Câu 1(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y = 2x + 1 .
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo
công thức
1
1
1
0
0
0
A. V = 2x + 1dx B. V = ( 2x + 1) dx C. V = 2x + 1dx
D.
1
V = ( 2x + 1) dx
0
B. y = x 2 − 3x + 1
C. y = x 3 − 3x 2 + 1
D. y = −x 4 + 3x + 1
Đáp án
B
Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y = f ( x ) ; y = g ( x ) và các đườn thẳng x = a; x = b ( a b ) quanh trục Ox ta được khối
b
tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: V = f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a
1
Cách giải: Ta có V =
(
)
1
2x + 1 dx = ( 2x + 1) dx =
0
2
0
1
Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh)Tích phân
0
A.
3
2
B.
2
3
dx
dx bằng
3x + 1
C.
1
3
Đáp án B
Phương pháp:
+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân.
+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính.
Cách giải:
Đặt
3x + 1 = t t 2 = 3x + 1 2tdt = 3dx
D.
4
3
2
2
x = 0 t = 1 1 dx
1 2t
2
2
2
=
.
dt
dt = t =
Đổi cận:
3 1 3
x = 1 t = 2 0 3x + 1 1 t 3 1 3
2
Câu
3
(Chuyên
Đại
Học
1
f ( 2 ) = 16, f ( 2x ) dx = 2. Tích phân
0
A. 28
f (x)
Vinh)Cho
liên
tục
trên
và
2
xf ' ( x ) dx bằng
0
B. 30
C. 16
D. 36
Đáp án A
Phương pháp:
2
+) Đặt ẩn phụ t = 2x tính
f ( x ) dx
0
2
+) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính
x.f ' ( x ) dx.
0
Cách giải:
1
Xét
f ( 2x ) = 2,
đặt 2x = t 2dx = dt dx =
0
2
2=
x = 0 t = 0
dt
. Đổi cận
2
x = 1 t = 2
2
1
f ( t ) dt f ( x ) dx = 4
2 0
0
Đặt
2
2
u = x
du = dx
2
x.f ( x ) dx = x.f ( x ) 0 − f ( x ) dx = 2f ( 2 ) − 4 = 2.16 − 4 = 28
dv = f ' ( x ) dx
v = f ( x ) 0
0
Câu 4: (Chuyên Đại Học Vinh)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 và f ( 0) + f (1) = 0 . Biết
A.
3
2
Đáp án B
Phương pháp:
B.
2
1
2
0 f ( x ) dx = 2 , 0 f ' ( x ) cosdx = 2 . Tính
1
1
C.
1
f ( x ) dx
0
D.
1
1
+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân
f ' ( x ) .cosxdx.
0
1
+) Sử dụng kết quả
f ( x ) + k.sin x
2
dx = 0 tính f ( x )
0
1
+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính
f ( x ) dx
0
Cách giải:
u = cosx
du = − sin xdx
Đặt
dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )
1
f ' ( x ) .cosxdx = f ( x ) .cosx
Ta có
1
1
0
0
+ f ( x ) .sin xdx
0
1
= − f (1) + f ( 0 ) + f ( x ) .sin xdx = f ( x ) .sin dx =
2
2
0
0
1
1
1
Xét
f ( x ) + k.sin x
2
1
dx = 0 f
0
1
2
1
( x ) dx + 2k. f ( x ) .sin xdx + k . sin 2 ( x ) dx = 0
2
0
0
0
1
1 1
2
k 2 + 2k. + = 0 ( k + 1) = 0 k = −1. Suy ra
2
2 2
1
2
f ( x ) − sin x dx = 0
0
cosx
1 1 2
= + =
Vậy f ( x ) = sin x f ( x ) dx = sin xdx = −
x 0
0
0
1
1
1
Câu 5: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1
mãn
f ( x ) dx = 9. Tính
−5
A. 27
và thỏa
2
f (1 − 3x ) + 9 dx .
