(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp chữ nhật đứng ABCD. A' B 'C ' D ' có
Câu 1
AB a, AD 2a, AA' 3a. Gọi O ' là tâm hình chữ nhật A' B 'C ' D ' . Thể tích của khối chóp
O ' . ABCD là?
A. 4a 3 .
B. 2a 3 .
C. a 3 .
D. 6a 3 .
Đáp án B
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD thì OO ' 3a.
1
1
VO' . ABCD OO ' . AB. AD .3a.a.2a 2a 3 .
3
3
Câu 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Tứ diện đều
ABCD
có
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD bằng a. Cạnh của tứ diện có độ dài bằng?
A.
a 6
.
3
B.
a 6
.
2
C.
a 2
.
3
D.
a 2
.
2
Đáp án A
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC suy ra GA BCD .
Gọi M là trung điểm BD.
2
2x 3 x 3
Đặt AC x GC CM
, lại có AC 2 GC 2 AG 2
3
3 2
3
x2
x2
3
a 6
a2 x2 a2 x
3
2
2
Câu 3: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho khối trụ có bán kính đáy R 5cm. Khoảng cách
hai đáy h 7cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện
tích của thiết diện bằng:
A. 46 cm 2 .
B. 56 cm 2 .
Đáp án B
Ta có thiết diện như hình vẽ.
Ta có:
C. 66 cm 2 .
D. 36 cm 2 .
O ' I 3cm, O ' A 5cm AI O ' A2 O ' I 2 4cm
AB 8cm
S ABCD 7.8 56cm 2
Câu 4 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho khối chóp S . ABCD, trong đó ABCD là hình thang
có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD 4 AB. Một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm
tương ứng M, N. Nếu điểm M nằm trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho
thành hai phần có thể tích VS .MNCD : VMNCDA tỉ lệ 1:2. Khi đó tỉ số
A.
3 132
.
2
B.
6 51
.
3
C.
3 17
.
2
Đáp án C
Đặt
SM
x 0 x 1
SA
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V.
VS .MNC SM .SN .SC
x2
VS . ABC
SA.SB.SC
1
VS .MCD SM .SC.SD
x
VS . ACD
SA.SC.SD
2
Ta có:
CD 4 AB S ADC 4 S ABC S ADC
4
S ABCD
5
4
4
V
VS . ADC VS . ABCD V ; VS . ABC
5
5
5
V
4V
Ta có: VS .MNC x 2 . ; VS .MCD x
5
5
V1 VS .MNC VS .MCD
V 2
x 4x
5
6 51
x
V1 x 4 x 1
4
3
x 2 3x 0
V
5
3
3
6 51
L
x
3
2
x
6 51
3
SM
bằng:
SA
D.
3 21
.
2
Câu 5 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, tam giác SBC đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng đáy là 30. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC.
a3 2
.
16
A. V
B. V
a3 3
.
32
C. V
3a 3
.
64
D. V
a3 3
.
12
Đáp án A
Gọi M là trung điểm của BC, SBC đều SM BC
Mà SA ABC SA BC và SM BC suy ra BC SAM
Ta có:
SAM SBC SM
30
SBC , ABC SM , AM SMA
SAM ABC AM
Xét
tam
sin SMA
giác
vuông
tại
A
có:
SA
a 3 a 3
SA sin 30.
SM
2
4
Và cos SMA
S ABC
SAM
AM
a 3 3a
AM cos 30.
SM
2
4
1
3a 2
1
a3 3
AM .BC
VS . ABC SA.S ABC
2
8
3
32
Câu 6
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình hộp
ABCD. A' B 'C ' D '
có
AB AD 2a, AA' 4a. Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA' , BB ' , CC ' , DD ' . Biết
hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' nội tiếp khối trụ T và lăng trụ ABCD.MNPQ nội tiếp
mặt cầu C .
Tỉ số thể tích
A.
VT
V C
giữa khối trụ và khối cầu là:
2 3
.
