Câu 1 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số f (x ) liên tục trên
¡
và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;0) và (0;+ ¥ ).
B. Hàm số đồng biến trên (- 1;0)È (1; + ¥ ).
C. Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) và (1; + ¥ ).
D. Hàm số đồng biến trên (- 1;0) và (1; + ¥ ).
Chọn D.
Câu 2 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi x1 là điểm cực đại, x 2 là điểm cực tiểu của hàm số
y = - x 3 + 3 x + 2.
Tính x1 + 2 x 2 .
A. - 1.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
2
Lời giải. Ta có y ¢= - 3x + 3; y ¢= 0 Û x = ± 1.
Bảng xét dấu y ¢.
Từ đó suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x1 = 1, đạt cực đại tại x 2 = - 1 . Suy ra x1 + 2 x 2 = - 1.
Chọn A.
Câu 3 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,
D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau ?
A. y = 2 x 3 - 6 x .
B. y = - 2 x 3 + 6 x - 8. C. y = - 2 x 3 + 6 x .
D. y = 2 x 3 - 6 x + 8.
Lời giải. Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra a > 0 . Loại B & C.
Thử tại x = 1 ® y = - 4 . Thay vào 2 đáp án còn lại chỉ có A thỏa. Chọn A.
Câu 4 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Biết rằng đường thẳng y = - 2 x + 2 cắt đồ thị hàm số
y = x3 + x + 2
tại điểm duy nhất có tọa độ (x 0 ; y0 ) . Tìm y0 .
D. y0 = - 1 .
B. y0 = 0 .
C. y0 = 2 .
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: - 2 x + 2 = x 3 + x + 2
Û x 3 + 3x = 0 Û x = 0 ¾ ¾
® y = 2 . Chọn C.
A. y0 = 4 .
Câu 5 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Đồ thị hàm số y =
x 2 - 3x - 4
có bao nhiêu đường tiệm
x 2 - 16
cận đứng ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Lời giải. Xét phương trình x - 16 = 0 Û x = ± 4 . Ta có:
(x + 1)(x - 4)
x 2 - 3x - 4
x+1
y = lim
= lim
= lim
= ¥ ® x = - 4 là TCĐ;
xlim
2
x® - 4
x ® - 4 (x + 4 )(x - 4 )
x® - 4 x + 4
®- 4
x - 16
(x + 1)(x - 4)
x 2 - 3x - 4
x+1 5
lim
= lim
= lim
= ® x = 4 không là TCĐ.
y = lim
2
4
4
x® 4
x® 4
x
x
®
®
x - 16
x+ 4 8
(x + 4 )(x - 4 )
Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 6 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Gọi yCT là giá trị cực tiểu của hàm số f (x )= x 2 +
2
x
trên
(0;+ ¥ ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. yCT > min
y.
(0;+ ¥ )
B. yCT = 1 + min
y.
(0;+ ¥ )
C. yCT = min
y.
(0;+ ¥ )
D. yCT < min
y.
(0;+ ¥ )
2
2x 3 - 2
=
¾¾
® f ' (x )= 0 Û x = 1 Î (0; + ¥ ).
2
x
x2
Qua điểm x = 1 thì hàm số đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' trong khoảng (0;+ ¥
Lời giải. Đạo hàm f ' (x )= 2 x -
).
Suy ra trên khoảng (0;+ ¥ ) hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực tiểu nên đó cũng
chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy yCT = min
y. Chọn C.
0;+ ¥
(
)
(Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục trên ¡ và có
Câu 7.
bảng biến thiên như sau:
x
y'
y
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng - 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .
Câu 8
(Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số
f (x ) = x + 6 x 2 + 9 x + 3 có đồ thị là (C ). Biết rằng
3
tồn tại hai tiếp tuyến của (C ) phân biệt và có
cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi
qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các
trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho
OA = 2018OB .
Hỏi có bao nhiêu giá trị của k
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
B. 2.
A. 1.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra đường thẳng AB có
hệ số góc bằng
1
2018
hoặc -
1
.
2018
Gọi tọa độ hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là
M (x1 , y1 ), N (x 2 , y2 ) với x 1 , x 2 là hai nghiệm của
hay
phương
trình
y' = k
ïìï x1 + x 2 = - 4
3 x 2 + 12 x + 9 - k = 0 ¾ Vi-et
.
¾¾
® ïí
ïï x1 x 2 = 3 - k
3
îï
uuuur
Khi đó MN = (x 2 - x1 , y 2 - y1 ) là VTCP chỉ phương
của đường thẳng AB
¾¾
® hệ số góc của đường thẳng AB là
y2 - y1
k
2
= (x1 + x 2 ) - x1 x 2 + 6 (x1 + x 2 )+ 9 = - 2.
x 2 - x1
3
ék
1
ê - 2=
ê
2018
Từ (1) và (2) , suy ra ê3
¾¾
® k nhận
1
êk
ê - 2= êë3
2018
hai giá trị. Chọn B.
Câu 9 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hàm số
bậc ba f (x )= ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như
hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a 2 + c 2 + b + 1 bằng
1
5
B. .
1
3
5
8
D. 1.
A. .
C. .
1
11
Lời giải. Ta có f ¢(x )= 3ax 2 + 2bx + c.
ïìï a ¹ 0
ï
2 .
Û
í
ïï D ¢y ' = b 2 - 3ac £ 0 ïï ac ³ b
î
ïïî
3
2
2b
5
+ b + 1 ³ . Chọn C.
Đánh giá P = a 2 + c 2 + b + 1 ³ 2ac + b + 1 ³
3
8
Câu 10 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hàm số bậc bốn y = f (x ).
