Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm
O. Gọi M , N , I là 3 điểm lấy trên AD, CD, SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
MNI
là:
A. Một tam giác
giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D.
Lục
Đáp án C.
J BD MN
Trong ABCD gọi K MN AB
H MN BC
Trong SBC gọi P QH SC
Trong SBD gọi Q IJ SB
Trong SBC gọi R KQ SA
Suy ra, thiết diện là ngũ giác MNPQR .
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là
tam giác đều, I là trung điểm của AB. Kí hiệu d AA ', BC là khoảng cách giữa 2 đường
thẳng AA ' và BC thì:
A. d AA ', BC AB
B. d AA ', BC IC
C. d AA ', BC A ' B
D. d AA ', BC AC
Đáp án B.
Gọi M là trung điểm của BC AM BC (ABC là tam giác đều)
+ AM AA ' (do AA ' ABC , ABC AM )
AM d AA ', BC CI (tam giác ABC đều)
(AM: gọi là đường vuông góc chung
nhau AA ' , BC).
của 2 đường thẳng chéo
Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn
GA GB GC GD 0 (G gọi là trọng tâm của tứ diện). Gọi GA GA BCD . Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. GA 3GAG
B. GA 4GAG
GA 2GAG
C. GA 3GAG
D.
Đáp án C.
+ Gọi G0 là trọng tâm tam giác BCD GB GC GD 3GG0
GA GB GC GD 0 GA 3GG0 0
A, G, G0 thẳng hàng G0 GA
+ Có A, G, GA thẳng hàng mà GA 3GGA GA 3GAG
Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một
vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên ABC . Xét các mệnh đề sau:
I. H là trực tâm của ABC .
II. H là trọng tâm của ABC .
III.
1
1
1
1
2
2
2
OH
OA OB OC 2
Số mệnh đề đúng là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đáp án C.
OA OBC OA BC (1)
OH ABC OH BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC AOH BC AH
AH là đường cao trong tam giác BCD
Tương tự suy ra, CH là đường cao trong tam
H là trực tâm I đúng II sai
giác
BCD
+ Gọi A ' AH BC OA ' BC
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
OH
OB OC
OH
OA ' OA
OA OB OC 2
III đúng.
Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC
ABC 60 , CC ' 4a . Tính thể tích khối A ' CC ' B ' B .
là tam giác cân tại B. BC a ,
A. V
2a 3 3
3
B. V
a3 3
3
C. V a 3 3
D. V 3a 3
Đáp án A.
ABC cân có
ABC 60 ABC đều cạnh a
1
VABC . A ' B 'C ' S ABC .CC ' .a.a.sin 60.4a a 3 3
2
1
a3 3
VA ' ABC VABC . A ' B 'C '
3
3
VA 'CC ' B ' B VABC . A ' B 'C ' VA '. ABC a 3 3
a 3 3 2a 3 3
3
3
Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Kim tự tháp Kê – ốp ở Ai Cập được xây dựng và
khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều
cao là 147 m, cạnh đáy là 230 m. Thể tích của nó là:
A. 2592100 m3
2591200 m3
B. 2952100 m3
C. 2529100 m3
D.
Đáp án A.
1
1
Ta có V Sđ .h .2302.147 2592100 m3.
3
3
Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Hình tứ diện có số mặt đối xứng là:
A. 3
B. 4
C. 6
D. 9
Đáp án C.
Mặt phẳng qua 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện
đều Có 6 mặt như vậy.
Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một khối trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và
nội tiếp trong mặt cầu bán kính R thì thể tích của khối trụ là:
A. 2 R 3
Đáp án B.
B.
R3 2
2
C.
R3 2
6
D.
2 3
R
3
Gọi h là chiều cao của khối trụ, r là bán kính
h2 h2 2R h2 2R 2 h R 2
2
1
R 2
h
2
2
r
2
R2
R3 2
Vtru B.h r h . .R 2
2
2
2
Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ
nhật cạnh AB 2a, AD a , SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện
tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
16 2
a
3
A.
B.
57 2
a
18
C.
48 2
a
9
D.
24 2
a
9
Đáp án A.
Trong mặt phẳng ABCD , gọi O AC BD , H là trung điểm AD.
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm SAD .
Đường thẳng d qua O và vuông góc với ABCD gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy
ABCD .
qua G và vuông góc với SAD là trục của đường tròn ngoại tiếp SAD .
