Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 + cos x là
A. 2x − sin x + C.
B. 3x3 + sin x + C.
C.
x3
− sin x + C.
3
D.
x3
+ sin x + C.
3
Đáp án D
e
Câu 2 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho
ln x − 1
1 e+a
dx = ln
với a,b,c là các số
2
2
c e−b
x−x
ln
1
nguyên dương. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A. 6.
B. 9.
C. 10.
D. 4.
Đáp án D
ln x − 1
ln x − 1
ln x
1 − ln x
x2
dt =
dx.
dx
=
dx. Đặt t =
Có 2
2
2
x
x2
ln x − x
1
1 ln x
−1
x
e
e
1
Đổi cận x = 1 t = 0; x = e t = .
e
1
e
1
−dt 1 t + 1
1 e +1
Vậy I = 2
= ln
. Vậy a = b = 1, c = 2 và a + b + c = 4
e = ln
t
−
1
2
t
−
1
2
e
−
1
0
0
Câu 3 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hàm số f (x) xác định trên (−; −1) (0; +) và
1
1
f ( x) = 2
, f (1) = ln . Biết
2
x +x
2
( x
2
+ 1) f ( x)dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a,b,c là các số hữu
1
tỉ. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A.
27
.
2
B.
1
.
6
C.
Đáp án C
Có f ( x ) = f ( x ) dx =
Do f (1) = ln
1
x
dx = ln
+C
x +x
x +1
2
1
x
C = 0 f ( x ) = ln
.
2
x +1
x
Vậy I = ( x + 1) f ( x ) dx = ( x 2 + 1) ln
dx
x +1
1
1
2
2
2
1
x
du = 2
dx
u
=
ln
x
+
x
x +1
.
Đặt
3
x
2
dv = ( x + 1) dx v = + x
3
7
.
6
3
D. − .
2
2
2
2
x3
x
x3
1
14 2 4 1
x2 + 3
Vậy I = + x ln
−
+
x
.
dx
=
ln
−
ln
−
dx
2
3 3 3 2 1 3 ( x + 1)
3
x +1 1 1 3
x +x
x2 + 3
1
4
1
dx = x − 1 +
dx = (1 + 8ln 3 − 8ln 2 ) .
3 x + 1)
31
x +1
6
1 (
2
2
Trong đó K =
2
(x
Do đó
2
+ 1) f ( x ) dx =
1
Vậy a + b + c = −6 +
14 2 4 1 1
22
1
ln − ln − (1 + 8ln 3 − 8ln 2 ) = −6ln 3 + ln 2 − .
3 3 3 2 6
3
6
22 1 7
− = .
3 6 6
Câu 4 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm
( f ( x)) 2
0 f ( x) dx = 6. Tính f (1) .
2
liên tục trên đoạn [0; 2] thoả mãn f (0) = 3, f (2) = 12 và
A.
27
.
4
B.
25
.
4
C.
9
.
2
D.
15
.
4
Đáp án A
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân có:
2
2
1 dx
2
0
( f ( x ))
f ( x)
0
2
Do đó
2
( f ( x ))
0
f ( x)
2
2 f ( x)
2 2
dx
dx = 2 f ( x ) = 2 f ( 2 ) − 2 f ( 0 )
0
0 f ( x)
(
2
dx 6. Vậy dấu bằng phải xảy ra, tức
) = ( 2 12 − 2 3 )
2
2
= 12.
f ( x)
= k 2 f ( x ) = kx + C.
f ( x)
3x + 2 3
27
C = 2 3
k = 3
Mặt khác f ( 0 ) = 3, f ( 2 ) = 12
f ( x ) =
f (1) = .
2
4
2k + C = 2 12
C = 2 3
2
Câu 5 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho số phức z = m + 3 + (m2 − 1)i, với m là tham số
thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong (C). Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
A.
4
.
3
B.
8
.
3
C.
2
.
3
D.
1
.
3
Đáp án A
x = m + 3
2
m = x − 3
( C ) : y = ( x − 3) − 1.
Có M ( x; y ) biểu diễn số phức z
2
2
y = m −1
y = ( x − 3) − 1
4
4
2
2
Xét ( x − 3) − 1 = 0 x = 2; x = 4 . Vậy S = ( x − 3) − 1 dx = .
