Mô tả:
Câu 1: (THPT Ba Đình-Thanh Hóa-Lần 1) Hệ số của x 4 y 2 trong khai triển Niu tơn của
biểu thức ( x + y ) là:
6
A. 20
B. 15
C. 25
D. 30
Đáp án B
6
Ta có ( x + y ) = C6k x k y 6− k hệ số của x 4 y 2 là C64 = 15
6
k =0
Câu
2
(THPT
Hóa-Lần
1.)Cho
khai
2017
Tính giá trị biểu
P ( x ) = (1 + x )(1 + 2 x ) ... (1 + 2017 x ) = a0 + a1x + ... + a2017 x
T = a2 +
1 2
1 + 22 + ... + 2017 2 ) .
(
2
2016.2017
A.
2
2
Hà
Trung-Thanh
2017.2018
B.
2
2
C.
1 2016.2017
.
2
2
2
D.
triển
thức
1 2017.2018
.
2
2
2
Đáp án D
Ta có 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n ( n + 1)( 2n + 1)
n ( n + 1)
và 1 + 2 + 3 + ... + n 2 =
6
2
Xét (1 + x )(1 + 2 x ) ... (1 + nx ) Hệ số của x 2 là
a2 = 1. ( 2 + 3 + ... + n ) + 2. (3 + 4 + ... + n ) + ... + ( n −1) n
= 1. (1 + 2 + ... + n ) − 1 + 2. (1 + 2 + ... + n ) − (1 + 2 ) + ... + ( n − 1) . (1 + 2 + ... + n ) − (1 + 2 + ... + n − 1)
n
n ( n + 1) k ( k + 1) 1 n
2
2
= k
−
= k ( n + n ) − ( k + k )
2 2 k =1
k =1
2
2
2
2
2
2
2
1 n
1 ( n + n ) ( n + n ) n ( n + 1)( 2n + 1) ( n + n ) n ( n + 1)( 2n + 1)
2
3
2
= ( n + n ) k − ( k + k ) =
−
−
=
−
2 k =1
2
2
4
6
8
12
(n
Vậy T =
2
+ n)
8
2
( 2017.2018)
⎯⎯⎯→ T =
n − 2017
8
2
1 2017.2018
=
2
2
2
Câu 3 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Số số ha ̣ng trong khai triển ( x + 2 )
A. 49.
B. 50
C. 52.
50
là
D. 51.
Đáp án D
( ) + (C )
Câu 4 (Hàm Rồng-Thanh Hóa 2018): Tính tổng S = C0n
( )
A. n. Cn2n
2
( )
C. Cn2n
B. C n2n
2
1 2
n
+ ... + ( Cnn ) bằng
2
2
D. n.C n2n
Đáp án B
Ta có (1 + x )
2n
= (1 + x ) . (1 + x )
n
n
Hệ số của số hạng chứ x n khi khai triển (1 + x ) là C n2 n
2n
( ) + (C )
Hệ số của số hạng chứ x n khi khai triển (1 + x ) . (1 + x ) là C0n
n
( ) + (C )
Vậy S = C0n
2
1 2
n
n
2
1 2
n
+ ... + ( Cnn )
2
+ ... + ( Cnn ) = Cn2n
2
Câu 5 (Hàm Rồng-Thanh Hóa 2018): Trong khai triển nhị thức ( a + 2 )
n +6
(n )
có tất cả
17 số hạng . Khi đó giá trị n bằng
A. 10
B. 11
C. 12
D. 17
Đáp án A
Ta có ( a + 2 )
n +6
n +6
= Ckn + 6 a k 2n + 6− k có 17 số hạng nên n + 6 + 1 = 17 n = 10
0
Câu 6: (THPT Thuận Thành Số1- Bắc Ninh): Số hạng không chứa x trong khai triển
1
x − 2
x
45
là:
B. − C 545
A. − C15
45
C. C15
45
D. C30
45
Đáp án A
45 − k
k x
1
k
−
=
C
.
