Tài liệu Lớp 12 bài toán thực tế (megabook) 39 bài toán thực tế từ đề thi năm 2018

Câu 1. (MEGABOOK-2018) Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kê diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nửa hình cầu chứa cát). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồcát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau: A. 1070,8 cm3 B. 602,2 cm3 C. 711,6 cm3 C. 6021,3cm3 Đáp án A Ta có thể tích của khối trụ là V1  .13, 2.6, 62  1806, 4 Đường kính hình cầu là 13, 2  2.1  11, 2 cm , suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là: V2  4 .5, 63  735, 619 3 Vậy lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ gần nhất với giá trị 1070,8cm3 Câu 2: (MEGABOOK-2018) Cho hình vẽ dưới đây trong đó hình vuông EFGH có cạnh bằng 6, các đường tròn tiếp xúc với cạnh của hình vuông. Tính thể tích của phàn màu đen tạo thành khi quay quanh đoạn thẳng AB. A. 58.38 B. 70.06 C. 38.64 D. 18.91. Đáp án C Chọn hệ trục tạo độ như hình vẽ (gốc tọa độ tại tâm đường tròn), các hình tròn chính giữa sẽ tạo ra các khối cầu, còn các đường tròn ở hàng trên và hàng dưới sẽ tạo ra các vòng xuyến. Phương trình đường tròn ngoài cùng ở hàng trên cùng là: x   y  2 2 2 y  1 x2  2 1   y   1  x 2  2 Thể tích mỗi vòng xuyến: 1   V1     2  1  x 2 1    2  2  1 x2  2 1  2 2  dx    8 1  x dx  4 1 4 Do đó thể tích phần màu đen tạo ra là: V2  .32.6  3.42  3. .13  38, 64 3 Câu 3. (MEGABOOK-2018)Cường độ ánh sáng I khi đi qua môi trường khác với không khí, chẳng hạn như sương mù hay nước,… sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một số μ gọi là khả năng hấp thụ ánh sáng tùy theo bản chất của môi trường mà ánh sáng truyền đi và được tính theo công thức I  I0 .e x , với x là độ dày của môi trường đó và được tính bằng m, I0 là cường độ ánh sáng tại thơi điểm trên mặt nước. Biết rằng hồ nước trong suốt có μ=1,4. Hỏi cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần khi truyền trong hồ đó từ độ sâu 3m xuống đến độ sâu 30m (chọn giá trị gần đúng với đáp số nhất). A. e30 lần B. 2, 6081.1016 lần C. e 27 lần D. 2, 6081.1016 lần Đáp án B Gọi I1 là cường độ ánh sáng trong hồ đó ở độ sâu 3m suy ra I1  I0 .e 1,4.3  I0 .e 4,2 Gọi I 2 là cường độ ánh sáng trong hồ đó ở độ sâu 30m suy ra I 2  I0 .e 1,4.30  I0 .e 42 Khi truyền trong hồ đó từ độ sâu 3m xuống độ sau 30m thì cường độ ánh sáng đã giảm đi I1 I0 .e 4,2   e37,8  2, 6081431.1016 lần I 2 I0.e 42 Câu 4: (MEGABOOK-2018) Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hổ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ A. 7  log 3 25 B. 3 25 7 C. 7  24 3 Đáp án A Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ. Sau 7 ngày số lượng bèo là 0, 04  31 diện tích mặt hồ. Sâu 14 ngày sổ lượng bèo là 0, 04  32 diện tích mặt hồ. Sau 7  n ngày số lượng bèo là 0, 04  3n diện tích mặt hổ. Để bèo phủ kín mặt hồ thì: 0, 04  3n  1  3n  25  n  log 3 25. Vậy sau 7  log 3 25 ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ. D. 7  log 3 24 Câu 5(MEGABOOK-2018)Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v  t   10t  t 2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v  t  được tính theo đơn vị mét/ phút  m / p  . Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là A. v  5  m / p  B. v  7  m / p  C. v  9  m / p  D. v  3  m / p  Đáp án C Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t  0, thời điểm khí cầu bắt đầu tiếp đất là t1. Quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t  0 đến thời điểm khí cầu bắt đầu tiếp đất là t l t1 t13 là:  10  t dt  5t   162 3 0 2 1  t  4,93  t  10,93  t  9. Do u  t   0  0  t  10 nên chọn t  9 Vậy khi bắt đầu tiếp đất vận tốcV của khí cầu là v  9   10.9  92  9(m / p) Câu 6: (MEGABOOK-2018) Một người mỗi tháng đểu đặn gửi vào một ngân hàng một khoản tiển T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đống. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau A. 635.000 đồng B. 645.000 đồng C. 613.000 đổng D. 535.000 đồng Đáp án A Đặt r  0, 6% Sau tháng 1 đước số tiền là T 1  r  Sau tháng 2 đước số tiền là T 1  r   T 1  r  2 Sau tháng n đước số tiền là T 1  r  n  1  r 16  1   ...  T 1  r   T   1  10.000.000  T  635.000 r   Câu 7: (MEGABOOK-2018) Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N  t  . Biết rằng N ' t   4000 và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Tính số lượng vi trùng sau 10 ngày 1  0,5t (làm tròn đến hàng đơn vị). A. 264334 con B. 257167 con C. 258959 con D. 253584 con Đáp án A Ta có: N  t    N '  t  dt   d 1  0,5t  4000 dt  8000   8000 ln 1  0,5t  C 1  0,5t 1  0,5 Vì N  0   250000 nên C  250000 Do đó, N  t   8000 ln 1  0,5t  250000 Vậy N 10   264334  con  Câu 8: (MEGABOOK-2018) Một người gửi vào ngân hàng số tiền 20 triệu với lãi suất 1,65%/quý (một quý có 3 tháng) và không lấy lãi đến kì hạn lấy lãi. Hỏi sau bao lâu người đó được 30 triệu (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi) . A. 6 năm 3 quý B. 7 năm C. 6 năm 1 quý D. 6 năm 2 quý Đáp án C Ta có lãi suất 1,65%/quý Sau n quý thì số tiền gửi từ 20 triệu lên thành 30 triệu là: Pn  20000000 1  0, 0165   30000000  n  log1,0165 n 3  24, 78 quý 2 Vì số quý là số tự nhiên nên n  25 quý, tức 6 năm 1 quý Câu 9(MEGABOOK-2018)Một gia đình xây cái bể hình trụ có thể tích 100m3 . Đáy bể làm bằng bê tông 100.000 đ / m 2 . Phần thân làm bằng tôn giá 90.000 đ / m 2 . Phần nắp làm bằng nhôm giá 120.000 đ / m 2 . Hỏi chi phí xây dựng bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao h và bán kính đáy R của bể là bao nhiêu? A. h 22  R 9 B. h 9  R 22 C. h 23  R 9 D. h 7  R 3 Đáp án A Tổng chi phí để xây dựng bể là: V  R 2 h  100  h  100 R 2 T  Sd .100  Sxq .90  Sd .120  220Sd  9Sxq (Dethithpt.com)  220R   90.2Rh  220R 2  180Rh  220R 2  180R. f  x   220R 2  18000 x 100 18000  220R 2  2 R R Xét hàm số f  x   220R 2  18000 18000 , f '  x   440x  x x2 f '  x   0  440x  18000 450 0x 3 2 x 11 Vậy T min khi R  450 100 h 22  và h  nên 2 11 R R 9 3 Câu 10: (MEGABOOK-2018) Trên tia O x lấy các điểm A1 , A 2 ,..., A n ,... sao cho với mỗi số nguyên dương n , OA n  