0
B. 21
C. 15
D. 75
Đáp án B
Ta có
2
2
2
0
0
0
f (1 − 3x ) + 9 dx = f (1 − 3x ) dx + 9 dx
Đặt
2
−5
1
x = 0 → t = 1
1
1
t = 1 − 3x dt = −3dx,
f (1 − 3x ) dx = − f ( t ) dt = f ( x ) dx = 3
31
3 −5
x = 2 → t = −5 0
2
Suy ra
2
f (1 − 3x ) + 9 dx = 3 + 9 dx = 3 + 9x
0
2
0
= 21
0
Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol
x2
x2
y=
và đường cong có phương trình y = 4 −
(hình vẽ). Diện tích của hình phẳng
12
4
(H) bằng
(
2 4 + 3
A.
)
3
B.
4 + 3
6
4 3+
6
C.
D.
4 + 3
3
Đáp án A
PT hoành độ giao điểm là
x2
x2
x4
x2
= 4−
= 4 − x 2 = 12 x = 2 3
12
4
144
4
(
2 4 + 3
x2 x2
4
−
−
dx
=
4 12
3
−2 3
2 3
Suy ra S =
)
2
Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết
2x ln ( x + 1) dx = a ln b,
với
0
a, b
*
và b là số nguyên tố. Tính 6x + 7b
A. 33
Đáp án D
B. 25
C. 42
D. 39
1
2
2
u = ln ( x + 1) du =
x2
2
2
dx
Đặt
x + 1 2x ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) 0 −
x +1
dv = 2xdx
0
0
v = x 2
2
2
a = 3
1
2
2 x
x ln ( x + 1) − x − 1 +
dx = x ln ( x + 1) 0 − − x + ln ( x + 1) = 3ln 3 b = 3
x +1
2
0
0
6a + 7b = 39
2
2
2
0
1
Câu 8 (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tích phân
dx
2x + 5 dx bằng
0
1
7
log
2
5
A.
B.
1 7
ln
2 5
C.
1 5
ln
2 7
D. −
4
35
Đáp án B
ln 2x + 5
dx
Ta có
=
2x + 5
2
0
1
1
ln 7 ln 5 1 7
−
= ln
2
2
2 5
=
0
Câu 9: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên
trên
tục
đoạn
0;1
thỏa
mãn
2
1
3 f ' ( x ) . f ( x ) + dx 2 f ' ( x ).f ( x ) dx. Tính
9
0
0
1
1
A.
3
2
B.
5
4
C.
điều
kiện
1
f ( x )
3
f ( 0) = 1
dx.
0
5
6
D.
7
6
Đáp án D
1
1
2
1
Giả thiết 3 f ' ( x ).f ( x ) dx 2 f ' ( x ).f ( x ) dx
3
0
0
1
2
1
1
1
0
0
0
2
3 f ' ( x ).f ( x ) dx − 2 3 f ' ( x ).f ( x ) dx + dx 0 3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 dx 0
0
Khi đó 3 f ' ( x ).f ( x ) −1 = 0 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1 9f ' ( x ).f 2 ( x ) dx = dx = x + C
1
9f 2 ( x ) d ( f ( x ) ) = x + C 3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0 ) = 1 C = 3 f 3 ( x ) = x + 1
3
và
1
x2
7
1
Vậy f ( x ) dx = x + 1dx = + x =
3
6
0 6
0
0
1
3
1
Câu 10:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam Tìm
x cos 2xdx.
1
1
x.sin 2x − cos2x + C.
2
4
1
1
C. x.sin 2x + cos2x + C.
2
2
Đáp án D.
B. x.sin 2x + cos2x + C.
A.
D.
1
1
x.sin 2x + cos2x + C.
2
4
du = dx
u = x
1
1
Đặt
x cos 2xdx = x sin x2x − sin 2xdx
1
2
2
dv = cos2xdx v = sin 2x
2
1
1
= x sin 2x + cos2x + C.