3
B.
3
.
3
C.
2
3 3
.
Đáp án B
Xét lăng trụ T có: R
AC
a 2; h 4a V 8 a 3
2
Xét mặt cầu C có: RC
AP
4
a 3 V RC3 4 3a 3
2
3
D.
1
2 3
.
Tỉ số bằng
8
4 3
2 3
.
3
Câu 7 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của A' lên ABC trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng P
qua BC và vuông góc AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng
a2 3
. Thể tích lăng
8
trụ ABC. A' B 'C ' bằng:
A.
a3 2
.
12
B.
a3 6
.
12
C.
a3 6
.
3
D.
a3 3
.
12
Đáp án A
Gọi H là trung điểm của BC, giao điểm của P và AA' là
P.
1
a2 3
a 3
PH .BC
PH
2
8
4
AH
a 3
a 3
, AO
2
3
AHP vuông tại P có AP
AH 2 PH 2
3a
4
a 3
'
'
A
O
HP
A
O
a
AA'O AHP
4 A'O
3a
AO AP
3
a 3
4
3
a a 2 3 a3 3
VABC . A' B'C ' OA' .S ABC .
3 4
12
Câu 8 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA ABCD , SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?
A. 30.
B. cos
3
.
3
C. 45.
D. 60.
Chọn D.
Vì SA (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).
Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC&AC α = SCA.
Xét tam giác SAC vuông tại A có, tan
SA a 6
3 60.
AC a 2
Câu 9 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho lăng trụ tam giác ABC.A 'B'C ' . Mặt phẳng đi qua A,B
và trung điểm M của cạnh CC ' chia lăng trụ thành 2 phần có thể tích V1 , V2 V1 V2 . Tỉ số
V1
là
V2
A. 4
B. 2
C. 5
D. 3
Đáp án C
Hình chóp MABC có cùng diện tích đáy với hình lăng trụ
Và có chiều cao bằng
C'
A'
1
lăng trụ nên
2
B'
M
V
1
5
V2 VABC . A ' B 'C ' V1 VABC . A ' B 'C ' 1 5
6
6
V2
A
C
B
Câu 10 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường
kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa
được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất.
A. r
R 6
3
Đáp án A
B. r
2R
3
C. r
2R
3
D. r
R
3
Chiều cao của hình trụ là h 2 R 2 r 2
VTr 2 r 2 R 2 r 2 4
1 4 2 2
r R r
4
3
1 2 1 2
2
2
2 r 2 r R r
R3
2
2
3
3 3
Thể tích lớn nhất đặt được khi
1 2
6
r R2 r 2 r
R
2
3
Câu 11. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB a , BC a 3 , SA a . Một mặt phẳng
(α) qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
A. VS.AHK
a3 3
20
B. VS.AHK
a3 3
30
C. VS.AHK
a3 3
60
D. VS.AHK
a3 3
90
Đáp án C
S
Ta có
SB a 2 a 2 a 2;
AC 2 a 2 3a 2 4a 2 SC a 2 4a 2 a 5
SK
2
2
2
a
2
SA
a
a
SA
a
a
; SH
SB a 2
SC a 5
2
5
C
A
VSAHK SK .SH 1 1 1
.
VSABC
SB.SC 2 5 10
VSAHK
H
K
a
a 3
1
1
1
VSABC
SA.BA.BC
3a 3
10
60
60
B
Câu 12. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,
AD BC
a 13
3a
, AB 2a , CD
, mặt phẳng
4
2
(SCD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là
A.
a 13
7
B.
2a 21
7
C.