3
2
1
Câu 6 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Tích phân
1
cos
0
A. tan1.
2
x
dx bằng
C. − tan1.
B. − cot1.
D. cot1.
Đáp án A
Câu 7 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ln 1 − x + C.
B.
1
ln(1 − x) 2 + C.
2
C. − ln 2 − 2 x + C.
1
là
1− x
1
D. − ln 1 − x + C.
2
Đáp án C
Ta có:
1
1 − x dx = − ln 1 − x + C = − ln 2 − 2 x + C .
1
Câu 8 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Tích phân (3 x 2 + 1)dx bằng
0
A. 6.
C. −6.
B. 2.
D. −2.
Đáp án B
Câu 9: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị
hàm số y = 2 x, y =
1− x
,y=0
x
(phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể
tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng
2
2
5
5
A. V = − 2 ln 2 . B. V = 2 ln 2 − . C. V = + 2 ln 2 . D. V = 2 ln 2 + .
3
3
3
3
Đáp án A
Phương trình các hoành độ giao điểm: 2 x =
2x = 0 x = 0
1− x
= 0 x =1
x
1− x
1
x = −1; x = .
x
2
1
2
1− x
5
Dựa vào hình vẽ ta có V = ( 2 x ) dx +
dx = − 2 ln 2 .
3
1 x
0
2
1
2
2
Câu 10 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ( x) liên tục
trên đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = f (0) = 1, f (0) = 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
1
1
A. f ( x)(1 − x)dx = −2018.
B. f ( x)(1 − x)dx = 1.
0
0
1
1
C. f ( x)(1 − x)dx = 2018.
D. f ( x)(1 − x)dx = −1.
0
0
Đáp án A
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
1
1
1
f ( x)(1 − x)dx = ( x − 1)d ( f ( x ) ) = (1 − x ) f ( x ) 0 − f ( x )d (1 − x )
1
0
0
0
1
= − f (0) + f ( x)dx = − f (0) + f (1) − f (0) = −2018.
0
3
Câu 11 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho
1+
1
1
c+ d
với c nguyên
dx = a − b + ln
2
x
e
dương và a, b, d , e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng
A. 10
B. 14
C. 24
D. 17
Đáp án A
Đặt u = 1 + x 2 u 2 = 1 + x 2 2udu = 2 xdx, x 2 = u 2 − 1
1
1 u −1
1 + u 2 − 1 du = u + 2 ln u + 1
2
2
2
u2
I= 2
du =
u −1
2
2
= 2 − 2 + ln
2
1+ 2
3
.
Vậy a + b + c + d + e = 2 + 2 + 1 + 2 + 3 = 10.
Câu 12 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả
1
1
mãn x 2 f ( x)dx = 0 và max f ( x) = 6. Giá trị lớn nhất của tích phân x 3 f ( x)dx bằng
[0;1]
0
A.
1
.
8
B.
0
3(2 − 3 4)
.
4
Đáp án B
1
Với mọi số thực a ta có ax 2 f ( x)dx = 0, do đó
0
C.
2− 3 4
.
16
D.
1
.
24
1
1
1
1
0
0
0
0
3
3
2
3
2
x f ( x)dx = x f ( x)dx − ax f ( x)dx = ( x − ax ) f ( x)dx
1
1
0
0
1
x3 − ax 2 . f ( x) dx x3 − ax 2 .max f ( x) dx = 6 x 3 − ax 2 dx, a
[0;1]
0
Do đó
1
1
1
3
3
2
3
2
x f ( x)dx 6 min x − ax dx 6 min x − ax dx =
aR
0
Đạt tại a =
1
Trong đó
1
3
2
0
.
a
1
0
a
x3 − ax 2 dx = x3 − ax 2 dx + x 3 − ax 2 dx =
0
Câu 13
[0;1]
0
1
3(2 − 3 4)
min(2a 4 − 4a + 3) =
.
2 [0;1]
4
1
(2a 4 − 4a + 3).