2
4
Câu 11:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên a;b. Diện
tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b được tình theo công thức.
b
b
B. S = f ( x ) dx.
A. S = f ( x ) dx.
2
a
a
b
b
D. S = f ( x ) dx.
C. S = f ( x ) dx.
a
a
Đáp án D.
2
Câu 12:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Biết
cos xdx = a + b
3, với a, b là các số hữu tỉ.
3
Tính T = 2a + 6b.
A. T = 3. B. T = −1. C. T = −4. D. T = 2.
Đáp án B.
Ta có
2
2
3
3
cos xdx = s inx
a = 1
1
= 1−
3
1 T = −1.
2
b
=
−
2
1
Câu 13: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính I = e3x .dx.
0
A. I = e3 − 1.
B. I = e −1.
C. I =
e3 − 1
.
3
1
D. I = e3 + .
2
Đáp án C.
1
Ta có: I = e3x .dx =
0
e3x
3
1
=
0
e3 − 1
.
3
Câu 14: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam )Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm
trên R thỏa mãn f ( 2 ) = −2;
2
f ( x ) dx = 1.
0
Khi đó I = f '
( x ) dx.
0
C. I = 0.
D. I=-18.
x = 0 t = 0
dx
.
dx = 2tdt và
2 x
x = 4 t = 2
Đặt t = x dt =
4
Tính tích phân I = f '
B. I = −5.
A. I = −10.
Đáp án A.
4
( x ) dx = 2t.f ' ( t ) dt = 2 t.f ' ( t ) dt
0
2
2
0
0
u = t
du = dt
, suy ra
Đặt
dv = f ' ( t ) dt
v = f ( t ) '
2
2
2
t.f ' ( t ) dt = t.f ( t ) 0 − f ( t ) dt = 2f ( 2 ) − 1 = −5.
0
Vậy tích phân I = 2. ( −5) = −10.
Câu 15: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho
3
3
0
2
f ( x ) dx = a, f ( x ) dx = b. Khi đó
2
f ( x ) dx
bằng:
0
A −a − b.
Đáp án D.
Ta có:
B. b − a
2
3
3
0
0
2
C. a + b.
D. a − b.
f ( x ) dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx = a − b.
2
Câu 16: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho
f (x
2
+ 1) x dx = 2. Khi đó
1
5
I = f ( x ) dx bằng
2
A. 2.
Đáp án D.
B. 1.
x = 1 → t = 2
Đặt t = x 2 + 1 dt = 2xdx,
x = 2 → t = 5
C. -1.
D. 4.
2
5
5
1
1
I
f ( x + 1) xdx = f ( t ) dt = f ( x ) dx = I = 4.
22
22
2
1
x
b
Câu 17: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Biết
( 2x − 1) dx = 1.
Khẳng định nào sau
a
đây đúng?
A. b − a = 1.
B. a 2 − b 2 = a − b + 1. C. b 2 − a 2 = b − a + 1. D. a − b = 1.
Đáp án C.
Ta có
b
b
a
a
2
( 2x −1) dx = ( x − x )
= ( b2 − a 2 ) − ( b − a ) = 1 b 2 − a 2 = b − a + 1.
Câu 18:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1 và
1
thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính I = f ( x ) dx.
0
.
4
Đáp án C.
A.
B.
1
.
6
C.
1
.
20
D.
1
.
16
1
Ta có 2I = 2f ( x ) dx = 1 − x 2 − 3f (1 − x ) dx = 1 − x 2 dx − 3 f (1 − x ) dx.
0
0
0
0
1
Mà
1 − x 2 dx =
0
(casio) và
4
1
1
0
0
f ( x ) dx = f (1 − x ) dx 2I =
− 3I I = .
4
20
Câu 19: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi
quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b xung quanh trục Ox.
b
b
A. f 2 ( x ) dx
a
B.