2a 13
7
D.
a 21
7
S
Đáp án D
Gọi M , E là trung điểm của AI và CD
Kẻ SH CD do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SH ABCD . Mặt khác SA SI
K
SM AI AI SHM HK SAI mà CD
D
H
Song song với SAB HK là khoảng cách cần tìm.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F
EF
Ta có
C
E
30°
A
M
I
F
a 13
a
a 3
1
; FI HM
HB a 3 ; SH HB.tan 300 a 3.
a
4
4
2
3
1
1
1
1
4
7
a 21
2 2 2 HK
2
2
2
HK
SH
HM
a 3a
3a
7
Câu 13 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
5;3
A. 12
B. 36
C. 18
D. 24
Khối đa diện đều loại 5;3 là khối mười hai mặt đều, gồm 12 mặt là các ngũ giác đều nên
tổng các góc bằng 12.3 36 (mỗi mặt chia thành 5 tam giác để tổng góc)
Chọn đáp án B
Câu 14 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho hình nón có diện tích toàn phần bằng 5a 2 và bán kính
đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
A. l 5a.
B. l 4a.
Stp Sxq Sd 5a 2 .a.1 .a 2 1
C. l 2a.
D. l 3a.
5a .a 2
4a
.a
Chọn đáp án B
Câu 15 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho khối chóp S.ABCD, hỏi hai mặt phẳng
(SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp?
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 2.
Chọn A.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
(SAC) và
B
Mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp thành 4 khối
chóp là các khối chóp sau S.ABO, S.ADO, S.CDO, S.BCO.
Câu 16 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các
a3
cạnh SA, SB, SC thỏa mãn SA 2 SM , SB 3SN , SC 2 SP. Biết thể tích S.ABC là
. Thể
2
tích hình chóp S.MNP là:
a3
A.
.
4
2a 3
B.
.
7
a3
C.
.
24
a3
D.
.
16
VS .MNP SM SN SP 1 1 1 1
a3
Ta có:
.
.
. . VS .MNP .
VS . ABC
SA SB SC 2 3 2 12
24
Câu 17:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có
AB 2a, BC a. Biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là
3a
. Thể tích
2
của hình hộp chữ nhật là:
A.
a3 3
.
2
B. 4a 3 .
C. 2a 3 .
Ta có: AC AB 2 BC 2 a 5. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
D.
2 3
a.
3
3a
AC ' 3a.
2
Xét tam giác ACC ' vuông tại C, ta có: CC ' AC '2 AC 2 2a.
Thể tích hình hộp là: V CC ' .S ABCD 2a.a.2a 4a 3 .
Câu 18: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD ,
đáy nhỏ AB , đáy lớn CD 2 . Cho hình thang đó quay quanh CD, ta được vật tròn
xoay có thể tích bằng:
A.
4 4
.
3
B.
7 4
.
3
C.
10 4
.
3
D.
1
4
Lấy I là trung điểm CD. Thể tích vật tròn xoay là . . 2 . . 2 4
3
3
13 4
.
3
Câu 19: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất bằng
bao nhiêu nếu biết diện tích toàn phần của hình hộp đã cho là S?
A.
S3
.
8
B.
S3
.
27
C.
S3
.
125
D.
S3
.
216
Đáp án D
Gọi chiều dài, rộng, cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c a, b, c 0 .
S 2ab 2 a b .c 2(ab bc ca ) 2.3. 3 ab.bc.ca (BĐT Cauchy cho 3 số dương)
S 6.
3
Vậy Vmax
abc
2
S 3
S3
V V
.
6
216
S3
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab bc ca a b c a, b, c 0 .
216
Câu 20 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho lục giác đều có cạnh bằng a. Quay lục giác quanh
đường trung trực của một cạnh ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:
A.
7 a 3 3
.
12
B.
7 a 3 3
.
6
C.
5a 3 3
.
12
D.
3a 3 3
.
4
Đáp án A
Gọi O là tâm lục giác đều ABCDEF
OA OB OC OD OE OF a.
Gọi AF BC I ; IO AB K IO 2 IK 2OK .
2
a 3
a
IO a 3.
Xét AOK : OK AO AK a
2
2
2
2
2
2
1 2
1 a a 3 7 a 3 3
(đvtt).
V 2 a a 3
3 2 2
12
3
Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD. M,N là hai điểm trên AB, CD.
