Mô tả:
Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên
hàm của f ( x ) = cos − x
2
A. F ( x ) = sin − x + C
2
B. F ( x ) = sin + x
2
C. F ( x ) = − sin − x
2
D. F ( x ) = cos x
Đáp án C
Ta có − sin − x = cos x −
2
2
Chú ý
* Theo định nghĩa, nguyên hàm của hàm số f ( x ) là các hàm số F ( x ) thõa mãn điều
kiện F ( x ) = f ( x ) , x K
* Để tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) , các em chỉ cần tìm một nguyên hàm
F ( x ) của nó.
Câu 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng
(phần gạch trong hình) là:
−3
4
f ( x ) dx + f ( x ) dx
A.
C.
0
0
0
0
B.
4
−3
1
f ( x ) dx + f ( x ) dx
4
f ( x ) dx + f ( x ) dx
−3
1
D.
f ( x ) dx
−3
4
Đáp án C
- Vì đồ thị của hàm số f ( x ) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 0 nên:
- Diện tích phần gạch trên hình là: S =
Câu 3
4
0
0
−3
−3
4
f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3 x y = 0, x = 1, x = 8.
A.
3
B.
93
5
C.
9
4
D. 8
Đáp án B
y = 3 x
- Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi y = 0
. Khi quay D quanh Ox tạo thành khối
x = 1; x = 8
8
tròn xoay có thể tích là: VOX =
( x)
3
2
8
2
3
dx = x dx =
1
1
93
.
5
Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A.
3
1
1
3
3
3
( 2x − x ) dx = ( x − 2x ) dx
B. e x dx =
C. cos ( − x ) sin xdx = −1
0
D.
e x +1
+C
x +1
1
x dx = ln x + C
Đáp án B
A. Đúng
B. Sai vì e x dx = e x + C
−
x
sin
xdx
=
cos
( − x ) sin xdx = −1
0 ( )
0
C. Đúng vì
D. Đúng.
Lỗi sai:
x n +1
+ c ( n −1) và e x dx = e x + c
Các em nhớ nhầm công thức x dx =
n +1
n
Câu 5:
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số f
5
5
4
4
1
2
1
2
(x) liên tục trên
thỏa mãn
f ( x ) dx = 5, f ( u) du = 9, f ( t ) dt = 4 . Tính I = f ( x ) dx .
A. I = 0.
C. I = 8.
B. I = 18.
D. I = 10.
Đáp án C
4
5
1
4
5
5
4
5
1
2
1
1
Em có I = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx + f ( x ) dx
2
2
5
5
4
2
1
1
= f ( u) du − f ( x ) dx + f ( t ) dt = 9 − 5 + 4 = 8.
Câu 6 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Họ các nguyên hàm F (x) của hàm số f ( x ) = x lnx
trên khoảng ( 0;+ ) là
A.
1 2
1
x lnx + x 2 + C
2
4
B.
1 2
1
x lnx + x 2 + C
2
2
C.
1 2
1
x lnx − x 2 + C
2
4
D.
1 2
1
x lnx − x 2 + C
2
2
Đáp án C
1
du = dx
u = lnx
1
1
1
1
x
Đặt
I = x 2 lnx − xdx = x 2 lnx − x 2 + C.
2
2
2
4
dv = xdx v = 1 x 2
2
Câu 7 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y =
ex
x
2
e2x
dx
x
1
trên ( 0;+ ) . Tính I =
A. F ( 4) − F ( 2)
B. 2 F ( 2) − F (1)
C.
F ( 4) − F ( 2)
2
D. 2 F ( 4) − F ( 2)
Đáp án A
Đặt t = 2x dt = 2dx . Đổi cận
x
1
2
t
4
2
4
4
4
4
et dt
et
ex
I=
= dt = dx = F ( x ) 2 = F ( 4) − F ( 2) .
t 2 2 t
x
2
2
2
Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. tanxdx = − ln cosx + C.