n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia O x , vẽ các nửa đường tròn đường kính OA n , n  1, 2... Kí hiệu u1 là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n  2, kí hiệu u n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA n 1 , nửa đường tròn đường kính OA n và tia O x . Chứng minh rằng dãy số (u n ) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó. A. d   4 B. d   2 C. d   3 D. d  2 3 Đáp án A Đặt OA 0  0, ta có  2n  1  , n  1 OA n 12    2 1  OA n 2 2 un        n   n  1   2 4 4  8 8 Suy ra u n 1  u n   2n  1    2n  1    , n  1 8 8 4 Do đó  u n  là một cấp số cộng công sai d   4 Câu 11: (MEGABOOK-2018) Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a  t   2t  7(m / s 2 ). Biết vận tốc đầu bằng 10(m/s). Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. 5(s) B. 6(s) C. 1(s) D. 2(s) Đáp án D Vận tốc của chất điểm: v  t    a  t  dt  t 2  7t  C Do vận tốc đầu bằng 10  m / s  nên v  0   10  C  10  v  t   t 2  7t  10 1 Quảng đường chất điểm đi được sau t  s  : t  s    v  t  dt  0 Yêu cầu bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất của t  s   t 3 7t 2   10t 3 2 t 3 7t 2   10t, t   0;6 3 2 s '  t   t 2  7t  10,s '  t   0  t  2, t  5 Ta có: s  0   0;s  2   26 25 ,s  5   ,s  6   6 3 6 Vậy t  2  s  thì chất điểm ở xa nhất về phía bên phải Câu 12: (MEGABOOK-2018) Khi ánh sáng qua một môi trường (chẳng hạn như không khí, nước, sương mù,...) cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền x, theo công thức I  x   I0 e x trong đó I0 là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và  là hệ số hấp thu của môi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu   1, 4 và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu 2m xuống đến độ sâu 20m thì cường độ ánh sáng giảm l.1010 lần. Số nguyên nào sau đây gần với l nhất? A. 8 B. 9 C. 10 D. 90 Đáp án B. Ta có: - Ở độ sâu 2m: I  2   I0 e 2,8 - Ở độ sâu 20m: I  2   I0 e 28 Theo giả thiết I  2   l.1010.I  20   e 2,8  l.1010.e 28  l  1010.e 25,2  8, 79. Câu 13: (MEGABOOK-2018) Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiễn tiết kiệm như nhau hàng năm gẩn nhất với giá trị nào sau đay biết rằng lãi suất của ngần hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. A. 253,5 triệu B. 251 triệu C. 253 triệu D. 252,5 triệu Đáp án D Cuối năm thứ I: T1  a  a.m  a 1  m  Đầu năm thứ II: T2  a 1  m   a  a 1  m   1  Cuối năm thứ II: T3  a 1  m 2  1  a 1  m 2  1  m  1  m   1  a  a a 2 2 2 1  m   1  1  m   1 .m  1  m   1 . 1  m    m   m m Suy ra cuối năm thứ n: Tn  a  m 1  m   1 . 1  m   m ( Trong đó a là số tiền ban đầu, m là lãi suất, n là số tháng) Áp dụng: T  2.1000tr, n  6, m  0, 08  a  252,5tr Câu 14: (MEGABOOK-2018) Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng 1 và phía trong của Elip có độ dài 2 trục lớn bằng 2 2 và trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón 2 100  2 1  kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa? A. 30 kg B. 40 kg C. 50 kg D. 45 kg Đáp án C Diện tích hình phẳng giới hạn giữa elip và đường tròn chính là diện tích hình elip trừ diện tích hình tròn. (Dethithpt.com) + Phương trình elip có trục lớn 2a  2 2 , trục nhỏ 2b  2 là  E  : x 2 y2  1 2 1 Áp dụng công thức diện tích Selip  ab ta được Selip   2 + Phương trình đường tròn  C  tâm O  0;0  bán kính R  Áp dụng công thức diện tích Shinh tron  R 2  1 1 là  C  : x 2  y 2  2 2  2 Vậy diện tích hình phẳng S  Selip  Shinh tron   2   2  100   50 Do đó khối lượng phân cân bón   2   . 