Mặt phẳng qua MN // SA. Điều kiện của MN để thiết diện của hình chóp với là hình
thang là:
A. MN // AD.
B. MN // BC.
C. MN là trung điểm AB, CD.
D. MN qua trung điểm AC.
Đáp án B
Thật vậy, giả sử MN / / BC. Ta sẽ chứng minh thiết diện là hình thang.
Kẻ MI / / SA I SB ; IJ / / BC ( J SC ). Khi đó, thiết diện là tứ giác IMJN .
Mà IJ / / BC ; MN / / BC IJ / / MN . Do đó, tứ giác IMJN là hình thang (đpcm).
Câu 22 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho BI 2 AI . Góc
giữa mặt bên SCD và mặt đáy bằng 60. Khoảng cách giữa AD và SC là:
A.
3a 93
.
31
B.
4a 93
.
31
C.
5a 93
.
31
D.
6a 93
.
31
Đáp án A
Gọi IE DC E.
Gắn trục tọa độ Ixyz với I là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ix trùng tia IB; tia Iy trùng tia IE; tia Iz trùng tia IS.
Khi đó
A(
a
2a
2a
a
;0;0); B( ;0;0); C ( ; a;0); D( ; a;0).
3
3
3
3
= 600.
Do góc giữa mặt phẳng (SDC) và (ABCD) bằng 600 nên SEI
= a.tan 600 = a 3 Þ S (0;0; a 3 ).
Xét DSEI vuông tại I có: SI = EI .tan SEI
2a
SC ; a; a 3 / / u1 2;3; 3 3 ; AD 0; a;0 / / u2 0;1;0
3
Mặt phẳng
(P) chứa SC và song song với AD nhận n = éêu1; u2 ùú = (3 3;0;2) làm vectơ pháp
ë
û
tuyến nên có phương trình: 3 3x + 2 z - 2a 3 = 0.
Do đó, khoảng cách giữa AD và SC bằng khoảng các từ A đến (P) và bằng:
d A;( P )
3a 93
31
(đvđd).
Câu 23 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC có thể tích V, M là trung điểm
của SA. Thể tích khối chóp S.MBC bằng:
V
.
2
B.
Đáp án A Ta có:
VS .MBC SM 1
.
VS . ABC
SA 2
A.
Câu 25
V
.
3
C.
V
.
6
D.
2V
.
5
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có
AB 2a, AD 3a, AA' 3a. Gọi E là trung điểm B 'C ' . Thể tích khối chóp E.BCD bằng:
A.
a3
.
2
B. a 3 .
C. 3a 3 .
D.
4a 3
.
3
1
1
1
Đáp án C Ta có: VE .BCD d E , BCD S BCD . AA' . S ABCD 3a 3 .
3
3
2
Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh AB, AC, BC
của hình tam giác lần lượt là 3; 4; 5. Tính thể tích hình nón khi quay tam giác quanh trục AB.
A. 12 .
B. 16 .
C. 48 .
D. Đáp án khác.
1
Đáp án B Thể tích hình nón là V AC 2 . AB 16 .
3
Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a, SD
a 17
. Hình chiếu H của S lên mặt đáy là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung
2
điểm của AD. Thể tích của khối chóp S.HKDC là:
A.
5a 3 3
.
8
B.
5a 3 3
.
16
C.
5a 3 3
.
24
D.
5a 3 3
.
32
Đáp án C
Ta có: Xét DADH vuông tại A có: DH = AD 2 + AH 2 =
a 5
.
2
Xét DSDH vuông tại H có: SH = SD 2 - DH 2 = a 3.
S HKDC
5S ABCD 5a 2
(đvdt)
8
8
1 5a 2
5a 3 3
VSHKDC .
.a 3
3 8
24
(đvtt)
Câu 28 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của CD và AB. Lấy I AC , J DN sao cho IJ // BM. Độ dài IJ theo a là:
A.
a 3
.
3
B.
a 2
.