2
f ( x ) dx
a
b
C. f ( x ) dx
a
b
D. 2 f 2 ( x ) dx
a
4
Câu 20:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Tính tích phân I = tan 2 x dx .
0
A. I = 1 −
Đáp án A
4
B. I = 2
C. I = ln 2
D. I =
12
4
4
1
4
−
1
dx
=
tanx-x
Ta có I = tan 2 xdx =
(
)
0 = 1−
2
cos x
4
0
2
Câu 21:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tích phân
2
2x + 1 dx
bằng
0
A. 2ln5
B.
1
ln 5
2
C. ln 5
D. 4ln5
Đáp án C
2
2
2
2
2
0 2x + 1dx = 0 2x + 1d ( 2x + 1) = ln 2x + 1 |0 = ln 5
3
Câu 22: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho I =
0
x
4 + 2 x +1
dx =
với a, b, c là các số nguyên. Gía trị của a + b + c bằng
A. 1
B. 2
C. 7
Đáp án A
a
+ b ln 2 + c ln 3,
3
D. 9
2 2
2 3
x = 0 t = 1
t −1
t −t
I=
2tdt =
dt
Đặt t = x + 1 t = x + 1 2tdt = dx;
4 + 2t
t+2
x = 3 t = 2
1
1
2
a = 7
2
t3 2
6
7
2
1 t − 2t + 3 − t + 2 dt = 3 − t + 3t − 6ln x + 2 = 3 − 12ln 2 + 6ln 3 b = −12 a + b + c = 1
c = 6
1
2
Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)
e
Với cách biến đổi u = 1 + 3ln x thì tích phân
x
1
2
2
A. ( u 2 − 1) du
31
Đáp án B
2
2
B. ( u 2 − 1) du
91
Ta có u = 1 + 3ln x u 2 = 1 + 3ln x 2udu =
ln x
dx trở thành
1 + 3ln x
9 u2 −1
du
D.
21 u
2
2
C. 2 ( u − 1) du
2
1
x = 1 u = 1
3
dx,
x
x = e u = 2
u2 −1
e
e
2
ln x
2
2
dx = 3
udu = ( u 2 − 1) du
Suy ra
u 3
91
1 x 1 + 3ln x
1
Câu 24: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C) ,
biết rằng
( C)
đi qua điểm A ( −1;0 ) tiếp tuyến d tại A của
( C)
cắt
( C)
tại 2 điểm
có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
tích bằng
2
A.
5
Đáp án D
B.
1
9
( C)
và 2
28
(phần gạch chéo trong hình vẽ)
5
( C)
và 2 đường thẳng x = −1; x = 0 có diện
C.
2
9
D.
1
5
( C) a + b + c = 0
Phương trình tiếp tuyến tại A ( −1;0 ) là ( d ) : y = y' (1)( x + 1) = ( −4a − 2b )( x + 1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra ( −4a − 2b )( x + 1) = ax 4 + bx 2 + c (*)
Điểm A ( −1;0 ) thuộc đồ thị hàm số
−4a − 2b = c
Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra
(1)
−12a − 6b = 16a + 4b + c
2
28
32
8
28
= ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = ( 2 )
Và
5 0
3
3
5
→ y = x 4 − 3x 2 + 2
Từ (1) , ( 2) suy ra a = 1, b = −3,c = 2 ⎯⎯
2
Vậy diện tích cần tính là S = 2x + 2 − x 4 + 3x 2 − 2dx =
0
1
5
4
Câu 25: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Cho I =
u = 2x + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
3
1
A. I = x 2 x 2 − 1 dx
21
(
)
1
x 1+ 2xdx và
2 0
3
(
)
B. I = u2 u2 − 1 du
1
1 u5 u3
C. I = −
2 5 3
3
3
D. I =
1
(
)
1 2 2
u u − 1 du
2 1
Đáp án B
u= 2x+1 u du=x dx
Cận
u=1 khi x=0
u=3 khi x=4
3
u 2 − 1)
1 u5 u3
2 (
I = u
du= −
2
2 5 3
1
3
1
x2 + x + 1
b
1 x + 1 = a + ln 2 , với a, b là
3
Câu 26: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Biết
các số nguyên. Tính S = a − 2b.