2  2 2 1     Chứng minh công thức diện tích elip Selip  ab với E : x 2 y2  1 a 2 b2 b 2  2  y  a a  x ,  y  0   y   b a 2  x 2 ,  y  0  a a Do tính đối xứng nên Selip b  4  a 2  x 2 dx a0    x  a  sin u  1  u  2 Đặt x  a sin u  dx  a cos udu; đổi cận  x  0  sin u  0  u  0   2  2  2 0 0 0 I   a 2  a 2 sin 2 u.a cos udu  a 2  1  sin 2 u.cos udu  a 2  cos 2 udu   a2 2  2 0 1    u  2 sin 2u    2 2 a 2  1  cos2u  du 0 a 2 4 Vậy Selip  ab Câu 15: (MEGABOOK-2018) Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 4% một tháng, sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào vốn. Hỏi sau một năm người đó rút tiền thì tổng số tiền nhận được là bao nhiêu? A. 50. 1, 004  (triệu đồng) B. 50. 1  12.0, 04  (triệu đồng) C. 50. 1  0, 04  D. 50.1,004 (triệu đồng) 12 12 12 (triệu đồng) Đáp án C. Theo công thức lãi kép ta được T12  50 1  0, 04  (triệu đồng) 12 Chú ý bài này không thực tế vì không có ngân hàng nào có lãi cao như vậy. Câu 16: (MEGABOOK-2018) Tìm số các ước số dương của số A  23.34.57.7 6 A. 11200 B. 1120 C. 160 D. 280 Đáp án B Gọi u là một ước số dương của số A, ta có u có dạng u  2m.3n.5p.7 q trong đó m, n, p, q là các số nguyên, 0  m  3, 0  n  4, 0  p  7, 0  q  6 Dó đó m có 4 cách chọn, n có 5 cách chọn, p có 8 cách chọn, q có 7 cách chọn Vậy tất cả có 4.5.8.7  1120 (ước số u) Câu 17: (MEGABOOK-2018) Một hình vuông ABCD có ạnh AB  a, diện tích S1. Nối bốn trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A 2 B2 C2 D 2 có diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế ta được diện tíc thứ S4 ,S5 ,... Tính T  S1  S2  S3  ...  S100 2100  1 A. S  99 2 2 a Đáp án C B. S  a  2100  1 299 C. S  a 2  2100  1 299 D. S  a 2  299  1 299 Dễ thấy S1  a 2 ;S2  a2 a2 a2 ;S3  ;...;S100  99 2 4 2 Như vậy S1 ;S2 ;S3 ;...;S100 là cấp số nhân với công bội q  T  S1  S2  S3  ...  S100 1 2 2 100 1  a  2  1  1 1  a 1   2  ...  99   2  299  2 2 2 Câu 18: (MEGABOOK-2018) Một người mua điện thoại giá 18.500.000 đồng của cửa hàng Thế giới di động ngày 20/10 nhưng vì chưa đủ tiền nên đã quyết định chọn mua hình thức trả góp mỗi tháng và trả trước 5 triệu đồng trong 12 tháng, lần trả góp đầu tiên sau ngày mua một tháng với lãi suất là 3,4%/ tháng. Hỏi mỗi tháng sẽ phải trả cho công ty Thế Giới Di Động số tiền là bao nhiêu? A. 1554000 triệu đồng. B. 1564000 triệu đồng, C. 1584000 triệu đồng. D. 1388824 triệu đồng. Đáp án D Gọi A là số tiền cần trả ban đầu Gọi x là số tiền cần trả hàng tháng Gọi r là lãi suất mỗi thángGọi Tn là số tiền còn lại phải trả ở cuối tháng n Ta có: T1  A 1  r   x T2   A 1  r   x  1  r   x  A 1  