3
C.
a 3
.
4
D.
a 2
.
2
Đáp án A
Kẻ đường thẳng qua C song song với BM cắt BD ở G, AG cắt DN ở J, đường thẳng qua J
song song với CG cắt AC ở I. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
Dễ dàng chứng minh được IJ//BM; B là trung điểm của GD và tính được
BM
a 3
3a
; CG 2 BM a 3; GH .
2
2
Ta có: Tam giác ANJ đồng dạng với tam giác AHG nên:
AJ AN
a/2 1
.
AG GH 3a / 2 3
Mà IJ//CG nên:
IJ
AJ 1
CG a 3
IJ
.
CG AG 3
3
3
Câu 29 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy,
ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 2a, AD CD a, SA 2a. Gọi I là trung điểm
của AB. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.AICD là:
A. a 3 6.
B. a 3 3.
C. a 3 5.
D. Đáp án khác.
Đáp án A
Dễ thấy trung điểm I của SC là tâm hình cầu ngoại tiếp chóp S.AICD.
Mà SC SA2 AC 2 (2a) 2 (a 2) 2 a 6 SI
SC a 6
.
2
2
3
4 a 6
3
Vậy thể tích hình cầu ngoại tiếp chop S.AICD là:
a 6 (đvtt).
3 2
Câu 30 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm BC, góc giữa SC và mặt phẳng SAB bằng 30.
Khoảng cách giữa DE và SC là:
A.
a 38
.
19
B.
a 2
.
7
C.
2a
.
9
D.
2a 3
.
9
Đáp án A
= 300 nên dễ tính được SB a 3. Từ đó suy ra SA a 2.
Xét SBC vuông tại B, có BSC
Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.
Khi đó:
a
A(0;0;0); B(a;0;0); C (a; a;0); D(0; a;0); E (a; ;0); S (0;0; a 2).
2
Phương trình mặt phẳng qua DE và song song với SC là:
( P ) : 2 x + 2 2 y + 3 z - 2 2a = 0.
Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ED và SC là: d(ED ;SC ) = d ( S ;( P )) =
a 38
19
(đvđd).
Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy R, chiều cao
h và góc ở đỉnh là góc không là góc nhọn. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt
hình nón theo thiết diện là tam giác. Khi đó tam giác có diện tích lớn nhất là:
A.
1 2
h R2 .
2
B.
1 2
h R .
2
C.
1
h R 2 h.
2
D.
1 2
h R2 .
2
Đáp án A
Giả sử thiết diện là một tam giác cân có độ dài chiều cao hạ từ đỉnh nón xuống đáy tam giác
là x 0 x R 2 h 2 .
Khi đó ta dễ dàng tính được độ dài đáy tam giác theo x, h và R là: 2. R 2 h 2 x 2 .
Do đó, diện tích S của tam giác là:
S x. R h x
2
2
Vậy S max
2
x2 R 2 h2 x2
2
(BĐT Cauchy) S
R 2 h2
.
2
R 2 h2
.
2
Câu 32 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với
đáy, tam giác ABC vuông cân tại B. Có cạnh AB a. Góc giữa SB và mặt đáy là 60. Thể
tích hình chóp là:
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
4
C.
a3 3
.
5
D.
a3 3
.
6
1
a2
60.
Đáp án D Có S ABC .a.a . Có SB, ABC SB, AB SBA
2
2
1
a3 3
SA AB.tan 60 a 3. Vậy VS . ABC SA.S ABC
.
3
6
Câu 33:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình lập phương cạnh a. Diện tích mặt cầu đi
qua các đỉnh của hình lập phương là:
A. a 2 .
B. 2a 2 .
Đáp án C Theo giả thiết R
C. 3a 2 .
D. 4a 2 .
a 3
. Vậy diện tích mặt cầu là 4 R 2 3a 2 .
2
Câu 34: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a
SAD
BAD
60 , cạnh bên SA a. Thể tích khối chóp tính theo a là:
và SAB
A.
a3 2
.