B. cotxdx = − ln cosx + C.
x
x
C. sin dx = 2cos + C.
2
2
x
x
D. cos dx = −2sin + C.
2
2
Đáp án A
•
tanxdx =
•
cot xdx =
•
d ( cosx )
sinx
dx = −
= − ln cosx + C.
cosx
cosx
d ( sinx )
cosx
dx =
= ln sinx + C.
sinx
sinx
x
x x
x
sin 2 dx = 2 sin 2 d 2 = −2cos 2 + C.
Câu 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b như trong hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
b
A. S = f ( x ) dx
a
b
C. S = f ( x ) dx
a
b
B. S = ( −f ( x ) ) dx
a
b
D. S = f ( x ) dx
a
Đáp án A
b
b
a
a
Từ hình trên S = f ( x ) dx = − f ( x ) dx → Đáp án B, C , D đúng.
2
x
dx và t = 1 + x −1. Khẳng định
x −1
1 1+
Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Đặt I =
nào trong các khẳng định sau là sai?
A. xdx = ( t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) dt.
B. I =
4
C. I = 2t 2 − 6t + 8 − dt.
t
1
2
D. I = t 3 − 3t 2 + 8t − 4 ln t
3
1
2
11
+ 4 ln 2.
3
2
Đáp án B
t = 1 + x − 1 x = ( t − 1) + 1 x 2 = ( t 2 − 2t + 2 )
2
2
xdx = ( t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) dt A đúng
Đổi cận x = 1 t = 1 và x = 2 t = 2
2
2
t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 )
(
x
4
I=
dx =
dt = 2t 2 − 6t + 8 − dt
t
t
x −1
1 1+
1
1
2
2
= t 3 − 3t 2 + 8t − 4 ln
3
2
11
t = − 4 ln 2.
1 3
C,D đúng; B sai
11
− 4 ln 2.
3
Câu 11: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f ( x ) = ln16x. Chọn khẳng định đúng.
Nếu B đúng phải sửa thành I =
A. f ( x ) dx =
x
( ln16x − 1) + C.
16
B. f ( x ) dx =
x
( ln16x − 1) + C.
4
C. f ( x ) dx = x ( ln16x − 1) + C.
D. f ( x ) dx = 4x ( ln16x − 1) + C.
Đáp án C
Bằng định nghĩa, ta tính được:
16
= ln16x.
( f ( x ) dx ) = x ( ln16x −1) + C = ln16x −1 + x 16x
Câu 12:
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay
quanh trục hoành Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = ln x, y = 0, x = 1, x = e.
B. e + 2.
A. e − 2.
C. ( e + 2) .
D. (e − 2).
Đáp án D
1
u = ln 2 x du = 2ln x. dx
Ta có: V = ( ln x ) dx; đặt
x
dv = dx
1
v = x
e
2
1
e
e
e
u = ln x du = dx
2
V = x.ln x − 2 ln x.dx = e − 2 ln x.dx ; đặt
x
1
dv = dx v = x
1
1
e
e
e
V = e − 2 x.ln x 1 − dx = e − 2 2 − x 1 = e − 2.
1
1
Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho F ( x ) = − 3 là một nguyên hàm của hàm số
3x
f (x)
. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) ln x.
x
A. f ( x ) ln xdx =
ln x
1
+ 5 + C.
3
x
5x
B. f ( x ) ln xdx =
C. f ( x ) ln xdx =
ln x
1
+ 3 + C.
3
x
3x
D. f ( x ) ln xdx = −
Đáp án C
f (x)
1
là một nguyên hàm của
nên
3
3x
x
f (x)
1
1 1
= F ( x ) = − 3 = 4 f ( x ) = 3
x
x
3x x
F(x) = −
Ta tính f ( x ) ln xdx
v = f ( x )
u = ln x
Đặt
1
dv = f ( x ) dx = d ( f ( x ) ) du = dx
x
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
ln x
1
− 5 + C.