12
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b(a b) được tính theo công thức
nào dưới đây ?
b
A. S = f ( x )dx.
a
b
b
b
D. S = f ( x) dx.
C. S = f ( x)dx.
B. S = f 2 ( x)dx.
a
a
a
Đáp án D
Câu 14 (Gv Đặng Thành Nam)Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt
phẳng x = 0 và x = ln 4, bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
x (0 x ln 4), có thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là
A. V =
x
xe dx.
ln 4
ln 4
ln 4
B. V =
C. V =
xe x dx.
0
0
xe x .
x
xe dx.
D. V =
ln 4
( xe
0
0
Đáp án C
Câu 15 (Gv Đặng Thành Nam): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 1 là
A. cos x + x + C.
B.
sin 2 x
+ x + C.
2
C. − cos x + x + C.
D. cos x + C.
Đáp án C
Ta có:
( sin x + 1) dx = sin xdx + dx = − cos x + x + C.
1
Câu 16 (Gv Đặng Thành Nam): Tích phân 10 x dx bằng
0
A. 90.
B. 40.
C.
9
.
ln10
D. 9ln10.
x 2
) dx.
Đáp án C
1
10 x
101 − 100
9
=
=
.
Ta có: 10 dx =
ln10 0
ln10
ln10
0
1
x
Câu 17 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hình thang cong
y=
(H) giới hạn bởi các đường
1
1
1
, x = , x = 2 và trục hoành. Đường thẳng x = k k 2 chia (H) thành hai phần
x
2
2
có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để S1 = 3S2 .
7
C. k = .
5
B. k = 1.
A. k = 2.
D. k = 3.
Đáp án A
2
Diện tích của hình thang cong (H) bằng S =
1
2
2
1
1
1
2
dx = dx = ln x 1 = ln 2 − ln = 2 ln 2.
x
2
2
1 x
Vậy theo giả thiết có S1 = 3S2 = 3 ( S − S1 ) S1 =
2
k
3
3ln 2
1
3ln 2
S=
dx =
4
2
2
1 x
2
ln x 1 =
2
2
3ln 2
ln 2
ln k =
k = 2.
2
2
2
Câu 18 (Gv Đặng Thành Nam)Cho
1
1
1
+ 6 dx = a 2 − b 5 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị
8
x
x
của biểu thức a + b bằng
A.
7
.
8
Đáp án A
B.
11
.
24
C.
7
.
5
D.
11
.
5
3
2
Ta có
2
1+
1
1 1
1
. 3 dx = −
2
x x
21
1
1 + 2 2
1
1
1 x
2 2 5 5
1 + 2 d 1 + 2 = − .
=
−
.
3
1
x x
2
3
24
2
2
7
5
Vậy a = , b =
và a + b = .
3
8
24
m
(Gv Đặng Thành Nam) Cho I (m) =
Câu 19:
0
nguyên dương m để e I ( m )
1
dx. Có tất cả bao nhiêu số
x + 3x + 2
2
99
.
50
A. 100. B. 96. C. 97. D. 98.
Đáp án C
1
x +1
dx = ln
Ta có I (m) =
( x + 1)( x + 2)
x+2
0
m
Do đó e I ( m ) = e
ln
2 m+ 2
m+ 2
=
m
= ln
0
m +1
1
2m + 2
− ln = ln
.
m+2
2
m+2
2m + 2 99
m 98 m 1; 2;...;97 .
m + 2 50
Có tất cả 97 số nguyên dương thoả mãn.
Câu 20: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]
thoả mãn 3 f ( x) + xf ( x) x 2018 với mọi x [0;1]. Giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
f ( x)dx
0
bằng
A.
1
.
2021 2022
B.
1
.
2018 2021
C.
1
.
2018 2019
D.
1
.
2019 2021
Đáp án D
Ta có: 3x 2 f ( x) + x3 f ( x) x 2020 ( x3 f ( x) ) x 2020 , x [0;1]
x
(x
3
x
f ( x) ) dx x
0
0
2020
x 2021 x
dx, x [0;1] x f ( x)
, x [0;1]
0
2021 0
x
3
x 2021
x f ( x)
, x [0;1]
2021
3
1
1
x 2018
x 2018
1
f ( x)
,, x [0;1] f ( x)dx
dx =
.