2
B.
a3 2
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
a3 2
.
12
Đáp án C
Ta có: SA = SB = SC = a.
= SAD
= BAD
= 600 Þ DSAB, DSAD, DBAD đều.
Mà SAB
Þ SB = SD = BD = a Þ DSBD đều.
Gọi O là tâm hình thoi ABCD, I là tâm tam giác đều SBD cạnh
a. Vì AS = AB = AD Þ AI ^ mp ( SBD ) = {I }.
Dễ dàng tính được AO = SO =
a 3
SO a 3
; IO =
=
.
2
3
6
Xét DAIO vuông tại I có: AI = AO 2 + OI 2 =
a 6
.
3
1
1 a 6 a 2 3 a3 2
VA.SBD . AI .S SBD .
.
3
3 3
4
12
Câu 35:
(đvtt)
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình
thang với đáy AD và BC. Biết AD a, BC b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAD và SBC. Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng BCI cắt SA, SD
tại P, Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo a,b.
A. EF
1
a b.
2
B. EF
3
a b.
5
C. EF
2
a b.
3
D. EF
2
a b.
5
Đáp án D
Dễ thấy rằng:
SP SM SN SQ 2
PM / / AB; MN / / BC ; NQ / / CD; QP / / DA.
SA SB SC SD 3
Giả sử SE AB E ' ; SF CD F '.
Áp dụng định lý Ceva vào tam giác SAB có:
E'A MB PS
E'A 1
.
.
1
. .2 1 E ' A E ' B E ' là trung điểm của AB.
E ' B MS PA
E 'B 2
Chứng minh tương tự ta cũng có F ' là trung điểm của CD E ' F ' là đường trung bình của
hình thang ABCD E ' F '
AD BC a b
.
2
2
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác SBE’ với cát tuyến AEM
có:
MB ES AE '
1 ES 1
ES
ES 4
.
.
1 .
. 1
4
.
MS EE ' AB
2 EE ' 2
EE '
E 'S 5
Chứng minh tương tự ta cũng có:
FS 4
E ' F '/ / EF .
F 'S 5
Áp dụng định lý Thales vào tam giác SE’F’ có:
EF
SE 4
4
4 a b 2a b
EF E ' F ' .
.
E ' F ' SE ' 5
5
5 2
5
Câu 36: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho một hình vuông ABCD cạnh a. Khi quay hình
vuông theo trục chéo AC thì ta thu được một khối tròn xoay có thể tích V1 và quay quan trục
AB được khối tròn xoay có thể tích V2 . Khi đó
A.
2
.
2
B.
V1
bằng:
V2
2
.
3
C.
2
.
6
D.
2
12
.
Đáp án C
Gọi O là tâm hình vuông ABCD OA OB OC OD
a 2
.
2
3
1
2
2
2 a 2 a 3 2
V1 2. .OA.SO ;OB .OA. .OB 2
OA3
3
3
3
3 2
6
(đvtt)
V2 AB.SO ; AD AB. . AD 2 . AB 3 a 3 .
V1
2
.
V2
6
Câu 37 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA ABCD . Biết SA y; M AD; AM x; x 2 y 2 a 2 . Khi đó giá trị lớn nhất của
VS . ABCM là:
A.
a3 3
.
4
B.
a3
.
8
C.
a3 3
.
2
Đáp án D
Ta có: S ABCM
a x a
AM BC
(đvdt)
. AB
2
2
a ( x + a) y a ( x + a) a 2 - x2
1
Þ VS . ABCM = SA.S ABCM =
=
3
6
6
Đặt f ( x) = ( x + a ) a 2 - x 2 Þ f '( x) =
-2 x 2 - ax + a 2
a2 - x2
(đvtt).
D.
a3 3
.
8
Xét phương trình f '( x) 0 x
Từ đó suy ra VS . ABCM max
a
a
f ( x) đạt giá trị lớn nhất khi x .
2
2
a3 3
(đvtt).