−
1
= Ck45 x 45−3k
(
)
45
2
2k
x
x
k
k
45
Số hạng tổng quát C x
45 − k
Số hạng không chứa x tương ứng với số hạng chứa k thỏa 45 − 3k = 0 k = 15 .
= −C15
Vậy số hạng cần tìm C15
45 . ( −1)
45
15
Nhận xét: Ta có thể chọn nhanh đáp án như sau: giói hạn lũy thừa ở phương án C có cơ số
lớn nhất trên tử nhỏ hơn cơ số lớn nhất dưới mẫu nên giới hạn tiến về 0
Câu 7: ( THPT THẠCH THÀNH I ) Khai triển đa thức P ( x ) = ( 5 x − 1)
2017
ta được:
P ( x ) = a2017 x2017 + a2016 x2016 + ... + a1 x + a0 .
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
17
.517.
A. a2000 = −C2017
17
17
.52000. D. a2000 = C2017
.517.
C. a2000 = −C2017
17
.517.
B. a2000 = C2017
Đáp án D
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
( 5 x − 1)
2017
2017
k
= C2017
.(5x )
2017 − k
k =0
2017
k
. ( −1) = C2017
.(5x )
k
2017 − k
. ( −1) .x 2017 − k .
k
k =0
17
.( 5)
Hệ số của x 2000 ứng với 2017 − k = 2000 k = 17 → hệ số cần tìm −C2017
2000
Câu 8(THPT HAI BÀ TRƯNG LẦN 1-2018): Hệ số của x 6 trong khai triển (1 − 2x ) thành
10
đa thức là:
A. −13440
B. −210
C. 210
D. 13440
Đáp án D
10
Ta có (1 − 2 x ) = C10k ( −2 x ) (1)
10
k
k =0
10 − k
10
= C10k ( −2 ) x k .
k
k =0
Vậy hệ số của x 6 trong khai triển là C106 . ( −2 ) = 13340 .
6
Câu 9 (THPT NÔNG CỐNG I): Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển
n
1
2 n-2
2 3
3 n −3
x − . Biết có đẳng thức là: Cn Cn + 2Cn Cn + Cn Cn = 100
x
A. 9
B. 8
C. 6
D. 7
Đáp án C
Ta có Cnk = Cnn − k nêm đẳng thức
Cn2Cnn-2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100 ( Cn2 ) + 2Cn2C + ( Cn3 ) = 100
2
2
( Cn2 + Cn3 ) = 100 ( Cn3+1 ) = 100 Cn3+1 = 10 n = 4
2
2
1 1
x − = x + −
x x
4
Số
hạng
tổng
quát
trong
khai
triển
4
là
k
k
−1
k 4− k
−k
k 4− 2 k
= ( −1) C4 x .x = ( −1) C4 x
x
k
Tk +1 = C x
k
4
4− k
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn 4 − 2k = 0 k = 2 và có giá trị là: ( −1) .C42 = 6
2
80
Câu 10 : (THPT LỤC NGẠN SỐ 1)Cho khai triển (x − 2) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a80 x 80 .
Tổng S = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80a80 có giá trị là:
A. -70.
B. 80
C. 70
D. -80
Đáp án D
Đặt y = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a80 x80
y ' = 1.a1 + 2a2 x + ... + 80a80 x 79
y ' (1) = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80a80
Mà y = ( x − 2 ) y ' = 80 ( x − 2 )
80
79
y ' (1) = −80
Vậy −80 = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80a80
Câu 11: (THPT HẬU LỘC 2-2018) Tìm tập nghiệm của phương trình
B. −5;5
A. 0
C +C
C. 5
2
3
x
x
D. −5;0;5
Đáp án C.
Cx2 + Cx3 = 4 x ( x 3)
(
)
x ( x − 1)
3 ( x − 1) + x 2 − 3x + 2 = 24 x 2 = 25 x = 5 .
2
+
= 4x .
x ( x − 1)( x − 2 )
6
= 4x
Câu 12 : (THPT HẬU LỘC 2-2018) Tính tổng P = (c n) 2 + (c n) 2 + ... + (c n) 2 theo n.