2021
2021
2019 2021
0
0
Câu 21 (Gv Đặng Thành Nam): Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) giới
hạn bởi các đường y = x3 , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành bằng
A. V =
4
B. V =
.
2
.
5
C. V =
6
D. V =
.
7
.
Đáp án D
1
Ta có V = ( x 3 ) 2 dx =
0
7
.
2
Câu 22: (Gv Đặng Thành Nam) Tích phân
1
5x − 2 dx bằng
1
A.
1 8
ln .
5 3
B.
1 8
ln .
2 3
8
C. 5 ln .
3
8
D. 2 ln .
3
Đáp án A
Câu 23 (Gv Đặng Thành Nam) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 là:
1
+C .
2x +1
A.
B.
( 2 x + 1)
3
3
+C.
C.
( 2 x + 1)
2
3
3
+C .
D.
3
( 2 x + 1)
3
4
+C .
Đáp án B
Ta có
(2 x + 1)3
1 (2 x + 1)3
2 x + 1dx = .
+C =
+ C.
1
2
3
+1
2
Câu 24 (Gv Đặng Thành Nam)Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 2 = 2 x , cung
tròn có phương trình y = 8 − x 2
(với 0 x 2 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình
vẽ). Diện tích của ( H ) bằng
2 + 3
A.
.
3
2 + 3
B.
.
3
(
).
4 2 4 8 −1
C.
3
Đáp án B
Với 0 x 2 2 y 2 = 2 x y = 2 x .
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 x = 8 − x 2 x = 2(0 x 2 2).
D.
5 3 − 2
.
3
2
Vậy S = 2 xdx +
2 2
0
8 − x 2 dx =
2
2 + 3
.
3
Câu 25: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục trên
đoạn 0;1 thoả mãn
1
1
1
0
0
0
x
x
x
e f ( x ) dx = e f ( x ) dx = e f ( x ) dx 0 . Giá trị của biểu thức
ef (1) − f ( 0 )
bằng
ef (1) − f ( 0 )
A. −2 .
B. −1 .
C. 2.
D. 1.
Đáp án D
1
1
1
0
0
0
Theo giả thiết đặt e x f ( x)dx = e x f ( x )dx = e x f ( x)dx = k 0.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
1
1
0
0
1
x
x
x
x
e f ( x)dx = e d ( f ( x)) = e f ( x) − f ( x)e dx
1
0
0
k = ef (1) − f (0) − k ef (1) − f (0) = 2k .
Và
1
1
0
0
1
x
x
x
x
e f ( x)dx = e d ( f ( x)) = e f ( x) − f ( x)e dx
1
0
0
k = ef (1) − f (0) − k ef (1) − f (0) = 2k .
Vậy
ef (1) − f (0)
= 1.
ef (1) − f (0)
Câu 26: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên
mãn f ( x5 + 4 x + 3) = 2 x + 1 với mọi x . Tích phân
8
f ( x ) dx bằng
−2
A. 10.
B.
32
.
3
C. 72.
Đáp án A
Đặt x = t 5 + 4t + 3 dx = ( 5t 4 + 4 ) dt và f ( x) = f (t 5 + 4t + 3) = 2t + 1.
Với x = −2 t 5 + 4t + 3 = −2 t = −1; x = 8 t 5 + 4t + 3 = 8 t = 1.
8
1
0
−1
Do đó f ( x)dx = (2t + 1)(5t 4 + 4) dt = 10.
D. 2.
thỏa
Câu 27: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm và liên tục
x
trên đoạn 0;1 . Đặt g ( x ) = 1 + 2 f ( t ) dt . Biết g ( x ) f ( x ) với mọi x 0;1 . Tích phân
3
0
1
3
g ( x ) dx có giá trị lớn nhất bằng
2
0
A.
5
.
3
B. 4.
C.
4
.
3
D. 5.
Đáp án A
Ta có g (0) = 1 và đạo hàm ta có
x
x
g ( x)
g ( x)
g ( x) = 2 f ( x) 2 g ( x)
2
dx 2dx
3 g ( x)
3 g ( x)
0
0
3
x
0
x
d ( g ( x))
3
3
3
2 x 3 [ g ( x)]2 2 x 3 [ g ( x)]2 2 x +
3 g ( x)
0
2
2
2
5
4x + 3
3 [ g ( x)] 4 x + 3 [ g ( x)] dx
dx = .