3
x
5x
ln x
1
+ 3 + C.
3
x
3x
f (x)
ln x
1
dx = 3 + 3 + C
x
x
3x
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
f ( x ) ln xdx = ln xd ( f ( x ) ) = ln x.f ( x ) −
Câu 14:
y = x 2 − 6x + 9 và 2 đường thẳng x = 0; y = 0. Đường thẳng
trục tung tại điểm A (0;4). Giá trị của k để
(d) chia
(k
(d) có hệ số k
) và cắt
(H) thành 2 phần có diện tích bằng
nhau là:
A. −
16
.
9
B.
1
.
9
C. −
1
.
12
D. −
1
.
18
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 6x + 9 và trục hoành là:
x 2 − 6x + 9 = 0 x = 0.
(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
Diện tích hình phẳng
y = x 2 − 6x + 9
và
2
đường
thẳng
x = 0; y = 0
là:
3
x3
S = x − 6x + 9 dx = ( x − 6x + 9 ) dx = − 3x 2 + 9x = 9.
3
0
0
0
3
3
2
2
Phương trình đường thẳng
(d) có hệ số góc k và cắt trục tung tại
điểm A (0;4) là: y = kx +4
Gọi B là giao điểm của
4
(d) và trục hoành B − ;0 .
k
Để (d) chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau thì:
B OI
1
9
SAOB = 2 S = 2
2
0 − k 3
1 .OA.OB = 1 .4. − 4 = − 8 = 9
2
2 k
k 2
k=−
Câu 15:
16
.
9
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f
f ( x ) = 3 − 5sin x,f ( 0 ) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x ) = 3 + 5cos x + 5.
C. f ( x ) = 3 − 5cos x + 2.
B. f ( x ) = 3 + 5cos x + 2.
D. f ( x ) = 3 − 5cos x + 15.
(x) thỏa mãn
Đáp án A
Ta có: f ( x ) = f ( x ) dx = ( 3 − 5sin x ) dx = 3x + 5cos x + C.
f ( 0) = 10 5 + C = 10 C = 5.
Câu 16 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos3x .
B. cos 3xdx =
A. cos 3xdx = 3sin 3x + C.
C. cos 3xdx = −
sin 3 x
+ C.
3
sin 3 x
+ C.
3
D. cos 3xdx = sin 3x + C.
Đáp án B
1
1
cos 3xdx = 3 cos 3xd (3x ) = 3 sin 3x + C
e tan 2x +3
dx và u = tan 2x + 3 . Chọn
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho I =
1 − sin 2 2x
Câu 17
mệnh đề đúng.
A. du =
1
dx. B. I = e u du.
1 − sin 2 2x
C. I =
e tan 2x +3
+ C.
2
D. I = 2 e u du.
Đáp án C
Đặt u = tan 2x + 3 du =
2
2
dx =
dx.
2
cos 2x
1 − sin 2 2x
e tan 2x +3
1 2e tan 2x +3
1 e tan 2x +3d ( tan 2x + 3) =
dx
=
dx
=
Khi đó: I =
1 − sin 2 2x
2 1 − sin 2 2x
2
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( 0; + ) thỏa
Câu 18:
x
mãn
1
x2
f ( t ) dt = + 7 log 2 x . Tìm f ( 2 ) .
4
A.
69
+ 48
ln 2
B.
138
+ 54
ln 2
C.
138
69
+ 144 D.
+ 48
ln 2
ln 2
Đáp án C
Ta có f ( x ) = F ( x )
3
Em có
e tan 2x +3
+ C.