A. S = −2
B. S= 5
D. S = 10
C. S= 2
Đáp án C
5
5
x 2 + x+1
1
d
x=
3 x+1
3 x+ x+1 dx
1
= x2
2
5
3
+ ln ( x+1) 53 = 8 + ln
3
2
Câu 27: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Kết quả của tích phân
2
1
được viết ở dạng − − 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
a b
0
A. a + 2b = 8 B. a + b = 5
C. 2a − 3b = 2 D. a − b = 2
Đáp án B
( 2x − 1− sinx ) dx
2
1
−1 = − −1
4 2
4 2
0
a = 4; b = 2 a + b = 6 khẳng định B sai.
2
( 2 x − 1 − sin x )dx = ( x − x + cos x ) 2 =
2
0
−
e
Câu 28: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định): Biết
1
Tính P = a.b
A. P = 4
Đáp án B
B. P = −8
e
ln x
dx = a e + b với a,b .
x
C. P = −4
D. P = 8
ln x
dx = 0, 7025574586... rồi lưu vào A. Xét hàm F(X) = A –
x
1
XError! Reference source not found.
Cách 1: Bấm MT tính
(Do A = a e + b ) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1. Ta sẽ
a = −2 Z
X ' = −2
thấy tại
tức là
thoả mãn ycbt nên P = - 8.
b = 4 Z
F ( X ) = 4
a = −2 Z
ln x
dx = −2 e + 4 =
x
b = 4 Z
1
e
Cách 2: Tính tích phân từng phần
nên P = - 8.
5
Câu 29: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho
f ( x ) dx = 4.
Tính
−1
2
I = f ( 2x + 1) dx
−1
B. I =
A. I = 2
5
2
D. I =
C. I = 4
3
2
Đáp án A
5
1
1
Đặt 2x + 1 = u 2dx = du I = f ( u) du = .4 = 2
2 −1
2
Câu 30: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục
trên a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b ( a b ) là
a
A.
b
b
f ( x ) dx
B.
b
f ( x ) dx
C.
a
f ( x ) dx
D.
a
a
f ( x ) dx
b
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ,
b
trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b ( a b ) là S = f ( x ) dx
a
1
Câu 31: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) tích phân I =
0
A. 0
B. 1
dx
bằng
x +1
D. ln
C. ln 2
3
2
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:
1
Cách giải: I =
0
1
1
ax + b dx = a ln ax + b + C
1
dx
= ln x + 1 = ln 2 − ln1 = ln 2
2
x +1
Câu 32: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho biết
2
ln ( 9 − x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c là các số nguyên. Tính
2
1
A. S = 34
Đáp án B
S = a + b + c được:
C. S = 18
B. S = 13
D. S = 26
Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
u = ln ( 9 − x 2 ) du = −2x
Cách giải: Đặt
9 − x2
dv = dx
v = x
2
I = ln ( 9 − x ) dx = x ln ( 9 − x
2
1
2
)
2
1
2
x2
+ 2
dx = 2 ln 5 − 3ln 2 + 2I1
9 − x2
1
x
9
dx
dx = −1 +
dx = − dx + 9
2
2
9−x
9−x
3 − x )( 3 + x )
1
1
1
1 (
2
2
2
I1 =
2
2
9 1
1
3
3 3+ x
2
= −x +
+
dx = −1 + ( − ln 3 − x + ln 3 + x ) 1 = −1 + ln
6 1 3− x 3+ x
2
2 3− x
2
2
2
1
1
3
3
( ln 5 − ln 2 ) = −1 + ln 5 − 3ln 2 = 5ln 5 − 6 ln 2 − 2
2
2
a = 5
b = 6 S = a + b + c = 13
c = −2
= −1 +
Câu 33: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số
1
a
x
f ( x) =
+
bxe
.