Trong mặt phẳng SHI , gọi I d
J cách đều các đỉnh của hình chóp
J là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính
R JD OJ 2 OD 2 GH 2 OD 2
1
1
3 a 3
Có GH SH .a
;
3
3 2
6
OD
1
a 5
DB
2
2
R
3a 2 5a 2
4
a
56
4
3
S mc 4 R 2
16 2
a .
3
Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng BCD bằng 6. Tính thể tích của tứ diện ABCD
A. V 27 3 .
B. V 5 3 .
C. V
27 3
.
2
D. V
9 3
.
2
Đáp án A
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng BCD . Do ABCD là tứ diện đều nên tâm H
là tâm đường trong ngoại tiếp BCD .
Đặt cạnh của tứ diện là a. Gọi M là trung điểm của CD.
Do BCD đều nên BM
a 3
2
2 a 3 a 3
.
BH BM .
2
3
3 2
3
2
a 3
a 6
Ta có ABH vuông tại H nên AH AB BH a
.
3
3
2
Từ
giả
thiết
ta
2
2
có
(đvdt).
2
a 6
a 3 27 3
AH
6 a 3 6 S BCD
3 của tứ diện ABCD là
4
2
Vậy thể tích
V
1
1 27 3
AH .S BCD .6.
27 3 (đvtt).
3
3
2
Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Thể tích
I, có bán kính 2R bằng
A. V
4 3
R .
3
1
B. V R 3 .
3
khối cầu tâm
C. V
32 3
R .
3
8
D. V R 3 .
3
Đáp án C
Thể tích khối cầu là V
4
32 3
3
. 2 R
R (đvtt).
3
3
Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm
750 ,
O, bán kính R có BAC
ACB 600 . Kẻ BH AC . Quay ABC quanh AC thì BHC
tạo thành hình nón tròn xoay N . Tính diện tích xung quanh của hình nón xoay N theo
R.
A.
3 2 2 2
R .
2
B.
3 2 3 2
R .
2
C.
3
R .
2 1
4
2
Đáp án B
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có
BC
AC
AB
2R
sin BAC sin ABC sin
ACB
D.
3
R .
3 1
4
2
AB 2 R.sin 600 R 3
BC
AC
AB
6 2
2 R BC 2 R.sin 750
R
0
0
0
sin 75
sin 45
sin 60
2
AC 2 R.sin 450 R 2
Lại có
1
1 BH . AC BH AB.sin BAC
R 3.sin 750
AB. AC.sin BAC
2
2
3 6 2
BH
R.
4
S ABC
Khi quay ABC quanh AC thì BHC tạo thành
3
6 2
R , bán kính đáy r BH
2
xoay N có đường sinh l BC
Diện tích xung quanh hình nón
S xq rl
3
N
6 2
4
R.
là
6 2
4
hình nón tròn
R.
6 2
3 2 3 2
R
R (đvdt).
4
2
Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại A, AB a, SA SB SC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC
bằng 450 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC
A.
a 3
.
3
B.
a 2
.
2
C. a 2 .
D. a 3 .
Đáp án B
Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng
ABC .
Do SA SB SC nên
IA IB IC I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Mà ABC vuông cân tại A nên I là
trung điểm của BC và IA IB IC
1
a 2
.
BC
2
2
Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng
ABC
45 .
, ABC SA
, IA SAI
SA
0
Do SIA vuông tại I nên SAI vuông cân tại
SI IA
a 2
a 2
.
d S ; ABC SI
2
2
I, khi đó :
nên
Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng
tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là
a3 3
. Tính khoảng cách giữa hai
4
đường thẳng AA ' và BC
A.
4a
.
3
B.
2a
.
3
C.
3a
.
4
D.
3a
.
2
Đáp án C
Ta dễ dàng chứng minh được AA '/ / BCC ' B '
d AA '; BC d AA '; BCC ' B ' d A; BCC ' B ' .
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra A ' G ABC .
Ta có S ABC
a2 3
4
VABC . A ' B 'C ' A ' G.S ABC A ' G
Lại có AM
VABC . A ' B 'C ' a 3 3 a 2 3
:
a.
S ABC
4
4
a 3
2
a 3
2a 3
.
AG AM
AA ' A ' G 2 AG 2
2
3
3
3
1
1 a3 3 a3 3
Ta luôn có VA '. ABC VABC . A ' B 'C ' .
.