8
Câu 38: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cắt mặt trụ bởi mặt phẳng như hình
vẽ. Thiết diện tạo được là Elip có trục lớn bằng 10. Khi đó thể tích của hình vẽ
là:
A. 192 .
B. 275 .
C. 704 .
D. 176 .
Đáp án D
Bán kính đường tròn đáy là: R
102 62
4.
2
Khi đó ta dễ dàng tính được thể tích hình vẽ là: V .42.8
.42.6
2
176 (đvtt).
Câu 39 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC
vuông tại B. Góc giữa SC và mặt phẳng (SBC) là:
ABC.
A.
.
B. SAB
.
C. BSC
ASB.
D.
Đáp án C
.
Ta có: SA BC , AB BC BC SAB . Do đó SC , SAB SC , SB BSC
Câu 40 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
B. Khối hộp là khối đa diện lồi.
C. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Khẳng định lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện là sai.
Câu 41
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có
AB 2a, AD 3a, AA' a 2. Gọi I là trung điểm của cạnh B 'C ' . Thể tích khối chóp I.BCD
bằng:
3
B. a .
3
A. 3a .
3a 3 .
C.
D.
2a 3 .
1
1
1
VI .BCD d I , BCD S BCD AA' . S ABCD 2a 3
3
3
2
Câu 42 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tam giác ABC vuông tại A cạnh AB 6, AC 8, M là
trung điểm của cạnh AC. Thể tích khối tròn xoay do tam giác qua quanh cạnh AB là:
A. 102 .
B. 84 .
C. 76 .
D. 96 .
Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta được khối tròn xoay như
hình vẽ, khi đó ta có:
V
1
1
AB . AC 2 AB . AM 2 96
3
3
Câu 43: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy
vuông cân tại C, AB 3a và G là trọng tâm tam giác ABC,
SG ABC , SB
A.
a 3
.
3
a 14
. Khi đó d B, SAC bằng:
2
B. a 3.
C.
a 3
.
2
Đáp án B
Gọi I là trung điểm BC; kẻ GH AC H .
Xét ABC vuông cân tại C ta có:
AC BC
3a
3a
3a 10
CI
; AI AC 2 CI 2
4
2
2 2
2
a 10
GS SB 2 BG 2 a
BG AG AI
3
2
GH / / CI GH 2 CI a 2
3
2
Kẻ GK SH K GK mp ( SAC ). Xét SGH vuông tại G có:
1
1
1
2 1
a 3
2 2 GK
2
2
2
GK
GH
GS
a a
3
d B ;mp ( SAC ) 3GK a 3 (đvđd).
Câu 44 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng
D.
a 2
.
2
ABCD
một góc bằng 60. Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và BM
A.
2a
.
11
B.
6a
.
11
C.
a
.
11
D.
3a
.
11
Đáp án A
Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.
Khi đó:
a
A(0;0;0); B(a;0;0); C (a; a;0); D(0; a;0); M 0; ;0 .
2
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 600 nên
æ
ö
= 600 Þ SA = OA.tan SOA
= a 2 tan 600 = a 6 Þ S çç0;0; a 6 ÷÷.
SOA
÷
ç
çè
2
2
2 ÷ø
a 6
a
SC a; a;
/ / 2;2; 6 ; BM a; ;0 / / 2;1;0 . Mặt phẳng ( P ) chứa SC và
2
2
song song với BM có vecto pháp tuyến là
(
) (
)
6;2 6;6 / / 1;2; 6 nên có phương trình:
x 2 y 6 z 3a 0. Do đó: d SC ;BM d B ;( P )
2a
(đvđd).
11
Câu 45 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục
của nó ta được thiết diện là một hình tròn có chu vi bằng chu vi vủa hình chữ nhật được tạo
thành khi cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng đi qua 2 tâm. Khi đó tỉ số
A.
2
.
1
B.
2
.
1
C.
2
.
2 2
S xq
Stp
của khối trụ bằng:
D.
2
.