0
c
A.
n
B.
n
c
2
C.
n
c
1
n
n
2n
D. c 2 n
2n
Đáp án C.
Ta xét khai triển (1 + x ) = (1 + x ) . (1 + x ) . Xét khai triển ở cả hai vế, và xét hệ số của x n ta
2n
thấy
rằng
vế
trái
2
có
hệ
2
số
( ) + (C )
Cn0 .Cnn + Cn1 .Cnn −1 ++ Cnn .Cn0 = Cn0
2
C 2nn ;
là
1
n
2
vế
phải
( )
++ Cnn
2
có
hệ
số
của
xn
là
vậy ta có P = C2nn
Câu 13: (Nam Trực-Nam Định-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển
(x
2
− x + 1)
20
A. 950
C. −1520
B. 1520
D. −950
Đáp án C
(
)
Ta có: x 2 − x + 1
(
Mặt khác x 2 − x
20
)
k
(
có số hạng tổng quát là C20k x 2 − x
)
k
( )
có số hạng tổng quát là Cki x 2 . ( − x )
i
Do đó số hạng tổng quát của khai triển là C20k .Cki .x k +i ( −1)
k −i
= Cki x k +i . ( −1)
k −i
(với k ; i ; i k 20 )
k −i
i = 0; k = 3
3
1
3
2
.C30 . ( −1) + C20
.C21 . ( −1) = −1520
Với k + i = 3
Hệ số bằng C20
i = 1; k = 2
Câu 14 (THPT ĐỘI CẤN lần 1-2018): Cho khai triển nhị thức Newton của ( 2 − 3x ) , biết
2n
rằng n là số nguyên dương thỏa mãn C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024. Hệ số của x 7
bằng
A. −2099520
B. −414720
C. 2099520
D. 414720
Đáp án là A.
• Xét khai triển (x + 1)2 n + 1 = C 20n + 1 x 2 n + 1 + C 21n + 1 x 2 n + ... + C 22nn++11 .
Cho
x = 1,
ta được 22n+ 1 = C20n+ 1 + C21n+ 1 + ... + C22nn++11 .
Cho
x = - 1,
ta được 0 = - C20n+ 1 + C21n+ 1 - ... + C22nn++11 .
(1)
(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được
2 2 n + 1 = 2 (C 21n + 1 + C 23n + 1 + ... + C 22nn++11 ) Û 2 2 n + 1 = 2.1024 Û n = 5
10
10
• Xét ( 2 − 3 x ) = C10k 210− k . ( −3 x ) = ( −3) .210− k .C10k .x k
10
k
0
k
0
Hệ số của x 7 là ( −3) .23.C107 = −2099520.
7
Câu
S=
15
Quý
(Lê
Đôn-Hải
phòng
2018):
Tổng
1
( 2.3C22017 + 3.32 C32017 + 4.33 C42017 + ... + k.3k −1 Ck2017 + ... + 2017.32016 C2017
2017 ) bằng
2017
A. 42016 − 1.
B. 32016 − 1.
C. 32016.
D. 4 2016.
Đáp án A.
Ta có (1 + x ) = C0n + x.C1n + x 2C 2n + ... + x n C nn
n
Đạo hàm 2 vế của (*) ta được n (1 + x )
n −1
(*).
= C1n + 2x.C 2n + 3x 2C32017 + ... + n.x n −1C nn
(1).
Thay n = 2017, x = 3 vào (1) ta được
2
2017.42016 = 2017 + 2.3C2017
+ 3.22 C32017 + ... + 2017.32016 C2017
2017 .
Suy ra S =
1
2017.42016 − 2017 ) = 42016 − 1.
(
2017
Câu 16 (THPT VIỆT TRÌ LẦN 1-2018)Công thức số tổ hợp là:
A. A kn =
n!
( n − k )!
B. Akn =
n!
( n − k )!k!
C. Ckn =
n!
( n − k )!k!
D. Ckn =
n!
( n − k )!
Đáp án là C.