Tìm
a
và
b
biết
rằng
và
f
'
0
=
−
22
(
)
3
0 f ( x ) dx = 5
( x + 1)
A. a = −2, b = −8
Đáp án C
B. a = 2, b = 8
C. a = 8, b = 2
D. a = −8, b = −2
Phương pháp:
+) Tính f ' ( 0 ) và sử dụng giả thiết f ' ( 0) = −22 suy ra 1 phương trình chứa a,b.
1
+) Tính f ( x ) dx và sử dụng giả thiết
0
1
f ( x ) dx = 5 suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.
0
+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.
Cách giải:
f ' ( x ) = −3.
a
( x + 1)
4
+ be x + be x
f ' ( 0 ) = −3a + b = −22
(1)
1
1
1
a
−3
x
x
f
x
dx
=
+
bxe
dx
=
a
x
+
1
dx
+
b
(
)
(
)
0
0 ( x + 1)3
0
0 xe dx = aI1 + bI2
1
1
I1 = ( x + 1)
−3
( x + 1)
dx =
−2
0
−2 1
=
0
−1 1 3
− 1 =
2 4 8
1
u = x
du = dx
x 0
x
x
Đặt
I
=
xe
−
2
1 e dx = e − e
x
x
dv = e dx
v = e
0
1
3
f ( x ) dx = a + b = 5
8
0
1
0
= e − ( e − 1) = 1
( 2)
a = 8
Từ (1) và (2)
b = 2
Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y = f ( x ) liên tục
thỏa mãn f ( x ) + f ( −x ) = a x
trên
a
. Giá trị của biểu thức
f ( x ) dx bằng
−a
B. a 2
A. 2a 2
C. a
D. 2a
Đáp án B
a
Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ tính
f ( − x ) dx
−a
a
a
−a
−a
f ( x ) dx + f ( −x ) dx =
Sử dụng công thức :
a
f ( x ) + f ( −x )dx
−a
x = −a t = a
Cách giải: Đặt t = −x dt = −dx . Đổi cận
x = a t = −a
Khi đó ta có:
I=
a
a
−a
−a
f ( x ) dx = − f ( −t ) dt =
a
a
a
f ( −x ) dx
−a
a
a
2I =
f ( x ) dx + f ( −x ) dx = f ( x ) + f ( −x ) dx = adx = a x
I=a
2
−a
−a
−a
−a
a
−a
= 2a 2
Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
và có
đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện
tích là
b
A.
c
f ( x ) dx − f ( x ) dx
a
B.
b
b
c
C. − f ( x ) dx + f ( x ) dx
a
D.
b
b
c
a
b
b
b
a
c
f ( x ) dx + f ( x ) dx
f ( x ) dx − f ( x ) dx
Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) , y = 0, x = a, x = b
Lời giải:
b
c
f ( x ) 0 khi x ( a; b )
Ta có S = S1 + S2 = f ( x ) dx + f ( x ) dx. Mà
f ( x ) 0 khi x ( b;c )
a
b
b
c
b
c
a
b
a
b
Khi đó S = f ( x ) dx + −f ( x ) dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx
Câu 36 :(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục
trên đoạn a; b ; và f ( x ) 0, x a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x ) , trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a b ) . Thể tích của vật thể
tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức
b
A.
b
2
f ( x )dx
B. f ( x 2 )dx
a
a
b
C. f ( x ) dx
2
b
D.
f ( x ) dx
a
a
Đáp án C
Phương pháp: Dựa vào công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay.
b
Cách giải: V = f ( x ) dx
2
a
Câu 37:(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Biết rằng
e
x ln xdx = ae
2
+ b, a, b . Tính a + b
1
A. 0
B. 10
C.