ïì a ¹ 0
Dựa vào đồ thị ta suy ra ïí
Hàm số y = f ¢(x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của
hàm số y = f ( x 2 + 2 x + 2 ) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời
y = g (x )= f
Dựa
(
giải.
Ta
)
x+1
x + 2x + 2 ¾ ¾
® g ¢(x )=
2
vào
đồ
éx + 1 = 0
ê
ê 2
ê x + 2x + 2 = - 1
g ¢(x )= 0 Û ê
Û
ê x 2 + 2x + 2 = 1
ê
ê 2
ëê x + 2 x + 2 = 3
x 2 + 2x + 2
thị
có
(
2
)
f ¢ x + 2x + 2 .
ta
thấy
éx = - 1
ê
êx = - 1 + 2 .
ê
ê
êëx = - 1 - 2
Bảng xét dấu
Từ đó suy ra hàm số y = f ( x 2 + 2 x + 2 ) có 1 điểm cực đại.
Chọn A.
Chú ý: Cách xét dấu - hay + của g ' (x ) để cho nhanh nhất ta
lấy một giá trị x 0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g ¢(x ).
Chẳng
hạn
x0 = 0 ¾ ¾
® g ¢(0)=
với
1
2
khoảng
( )
f¢ 2 <0
(- 1;- 1 + 2 )
ta
chọn
vì dựa vào đồ thị ta thấy
( )
f ¢ 2 < 0.
Câu
(Gv
11
Huỳnh
Đức
Khánh).
Cho
hàm
số
f (x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương
3
2
2
trình éëf (x )ùû = 4 có bao nhiêu nghiệm?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
éf (x )= 2
2
Lời giải. Ta có éëf (x )ùû = 4 Û êê
.
êëf (x )= - 2
2
Do đó số nghiệm của phương trình éëf (x )ùû = 4 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
f (x ) với hai đường thẳng y = 2 và y = - 2.
2
Dựa vào đồ thị ta thấy có 4 giao điểm nên phương trình ëéf (x )ûù = 4 có 4 nghiệm. Chọn B.
Câu 12 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau
Hỏi đồ thị hàm số y = f (x - 2017 )+ 2018 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số y = f (x - 2017 )+ 2018 là đồ thị hàm số y = f (x ) tịnh tiến sang phải
2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số
y = f (x - 2017 )+ 2018 như sau
Dựa vào bảng biến ta suy ra đồ thị hàm số y = f (x - 2017 )+ 2018 có hai điểm cực trị, trong
đó có một điểm cực trị nằm trên trục hoành. Suy ra đồ thị hàm số y = f (x - 2017 )+ 2018
có 3 cực trị. Chọn B.
Câu 13 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y =
x+1
x- 1
có đồ thị (C ) và điểm A (a;2). Gọi
S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm
A và có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn k1 + k2 + 10 k12 k2 2 = 0. Tổng giá trị tất cả các phần tử của
S bằng
A. 7.
B.
7-
5
.
C.
2
æ t + 1ö÷
Lời giải. Gọi M çççt ;
÷Î (C ) là tọa độ tiếp điểm.
è t - 1ø÷
- 2
5-
5
2
7
2
.
D. .
t+ 1
.
Phương trình tiếp tuyến tại M là y = (x - t )
+
2
(t - 1) t - 1
- 2
t+1
Do tiếp tuyến đi qua A (a;2) nên ta có 2 = (a - t )
+
¾¾
® Þ t 2 - 6t + 3 + 2a = 0. (1)
2
(t - 1) t - 1
ïì t + t = 6
Theo viet ta có ïí 1 2
.
ïïî t1t 2 = 3 + 2a
Gọi t1 , t2 là hai nghiệm của (1), suy ra k1 =
Theo đề bài: k1 + k2 + 10k12 k2 2 = 0 Û
- 2
2
(t1 - 1)
+
- 2
2
(t1 - 1)
- 2
2
(t 2 - 1)
và k2 =
+ 10
- 2
2
(t 2 - 1)
4
4
×
.
4
4
(t1 - 1) (t2 - 1)
2
2
2
2
Û éê(t1 - 1) + (t2 - 1) ùú(t1 - 1) (t 2 - 1) = 80
ë
û
2
2
Û éê(t1 + t2 ) - 2t1 t2 - 2 (t1 + t 2 )+ 2ùú[t1t 2 - t1 - t2 + 1] = 80
ë
û
éa = 0
ê
2
2
Û (20 - 4 a )(2a - 2) = 80 Û (5 - a )(a - 1) = 5 ¾ ¾
® ê 7 ± 5 . Chọn A.
êa =
ê
2
ë
= 0
Câu 14. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số
y = f (x ) xác định trên khoảng (a; b ) và có đồ thị
như hình bên, biết đồ thị là một đường cong
trơn (không bị gãy khúc). Trong các khẳng định
dưới đây, khẳng định nào là sai?
A. Hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên khoảng
(a; b ) .
B. f ¢(x1 )> 0.
C. f ¢(x 2 )> 0.
D. f ¢(x 3 )= 0.
y
a
O
x1
x2 x3 b
x
Lời giải. Đồ thị hàm số là một đường cong trơn (không bị gãy trên (a; b )) nên A đúng.
Xét từ trái sang phải, ta thấy
x1 nằm trong khoảng đồ thị đang tăng nên B đúng.
x 2 nằm trong khoảng đồ thị đang giả nên C sai. Chọn C.
Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 nên D đúng.
Câu 15 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như
hình bên dưới. Biết rằng trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị. Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình f (x )= 4 m + 2 log 2 có hai nghiệm dương phân biệt.
4
A. m > 1.
B. 0 < m < 1.
C. m < 0.
D. 0 < m < 2.
m + 2 log 2
có hai nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi
Lời giải. Phương trình f (x )= 4
4
0 < 4 m+ 2 log 4
2
(
<2
)
Û 2 m + 2 log 4 2 < 1 Û m < 0. Chọn C.