• HS xem lại lý thuyết
Câu 17 (THPT VIỆT TRÌ LẦN 1-2018): Tìm hệ số của x 7 trong khai triển ( 3 − 2x )
15
7 7 8
3 .2
A. −C15
7 8 7
3 .2
B. −C15
7 7 8
3 .2
D. C15
7 8 7
3 .2
C. C15
Đáp án là B.
15
15
• Ta có ( 3 − 2 x ) = C15k 315− k ( −2 x ) = ( −2 ) 315− k C15k x k
15
k =0
k
k
k =0
0 k 15, k
k =7 .
Hệ số của x 7 ứng với
k = 7
.
Vậy ( −2 ) 38 C157 = −C157 .38.27 là hệ số cần tìm.
7
Câu 18 (Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc Lần 1-2018): Số hạng không chứa x
trong khai triển
45
1
x − 2 là:
x
A. − C 545
D. − C15
45
C. C15
45
B. C30
45
Đáp án D
45
45
1
Ta có: x − 2 = ( x − x −2 ) có số hạng tổng quát là: Ck45 x 45−k −x −2
x
(
)
k
= Ck45 x 45−3k . ( −1) .
k
Số hạng không chứa x tương ứng với 45 − 3k = 0 k = 15. Vậy số hạng không chứa x là:
− C15
45
Câu 19 (THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018): Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai
12
x 3
triển −
3 x
A.
55
.
9
(với x 0 )?
B. 40095.
C.
1
.
81
D. 924.
Đáp án A
n
Phương pháp: Công thức khai triển nhị thức New-ton: ( a + b ) = Cnk a k b n − k .
n
k =0
12
12 − k
k
12
x 3
x 3
Cách giải: Ta có: − = C12k −
3 x
3 x
k =0
k
12 − k
12
12 − k 1
1
= C12k x k ( −3)
3
x
k =0
Số hạng chứa x 4 nên ta tìm k sao cho x k : x12− k = x 4 x 2 k −12 = x 4 2k − 12 = 4 k = 8.
8
C128 55
1
12 −8
Vậy hệ số của số hạng chứa x là: C . . − 3 = 4 =
3
9
3
4
8
12
Câu 20(THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018): Cho k , n . Trong các công thức về
số các chỉnh hợp và số các tổ hợp sau, công thức nào là công thức đúng?
A. Cnk =
n!
(với ( 0 k n ) ).
( n − k )!
C. Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 (với (1 k n ) ).
Đáp án C
Phương pháp:
B. Ank =
n!
(với ( 0 k n ) ).
k !( n − k )!
D. Cnk+1 = Cnk +1 (với ( 0 k n − 1) ).
Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n: Ank =
Công thức tính số tổ hợp chập k của n : Cnk =
n!
.
n − k!
n!
.
k !n − k !
Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
Cnk = Cnn − k
Cnk+1 = Cnk + Cnk −1
Cách giải: Quan sát các đáp án đã cho ta thấy đáp án C đúng.
Câu 21(THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018)Có bao nhiêu giá trị dương của n thỏa
5
mãn Cn4−1 − Cn3−1 − An2− 2 0?
4
A. 6.
B. 4.
C. 7.
D. 5.
Đáp án A
Phương pháp: Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: Ank =
n!
n!
;Ckn =
k !( n − k )!
( n − k )!
để giải bất phương trình. Lưu ý điều kiện của Cnk là 0 k n; k , n .
n − 1 4
Cách giải:mĐK: n − 1 3 n 5
n − 2 2
Cn4−1 − Cn3−1 −
( n − 1)! − ( n − 1)! − 5 ( n − 2 )! 0
5 2
An − 2 0
4!( n − 5 ) ! 3!( n − 4 )! 4!( n − 4 )!
4
( n − 2 )! n − 1 − n − 1 − 5 0
( n − 5)! 24 6 ( n − 4 ) 4 ( n − 4 )
( n − 1)( n − 4 ) − 4 ( n − 1) − 5.6 0
24 ( n − 4 )
n −1
n −1
5
−
−
0
24 6 ( n − 4 ) 4 ( n − 4 )
n 2 − 5n + 4 − 4n + 4 − 30 0 n 2 − 9n − 22 0 n ( −2;11)
Kết hợp điều kiện ta có n 5;11)
Mà n là số nguyên dương nên n 5;6;7;8;9;10 .