3
3
0
0
1
2
3
1
2
3
4x + 3
Dấu bằng xảy ra g ( x) =
.
3
3
Câu 28 (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi parabol y = 3x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục hoành
bằng
A.
3
.
5
B.
2 3
.
3
C.
3
.
3
D.
6
.
5
D.
7
.
144
Đáp án D
1
Ta có V =
−1
(
3x 2
)
2
dx =
6
.
5
1
Câu 29: (Gv Đặng Thành Nam) Tích phân
1
x + 3 dx
bằng
0
A.
1
.
12
B. ln
4
.
3
Đáp án B
1
Có
1
1
4
x + 3 dx = ln x + 3 0 = ln 3 .
0
4
C. log .
3
9
16
Câu 30 (Gv Đặng Thành Nam): Cho
1
a − b ln 2
dx =
với a,b,c là các số
c
x +1 + x +1
0
nguyên dương và
a
tối giản. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
c
A. 43.
B. 48.
C. 88.
D. 33.
Đáp án D
x +1 + x = t
2
1
2
1
Đặt
1 2 x = t − 4 x = t − t 4dx = 2t − 3 dt.
t
t
x +1 − x =
t
1 t4 −1
9 − 8ln 2
dt =
.
Do đó I = 3
2 1 t (t + 1)
16
2
Vậy a = 9, b = 8, c = 16 và a + b + c = 33.
Câu 31
( P ) : y = 8x − x 2
chia
(H )
A. 2048.
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và trục hoành. Các đường thẳng y = a, y = b, y = c với 0 a b c 16
thành bốn phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức
(16 − a ) + (16 − b ) + (16 − c )
3
(H )
(Gv Đặng Thành Nam): Gọi
3
3
bằng
B. 3584.
C. 2816.
D. 3480.
Đáp án B
8
Ta có diện tích của hình phẳng (H) là S = 8 x − x 2 dx =
0
256
.
3
y = 8x − x2
( 64 − 4a ) 9S 2
3S
81S 2
, S1 =
=
(16 − a )3 =
.
Ta có: S1 :
4
36
16
256
y = a
3
y = 8x − x2
S
(64 − 4b)3 S 2
9S 2
, S2 =
=
(16 − b)3 =
.
Và S2 :
2
36
4
64
y = b
y = 8x − x2
S
(64 − 4c)3 S 2
9S 2
S3 :
, S3 =
=
(16 − c)3 =
.
4
36
16
256
y
=
c
Vậy (16 − a)3 + (16 − b)3 + (16 − c)3 =
(81 + 36 + 9) S 2
= 3584.
256
Câu 32 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa
1
mãn f ( 0) = 0, f (1) = 1 và
2
1
1 + x 2 f ( x ) dx =
. Tích phân
ln 2
0
(
(
) (
0
2 −1 2
1
ln 1 + 2 .C. ln 1 + 2 .
2
2
(
)
1 2
ln 1 + 2 . B.
2
A.
1
)
(
)
f ( x)
1 + x2
dx bằng
D.
)
2 − 1 ln 1 + 2 .
Đáp án C
Theo bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:
1
1+ x
2
( f ( x ))
2
0
1
Mặt khác
1+ x
0
1
Vì vậy
1
dx.
0
1
2
(
dx = ln x + 1 + x 2
1 + x 2 ( f ( x ) ) dx.
2
1
2
dx f ( x ) dx = ( f (1) − f ( 0 ) ) = 1
2
1+ x
0
1
2
(
) 10 = ln (1 + 2 ).
1
ln 1 + 2
0
)
.
Do vậy đẳng thức xảy ra, tức
f ( x ) . 4 1 + x2 =
k
4
1+ x
2
Nhưng do f ( 0) = 0, f (1) = 1 nên f ( x ) =
1
Do đó tích phân
0
=
=
(
1
ln 1 + 2
f ( x)
1 + x2
dx =
ln ( x +
1
)
0
(
2 ln (1 + 2 )
1
k
f ( x) =
(
(
ln 1 + 2
1
ln 1 + 2
1
1
1+ x
2
)
0
)( (
)
)
(
ln x + 1 + x 2 .