Câu 16.
(Gv Huỳnh Đức Khánh) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
ép ö
+ (m - 3).2 cot x + 3m - 2 đồng biến trên ê ; p ÷
÷.
êë4 ÷
ø
A. - 9 £ m < 3 .
B. m £ 3 .
é
p ö
Lời giải. Đặt t = 2cot x , với x Î ê ; p ÷÷÷¾ ¾® t Î (0;2 ].
êë4 ø
y= 8
cot x
C. m £ - 9 .
D. m < - 9 .
Hàm số trở thành y (t )= t 3 + (m - 3)t + 3m - 2 ¾ ¾® y ' (t )= 3t 2 + m - 3.
Ta có t ' = -
ln 2 cot x
.2
< 0, " x Î
sin 2 x
ép ö÷
ê ;p÷
, do đó t = 2cot x nghịch biến trên
êë4 ÷
ø
æp ö÷
çç ; p ÷.
çè 4 ø÷
Do đó YCBT ¬ ¾® y (t ) nghịch biến trên khoảng (0;2 ]¬ ¾® 3t 2 + m - 3 £ 0, " t Î (0;2]
¬ ¾® m £ 3 - 3t 2 , " t Î (0;2 ]¬ ¾® m £ min {3 - 3t 2 }, " t Î (0;2 ]¬ ¾® m £ - 9.
Chọn C.
Câu 17 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:
xlim
y= +¥ ¾¾
® đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;
®+¥
D. 4.
lim y = + ¥ ¾ ¾® x = - 2 là TCĐ;
+
x ® (- 2 )
lim y = - ¥ ¾ ¾® x = 1 là TCĐ.
x ® 1+
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận. Chọn B.
Câu 18 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) xác định trên ¡ và
có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f (x )+ m - 2018 = 0 có nhiều hơn một nghiệm.
A. m Î (- ¥ ;2015)È (2019; + ¥ ).
B. m Î (- ¥ ;2015]È [2019; + ¥ ).
C. m Î (2015;2019).
D. m Î [2015;2019 ].
y
3
1
-1 O
-1
Lời giải. Phương trình f (x )+ m - 2018 = 0 ¬ ¾® f (x )= 2018 - m. Đây là phương trình hoành
độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x ) và đường thẳng y = 2018 - m (có phương song
song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa vào đồ thị, ta có ycbt Û - 1 £ 2018 - m £ 3 Û 2015 £ m £ 2019. Chọn D.
Câu 19. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
é
êë
1ù
2ú
û
của hàm số f (x )= 2 x 3 + 3 x 2 - 1 trên đoạn ê- 2;- ú. Tính P = M - m .
A. P = - 5 .
Lời giải. Đạo hàm
ìï
ï
ïïï
ï
Ta có ïí
ïï
ïï
ïï
îï
æ
f çççè
C. P = 4 .
é
é
1ù
êx = 0 Ï ê- 2;- ú
ê
êë
2 úû
f ' (x )= 6 x 2 + 6 x ¾ ¾
® f ' (x )= 0 Û ê
.
ê
é
êx = - 1 Î ê- 2;- 1 ùú
ê
2 ûú
ëê
ë
ì
ïïï m = éêmin1 ùú f (x )= - 5
- 2;ïï
êë
2 úû
1)= 0 ¾ ¾
®í
¾¾
® P = M - m = 5. Chọn D.
ïï M = max f (x ) = 0
é
ù
1
ïï
1 ö÷
1
ê- 2;- ú
êë
2 úû
ïî
÷= ø
2÷
2
f (- 2)= - 5
f (-
B. P = 1 .
D. P = 5 .
x
Câu 20 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Hàm số y =
y
bx - c
x- a
(a ¹ 0; a, b, c Î ¡ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. a > 0, b > 0, c - ab < 0. B. a > 0, b > 0, c - ab > 0.
C. a > 0, b > 0, c - ab = 0. D. a > 0, b < 0, c - ab < 0.
O
x
Lời giải. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = a > 0 ; tiệm cận ngang y = b > 0.
Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng
xác định của nó nên y ¢=
c - ab
2
< 0, " x ¹ a ¾ ¾
® c - ab < 0.
(x - a )
Vậy a > 0, b > 0, c - ab < 0. Chọn A.
Câu 21 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) liên
tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
D. 3.
C. 2.
Lời giải. Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 1.
æ 1 1ö
æ 1 ö æ 1ö
Xét hàm số f (x ) trên khoảng ççç- ; ÷÷÷, ta có f (x )< f (0) với mọi x Î ççç- ;0÷÷÷È ççç0; ÷÷÷.
è 2 2ø
è 2 ø è 2ø
Suy ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.
Câu 22 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như hình dưới
đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
æ
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ççç- ¥ ; è
æ 1
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ççç- ; + ¥
è 2
ö÷
÷.
ø÷
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; + ¥ ).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (- ¥ ;3).
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
1 ö÷
÷ và (3; + ¥ ).
2 ø÷
æ
æ 1 ö
1ö
● Đồng biến trên các khoảng ççç- ¥ ; - ÷÷÷ và ççç- ;3÷÷÷.
è
è 2 ø
2ø
● Nghịch biến trên khoảng (3;+ ¥ ). Chọn C.
Câu 23 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) xác định trên ¡ và có đạo hàm
f ' (x )
thỏa
f ' (x ) = (1- x )(x + 2)g (x )+ 2018
với
g (x )< 0, " x Î ¡ .
Hàm
số
y = f (1 - x )+ 2018 x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (- ¥ ;3).