1
4
D.
1
2
2
: Đáp án D
b
Phương pháp: Công thức từng phần:
udv = uv
b
b
a
a
− vdu
a
dx
du =
u = ln x
x
Cách giải: Đặt
2
dv = xdx
v = x
2
e
e
x2
1
e2 e2 1 e2 + 1
I = .ln x − xdx = − − =
2
21
2 4 4
4
1
1
1
a =b= a+b=
4
2
Câu 38: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
1
f (x)
và là hàm số chẵn, biết
dx = 1. Tính f ( x )dx
1 + ex
−1
−1
1
A. 1
B. 2
Đáp án
Phương pháp: Đặt t = − x
1
f (x)
dx = 1
Cách giải: I =
x
1
+
e
−1
C. 4
D.
1
2
(1)
Đặt t = −x dt = −dx.
x = −1 t = 1
Đổi cận
x = 1 t = −1
−1
−1
f (x)
f ( −t )
f (t)
dx
=
−
dt
=
−
x
−
t
−1 1 + e
1 1 + e
1 1 + et dt (do f ( x ) là hàm chẵn)
et
1
Khi đó: I =
−1
= −
1
1 x
1 x
e f (x)
et f ( t )
e f (x)
dt
=
dt
t
x
−1 1 + ex dt = 1
−1 1 + e
1+ e
( 2)
1 x
1
1
e x + 1) f ( x )
(
ex f ( x )
e f (x)
dt+
dt = 2
dx=2 f ( x )dx=2
Từ (1), (2), suy ra
1 + ex
1 + ex
1 + ex
−1
−1
−1
−1
1
Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn
bởi 2 đồ thị của 2 hàm số y = x 2 và y = x + 2. Diện tích của hình (H) bằng
A.
7
6
B. −
9
2
C.
3
2
D.
9
2
Đáp án D
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và các đường thẳng
x = a, x = b, a b
b
S = f ( x ) − g ( x ) dx
a
Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y = x 2 và y = x + 2
x = −1
x2 = x + 2 x2 − x − 2 = 0
x = 2
Diện tích hình (H):
2
1
1
S = x − ( x − 2 ) dx = x − x − 2dx = − ( x − x − 2 )dx = x 3 − x 2 − 2x
2
3
−1
−1
−1
−1
2
2
2
2
2
2
1
1
3
2
1
1
9
= 23 − 22 − 2.2 + ( −1) − ( −1) − 2 ( −1) =
2
2
3
3
2
Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
2
x.f ( x ) dx = 2,
2
0
A. I = 2.
. Biế t
4
haỹ tiń h I = f ( x ) dx.
0
B. I = 1.
1
C. I = .
2
D. I = 4.
Đáp án D.
2
4
4
x = 0 → t = 0
1
2
x.f ( x ) dx = f ( t ) dt f ( x ) dx = 4 I = 4.
Đặt t = x dt = 2xdx,
20
x = 2 → t = 4 0
0
Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
4
y = x2, y = − x +
và trục hoành.
3
3
11
343
39
61
A.
B.
C.
D.
6
162
3
2
Đáp án A.
2
Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:
1
4
PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường y = x 2 , y = − x + là
3
3
x = 1
1
4
2
x =− x+
.
x = − 4
3
3
3
1
4
11
x 4
Dựa vào hình vẽ ta có: S = x 2 dx + − + dx = .