(
ln x + 1 + x 2
1 + x2
1 + x 2 d ln x + 1 + x 2
ln 2 x + 1 + x 2
)
(
f ( x ) = k ln x + 1 + x 2 + c
) dx
))
) 10 = 12 ln (1 + 2 )
Câu 33 (Gv Đặng Thành Nam): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3x là
A.
1 x
e +C .
3
Đáp án D
B. 3e3 x + C .
C. e3x + C .
D.
1 3x
e +C.
3
Câu 34 (Gv Đặng Thành Nam) Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1; x = 1 và thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
x(−1 x 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3π. Thể tích của vật thể là
B. 6 . C. 6.
A. 3 2 .
D. 2 .
Đáp án B
1
1
−1
−1
Có V = S ( x)dx = 3 dx = 6 .
Câu 35 (Gv Đặng Thành Nam)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan x là
A. ln cos x + C.
B.
1
+ C.
cos 2 x
C. − ln cos x + C.
D. −
1
+ C.
cos 2 x
Đáp án C
Có
sin x
tan xdx = cos x dx = −
d (cos x)
= − ln cos x + C.
cos x
1
Câu 36 (Gv Đặng Thành Nam)Tích phân e 2 x dx bằng
0
e2 − 1
B.
.
2
A. e − 1.
2
C. 2(e2 − 1).
D.
e −1
.
2
Đáp án B
1
1
0
0
Câu 37: (Gv Đặng Thành Nam)Cho xf ( x ) dx = 1 và f (1) = 10. Tích phân f ( x)dx bằng:
A. 8.
B. 11.
C. 10.
D. 9.
Đáp án D
Tích phân từng phần có
1
1
1
1
1 1
1 = xf ( x)dx = xd ( f ( x)) = xf ( x) − f ( x)dx = f (1) − f ( x )dx f ( x )dx = 10 − 1 = 9.
0 0
0
0
0
0
Câu 38 (Gv Đặng Thành Nam)Cho
đường cong y = 1 −
x2
4
(H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
(với 0 x 2 ) và trục hoành (tham khảo hình vẽ bên).
2 x2
,
4
Diện tích của (H) bằng
A.
3 − 2
.
12
B.
3 + 4 2 − 6
.
12
C.
4 + 3 2 − 8
.
12
D.
+ 2 −2
3
.
Đáp án A
2 x2
x2
= 1−
x = 2(0 x 2).
4
4
Có
2
Do đó S =
0
2x2
dx +
4
2
1−
2
x2
3 − 2
dx =
.
4
12
1
Câu 39:
(Gv Đặng Thành Nam) Cho
0
1
( x + 3)( x + 1)3
dx = a − b với a,b là các số
nguyên. Giá trị của biểu thức a b + b a bằng
A. 17.
B. 57.
C. 145.
D. 32.
Đáp án A
1
Có
0
1
( x + 3)( x + 1)3
1
1
1
dx
1
.
=−
2
20
x + 3 ( x + 1)
x +1
dx =
0
1
x+3 1
x+3
d
= 3 − 2.
=−
x +1 0
x + 3 x +1
x +1
Vậy a = 3, b = 2 và a b + b a = 32 + 23 = 17.
Câu 40 (Gv Đặng Thành Nam)Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
1
f ( x) + 3xf ( x 2 ) = 1 − x 2 với mọi x thuộc đoạn [0;1]. Tích phân f ( x)dx bằng
0
A.
.
16
B.
28
C.
.
5
.
8
D.
Đáp án D
1
Có
1
1
1
2
2
2
0 f ( x) + 3xf ( x ) dx = 0 1 − x dx = 4 0 f ( x)dx + 30 xf ( x )dx = 4 .
.
10
1
1
1
1
dt 1
1
Đặt t = x dt = 2 xdx và xf ( x )dx = f (t ). = f (t ) dt = f ( x) dx.
2 20
20
0
0
2
2
3
Vậy có f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx = .
20
4
10
0
0
1
1
1
Câu 41 (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
cung tròn y = 4 − x 2 , trục hoành xung quanh trục hoành là
2
A. (4 − x )dx.
2
−2
2
2
C. 4 − x dx.
B. (4 − x ) dx
2
2
−2
0
2
D. 4 − x 2 dx.
0
Đáp án A
Câu 42 (Gv Đặng Thành Nam): Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. −
2 cos( x + 2)
cos( x + 2)
+ C.