2
2016
+ C32016 + ... + C2016
Câu 22 (THPT XUÂN HÒA LẦN 1-2018)Tổng C12016 + C2016
bằng:
B. 22016 + 1
A. 42016
Đáp án D
Xét (1 + x )
C. 42016 − 1
D. 22016 − 1
0
1
2
3
2016 2016
= C2016
+ C2016
x + C2016
x 2 + C2016
x3 ... + C2016
x
2016
Chọn x = 1 , ta có:
(1 + 1)
2016
0
1
2
3
2016
= C2016
+ C2016
+ C2016
+ C2016
+ ... + C2016
0
1
2
3
2016
22016 − C2016
= C2016
+ C2016
+ C2016
+ ... + C2016
1
2
3
2016
C2016
+ C2016
+ C2016
+ ... + C2016
= 22016 − 1
Câu 23 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018): Tổng các nghiệm của phương trình
Cn4 + Cn5 = Cn6 là
A. 15
B. 16
C. 13
D. 14
Đáp án D
Điều kiện : n 6
Cn4 + Cn5 = Cn6
n!
1
n!
1
n!
1
+
+
=
=
( n − 4)!4! ( n − 5)!5! ( n − 6)!6! ( n − 4)( n − 5) 5 ( n − 5) 30
n = 1( l )
30 + 6 ( n − 4) = ( n − 4)( n − 5) n 2 − 15n + 14 = 0
n = 14 ( n )
Câu 24 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018): Số hạng không chứa x trong khai triển
7
2
Newton của biểu thức x 2 − 3 là
x
A. −84.
B. −448.
C. 84.
D. 448.
Đáp án D
Số
hạng
tổng
quát
trong
khai
7-k
triển
7k − 7
−2
7-k
7-k
k
2 k (−2)
k
2 k ( −2)
k
7-k
3
Tk+1 = C x
=C x
=
C
x
=
C
x
=
C
x
(−2)
7
7
7
1
7−k
7−k
3
x 3
x 3
x
7k − 7
= 0 k=1
số hạng không chứa x ứng với k:
3
k
7
( )
2
7-k
k
−2
3
x
k
7
( )
2k
Vậy số hạng không chứa x là: C17 ( −2)7-1 = 448
( )
( )
Vậy P ( A ) =
1
5040
Câu 25 (THPT ĐỒNG HẬU LẦN 1-2018): Số hạng không chứa x trong khai triển
9
2
− 3 x ( x 0 ) là:
x
A. −5832
B. 489888
D. −1728
C. 1728
Đáp án B
2
Số hạng tổng quát của khai triển Tk +1 = C9k
x
Ta có
9−k
(
. −3 x
)
k
3k
= 29− k . ( −3) x 2
k
−9
3k
6
− 9 = 0 k = 6 số hạng không chứa x là C96 23. ( −3) = 5832 = 489888
2
YÊN
Câu26:(THPT
DŨNG
2
3
S = ( C1100 ) + ( C100
) + ( C100
) + ... + ( C
2
2
A. S = C100
200
2
3-
LẦN
1-2018)Tính
tổng
).
100 2
100
C. S = C100
200 − 1
B. S = 2200 − 1
D. S = C100
200 + 1
Đáp án C
1
Có ( C100
) + ( C1002 ) ++ (C100100 )
2
2
2
1
99
2
98
3
97
100
0
= C100
.C100
+ C100
.C100
+ C100
.C100
+ .. + C100
.C100
0
100
2
98
3
97
100
0
100
= C100
.C100
+ C100
.C100
+ C100
.C100
+ .. + C100
.C100
− 1 = C200
−1 .
Để chứng minh dòng trên ta có thể xét khai triển
(1 + x ) ( x + 1)
100
100
= (1 + x )
200
.
100
k
100 − k
100
Xét hệ số khi biến đối theo x100 C100
.
.C100
= C200
k =0
Câu 27 (THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Công thức tính số tổ hợp là:
n!
n!
n!
n!