r   x 1  r   x   A 1  r  2 2 2 x 1  r   1    r 2 3 x 1  r   1 x 1  r   1 3     T3  A 1  r   1  r   x  A 1  r   r r n x 1  r   1 n  Tn  A 1  r    r 3 Số tiền cần trả trong 12 tháng là A  18500000  5000000  13500000 Suy ra T12  13500000 1  3, 4%  n n x 1  3, 4%   1    x  1388823,974  3, 4% Câu 19: (MEGABOOK-2018) Một công t y sản xuất gạch men hình vuông 40  40 cm, bên trong là hình chữ nhật có diện tích bằng 400 m2 đồng tâm với hình vuông và các tam giác cân như hình vẽ. Chi phí vật liệu cho hình chữ nhật và các tam giác cân là 150.000vnđ /m2 và phần còn lại là 100.000 vnđ /m2. Hỏi để sản xuất một lô hàng 1000 viên gạch thì chi phí nhỏ nhất của công ty là bao nhiêu? A. 4 triệu B. 20 triệu C. 21 triệu D. 19 triệu Đáp án B Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật thì x.y  400 Ta tính S  xy  được diện tích hình chữ nhật và 4 tam giác cân là  40  x  y   40  y  x  800cm 2 2 2 Do đó diện tích phần này nhỏ nhất là 800cm 2 , một nghìn viên thì có diện tích nhỏ nhất là 80m 2 Do đó chi phí nhỏ nhất là 80 150.000  80 100.000  20 (triệu đồng) Câu 20: (MEGABOOK-2018) Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu? A. V  16000 2 lít 3 B. V  16 2 lít 3 C. V  16000 2 lít 3 D. V  160 2 lít 3 Đáp án B Đổi 60cm  6dm Đường sinh của hình nón tạo thành là l  6cm Chu vi đường 2.r  26  4dm 3 tròn đáy của hình nón Suy ra bán kính đáy của hình nón tạo thành là r  tạo thành bằng 4  2dm 2 Đường cao của hình nón tạo thành là h  l2  r 2  62  22  4 2 1 1 16 2 3 16 2 dm  Thể tích mỗi cái phễu là V  r 2 h  .22.4 2  lít 3 3 3 3 Câu 21(MEGABOOK-2018)Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức trả góp hàng tháng, lãi suất ngân hàng cố định 0.8% tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) một số tiền cố định không đổi tới hết tháng 48 thì hết nợ. Tổng số tiền lãi người đó phải trả trong quá trình nợ là bao nhiêu? A. 38.123.000 đồng B. 41.641.000 đồng C. 39.200.000 đồng D. 40.345.000 đồng Đáp án B Tháng Đầu tháng Cuối tháng 1 A A 1  r   m 2 A 1  r   m  A 1  r   m  1  r   m  A 1  r   m 1  r   1 … … … … … … 2 N A 1  r   m 1  r   n Tn  A 1  r   m 1  r   n n 1 n 1  ...  1  r   1  A 1  r    ...  1  r   1  n 1  r  m r n 1 0  m  5.034.184 triệu do đó số tiền lãi là 41.641.000 đồng. Câu 22: (MEGABOOK-2018) Một vật chuyển động với vận tốc v  t  có gia tốc là a  t   3t 2  t  m / s 2  . Vận tốc ban đẩu của vật là 2  m / s  . Hỏi vận tốc của vật sau 2s. A. 12m / s Đáp án A B. 10m / s C. 8m / s D. 16m / s Ta có: v  t    a  t  dt   3  t 2  t  dt  t 3  t2  c. 2 Ban đầu vật vận tốc 2  m / s   v  0   2  c  2.  v  t   t3  t2  2  v  2   12. 