3
3 4
12
Mà VABC . A ' B 'C ' VA '. ABC VA '.BCC'B'
VA '. BCC ' B ' VABC . A ' B 'C ' VA '. ABC
a3 3 a3 3 a3 3
.
4
12
6
Gọi M , M ' lần lượt là trung điểm của BC và B ' C ' . Ta có BC AM , BC A ' G
BC AMM ' A ' BC MM ' . Mà MM '/ / BB ' nên BC BB ' BCC ' B ' là hình chữ
nhật S BCC ' B '
2a 3
2a 2 3
.
BB '.BC
.a
3
3
3V
1
Từ VA '.BCC'B' d A '; BCC ' B ' .S BCC ' B ' d A '; BCC ' B ' A '.BCC'B'
3
S BCC ' B '
d A '; BCC ' B '
a 3 3 2a 2 3 3a
3a
. Vậy d AA '; BC
.
:
2
3
4
4
Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy
ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, A ' C a . Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng A ' CB và
ABC
để thể tích khối chóp A '. ABC lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp
A '. ABC theo a
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
9
C.
a3 3
.
27
D.
a3 3
.
81
Đáp án C
Ta có BC AC , BC AA ' BC A ' ACC ' BC A ' C.
Suy ra
A ' CB , ABC
A ' C , AC
A ' CA x, 0 x .
2
A ' AC vuông tại B nên AA ' A ' C.sin
A ' CA a sin x; AC a cos x.
Suy
ra
Xét hàm số f x sin x cos 2 x sin x 1 sin 2 x trên
Đặt t sin x , do x 0; t 0;1 . Xét hàm số
2
g t t 1 t 2 trên 0;1 .
Ta có f ' t 1 3t 2 ; f ' t 0 t
1
1
.
. Do t 0;1 nên t
3
3
1 2 3
Lập bảng biến thiên, suy ra max f x max g t g
9 .
t
0;1
3
x 0;
2
Vậy Vmax
a3 2 3 a3 3
(đvtt).
.
6 9
27
1
1
VA '. ABC . AA '.S ABC
3
3
0; .
2
Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi I và I ' lần
lượt là tâm của ABB ' A ' và DCC ' D ' . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. II ' AD
B. II '/ / ADD ' A ' .
C. II ' và BB ' cùng nằm trong một mặt phẳng
D. II ' và DC không có điểm chung
Đáp án C.
+ ADC ' B ' là hình bình hành.
+ II '/ / AD II '/ / ADD ' A ' và II ' AD nên đáp án A, B là đúng.
+ II '/ / ABCD nên II ' và DC không có điểm chung nên đáp án D đúng.
+ ABB ' A ' / / BCC ' B ' BB ' và ADC ' B ' BCD ' A ' II ' tức là II ' và BB ' không
cùng thuộc một mặt phẳng nên đáp án C sai.
Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông và SA ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm AB, BC và SB. Mệnh đề nào
sau đây là sai?
A. MNP / / SAC
B. BD MNP
C. Góc giữa SC và BD là 60°
D. BC MP
Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính số
đo góc giữa hai mặt phẳng BA ' C và DA ' C . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng BA ' C
và DA ' C .
A. 60°
B. 135°
C. 150°
Đáp án A.
Vẽ DH A ' C .
Ta có: A ' DC A ' BC (c.g.c) BH HD
90
BHC DHC (c.c.c) BHC
Vậy góc giữa hai mặt phẳng BA ' C và DA ' C là góc BHD
Trong A ' DC vuông tại D
DH
DA '.DC a 2 a 6
A 'C
3
3
Trong HBD có cos BHD
BH 2 HD 2 BD 2
1
2 BH .HD
2
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng BA ' C và DA ' C là góc 60°.
D. 90°
Câu 19*:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA 3HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60°. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
A.
a 61
4
4a 17
3
B.
C.
a 35
51
D.
4a 351
3 61
Đáp án D.
Kẻ Ax / / BC , HI Ax, HK SI . Gọi M là trung điểm của AB
d BC , SA d BC , SAx d B, SAx
4
d H , SAx
3
Ta có AI SHI AI HK HK SAI d H , Sax HK
60
Góc giữa SC và ABC là góc SCH
Ta
có
2
a 3 a 2 a 13
HC CM MH
4
2 4
2
2
SH HC.tan 60
HI AH .sin 60
Ta có HK 2
a 39
4
3
3 a.3 3
a.