+ C. B. − 3
3
sin ( x + 2)
sin ( x + 2)
C. cot( x + 2) + C.
1
là
sin ( x + 2)
2
D. − cot( x + 2) + C.
Đáp án D
3
Câu 43: (Gv Đặng Thành Nam) Tích phân e3 x +1 dx bằng
1
A.
e3 − e
.
3
B.
e9 − e3
.
3
C.
e10 − e 4
.
3
D.
e8 − e 2
.
3
Đáp án C
(Gv Đặng Thành Nam)Cho
Câu 44
y=
(H) là hình phẳng nằm bên trong nửa elip
3 2
1
x . Diện tích của (H) bằng
4 − x 2 và nằm bên ngoài parabol y =
2
2
A.
4 − 3
.
6
B.
2 + 3
.
6
C.
2 − 3
.
6
D.
4 + 3
.
6
Đáp án A
Có
1
1
3 2
4 − x 2 = 0 x = 2;
4 − x2 =
x x = 1.
2
2
2
1
1
3 2
4 − 3
4 − x 2 dx −
4 − x2 −
x dx =
.
Vậy S =
2
2
2
6
−2
−1
2
1
e
Câu 45: (Gv Đặng Thành Nam)Cho
ln x
(ln x + x + 1)
2
dx =
1
ae − 2
, với a,b là các số nguyên
be + 4
dương. Giá trị của biểu thức b − a bằng
A. 1.
B. 3.
C. −1.
D. −3.
Đáp án A
Đổi biến t =
x
ln x
dt =
dx. . Khi đó
ln x + 1
(ln x + 1) 2
ln x
(ln x + 1) 2
e
2
e
dt
1 2
e−2
I =
dx =
=−
=
.
2
2
t + 1 1 2e + 4
x
1
1 (t + 1)
1 +
ln x + 1
e
Vậy a = 1, b = 2 b − a = 1.
(Gv Đặng Thành Nam) Cho hai số thực dương a,b thoả mãn a + b = 2018 và
Câu 46:
b
a
b
x
dx = 10. Tích phân sin
dx bằng
3
x + 2018 − x
a
x
A.
3 3
.
2
B. −
3 3
.
2
C.
9
.
2
D. −
9
.
2
Đáp án D
b
Có I =
a
x
x + 2018 − x
a+b− x
b
I =
a
dx và
b
a + b − x + 2018 − (a + b − x)
dx =
a
2018 − x
2018 − x + x
dx.
b
Cộng theo vế có 2 I = 1dx = b − a b − a = 20; a + b = 2018 a = 999, b = 1019.
a
x
Do đó sin
dx =
3
a
b
9
x
sin
.
dx = −
3
2
999
1019
Câu 47 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn
[0;1] thoả mãn [ f ( x)]2 + f ( x) f ( x) 1, x [0;1] và f 2 (0) + f (0). f (0) =
3
. Giá trị nhỏ
2
1
nhất của tích phân f 2 ( x)dx bằng
0
A.
5
.
2
B.
1
.
2
C.
11
.
6
Đáp án C
Có ( f ( x). f ( x) ) = [ f ( x)]2 + f ( x) f ( x) 1, x [0;1].
Do đó lấy tích trên trên đoạn [0; x] [0;1] có
D.
7
.
2
x
x
( f ( x). f ( x) ) dx 1dx
0
f ( x) f ( x ) − f (0) f (0) x.
0
Tiếp tục lấy tích trên trên đoạn [0; x] [0;1] có
x
x
0
0
f ( x) f ( x)dx f (0) f (0) + x dx
f 2 ( x) f 2 (0)
x2
−
f (0) f (0) x +
f 2 ( x) x 2 + f 2 (0) + 2 f (0) f (0) x.
2
2
2
1
1
0
0
Vì vậy f 2 ( x)dx x 2 + f 2 (0) + 2 f (0) f (0) x dx =
1
1 3 11
+ f 2 (0) + f (0) f (0) = + = .
