e
−x
tan xdx −
2
3
4
Trong đó J =
2
e
−x
x.e dx; K =
3
4
−x
e
−x
tan xdx = J − K
3
4
tan xdx
3
4
Ta sẽ tính tích phân K bằng phương pháp tích phân từng phần
2
u = tan x
du = (1 + tan x ) dx
Đặt
−x
−x
dv = e dx
v = −e
−x
Khi đó K = −e tan x
=e
−
+
e
−x
3
4
dx + J = e
−
3
4
+
e (1 + tan x ) dx
−x
2
3
4
−e
−x
3
4
3
4
+ J = −e − + J
Vậy I = e − = e − k k = 1
Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =
x3 x 2
− + x+C
3 2
x3 x 2
C. F ( x ) = + − x + C
3 2
B. F ( x ) =
x3 x 2
+ + x+C
3 2
x3 x 2
D. F ( x ) = − + − x + C
3 2
Đáp án A
Ta có
f ( x ) dx =
(x
2
+ 1) − x 2
2
x2 + x + 1
dx = ( x 2 + x + 1)dx =
x3 x 2
− + x+C
3 2
x4 + x2 + 1
x2 + x + 1
Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
và thỏa mãn
f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =
2
f ( x ) dx
−
A. I =
1
3
B. I =
2
3
2
D. I = 2
C. I =
Đáp án B
2
f ( − x ) dx
Xét tích phân J =
−
2
Đặt x = −t dx = −dt
Đổi cận x = −
2
t =
2
;x =
2
t =−
2
Khi đó
I=
2
2
−
f ( −t ) dt = J 3I = J + 2 I =
−
2
f ( − x ) + 2 f ( x ) dx = J =
2
cos xdx = 2
−
2
2
2
3
Vậy I =
Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=
(
)
x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành
8e3 − 9e2 + 13
A.
9
8e3 − 9e2 + 13
B.
3
8e3 + 9e2 + 13
C.
3
Đáp án D
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do f ( x ) 0, x 1; e 2
e2
e2
1
1
nên S = f ( x ) dx =
(
)
x + 1 ln xdx
1
u = ln x
du = x dx
Đặt
dv = x + 1 dx v = 2 x x + x
3
(
)
2 x
+ 1 x ln x
Khi đó S =
3
e2
1
2 x
8e3 + 9e 2 + 13
−
+ 1 dx =
3
9
1
e2
8e3 + 9e2 + 13
D.
9
Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục
Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0
1
A. V = + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
B. V = + log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
1
C. V = − log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
D. V = − log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đáp án A
Ta có x + y − 3 = 0 y = 3 − x
Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với các đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là
( 2;1) , (1;0)
3
2
2
Khi đó V = log 2 xdx + ( 3 − x ) dx = V1 + V2
2
1
2
2
1
1
Trong đó V1 = log 2 xdx = log 2 e ln xdx = log 2 e ( 2ln 2 − 1)
3
V2 = ( 3 − x ) dx =
2
2
3
1
Vậy V = + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
(Gv
Văn
Phú
Quốc
2018)
Vận
tốc
của
một
chuyển
động
Câu
32:
là
v (t ) =
1 sin ( t )
(m/s).Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5
+
2
giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m
B. 0,36 m
C. 0,35 m
D. 0,34 m
Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là
1 sin ( t )
1
1
0 2 + dt = 2 t − 2 cos ( t )
1,5
S=
1,5
=
0
3
1
+ 2 0,34 (m)
4
Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử F ( x ) là một họ nguyên hàm của hàm số
f ( x) =
sin x
trên khoảng ( 0; + ) . Tính tích phân
x
A. F ( 3) − F (1) .
B. F ( 6 ) − F ( 2 ) .
3
sin 2x
dx .
x
1
C. F ( 4) − F ( 2) .
D. F ( 6 ) − F ( 4 ) .
Đáp án B
Đặt t = 2x dt = 2dx .
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 1 t = 2; x = 3 t = 6 .
F ( x) =
sin x
sin u
dx F ( u ) =
du
x
u
3
3
3
6
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
sin u
1 x dx = 1 2 2 x dx 1 x dx = 2 u du = F ( 6 ) − F ( 2 ) .
Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh
dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một
chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng
nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại
thời điểm đuổi kịp A.
A. 48 m/s.
B. 36 m/s.
C. 24 m/s.
D. 12 m/s.
Đáp án C
Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là
vA ( t ) = at . Tại thời điểm t = 8 ta có vA ( 8 ) = a.8 = 6 a =
3
m / s2 ) .
(
4
Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là
8
3
3
S1 = t dt = t 2 = 24 m .
4
8 0
0
8
Thời gian A chuyển động đều cho đến lúc gặp B là 12 giây.
Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là S2 = 6.12 = 72m .
Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là
S = S1 + S2 = 24 + 72 = 96m .
Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B là vB ( t ) = bt .
Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96 m.
8
8
bt 2
S
=
btdt
=
= 32b = 96 b = 3 m / s 2 .
Ta có
0
2 0
Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là vB (8) = 3.8 = 24m/s .
Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
x2
x
Tính g ( x ) .
t sin tdt xác định với mọi x 0 .
A. 2 x 2 sin ( x 2 ) −
C. x 2 sin ( x 2 ) −
sin
( x) .
B. 2 x 2 sin ( x 2 ) −
24 x
sin
( x) .
D. x 2 sin ( x 2 ) −
24 x
sin
( x) .
4
sin
x
( x) .
4
x
Đáp án A
( x ).
sin ( x )
.
−
Đặt f ( t ) = t sin t . Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x ) = F ( x 2 ) − F
( )
Khi đó g ( x ) = 2 xF x 2 −
F( x)
2 x
= 2 xf ( x 2 ) −
f
( x ) = 2x sin ( x )
2
2
2 x
24 x
a
Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị của a để đẳng thức
cos ( x + a ) dx = sin a
2
0
xảy ra.
C. a = 3 .
B. a = .
A. a = .
D. a = 2 .
Đáp án D
a
a
0
0
2
2
2
2
2
2
cos ( x + a ) dx = cos ( x + a ) d ( x + a ) = sin ( x + a ) = sin ( a + a ) − sin ( a )
Với a = 2 ta có sin
4
0
(
)
2 + 2 = sin
(
)
2 .
Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện
e
n
ln x dx e − 2 .
1
B. S = 2 .
A. S = 1 .
C. S = 1; 2 .
D. S = .
Đáp án C
e
e
e
n
e
I = ln dx = ( ln n − ln x ) dx = x ln n 1 − ln xdx
x
1
1
1
= ( e − 1) ln n − ( x ln x − x ) 1 = ( e − 1) ln n − 1
e
Với n = 1 ta có I = −1 e − 2 .
Với n = 2 ta có I = e ln 2 − ( ln 2 + 1) = ( e −1) ln 2 −1 e −1 −1 = e − 2
Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân hai nghiệm của phương trình
1 + ln t
1
dt = .
t
2
1
x
e
A. 1.
B.
1
.
e2
C. 2e .
D.
4
.
e2
Đáp án B
x
(1 + ln t )
1 + ln t
1
1
dt = (1 + ln t ) d (1 + ln t ) =
Ta có
t
2
2
2
1
1
x
e
e
(1 + ln x )
2
2
2 x
=
1
e
1
.
2
x = 1
ln x = 0
1
2
= (1 + ln x ) = 1
.
x = 12
ln
x
=
−
2
2
e
Do đó tích hai nghiệm của phương trình là
1
.
e2
Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ đẳng thức
1
+ 4 cos3 u − 2sin 2 v + C = f ( t ) dt có tìm
5
t
được hàm số y = f ( x ) hay không ?
A. Không tìm được hàm số y = f ( x ) .
B. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −
x6
.
5
C. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −
5
.
x6
D. Tìm được hàm số y = f ( x ) khác với kết quả ở (B), (C).
Đáp án C
Từ đẳng thức đã cho, lấy đạo hàm hai vế ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) −
Do đó f ( x ) = −
5
= f (t ) .
t6
5
.
x6
Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a; b và thỏa
mãn điều kiện f ( x ) = f ( a + b − x ) , x a; b .
Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
b
a
a
xf ( x ) dx = − ( a + b ) f ( x ) dx .
a+b
f ( x ) dx .