4 2
8
HI 2 .SH 2
351a 2
a 351
HK
2
2
HI SH
61
61
4
4a 351
d BC , SA d H , SAx
3
3 61
Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cắt khối nón bởi mặt phẳng qua trục tạo thành
tam giác ABC đều cạnh a. Biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là
3a 3 3
A.
4
a 3 3
B.
12
a 3 3
C.
24
Đáp án C.
Ta có bán kính đáy khối nón là
a 3
a
, chiều cao của khối nón là h
2
2
a3 2 3
D.
9
2
1 a a 3 a3 3
Vậy V . .
3 2
2
24
Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
có cạnh là a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vơi đáy. Tính
thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
15 a 3
9
A.
B.
5 15 a 3
54
C.
5 15 a 3
18
D.
4 3 a 3
27
Đáp án B.
Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm SC.
Ta có: SH AB SH ABC
SH SC HK là trung trực SC. Qua O kẻ trục d / / SH d ABC
IA IB IC
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Gọi I d HK
IS IC
2
a 3
Ta có CG CH
3
3
Xét HIG vuông tại G: IG HG
a 3
a 15
IC
6
6
4
5 15a 3
3
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V IC
3
54
Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một phễu đựng kem hình nón bằng bạc có thể tích
12 (cm3) và chiều cao là 4 cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần
nhưng chiều cao không thay đổi thì diện tích miếng giấy bạc cần thêm là
A. 12 13 15 (cm2) B. 12 13 (cm2)
12
C.
12 13
(cm2)
15
D.
13 15 (cm2)
Đáp án A.
Gọi R1 , h1 lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón lúc đầu; R2 , h2 lần
lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.
1
1
V1 R12 .h1 12 R12 .4 R1 3 cm
3
3
V
R2
1
V2 R22 .h2 với h1 h2 2 22 4 R2 2 R1 6
V1 R1
3
Diện tích xung quanh của hình nón lúc đầu: S xq1 .R1.l1 15
Diện tích xung quanh hình nón khi tăng thể tích: S xq 2 .R2 .l2 12 13
Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm: S 12 13 15 (cm2)
Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD , SC a 5 . Tính thể tích khối
chóp.
A. V
V
a3 3
3
B. V
a3 3
6
C. V a 3 3
D.
a3 3
9
Đáp án A.
Ta có: AC a 2 SA SC 2 AC 2 a 3 (chiều cao của hình chóp)
Diện tích hình vuông ABCD : S ABCD a 2
1
a3 3
Thể tích khối chóp SABCD là: VSABCD .SA.S ABCD
3
3
Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh là 1. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng
tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng
3
, tính thể
4
tích V của khối lăng trụ.
A. V
3
36
B. V
3
3
C. V
3
6
D. V
3
12
Đáp án D.
Gọi M là trung điểm BC, dựng MK AA ' và GH AA '
d BC , AA ' KM
AGH ~ AMK
3
4
KM 3
2
3
GH KN
GH 2
3
6
AA ' G vuông tại G, GH là đường cao A ' G
Vậy VABC . A ' B 'C ' S ABC . A ' G
1
3
3
12
Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho một chiếc cốc thủy tinh có hình lăng trụ lục
giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20 cm và 5 cm. Người ta đặt cái cốc vào
trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cái cốc vừa khít trong hộp. Tính thể tích
chiếc hộp đó.
A. 500 3 cm3
B. 1000 3 cm3
C. 750 3 cm3
D. 100 3
cm3
Đáp án B.
Ta có: AB 2 MN 10 cm
AD MR 5 3 cm
V S ABCD .h 10.5 3.20 1000 3 (cm3)
Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho mặt cầu S có tâm O và bán kính R. Diện
tích mặt cầu S được cho bởi công thức nào trong các công thức dưới đây?
A. 4 R 2 .
B. 4R 2 .
C.
4
R2 .
3
D. R 2 .
Đáp án A.
Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có đáy là
hình vuông. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
A. 90 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 60 .
Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A
có AB a và BC 2a . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta thu được khối nón có
thể tích bằng
A. a 3 .
Đáp án A
B. 3 a 3
C.
3 3
a .
3
D.
2 3
a .
3
Ta có chiều cao của khối nón bán kính hình tròn đáy lần lượt là
h AB a ; và r AC BC 2 AB 2 a 3.
Suy ra thể tích của khối nón là
1 2
r h a3 .
3
Phân tích phương án nhiễu.
thể tích.