3 3
6
0
1
Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên a;b. Giả sử
hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên a;b và u ( x ) ; x a;b , hơn nữa
f ( u ) liên tục trên đoạn a;b. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b
A.
f ( u ( x ) ) u 'dx =
a
u( b)
C.
u(a )
u( b)
f ( u ) du
B.
u(a )
b
f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = f ( u ) du
D.
a
b
b
a
a
f ( u ( x ) ) u 'dx = f ( u ) du
b
b
a
a
f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = f ( x ) du
Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = u ( x )
Cách giải:
x = a t = u ( a )
Đặt t = u ( x ) dt = u ' ( x ) dx. Đổi cận
x = b t = u ( b )
b
u( b)
u( b)
a
u(a )
u(a )
I = f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =
f ( t ) dt = f ( u ) du
2
Câu 43: (Cụm 5 trường chuyên) Tính tích phân I = sin − x dx
4
0
A. I = −1
C. I = 0
B. I = 1
Đáp án C
Phương pháp:
1
sin ( a x + b ) dx = − a cos ( a x + b ) + C
2
2
2
2
−
=0
Cách giải: I = sin − x dx = cos x =
2
2
4
4 0
0
e − nx dx
, n . Đặt
1 + e− x
0
1
Câu 44: (Cụm 5 trường chuyên) Cho I n =
D. I =
4
u n = 1( I1 + I2 ) + 2 ( I2 + I3 ) + 3 ( I3 + I4 ) + ... + n ( In + In1 ) − n . Biết lim u n = L. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A. L ( −2; −1)
Đáp án B
B. L ( −1;0 )
D. L ( 0;1)
C. L (1;2)
Phương pháp: Tính tổng quát n ( In + In +1 ) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính u n và
sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn u n .
Cách giải:
e
e nx dx
e ( )dx
+
=
Ta có: I n + I n +1 =
−x
−x
1+ e
1+ e
0
0
0
1
1
− n +1
1
− nx
(1 + e ) dx =
−x
1 + e− x
1
e
− nx
0
−e − nx
dx =
n
1
=
0
−e − n + 1
n
n ( I n + I n +1 ) = 1 − e − n
u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n
1
1 1
u n = 1 − e −1 + 1 − e −2 + ... + 1 − e − n − n = − + 2 + ... + n
e
e e
L = lim u n =
1
1
1 − n
e e
=−
1
1−
e
1
−1
= en
e −1
−1
−0,58 ( −1;0 )
e −1
Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên) Cho số thực a 0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và
luôn dương trên đoạn
0;a thỏa
mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, x 0;a . Tính tích phân
a
1
dx.
1+ f (x)
0
I=
A. I =
a
2
B. I = a
C. I =
2a
3
Đáp án A
Phương pháp : Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt
x =a−t .
x = 0 t = a
Cách giải : Đặt x = a − t dx = −dt. Đổi cận
x = a t = 0
D. I =
a
3
a
a
a
f (x)
1
1
1
dt =
dx =
dx =
dx
1
1+ f (a − t )
1+ f (a − x )
1+ f (x )
a
0
0 1+
0
f (x)
0
I = −
a
a
1
x
a
f ( x ) = 1 I = dx =
=
2
20 2
0
Câu 46: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a;b
và cắt trục hoành tại điểm x = c ( a c b ) (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình
y = f ( x ) trục hoành và hai đường thẳng
x = a; x = b. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
c
b
A. S = f ( x ) dx − f ( x ) dx
a
c
c
b
B. S = − f ( x ) dx + f ( x ) dx
a
c
c
b
a
c
C. S = f ( x ) dx + f ( x ) dx
b
D. S = f ( x ) dx
a
Đáp án B.
Phương pháp :
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
b
c
b
c
b
a
a
c
a
c
Cách giải: S = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = − f ( x ) dx + f ( x ) dx
1
Câu 47: (Chuyên Chu Văn An-2018) Biết
x −5
2x + 2 dx = a + ln b
với a, b là các số thực.
1
2
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9
9
A. a + b =
B. ab =
8
30
Đáp án C.
Phương pháp:
C. ab =
8
81
D. a + b =
Chia tử cho mẫu.
x −5
x +1− 6
3
1
1
dx =
dx = −
Cách giải:
dx = x − 3ln x + 1
x +1
2
1 2x + 2
1 2x + 2
12
1
1
1
3
3
3
1
1
3
7
24
- Xem thêm -
.PDF 
61 
134 
81 