B. (0;3).
C. (1; + ¥ ).
D. (3; + ¥ ).
Lời giải. Ta có y ' = - f ' (1- x )+ 2018.
Ta có f ' (x )= (1 - x )(x + 2)g (x )+ 2018 ¾ ¾® f ' (1 - x )= x (3 - x )g (1 - x )+ 2018
Từ đó suy ra y ' = - x (3 - x )g (1- x ).
Mà g (x )< 0, " x Î ¡ ¾ ¾® - g (1- x )> 0, " x Î ¡ nên dấu của y ' phụ thuộc vào dấu của
x (3 - x ).
Lập bảng xét dấu cho biểu thức x (3 - x ), ta kết luận được hàm số
y = f (1 - x )+ 2018 x + 2019 nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;0), (3; + ¥ ). Chọn D.
Câu 24 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để từ
điểm M (1;2) có thể kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
y = x 3 - 2 x 2 + (m - 1)x + 2m. Tổng các phần tử của tập S bằng
A.
217
.
81
B.
217
.
27
C.
217
.
9
D.
217
.
3
Lời giải. Gọi A (a; a 3 - 2a 2 + (m - 1)a + 2m ) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y ' = 3 x 2 - 4 x + m - 1 ¾ ¾® hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = y ' (a)= 3a 2 - 4 a + m - 1.
Phương trình tiếp tuyến: y = (3a 2 - 4 a + m - 1)(x - a )+ a 3 - 2a 2 + (m - 1)a + 2m
Tiếp tuyến đi qua M (1;2) nên 2 = (3a 2 - 4a + m - 1)(1- a )+ a 3 - 2a 2 + (m - 1)a + 2m
Û 3m = 2 a 3 - 5a 2 + 4 a + 3.
(*)
Để có đúng 2 tiếp tuyến thì phương trình (*) phải có đúng 2 nghiệm.
Xét hàm số f (a)= 2a 3 - 5a 2 + 4a + 3 với a Î ¡ .
Lập bảng biến thiên, thấy được yêu cầu bài toán
Chọn A.
Câu 25.
é
é3m = 4
êm =
ê
ê
Û ê
109 Û ê
ê3m =
ê
êm =
27
ëê
êë
4
4 109 217
3
.
¾¾
® +
=
109
3 81
81
81
(Gv Huỳnh Đức Khánh) Hàm số y = f (x ) xác định và có đạo hàm trên
¡ \ {- 1;1}, có bảng biến thiên như sau:
Gọi k, l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=
1
. Tính k + l .
f (x )- 1
A. k + l = 2.
B. k + l = 3.
Lời giải. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
1
f (x )- 1
Để biết đồ thị hàm số y =
C. k + l = 4.
D. k + l = 5.
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ta xem phương
trình f (x )- 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng
®
y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f (x ) tại hai điểm có hoành độ là x1 = 0 và x 2 Î (- ¥ ; - 1)¾ ¾
đồ thị hàm số y =
1
f (x )- 1
có hai tiệm cận đứng là x = x1 = 0 và x = x 2 Î (- ¥ ;- 1).
ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Để xét tiệm cận ngang thì ta cho x ® - ¥ hoặc x ® + ¥ mà hàm số y =
1
f (x )- 1
nhận giá
trị hữu hạn.
1
= 0¾¾
® y= 0
f (x )- 1
là TCN.
1
= - 1¾ ¾
® y= - 1
f (x )- 1
là TCN.
xlim
f (x )= + ¥ ¾ ¾
® lim
®- ¥
x® - ¥
xlim
f (x )= 0 ¾ ¾
® lim
®+¥
x® + ¥
Suy ra đồ thị hàm số y =
1
f (x )- 1
có hai tiệm cận ngang là y = 0 và y = - 1.
ìï k = 2
Vậy ïí
¾¾
® k + l = 4. Chọn C.
ïïî l = 2
Câu 26 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 5;5] để phương trình e x = m (x + 1) có nghiệm duy nhất.
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 10.
Lời giải. Vì e x > 0 nên m ¹ 0 . Khi đó: e x = m (x + 1) Û
1
x+1
1
=
Û
= (x + 1)e - x = f (x ) .
m
ex
m
Ta có f ' (x )= - xe - x = 0 Û x = 0.
Lập BBT như hình vẽ
Dựa
vào
BBT
¾¾
®
phương
trình
ém < 0
¢
Û ê
¾ ¾mÎ ¾
¾
® m Î {- 5;- 4;- 3; - 2;- 1;1}. Chọn B.
êëm = 1 mÎ [- 5;5]
có
nghiệm
duy
nhất
Cách 2. Ta có y = e x là hàm đồng biến trên ¡ và y = e x > 0 với mọi x Î ¡ có đồ thị (C )
(xem hình 1).
Hình 1
Hình 2
Do đó:
Nếu m < 0 thì y = m (x + 1) là hàm số nghịch biến trên ¡ , có đồ thị là một đường thẳng
luôn qua điểm (- 1;0) nên luôn cắt đồ thị (C ): y = e x tại duy nhất một điểm.
Nếu m = 0 thì phương trình vô nghiệm (do y = e x > 0 ).
Nếu m > 0 thì để phương trình có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng
ìï e x = m (x + 1)
ïì x = 0
D : y = m (x + 1) là tiếp tuyến của (C ) (như hình 2) ¬ ¾® ïí x
¾¾
® m= 1.
¬ ¾® ïí
ïï e = m
î
Câu 27 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số f (x ) có đồ thị
của hàm số y = f ' (x - 2)+ 2 như hình vẽ bên. Hỏi hàm số
y = f (x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (- ¥ ;2).