2
Đáp án A
Gọi chiều cao, bán kính đáy của hình trụ lần lượt là h; r h; r 0 .
2 r 2. 2r h h 2 r. Khi đó:
S xq
Stp
2 rh
h
2 r 2 .
2 r h r h r 2 r r 1
Câu 46:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC có
AB 10cm, BC 12cm, AC 14cm, các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng
nhau và bằng với tan 3. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. 182 cm3 .
B. 242 cm3 .
C. 192 cm3 .
D. 252 cm3 .
Đáp án C
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng đáy. Kẻ HM, HN, HP lần lượt
vuông góc với các cạnh AB, BC, CA. Khi đó ta có SM, SN, SP
lần
lượt
vuông
góc
với
AB,
BC,
CA.
Do
đó:
= SNH
= SPH
= α.
SMH
Khi đó: HM HN HP
HS
HS
.
tan
3
Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính HM.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: S ABC 24 6 (đvdt)
S ABC 24 6 4 6
HS 3HM 4 6.
p
18
3
HM
1
1
VS . ABC HS .S ABC .4 6.24 6 192 (đvtt).
3
3
Câu 47. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh
đáy bằng 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A ' BC bằng a 3 . Thể tích khối lăng trụ
là.
A. 8a 3 3.
B. 4a 3 3.
C.
8 3
a 3.
3
D. 3a 3 3.
Đáp án A.
Từ A dựng AH A ' B H A ' B AH a 3
1
1
1
1
2
2
AH
AA ' AB
AA ' 3a 4a 12a2
AA ' 2a 3 V 2a 3.4a2 8a3 3.
2
1
2
1
2
1
2
Câu 48 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình nón có độ dài
đường cao là a 3 , bán kính đáy là a. Số đo của góc ở đỉnh là.
A. 300.
B. 600.
C. 1200.
Đáp án B.
Đường sinh 1 h2 r 2
a 3
Ta có góc ở đỉnh 2 , với sin
2
a2 2a
r a 1
300 2 600.
l 2a 2
D. 900.
r
Cách 2: Ta có góc ở đỉnh bằng 2.tan1 2.300 600.
h
Câu 49 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng
a, một mặt phẳng cắt các cạnh AA ', BB ', CC ', DD ' lần lượt tại M , N , P, Q . Biết
1
2
AM a, CP a . Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là.
3
5
A.
11 3
a.
30
B.
a3
.
3
C.
2a 3
.
3
D.
Đáp án A
B'
Thể tích của khối đa diện ABCD.MNPQ bằng thể tích khối hình hộp
đứng có đáy là
11 3
a.
15
C'
D'
A'
N
1 a 2a 11a
ABCD và chiều cao h
2 3 5 30
P
M
11
Vậy thể tích cần tính V a 3
30
Q
C
B
A
D
Câu 50 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 có đáy là tam
giác đều cạnh 2a, điểm A1 cách đều 3 điểm A, B, C. Cạnh bên AA1 tạo với mặt phẳng đáy
một góc . Thể tích khối trụ ABC. A1 B1C1 bằng 2 3a 3 . Giá trị của là.
A. 300.
B. 450.
C. 600.
D. Đáp án khác.
Đáp án C
A'
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC có diện tích S ABC a 2 3
A1 cách đều A, B, C A1 H ABC A
1 AH
A1 H
V
2 3a 3
2a
S ABC
3a 2
cot
Câu 51.
B'
C'
A
α
M
AH 2 3a
1
: 2a
600
A1 A
3
3
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp
H
C
B
ABCD. A ' B ' C ' D ' có
AB AD 2a, AA' 4 a . Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA’, BB’,CC, DD’.
Biết hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' nội tiếp khối trụ (T) và lăng trụ ABCD.MNPQ
nội tiếp mặt cầu (C). Tỉ số thể tích
V(T )
V(C )
giữa khối cầu và khối trụ là.
- Xem thêm -
.PDF 
45 
96 
94 