1
Phương án B: Sai do HS thiếu trong công thức tính
3
Phương án C: Sai do HS xác định h a 3 và bán
r a nên
V
kính đáy
3 3
a .
3
Phương án D: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón
1
2
V r 2l a 3 .
3
3
Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 3a . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao
cho A trùng với O, điểm B thuộc tia Ox, điểm D thuộc tia Oy và điểm S thuộc tia Oz. Gọi G là
trọng tâm của tam giác SBD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
a a
A. G ; ; a .
3 3
B. G a; a;3a .
a a 3a
C. G ; ; .
2 2 2
a
a
D. G ; a; .
3
3
Đáp án A.
Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi là
góc giữa đường thẳng AC’ với mặt phẳng ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
.
9
4
B.
4
3
.
C.
6
2
.
9
D.
9
6
.
Đáp án C.
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC ' trên mặt phẳng ABCD .
Lại do CC ' ABCD nên tam giác C ' AC vuông
Suy ra
AC ', ABCD
AC ', AC C
' AC . .
Ta có tan
CC '
2
2
.
AC
2
6
9
Phân tích phương án nhiễu
tại C .
2
và cho rằng .
2
4
Phương án A: Sai do HS tính được tan
Phương án B: Sai do HS tính sai tan
AC
.
2 nên suy ra
AC '
4
3
Phương án D: Sai do HS tính sai tan
CC '
3
nên suy ra .
AC ' 3
6
Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết rằng AB a, AC a 3
60 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính tỷ số thể tích của hai
và SBA
khối SABH và HABC.
A.
3
.
4
B.
1
.
12
C.
3
.
2
D.
7
.
4
Đáp án A
a 3; AC AB 2 BC 2 2a .
Ta có SA AB tan SBA
Tam giác SAC vuông tại A có đường cao
SC SA2 AC 2 a 7 và
Do đó
SH .SC SA2 .
SH SA2 3
.
SC SC 2 7
Mặt khác
Suy ra
AH nên
VSABH SA SB SH SH 3
. .
.
VSABC SA SB SC SC 7
VHABC 4
V
3
. Do đó SABH .
VSABC 7
VHABC 4
Phân tích phương án nhiễu.
a 3 . Do đó tính được
Phương án B: Sai do HS tính sai SA AB tan SBA
3
VSABH
V
1
1
SABH .
VSABC 13 VHABC 12
Phương án C: Sai do HS tính được SC SA2 AC 2 a 5 nên
VSABH 3 VSABH 3
.
VSABC 5 VHABC 2
Phương án D: Sai do HS nhầm với tỷ số thể tích của hai khối SABC và HABC.
Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC có góc giữa
đường thẳng AB với mặt phẳng ABC bằng 60 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
ABC
bằng
A. V
a 5
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC .
2
125 3 3
a.
96
B. V
125 3 3
a.
288
C. V
125 3 3
a.
384
D. V
125 3 3
a.
48
Đáp án A.
Gọi M là trung điểm của BC thì BC A ' AM .
Từ A kẻ AH A ' M , H A ' M . Khi đó AH A ' BC .
a 5
.
2
Suy ra d A, A ' BC AH
Góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng (ABC) bằng góc
A ' MA .
Theo giả thiết ta có
A ' MA 600
Đặt AB 2 x thì AM x 3; A ' A 2 x 3 .
A ' A. AM
Suy ra AH
A ' A AM
2
2
2 x 15
5
2 x 15 a 5
5a 15
x
. Do
225a 2 3
12
5a5
A ' A ; S ABC
.
2
48
Từ giả thiết ta có
đó
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là
V
125 3 3
a .
96
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS tính đúng như trên nhưng nhớ nhầm công thức tính thể tích khối
lăng trụ sang công thức tính thể tích khối chớp.
Cụ thể V
1
125 3 3
AA '.S ABC
a .
3
288
Phương án C: Sai do HS giải như trên và tìm được x
tam giác ABC. Cụ thể S ABC
Do đó tính được V
3 2 25 3 2
x
a .
4
192
125 3 3
a.
384
5a 3
nhưng lại tính sai diện tích
12
Phương án D: Sai do HS tính đúng như trên nhưng tính sai diện tích tam giác ABC. Cụ thể:
S ABC 2 3 x 2
25 3 2
125 3 3
a . Do đó tính được V
a.
24
48
Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a và cạnh bên bằng a 3 . Gọi V1 , V2 lần lượt thể tích khối cầu và khối nón ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD. Tính tỷ số
A.