B. (- 1;1).
æ3 5 ö
C. ççç ; ÷÷÷.
è2 2 ø
D. (2; + ¥ ).
ïïî m = 1
y
2
O
1
-1
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có f ' (x - 2)+ 2 < 2 ¬ ¾® 1 < x < 3.
Đặt t = x - 2, ta được f ' (t )+ 2 < 2 ¬ ¾® 1 < t + 2 < 3 hay f ' (t )< 0 ¬ ¾® - 1 < t < 1. Chọn B.
Cách khác. Từ đồ thị hàm số y = f ' (x - 2)+ 2 tịnh tiến xuống dưới 2. đơn vị, ta được đồ
thị hàm số y = f ' (x - 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
y
x
2
O
1
3
-3
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' (x - 2) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
y = f ' (x ) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
y
-1
1
O
x
3
-3
Từ đồ thị hàm số y = f ' (x ), ta thấy f ' (x )< 0 khi x Î (- 1;1).
x
2
3
Câu 28 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) có lim f (x )= - 1 và lim f (x )= + ¥ .
x® - ¥
x ® 1+
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = - 1 và tiệm cận đứng x = 1.
D. Đồ thị hàm số hai tiệm cận ngang là các đường y = - 1 và y = 1.
Lời giải. Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:
lim f (x )= - 1 ¾ ¾® y = - 1 là TCN.
x® - ¥
lim f (x )= + ¥ ¾ ¾® x = 1 là TCĐ. Chọn C.
x ® 1+
Câu 29 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số y = x 3 - 3x 2 cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt.
B. m Î (0; + ¥ ).
C. m Î (- ¥ ;- 4).
D.
A. m Î (- 4;0).
m Î (- ¥ ; - 4 )È (0; + ¥ ).
éx = 0 ¾ ¾
® yCD = 0
.
Lời giải. Xét hàm bậc ba y = x 3 - 3x 2 , có y ' = 3x 2 - 6 x ¾ ¾® y ' = 0 Û êê
Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có ycbt Û yCT
Câu 30 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số
y = f (x ) xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị như
hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn
nhất M của hàm số y = f (x ) trên đoạn [- 2;2 ].
A. m = - 5, M = 0.
B. m = - 5, M = - 1.
C. m = - 1, M = 0.
® yCT = - 4
êëx = 2 ¾ ¾
< m < yCD Û - 4 < m < 0. Chọn A.
y
-2
2
1
-1
x
O
-1
-3
5
D. m = - 2, M = 2.
Lời giải. Nhận thấy trên đoạn [- 2;2 ]
● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ (- 2;- 5) và (1;- 5)
¾¾
® giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;2 ] bằng - 5.
● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (- 1;- 1) và (2;- 1)
¾¾
® giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;2 ] bằng - 1.
Chọn B.
Câu 31 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Đường cong trong hình
bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó
là hàm số nào?
A. y = - x 2 + x - 1 .
B. y = - x 3 + 3x + 1 .
C. y = x 4 - x 2 + 1 .
D. y = x 3 - 3x + 1 .
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C.
Hình dáng đồ thị thể hiện a > 0 . Chọn D.
y
x
O
Câu 32 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ¡ với bảng xét dấu
đạo hàm như sau:
Hỏi hàm số y = f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 1.
C. 2.
D. 3.
A. 0.
Lời giải. Nhận thấy y ' đổi dấu khi qua x = - 3 và x = 2 nên hàm số có 2 điểm cực trị. (
x = 1 không phải là điểm cực trị vì y ' không đổi dấu khi qua x = 1 ). Chọn C.
Câu 33 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của
nó?
æ 1 ö-
2x+ 1
æ1 ö
C. y = ççç ÷÷÷
èe ø
B. y = ln (x 2 + 1).
A. y = p 1- x .
2
D. y = ççç ÷÷÷÷ .
è xø
.
Lời giải.
Hàm số y = p 1- x có TXĐ là: D = ¡ và y ¢= - p 1- x < 0 " x Î ¡ ¾ ¾® hàm số nghịch biến trên ¡ .
Hàm số y = ln (x 2 + 1) có TXĐ là: D = ¡
và y ¢=
2x
< 0 " x Î (- ¥ ;0)
x2 + 1
và y ¢=
2x
> 0
x2 + 1
" x Î (0; + ¥ )
¾¾
®
hàm số nghịch biến trên (- ¥ ;0), đồng biến trên (0;+ ¥ ).
2x+ 1
æ1 ö
Hàm số y = ççç ÷÷÷
èe ø
trên ¡ .
-
æ1 ö
2x+ 1
æ1ö
có TXĐ là: D = ¡ và y ¢= - ççç ÷÷÷
èe ø
®
< 0 "x Î ¡ ¾ ¾
hàm số nghịch biến
2
Hàm số y = ççç ÷÷÷ = x 2 có TXĐ là: D = (0; + ¥ ) và y ¢= 2 x 2 - 1 > 0 " x Î (0; + ¥ )
èx ø
¾¾
® hàm số đồng biến trên (0;+ ¥ ) . Chọn D.
Câu 34 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hàm số y = f (x ) xác
định, liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên (1; + ¥ ).
B. Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) và (1; + ¥ ).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1;1).
D. Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1)È (1; + ¥ ).
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) và (1;+ ¥ ), nghịch
biến trên (- 1;1) nên các khẳng định A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b ) thì khẳng định D sai.
Ví dụ: Ta lấy - 1,1 Î (- ¥ ;- 1), 1,1 Î (1; + ¥ ): - 1,1 < 1,1 nhưng f (- 1,1)> f (1,1).
Chọn D.
Câu 35
(Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số
f (x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (a ¹ 0) . Biết rằng hàm số f (x )
có đạo hàm là f ' (x ) và hàm số y = f ' (x ) có đồ thị như hình
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Trên (- 2;1) thì hàm số f (x ) luôn tăng.