2 Câu 23(MEGABOOK-2018)Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S  A.e Nr (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là số dân sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Nếu dân số vẫn táng với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu A. 2006 B. 2020 C. 2022 D. 2025 Đáp án A Ta có 78685800.e N.0,017  120000000  N  24,8 (năm) Do đó, tới năm 2026 thì dân số nước ta đạt mức 120 triệu người. Câu 24(MEGABOOK-2018)Cho hình vẽ dưới đây trong đó A, B, C, D lần lượt là tâm của bốn đường tròn có bán kính bằng nhau, chúng tạo thành một hình vuông có cạnh là 4. Bốn đường tròn nhỏ bằng nhau và tâm của nó nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD và mồi đường tròn này tiếp xúc với hai đường tròn lớn. Tìm diện tích lớn nhất của phần in đậm. A. 5.38 B. 7.62 C. 5.98 Đáp án B Gọi bán kính của các đường tròn lớn là R  x . 2 8  4  2x  2 Ta có: S  4  x  2    3x  8x  16  8  16   . 3  2  2 2 D. 4.44 Câu 25: (MEGABOOK-2018): Một vật thể có hai đáy trong đó đáy lớn là một elip có độ dài trục lớn là 8, trục bé là 4 và đáy bé có độ dài trục lớn là 4, trục bé là 2. Thiết diện vuông góc với trục của elip luôn là một elip. Biết chiều cao của vật thể là 4, tính thể tích vật thể A. 55  3 C. B. 57  3 D. 56  3 58  3 Đáp án B Thiết diện qua trục và trục lớn của hai đáy Ta có y 8 x x   y  4 4 8 2 Tương tự thiết diện qua trục và trục bé của hai đáy Ta có 8 x y x   y  2 8 2 4 4 x  x 56 Do đó thể tích vật thể bằng   4    2   dx   0 2  4 3  Câu 26: (MEGABOOK-2018) Người ta cần xây một cầu thang từ vị trí A đến B (hình dưới). Khoảng cách AC bằng 4,5 mét, khoảngcách CB bằng 1,5 mét. Chiều cao mỗi bậc thang là 30cm, chiều rộng là bội của 50cm. Có bao nhiêu cách xây cầu thang thỏa mãn yêu cầu trên? A. 252 B. 70 C. 120 Đáp án B Khoảng cách CB bằng 1.5 mét nên ta cần phải có 5 bậc thang. D. 210 Chiều rộng AC là 4,5 mét, do đó có 4,5  9 đoạn dài 0,5 mét mà mỗi bậc thang có chiều 0,5 rộng là bội của 0,5 métNhư vậy gọi 0,5x1 , 0,5x 2 , 0,5x 3 , 0,5x 4 , 0,5x 5 là độ rộng của từng bậc thang thứ 1, 2, 3, 4, 5 thì ta 0,5x1  0,5x 2  0,5x 3  0,5x 4  0,5x 5  4,5  x1  x 2  x 3  x 4  x 5  9 phải có Vì x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 1 bên số bộ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 thỏa mãn C5911  C84  70 CHÚ Ý: Người ta chứng minh được số nghiệm nguyên dương của phương trình x1  x 2  x 3  ...  x k  n  k, n  *  là Ckn 11 Câu 27: (MEGABOOK-2018) Bên cạnh hình vuông ABCD có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với ABCD. Biết rằng bốn tam giác là bốn tam giác cân. “Hỏi tổng diện tích của vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ nhất bằng bao nhiêu?” A. 6,61 B. 5,33 C. 5,15 Đáp án B Đặt cạnh huyền của mỗi tam giác là x. Diện tích của hình vuông nhỏ ở giữa và bốn tam giác cân là D. 6,12  4  x   16 x2 4  x  f  x   4.   x2  4 2 2 3 2 2 Câu 28: (MEGABOOK-2018) Tìm số các ước dương không nhỏ hơn 1000 của số 490000? A. 4 B. 12 C. 16 D. 32 Đáp án C Ta có 1000  103  23.53 490000  7 2.104  24.54.7 2 Gọi u là một ước số dương của 490000 và u  1000, ta có u có dạng u  2m.5n.7 p trong đó m, n, p là các số nguyên, 3  m  4;3  n  4;0  p  2 Do đó m có 2 cách chọn; n có 2 cách chọn; p có 3 cách chọn Vậy tất cả có 2.2.3  12 (ước số u) Câu 29(MEGABOOK-2018)Hai quả bóng có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhập. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là A. 62 B. 34 C. 32 D. 16 Đáp án A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà. Do hai quả cầu đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ, vậy tâm cầu sẽ có tọa độ I  a;a;a  với a  0 và có bán kính R  a. Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9, 10, 11 nên nói cách khác điểm A  9;10;13 thuộc mặt cầu Từ đó ta có phương trình:  9  a   10  a   13  a   a 2 2 2 2 Giải phương trình ta được nghiệm a  7 hoặc a  25 Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là 2  7  25   64 Câu 30: (MEGABOOK-2018) Hình bên gồm đường tròn bán kính 3 và elip có độ dài trục lớn là 6, độ dài trục bé bằng 4 cắt nhau. Biết chiều dài nhất của hình bằng 11, tính diện tích của hình này A. 46,24 B. 45,36 C. 47,28 D. 49,21 Đáp án A Đặt hệ trục tọa độ tại điểm chính giữa của elip Phương trình đường tròn là  x  5   y 2  9, phương trình elip là 2 Phương trình hoành độ giáo điểm 9   x  5  2 x 2 y2  1 9 4  x2   4 1    x  9  3 5  A 9   2  A  x2   Suy ra S  9  6  2   4 1   dx   9   x  5 dx   45,36 9  A  3   Câu 31: (MEGABOOK-2018) Bạn An tiết kiệm số tiền 58000000 đồng trong 8 tháng tại một ngân hàng thì nhận được 61329000 đồng. Khi đó, lãi suất hàng tháng là A. 0,6% B. 6% C. 0,7% D. 7% Đáp án C Lãi được tính theo công thức lãi kép, vì 8 tháng sau bạn An mới rút tiền Ta có công thức tính lãi 58000000 1  x   61329000  1  x   8 x 8 8 61329 61329  1 x  8 58000 58000 61329  1  0, 007  0, 7% 58000 Câu 32(MEGABOOK-2018): Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiểu cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc. A. 60 cm3 B. 15 cm3 D. 60 cm3 C. 70 cm3 Đáp án A Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kì có (tam giác màu đen): S x   1 1 R 2  x 2 . R 2  x 2 .tan   S  x    R 2  x 2  tan  2 2 R 1 2 Thể tích hình cái nêm là: V  2. tan    R 2  x 2  dx  R 3 tan  2 3 0 Thể tích khối nước tạo thành khi ngyên cốc có hình dạng cái nêm nên Vkn  2 3 2 h R tan   Vkn  R 3 .  60 cm3 . 3 3 R Câu 33(MEGABOOK-2018)Ông B có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxỵ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình y  x 2 và đường thẳng là y  25 . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng A. OM  2 5 B. OM  15 C. OM  10 D. OM  3 10 9 . 2 Đáp án D OM là đường thẳng qua gốc tọa độ  0;0  nên y  ax  a  0  . có dạng Diện tích mảnh vườn cần tính là: a  a x 2 x3  a3 a3 9 S    a x  x  dx         a  3. 2 3 6 6 2   0 0 a 2 Suy ra tọa độ điểm M  3;9  nên OM  32  92  3 10 . Câu 34: (MEGABOOK-2018) Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong X ngày và cho số tiền lãi là x 3  2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y  27y3 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp cần sử dụng máy A trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày). A. 6 B. 5 C. 4 D. 9 Đáp án D Theo đề ra ta có x  y  10  y  10  x. 1 Và 0  y  6  4  x  10 Số tiền lãi f  x   x 3  2x  326 10  x   27 10  x  (thay (1) vào) 3  f '  x   84x 2  1620x  7776 f '  x   0  84x 2  1620x  7776  0  x  9  x  72 7 Chỉ có x  9   4;10  Bảng biến thiên x 4 9 10