2
x
f ( x ) dx = F ( x )
1
3
1
x
=F
x2
x − F (1) = + 7 log2 x
4
( )
3
Đạo hàm 2 vế:
1
33 x
F'
( )
3
x =
x
1 x2
+ 7 + log2 x
x ln2 4
2
33 x 2
33 x 2 x 2
+
7
log2 x
+
x ln2 4
2
3.2
69
.23 + 144 =
+ 144
Cho x = 8 ta được f ( 2) =
2ln2
ln2
Chú ý áp dụng công thức:
* Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f ( u) có đạo hàm tại điểm
F'
( )
3
x =
u0 = u( x0 ) thì hàm số hợp g ( x ) = f u ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và
g' ( x0 ) = f ' ( u0 ) .u' ( x0 )
* Nếu giả thiết trong phần * trên được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số
hợp y = g ( x ) có đạo hàm trên J và
g' ( x ) = f ' u ( x ) .u' ( x )
Câu 19:
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới
hạn bởi các đường y =
1
, y = 0, x = 0, x = 2 quay một vòng quanh trục Ox là
x−3
(theo đơn
vị thể tích)
A. 2
(đvtt)
B.
2
3
(đvtt)
C.
4
3
(đvtt)
D.
1
3
(đvtt)
Đáp án B.
2
2
1
2
Thể tích khối tròn xoay là: Vox =
= − =
dx = −
x − 3
x−3 0
3 3
0
2
Câu 20: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Nguyên hàm của f ( x ) = cos 3x − là :
7
A.
1
sin 3x − + C
3
7
B. 3sin 3x − + C
7
1
C. − sin 3x − + C
3
7
D. −3sin 3x − + C
7
Đáp án A.
Ta có
1
1
cos 3x − 7 dx = 3 cos 3x − 7 d 3x − 7 = 3 sin 3x − 7 + C
1
Câu 21 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho
x
0
định đúng trong các khẳng định sau:
2
3x3 + 4dx và u = 3x3 + 4 . Chọn khẳng
2
9
A.
7
7
2
u du
B.
2
1
u2du
32
C.
1
9
1
7
2
u du
D.
2
2 2
u du
9 0
Đáp án A.
Đặt u = 3x3 + 4 u2 = 3x3 + 4 2udu = 9x2dx; Với x = 0 thì u = 2 ; Với x = 1 thì y = 7
1
Nên
2
3
x 3x + 4dx =
0
Câu
22
7
2
9
u du
2
2
(GV
Nguyễn
Thi
Lanh
2018)Tìm
số
thực
để
m
hàm
số
F ( x ) = mx3 + ( 3m + 2) x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x2 + 10x − 4 ?
A. m= −1 .
D. m = 2 .
C. m= 1.
B. m= 0 .
Đáp án C.
Cách 1: Ta có
f ( x) dx = (3x
2
)
+ 10x − 4 dx = x3 + 5x2 − 4x + C
m = 1
m = 1
.
Yêu cầu bài toán: 3m + 2 = 5
C = 3
3 = C
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(
)
Cách 2: Ta có F ( x ) = mx2 + ( 3m + 2) x2 − 4x + 3 = 3mx2 + 2 ( 3m + 2) x − 4.
Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F ( x ) = f ( x ) , x .
Do đó 3mx2 + 2 ( 3m + 2) x − 4 = 3x2 + 10x − 4 .
m = 1
m = 1.
Đồng nhất hệ số hai vế ta có
2 ( 3m + 2) = 10
Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x 2 , và đường thẳng y = 2x là
A.
4
3
B.
3
2
C.
5
3
D.
23
15
Đáp án A
b
Áp dụng công thức
f ( x ) − g ( x ) dx,
cận a,b ta phải tìm bằng cách giải phương trình
a
hoành độ giao điểm
x = 0
x = 2x
Ta có:
x = 2
2
2
0
2
2 x3
8 4
x − 2x dx = ( 2x − x ) dx = x − = 4 − =
3 0
3 3
0
2
2
2
ln ( x + 1)
dx = a ln 2 + b ln 3. Giá trị của a
x2
1
2
Câu 24:
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho I =
+b là
A.
9
.
2
B.
−9
.
2
3
C. − .
2
D.
3
.