B. Hàm f (x ) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2 .
C. Hàm f (x ) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ).
D. Hàm f (x ) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2).
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' (x ) ta thấy:
y
4
x
-2
-1
O
1
é- 1 < x < 1
● f ' (x )> 0 khi êê
¾¾
® f (x ) đồng biến trên các khoảng (- 2;1), (1;+ ¥ ).
ëx > 1
Suy ra A và C đều đúng.
● f ' (x )< 0 khi x < - 2 ¾ ¾® f (x ) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2).
Suy ra D đúng, B sai. Chọn B.
Câu 36 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số y = f (x ) có đạo
hàm f ' (x ) trên khoảng ¡ . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y = f ' (x ). Hỏi hàm số g (x )= f (x - x 2 ) nghịch biến trên
khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
æ 1
A. ççç- ; + ¥
ö÷
÷.
è 2
ø÷
æ
3ö
C. ççç- ¥ ; ÷÷÷.
è
2ø
æ 3
B. ççç- ; + ¥
è 2
æ1
D. ççç ; + ¥
è2
ö÷
÷.
ø÷
ö÷
÷.
ø÷
Lời giải. Ta có g ' (x )= (1- 2 x ) f ¢(x - x 2 ).
éìï
1
êïï x >
éìï 1 - 2 x < 0
êí
êï
2
êï
êíï f ¢ x - x 2 > 0
ïï x - x 2 < 1 Ú x - x 2 > 2
ê
(
)
ê
ï
1
ï
Yêu cầu bài toán cần (1- 2 x ) f ¢(x - x 2 )< 0 Û êîï
Û êêî
Û x> .
êïì 1 - 2 x > 0
ìê
2
1
ï
êï
êïï x < 2
êíï ¢
2
êíï
êëïïî f (x - x )< 0
êï 1 < x - x 2 < 2
êëïîï
æ1
ö÷
Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên ççç ; + ¥ ÷÷. Chọn D.
è2
ø
æ
ö2
Cách 2. Vì x - x 2 = - çççx - 1 ÷÷÷ + 1 £ 1 .
è
2ø 4 4
Dựa vào đồ thị ta thấy f ' (x )> 0, " x Î (- ¥ ;1) nên f ¢(x - x 2 )> 0.
Suy ra dấu của g ' (x ) phụ thuộc vào dấu của 1- 2 x .
1
2
Câu 37 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm tại x = 1. Gọi d1 , d2 lần
Yêu cầu bài toán cần g ' (x )< 0 ¾ ¾® 1- 2 x > 0 Û x < .
lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x ) và y = g (x )= xf (2 x - 1) tại điểm có hoành độ
x = 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d2 vuông góc nhau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2 < f (1) < 2.
B. f (1) £ 2.
C. f (1) ³ 2 2.
D.
2 £ f (1) < 2 2.
Lời giải. Ta có g ' (x )= f (2 x - 1)+ 2 xf ' (2 x - 1).
Hệ số góc của đường thẳng d1 là k1 = f ' (1); Hệ số góc của đường thẳng d2 là
k2 = g ' (1) = f (1)+ 2 f ' (1).
Mà
d1 , d2
vuông
góc
nhau
nên
2
k1 k2 = - 1 Û f ' (1)ëéf (1)+ 2 f ' (1)ûù= - 1 Û 2 ëéf ' (1)ûù + f (1) f ' (1)+ 1 = 0.
Để tồn tại f ' (1) thì D ' = f 2 (1)- 8 ³ 0 ¬ ¾® f (1) ³ 2 2. Chọn C.
Câu 38 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số y =
1- m sin x
cos x + 2
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m thuộc đoạn [0;10 ] để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn - 2 ?
B. 5.
C. 6.
D. 11.
A. 1.
Lời giải. Ta có y =
1- m sin x
Û y (cos x + 2 )= 1 - m sin x Û m sin x + y cos x + 2 y - 1 = 0.
cos x + 2
Điều kiện để phương trình có nghiệm: y 2 + m 2 ³ (2 y - 1)2
3m 2 + 1
2+
£ y£
3
ém > 21
3m 2 + 1 > 8 Û m 2 > 21 Û êê
.
êëm < - 21
Û 3 y2 - 4 y + 1- m2 £ 0 Û
Yêu cầu bài toán Û
2-
3m 2 + 1
< - 2Û
3
¢
¾ m¾mÎ [Î0;10
¾¾
® m Î {5;6;7;8;9;10}.
]
2-
3m 2 + 1
.
3
Chọn C.
Câu 39 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong các số dưới đây, đâu là số ghi giá trị nhỏ nhất của
hàm số f (x )= x 2 + 4 x - 5 trên đoạn [- 6;6 ]?
B. 9 .
C. 55 .
D. 110 .
A. 0 .
2
Lời giải. Xét hàm số g (x )= x + 4 x - 5 liên tục trên đoạn [- 6;6 ].
Đạo hàm g ' (x )= 2 x + 4; g ' (x )= 0 Û x = - 2 Î [- 6;6 ].
éx = 1 Î [- 6;6 ]
Lại có g (x )= 0 Û x 2 + 4 x - 5 = 0 Û êê
.
êëx = - 5 Î [- 6;6]
Ta có g (- 6)= 7; g (- 2)= - 9; g (6)= 55; g (1)= g (- 5)= 0 .
Suy ra min f (x )= min {g (- 6 ) ; g (- 2 ) ; g (6 ) ; g (1) ; g (- 5)}= 0 . Chọn A.
[- 6;6 ]
[- 6;6 ]
Câu 40 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số y = - x 3 - mx 2 + (4 m + 9)x + 5 với m là tham
số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên ¡ ?