A. Ckn =
B. Ckn =
C. A kn =
D. Akn =
( n − k )!k!
( n − k )!k!
( n − k )!
( n − k )!
Đáp án B
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử, kí hiệu là
C
k
n
=
n!
k!( n − k )!
C
k
n
và được cho bởi công thức :
Câu 28(THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Nghiệm của phương trình A3n = 20n là:
B. n = 5
A. n = 6
Đáp án A
A
3
n
C. n = 8
D. không tồn tại
= 20n
n!
= 20n
( n − 3) !
n ( n − 1)( n − 2 ) = 20n
n 3 − 3n 2 + 2n − 20n = 0
n = 0(L)
n = −3(L)
n = 6(tm)
6
2
3
Câu 29 (THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Trong khai triển x +
, hệ số của x ( x 0 )
x
là:
A. 60
B. 80
C. 160
D. 240
Đáp án A
6
k
1
1
3k
6
6
−
−
2
k 6−k
k k 6− 2
2
2
x
+
=
x
+
2x
=
x
2x
=
.2
.x
Ta có :
C6
C6
x
k =0
k =0
6
Suy ra phương trình :
3k
=3
2
3k
=3
2
k=2
6−
Hệ số của x 3 trong khai triển là :
2
C .2
6
2
= 60 .
Câu 30 (THPT SƠN TÂY LẦN 1-2018): Trong Với n , n 2 và thỏa mãn
1
1
1
1 9
C5n + C3n + 2
+
+
+ ... + 2 = . Tính giá trị của biểu thức P =
.
C 22 C32 C 24
Cn 5
( n − 4 )!
61
90
Đáp án B
A.
B.
59
90
C.
29
45
D.
53
90
1
2
+
1
2
1
+
C C C
2
3
2
+ ... +
4
1
C
2
=
n
9
5
1 1
2
9
1 + + + ... +
=
3 6
n(n − 1) 5
2
2
2
4
+
+ ... +
=
2.3 3.4
n(n − 1) 5
1 1 1 1
1
1 2
− + − + ... +
− =
2 3 3 4
n −1 n 5
1 1 2
− =
2 n 5
1 1
=
n 10
n = 10
Câu 31(THPT SƠN TÂY LẦN 1-2018): Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển
x 3 (1 − x )
8
A. −28
C. −56
B. 70
D. 56
Đáp án C
8
x 3 (1 − x)8 = x 3 . C8 ( − x )
8− k
k
k =0
8
= C8 ( −1)
8− k
k
x11− k
k =0
Ta có phương trình : 11 − k = 6 k = 5
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển là :
C ( −1)
5
8
3
= −56
Câu 32 : (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa-LẦN 1)Hệ số của x 6 trong khai triển
10
1
3
+ x bằng:
x
A. 792
B. 252
C. 165
D. 210
Đáp án D
k 4k −10
4
x
, cho 4k − 10 = 6 k − 4 hệ số của x 6 là C10
= 210
SHTQ: C10
Câu 33 (Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1 2018).: Trong các khai triển sau, khai triển nào
sai?
n
A. (1 + n ) = C x
n
k =0
n
k
n
n−k
C. (1 + n ) = Cnk x k
n
k =1
Đáp án C
n
B. (1 + n ) = Cnk x k
n
k =0
D. (1 + n ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn .x n
n
Câu 34 (Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1 2018).: Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai
triển
(1 − 2 x + 2015x
2016
− 2016 x 2017 + 2017 x 2018 )
3
A. −C60
60
3
B. C60
3
D. −8.C60
C. 8.C603
Đáp án D
Ta có (1 − 2 x + 2015 x 2016 − 2016 x 2017 − 2017 x 2018 ) = (1 − 2 x ) (.....)
60
60
k
80 − k
k =0
Số hạng chứa x 3 trong khai triển là hệ số x 3 trong khai triển (1 − 2 x ) . (.....)