3
3 2 6
Dấu bằng đạt tại chẳng hạn hàm số f ( x) = x 2 + x + 1.
Câu 48 (Gv Đặng Thành Nam) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = xe x là
2
A. (2 x2 + 1)e x + C.
2
B. e x + C.
2
C.
1 x2
e + C.
2
D. 2e x + C.
2
Đáp án C
2
1 2
ex
+ C.
Có xe dx = e x d ( x 2 ) =
2
2
x2
Câu 49: (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox
1
hình phẳng giới hạn bởi y =
A.
1 5
ln .
2 3
B.
2x + 3
, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 là
5
ln .
2 3
C. ( 5 − 3).
5
D. 2 ln .
3
Đáp án B
1
Có V = (
0
1
2x + 3
1
) 2 dx =
0
1 5
1
dx = ln(2 x + 3) = ln .
0 2 3
2x + 3
2
1
Câu 50 (Gv Đặng Thành Nam): Tích phân cos xdx bằng
0
A. −2 .
C. 2 .
B. sin1.
D. − sin1.
Đáp án B
8
Câu 51 (Gv Đặng Thành Nam): Cho
1 + 1 + x dx =
0
dương và
A. 111.
a− b
với a,b,c là các số nguyên
c
a
tối giản. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
c
B. 239.
C. 255.
D. 367.
Đáp án D
Đặt t = 1 + 1 + x t 2 = 1 + 1 + x x = (t 2 − 1) 2 − 1 dx = 4t (t 2 − 1)dt.
8
Đổi cận x = 0 t = 2; x = 8 t = 2 1 + 1 + x dx =
0
2
4t
2
(t 2 − 1)dt =
2
224 − 128
.
15
Vậy a + b + c = 224 + 128 + 15 = 367.
Câu 52 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 2] thoả mãn
2
2
f ( x) = f (2 − x), x [0; 2]. Tích phân ( x 3 − 3 x 2 ) f ( x) dx bằng
f ( x)dx = 10 và
0
0
B. 20. C. 40. D. −20.
A. −40.
Đáp án D
b
b
a
a
Dùng tính chất f ( x)dx = f (a + b − x)dx có
2
I
=
( x 3 − 3 x 2 ) f ( x)dx
0
.
2
2
I = ((2 − x)3 − 3(2 − x) 2 ) f (2 − x) dx = (− x 3 + 3 x 2 − 4) f ( x) dx
0
0
2
Cộng theo vế có 2 I = − 4 f ( x)dx = −4 10 I = −20.
0
Câu 53: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]
thỏa mãn f (1) = 1 và
( f ( x) )
2
+ 4(6 x 2 − 1) f ( x) = 40 x 6 − 44 x 4 + 32 x 2 − 4, x [0;1]. Tích
1
phân f ( x)dx bằng
0
A.
23
17
. B. − .
15
15
C.
13
7
. D. − .
15
15
Đáp án C
Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên đoạn [0;1] có
1
1
1
0
0
2
6
4
2
( f ( x) ) dx + 4(6 x − 1) f ( x)dx = ( 40 x − 44 x + 32 x − 4 ) dx =
2
0
Theo công thức tích phân từng phần có
376
.
105
1
1
1 1
2
3
3
(6
x
−
1)
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
d
(2
x
−
x
)
=
(2
x
−
x
)
f
(
x
)
− (2 x 3 − x) f ( x)dx
0
0
0 0
1
= 1 − (2 x 3 − x) f ( x)dx.
0
Thay lại đẳng thức trên có
1
1
1 3
376
44
2
3
0 ( f ( x) ) dx + 4 1 − 0 (2 x − x) f ( x)dx = 105 0 ( f ( x) ) dx − 40 (2 x − x) f ( x)dx + 105 = 0
1
2
1
( f ( x) − 2(2 x
3
− x) ) dx = 0 f ( x) 2(2 x 3 − x), x [0;1] f ( x) = x 4 − x 2 + C.
2
0
1
1
0
0
Mặt khác f (1) = 1 C = 1 f ( x) = x − x + 1 f ( x)dx = ( x 4 − x 2 + 1)dx =
4
2
13
.
15
- Xem thêm -
.PDF 
19 
19 
122 