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm y ' = - 3x 2 - 2mx + 4 m + 9.
Để hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ Û y ' £ 0, " x Î ¡ ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm)
Û D ' £ 0 Û m 2 + 3(4 m + 9)£ 0 Û - 9 £ m £ - 3
¾ m¾Î ¢¾
® m = {- 9; - 8;...; - 3}. Chọn C.
Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ Û y ' < 0, " x Î ¡ '' . Khi đó ra giải
ra - 9 < m < - 3 và chọn D.
Câu 41 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số y =
A. (- 2;2).
Lời giải. TXĐ D = ¡ \ {- 2}.
x- 2
.
x+ 2
B. (2;1).
C. (- 2;- 2).
D. (- 2;1).
Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ: x = - 2 và TCN: y = 1 .
Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là (- 2;1). Chọn D.
Câu 42 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Đồ thị hàm số y = - x 4 + 2 x 2 có bao nhiêu điểm chung với
trục hoành?
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 0.
éx = 0
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: - x 4 + 2 x 2 = 0 Û êê
ëêx = ± 2
Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm chung với trục hoành. Chọn C.
Câu 43 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm số y = f (x )
có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã
cho trên đoạn [- 2;3] bằng
A. - 2.
B. 2.
D. 5.
C. 4.
.
y
4
2
-2
-3
x
2
O
3
-2
Lời giải: Nhận thấy trên đoạn [- 2;3] hàm số có điểm cao nhất là điểm (3;4 ).
¾¾
® giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;3] bằng 4. Chọn C.
Câu 44 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Đường cong trong hình bên là đồ
thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án
A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x 4 - 2 x 2 - 1 .
B. y = - 2 x 4 + 4 x 2 - 1 .
C. y = - x 4 + 2 x 2 - 1 .
D. y = - x 4 + 2 x 2 + 1 .
y
1
-1
O
-1
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a < 0 . Loại A.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 1 nên thể hiện c = - 1 . Loại D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1) nên chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 45 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y = x 3 - 3 x + 1 .
A. x 0 = - 1 .
B. x 0 = 0 .
C. x 0 = 1 .
D. x 0 = 2 .
éx = - 1 ® y (- 1)= 3
Lời giải. Ta có y ' = 3x 2 - 3 = 3 (x 2 - 1); y ' = 0 Û êê
.
êëx = 1 ® y (1) = - 1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1 . Chọn A.
Câu 46 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ?
A. y = x 3 + 3 x 2 - 4 .
B. y = - x 3 + x 2 - 2 x - 1 . C. y = - x 4 + 2 x 2 - 2 .
D.
4
2
.
y = x - 3x + 2
Lời giải. Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên ¡ . Do đó ta loại C & D.
Để hàm số nghịch biến trên ¡ số thì hệ số của x 3 phải âm. Do đó loại A.
Vậy chỉ còn lại đáp án B. Chọn B.
Thật vậy: Với y = - x 3 + x 2 - 2 x - 1 ¾ ¾® y ' = - 3x 2 + 2 x - 2 có D ' = - 5 < 0 .
x
1
Câu 47 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
ìï x 2 - x - 2
ï
ï
f (x ) = í x - 2
ïï
ïïî m
A. m = 0.
khi x ¹ 2
liên tục tại x = 2.
khi x = 2
B. m = 1.
Lời giải. Tập xác định: D = ¡ (chứa x = 2 ).
C. m = 2.
D. m = 3.
x2 - x - 2
= lim (x + 1)= 3. Chọn D.
x® 2
x- 2
Câu 48 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho đồ thị hàm số y = f (x ) như hình
Theo giả thiết thì ta phải có m = f (2)= lim
f (x )= lim
x® 2
x® 2
vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y = f (x + 2018)+ m 2 có 5 điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f (x )
Tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f (x + 2018).
Tiếp tục tịnh tiến lên trên m 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f (x + 2018)+ m 2 .
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y = f (x ) có 3 điểm cực trị. Khi tịnh tiến sang trái
2018 đơn vị thì số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x + 2018) vẫn là 3 điểm cực trị.
Để đồ thị hàm số y = f (x + 2018)+ m 2 có 5 điểm cực trị Û đồ thị hàm số
y = f (x + 2018)+ m2 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (trừ các điểm cực trị tiếp xúc với
trục hoành)
é 2 £ m< 6
Û 2 £ m 2 < 6 Û êê
¾ m¾Î ¢¾
® m Î {- 2;2}. Chọn B.
êë- 6 < m £ - 2
Câu
(Gv
49
Huỳnh
Đức
Khánh)Biết
trên
khoảng
æ
ö
çç- ¥ ; - 5 ÷
÷
çè
2 ø÷
hàm
số
y = (x + 2) (ax 2 + 2ax - a - b - 1)- 8a - 4b đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = - 3. Hỏi trên đoạn
2
[- 1;3] hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào ?
A. - 1.
1
2
B. .
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Ta có y ' = 2 (x + 2)(ax 2 + 2ax - a - b - 1)+ (2ax + 2a )(x + 2)2
= 2 (x + 2 )(2 ax 2 + 5ax + a - b - 1).
æ
Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = - 3 trên khoảng ççç- ¥ ; è
5 ö÷
÷ thì y ' phải đỗi dấu
2 ø÷
qua x = - 3 hay phương trình f (x )= 2ax 2 + 5ax + a - b - 1 = 0 có nghiệm x = - 3
ìï 17a 2 + 8ab + 8a > 0 ïì D = 49a 2 > 0 ìï a ¹ 0
ïì D > 0
Û ïí
Û ïí
Û ïí
Û ïí
.