V1 324
.
V2
25
B.
V1
.
V2
V1 18 30
.
V2
25
C.
V1 36
.
V2 25
D.
V1 108
.
V2 25
Đáp án D.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.vì S.ABCD là hình chop đều nên SO ABCD
Từ giả thiết, ta có SO SA2 OA2
a 10
.
2
Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có chiều cao h SO
bán kính đáy là r OA
a 10
và
2
a 2
.
2
1 2
a 3 10
Suy ra V2 r h
.
3
12
Ta có SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Đường trung
trực của SB nằm trong mặt phẳng (SBD) cắt SB, SO lần lượt tại M, I. Ta có
IS IB IA IC ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có SI .SO SM .SB SI
SB 2 3a 10
.
2 SO
10
V 108
4
9 a 3 10
3
Suy ra V1 . SI
. Do đó 1
.
3
25
V2 25
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS nhớ nhầm công thức tính thể tích khối cầu là
V1 4 SI
3
Do đó tính được
27 a 3 10
.
25
V1 324
.
V2
25
Phương án B: Sai do HS nhớ nhầm công thức tính thể tích khối nón là
1
a3 3
V2 r 2l
3
6
Do đó tính được
V1 18 30
.
V2
25
Phương án C: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón là
V2 r 2h
Do đó tính được
a3 10
4
.
V1 36
.
V2 25
Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật với AB 2, AD 2 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD, CB.
Tính côsin góc tạo bởi mặt phẳng MNP và SCD .
A.
2 435
.
145
B.
11 145
.
145
C.
2 870
.
145
D.
3 145
.
145
Đáp án B.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH ABCD .
Ta có SH AB; AB HN ;HN SH và SH 3.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia
Oz. Khi đó: B 1;0;0 , A 1;0;0 , N 0;2 3;0 , C 1;2 3;0 ,
1
2
D 1;2 3;0 ,S 0;0; 3 , M ;0;
3
,P 1; 3;0 .
2
3
Mặt phẳng (SCD) nhận n1
CD, SC 0;1;2 làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng
6
2 3
(MNP) nhận n2
MN , MP 3;1;5 làm một vectơ pháp tuyến.
3
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và
n1.n2
11 145
cos
.
145
n1 . n2
(SCD) thì
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính đúng
2 435
n1 0;1;2 ; n2 3;1;5 nhưng lại tính sai n1.n2 2 3. Do đó tính được cos
.
145
Phương án B: Sai do HS tính đúng n1 0;1;2 ; n2 3;1;5 nhưng lại tính sai
2
n1.n2 n1.n2 32 2 3
Do đó tính được cos
2 870
.
145
Phương án C: Sai do HS tính đúng n1 0;1;2 ; n2
Do đó tính được cos
3 145
.
145
3
2
2 6.
3;1;5 nhưng lại tính sai n1.n2 3.
Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một người thợ có một khối đá hình trụ có bán
kính đáy bằng 30cm. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN PQ . Người thợ
đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua ba trong bốn điểm M, N, P,Q để được một khối đá có
hình tứ diện (như hình vẽ dưới). Biết rằng khối tứ diện MNPQ có thể tích bằng 30dm3 . Thể
tích của lượng đá bị cắt bỏ gần với kết quả nào dưới đây nhất?
A. 111, 40 dm3 .
B. 111,39 dm3 .
C. 111,30dm3 .
D. 111,35 dm3 .
Đáp án B.
Trước hết ta có kết quả: Khối tứ diện ABCD có thể tích được tính theo công thức
1
VABCD AB.CD.d AB; CD .sin
AB, CD .
6
Áp dụng kết quả này, ta có VMNQP
1
MN .PQ.d MN ; PQ .sin
MN , PQ 6.h,
6
trong đó MN PQ 6dm và h d MN ; PQ là chiều cao của hình trụ.
Từ giả thiết ta có h 5dm.
Suy ra thể tích khối trụ là V r 2h 45 dm3 , với r 3dm.
Do đó thể tích của lượng đá bị cắt bỏ là
V0 V VMNPQ 45 30 111,3716694dm3.
Vậy phương án đúng là B.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A và C: Sai do HS giải đúng nhưng làm tròn số bị sai hoặc lấy 3,14.
Phương án D: Sai do HS chọn 3,141.
.
Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều
như hình vẽ:
- Xem thêm -