2
Đáp án D
1
u = ln ( x + 1)
du =
dx
2
2
−1
1
3
x
+
1
Đặt
1
=
ln
x
+
1
+
dx = 3ln 2 − ln 3.
(
)
1
x
x ( x + 1)
2
1
1
dv = 2 dx
v = −1
x
x
3
Vậy a + b = .
2
Câu 25 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
y = tan2 x − cot 2 x ?
A. y =
1
1
−
. B. y = tanx − cot x.
sinx cosx
C. y =
1
1
+
. D. y = tanx + cot x.
sinx cosx
Đáp án D
Ta có
1− cos2 x 1− sin2 x
1
1
2
2
tan
x
−
cot
x
dx
=
cos2 x − sin2 x dx = cos2 x − sin2 x dx = tanx + cot x + C
Câu 26
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
. Biết
(
)
x.f ( x ) dx = 2 , hãy tính I = f ( x ) dx .
4
2
2
0
0
A. I = 2.
1
C. I = .
2
B. I = 1.
D. I = 4.
Đáp án D
Đặt
4
4
x = 0 → t = 0 2
1
2
t = x dt = 2xdx,
x.f x dx = f ( t ) dt f ( x ) dx = 4 I = 4. Câu
20
x = 2 → t = 4 0
0
( )
2
27:
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho F ( x ) =
f (x) =
a
( lnx + b) là một nguyên hàm của hàm số
x
1+ lnx
, trong đó a,b . Tính S = a + b .
x2
A. S= −2.
B. S = 1.
C. S= 2.
D. S= 0.
Đáp án B
1
u = 1 + lnx du = dx
x F x = 1 + lnx dx = − 1 1+ lnx + 1 dx
Đặt
( ) x2
(
) x2
1
x
dv = 2 dx v = − 1
x
x
=−
1
1
1 + lnx ) − + C
(
x
x
F(x) = −
Câu 28:
a = −1
1
lnx + 2) + C
S = 1.
(
x
b = 2
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
f ( x ) + f ( −x ) = x 2 , x
và thỏa mãn
1
. Tính I = f ( x ) dx .
−1
2
A. I = .
3
1
D. I = .
3
C. I = 2.
B. I = 1.
Đáp án D
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
Ta có f ( x ) + f ( −x ) = x 2 f ( x ) + f ( −x ) dx = x 2dx f ( x ) dx + f ( −x ) dx = x 2dx
1
−1
1
1
−1
1
Đặt t = −x dt = −dx f ( −x ) dx = − f ( t ) dt = f ( t ) dt = f ( x ) dx
−1
1
1
1
1
−1
1
x 1
2
1
Suy ra f ( x ) dx + f ( x ) dx = x dx 2 f ( x ) dx =
= x 2dx =
3 −1 3 −1
3
−1
−1
−1
−1
3
2
Câu 29 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên
1
1
2
1
đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện f ( 0) = 1 và 3 f ' ( x ) . f ( x ) + dx 2 f ' ( x ).f ( x ) dx .
9
0
0
1
Tính
f ( x )
3
dx.
0
A.
3
5
5
7
. B. . C. . D. .
2
4
6
6
Đáp án D
1
1
2
1
Giả thiết 3 f ' ( x ) .f ( x ) dx 2 f ' ( x ).f ( x ) dx
3
0
0
1
1
1
1
3 f ' ( x ) .f ( x ) dx − 2 3 f ' ( x ).f ( x ) dx + dx 0 3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 dx 0
0
0
0
0
2
2
Khi đó 3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 = 0 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) dx = dx = x + C
(
)
1
9f 2 ( x ) d f ( x ) = x + C 3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0) = 1 C = 3 f 3 ( x ) = x + 1
3
1
1
3
x2
1
Vậy f ( x ) dx = x + 1 dx = + x
3
0
0
6
1
=
0
7
6
- Xem thêm -
.PDF 
12 
13 
68 