ïîï f (- 3) = 0 ïïî 4a - b - 1 = 0
ïïî b = 4a - 1
îïï b = 4 a - 1
Khi đó f (x )= 2ax 2 + 5ax - 3a = a (x + 3)(2 x - 1)¾ ¾® y ' = 2a (x + 2)(x + 3)(2 x - 1).
1
2
Lập BBT ta thấy hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [- 1;3] tại x = . Chọn B.
Câu 50 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10
để phương trình m + m + e x = e x có nghiệm thực ?
A. 9.
B. 10.
C. 11.
D. Vô số.
Lời giải. Ta có m + m + e = e Û (m + m + e )+ m + m + e = (m + e )+ m + e x .
x
x
x
Xét hàm f (t )= t + t với t ³ 0. Ta có f ' (t )= 1 +
x
1
2 t
x
> 0¾¾
® hàm số f (t ) đồng biến.
Mà f (m + m + e x )= f (m + e x ) nên m + m + e x = m + e x Û m + e x = e x Û m = e 2 x - e x .
Xét hàm g (x )= e 2 x - e x với x Î ¡ . Ta có g ' (x )= 2e 2 x - e x ; g ' (x )= 0 Û e x =
1
Û x = - ln 2.
2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm Û m ³ -
1
.
4
Mà m là số nguyên nhỏ hơn 10 nên có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B.
Câu 51 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hàm
số y = f (x ) có đồ thị (C ) như hình vẽ bên,
d1 và d2 là tiếp tuyến của (C ). Dựa vào hình
vẽ, hãy tính P = 3 f ¢(0)+ 2 f ¢(1).
A. P = - 8.
B. P = - 6.
C. P = 3.
D. P = 8.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta suy ra d1 : y = 2 ¾ ¾® f ¢(0 )= 0 và d2 : y = - 3 x + 3 ¾ ¾® f ¢(1)= - 3.
Vậy P = 3 f ¢(0)+ 2 f ¢(1)= - 6. Chọn B.
Câu 52 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Ta xác định được các số a, b, c để đồ thị hàm số
y = x 3 + ax 2 + bx + c đi qua điểm (1;0) và có điểm cực trị (- 2;0). Tính giá trị biểu thức
T = a2 + b2 + c 2.
A. T = - 1.
B. T = 7.
C. T = 14.
D. T = 25.
Lời giải. Ta có y ¢= 3 x 2 + 2ax + b.
ìï y (1) = 0
ïìï a + b + c = - 1
ïìï a = 3
ïï
ï
Theo bài ta ta có ïí y ¢(- 2)= 0 Û íïï 4a - b = 12
Û íï b = 0 ¾ ¾
® T = a 2 + b 2 + c 2 = 25. Chọn D.
ïï
ïï
ïï
ïï y (- 2)= 0
ïîï 4a - 2b + c = 8 ïîï c = - 4
î
Câu 53 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m Î [- 2018;2018]
ln x - 4
đồng biến trên khoảng (1;e 4 ) ?
ln x - 2m
A. 2016.
B. 2018.
C. 2019.
4
Lời giải. Đặt t = ln x , với x Î (1; e )¾ ¾® t Î (0; 4 ).
để hàm số y =
D. 2020.
Hàm số trở thành y (t )=
- 2m + 4
t- 4
¾¾
® y ' (t )=
.
2
t - 2m
(t - 2m)
1
> 0, " x Î (1; e 4 ), do đó t = ln x đồng biến trên (1; e 4 ).
x
Do đó YCBT ¬ ¾® y (t ) đồng biến trên khoảng (0;4 ) ¬ ¾® y ' (t )> 0, " t Î (0;4)
Ta có t ' =
ìï m < 2
ïï
ïì m < 2
, " t Î (0; 4 ) Û íï
Û m£ 0
í
t
ïïï m ¹
ïïî m Ï (0;2)
2
î
mÎ ¢
2018;
2017;
2016;...;0 }. Chọn C.
¾ m¾Î [- ¾
¾
¾®
m
Î
{
2018;2018]
ìï - 2m + 4 > 0
Û ïí
, " t Î (0; 4) Û
ïîï t - 2m ¹ 0
Câu 54 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang?
A. y =
4- x2
.
x+1
B. y =
x+ 2
.
x- 2
C. y =
x- 2
x+1
D. y =
.
x2 - x
.
x +2
Lời giải.
Hàm số y =
4- x2
x+1
Hàm số y =
x+ 2
x- 2
có tập xác định là D = [- 2; 2 ]\ {- 1}. Loại A.
có tập xác định là D = (- 2; + ¥ )\ {2} nên đồ thị hàm số có một TCN.
Loại B.
x- 2
Ta có xlim
®- ¥
x+1
= - 1 và lim
x® + ¥
x- 2
x+1
= 1 nên đồ thị hàm số y =
x- 2
x+1
có hai TCN là
y = ± 1. Chọn C.
Ta có xlim
®- ¥
x2 - x
= lim
x® + ¥
x+2
x2 - x
=1
x +2
nên đồ thị hàm số có một đường TCN. Loại D.
Câu 55 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ¡ \ {0} và có bảng
biên thiên như hình vẽ dưới đây
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f (- 5)> f (- 4).
B. Hàm số đồng biên trên khoảng (0; + ¥ ).
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2.
D. Đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (x ) nghịch biến trên khoảng
(- ¥ ;0) nên f (- 5)> f (- 4). Chọn A.
Câu 56. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số
f (x )= 2 x - 4 trên khoảng (- ¥ ; + ¥ ), với C và C ¢ là các hằng số tùy ý?
A. F (x )= x 2 - 4 x + C .
ìï x 2 - 4 x + 2C
B. F (x )= ïí 2
khi x ³ 2
.
ïï - x + 4 x + 2C - 8 khi x < 2
î
- Xem thêm -
.PDF 
31 
80 
129 