C. xf ( x ) dx = −
2 a
a
b
b
B.
b
b
a
a
xf ( x ) dx = ( a + b ) f ( x ) dx .
a+b
f ( x ) dx .
D. xf ( x ) dx =
2 a
a
b
Đáp án D
Đặt t = a + b − x dx = −dt
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = a t = b; x = b t = a .
b
Khi
đó
:
(Gv
Văn
Phú
b
b
a
b
a
a
b
a
Quốc
2018)
xf ( x ) dx = xf ( a + b − x ) dx = − ( a + b − t ) f ( t ) dt = ( a + b − t ) f (t ) dt
b
b
b
b
a
a
a
a
= ( a + b ) f ( t ) dt − tf ( t ) dt = ( a + b ) f ( x ) dx − xf ( x ) dx
a+b
f ( x ) dx .
Do đó xf ( x ) dx =
2 a
a
b
b
Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = ( x + 1) , x = sin xy và 0 y 1 .
2
A.
2
1
− .
3
B.
2
1
+ .
3
C.
3
1
.
2
+
D.
3
−
1
.
2
Đáp án B
Ta có x = sin y −1;1 x + 1 0 .
Mà 0 y 1 nên y = ( x + 1) x = y − 1 .
2
1
(
)
Vậy S = sin y − y + 1 dy =
0
2
1
+ .
3
Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi h ( t ) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm
nước được t giây. Biết rằng h ( t ) =
13
t + 8 và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức
5
nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 1,66 cm.
B. 2,66 cm.
C. 3,66 cm.
D. 4,66 cm.
Đáp án B
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
6
4
12
3
h ( 6 ) = h ( t ) dt = ( t + 8 ) 3 − 2, 66 ( cm )
5 0
20
0
6
a
2
Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân I =
0
A. I =
( 2 − 1) a .
2
B. I =
( 2 + 1) a .
2
C. I =
x
dx theo a.
a−x
( − 2 ) a .
4
Đáp án A
Đặt x = a sin 2 t dx = 2a sin t cos tdt .
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 0 t = 0; x =
a
t =
2
4
D. I =
( + 2 ) a .
4
4
Khi đó I =
0
4
( − 2 ) a
a sin 2 t
.2
a
.sin
t
.cos
tdt
=
2
a
sin 2 t =
.
2
4
a (1 − sin t )
0
Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số
2 ( x + 1) , x 0
f ( x) =
. Tìm k để
2
k (1 − x ) , x 0
1
f ( x ) dx = 1.
−1
B. k = 2 .
A. k = 1 .
C. k = 3 .
D. k = 4 .: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Đáp án C
1
Ta có
−1
0
1
−1
0
f ( x ) dx = −2 ( x + 1) dx + k (1 − x 2 dx ) = −1 +
2k
=1 k = 3.
3
Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
A. g ( x ) =
9 x2 −1
.
9 x2 + 1
t 2 −1
t 2 + 1 dt . Tính đạo hàm g ( x ) .
2x
3x
B. g ( x ) =
9 x2 −1 4 x2 −1
C. g ( x ) = 2
.
−
9 x + 1 4 x2 + 1
D. g ( x ) =
4 x2 −1
.
4 x2 + 1
3 ( 9 x 2 − 1)
9 x2 + 1
−
2 ( 4 x 2 − 1)
4 x2 + 1
.
Đáp án D
Đặt f ( t ) =
t 2 −1
.
t2 +1
Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có
g ( x ) = F ( t ) 2 x = F ( 3x ) − F ( 2 x ) .
3x
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được
g ( x ) = 3F ( 3 x ) − 2 F ( 2 x ) = 3 f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x ) =
3 ( 9 x 2 − 1)
9 x2 + 1
−
2 ( 4 x 2 − 1)
4 x2 + 1
.
Câu 46: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
(C1 ) : x + 4 y − y 2 = 0 và (C2 ) : x − 2 y + y 2 = 0 .
A. 11.
B. 10.
C. 9.
D. 8.
Đáp án C
Phương trình tung độ giao điểm giữa ( C1 ) : x = y 2 − 4 y và ( C2 ) : x = 2 y − y 2 là: (Gv Văn Phú
Quốc 2018)
- Xem thêm -
.PDF 
26 
26 
120 