80
3
Khi đó số hạng chứa x 3 trong khai triển là: C60
(1)
80 −3
Yên-Vĩnh
1
S = 319 C020 + 318 C120 + 317 C 220 + ... + + C 20
20
3
Câu
A.
35
(Vĩnh
418
3
B.
Phúc
419
3
3 3
. ( 2 x ) = −8.C60
x
3
2018):
C.
0
Giá
4 21
3
trị
D.
biểu
thức
4 20
3
Đáp án D
20
Ta có
Chọn
(3 + x )
3
20
=
C
k =0
k 20 − k
20
3
3
(1 + 3)
x =1
20
3
xk
20
1
= Ck20 319−k x k = 319 C020 + x 2 318 C120 + ... + x 20C20
20
3
k =0
1 20
420
= 319 C020 + 318 C120 + ... + C20
S=
3
3
Câu 36: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Cnk =
n!
k ( n − k )!
B. Cnk =
n!
k !( n − k )!
C. Cnk =
n!
k !( n − k )
D. Cnk =
n!
k !( n + k )!
Đáp án B
Câu 37 (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa): Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Ank = k !Cnn −k
B. Ank = k . Ank
Đáp án A
Ta có: Ckn = Ckn −k =
Ank
k!
C. Ank = k ! Ann −k
D. Ank = k .Cnk
38
:
(THPT
Triệu
Sơn
3-Thanh
2
2
1
2
2017 2017 2 2018 2018 2
1
2
C2018
+
C2018
+ ... +
tổng S =
(
)
(
)
( C2018 ) + 1 ( C2018 )
2018
2017
2
Câu
A. S =
1
2018
C4036
2018
B. S =
1
2018
C4036
2018
C. S =
2018 1009
C2018
2019
Hóa)
D. S =
Tính
2018 2018
C4036
2019
Đáp án D
2
( n − 1)! = C k .C k −1
k
k
n!
k
Ta có ( Cnk ) =
=
C
.
n
n
n k !( n − k )!
( k − 1)!( n − k )! n n−1
2
0
1
1
2
2017
2018
.C2018
+ C2018
.C2018
+ ... + C2018
.C2018
Do đó C2018
Xét khai triển (1 + x )
2018
. ( x + 1) = (1 + x )
4036
Hệ số chứa x 2017 trong khai triển (1 + x )
2018
Hệ số chứa x 2017 trong khai triển (1+ x )
4036
2017
C4036
=
0
1
1
2
2017
2018
.C2018
+ C2018
.C2018
+ ... + C2018
.C2018
=S
. ( x + 1) là C2018
là
4036!
4036!
2018 2018 2018
=
.
=
C4036
2017!.2019! 2018!.2018! 2019 2019
Vậy S =
2018 2018
C4036
2019
Câu 39 : (THPT Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Tìm số hạng chứa x 3 y3 trong khai triển biểu
thức ( x + 2y ) thành đa thức.
6
A. 160x 3 y3
D. 8x 3 y3
C. 20x 3 y3
B. 120x 3 y3
Đáp án A
Ta
có:
6
6
( x + 2y ) = C6k x 6−k ( 2y ) = C6k 2k x 6−k y k .
6
k =0
k
Số
hạng
chứa
k =0
6 − k = 3
x 3 y3
k = 3 a 3 = C36 23 x 3 y3 = 160x 3 y3 .
k
=
3
Câu 40 (THPT Lương Văn Tụy-Ninh Bình)Biết rằng hệ số của x n − 2 trong khai triển
n
1
x − bằng 31. Tìm n .
4
A. n = 32
B. n = 30
C. n = 31
D. n = 33
Đáp án A
n
Hệ
số
của
x n −2
trong
khai
2
1
x − là:
4
triển
1
C2n . − .x n − 2
4
Ta
có:
2
n!
1
C2n . − = 31
= 496 n ( n − 1) = 992 n = 32.
( n − 2 )!2!
4
(
Câu 41 ( THPT TRIỆU SƠN 1)Cho khai triển 1 + x + x2
)
n
= a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a2 n x2 n
, với n 2 và a0, a1, a2,..., a2n là các hệ số. Biết rằng
a3
14
=
a4
41
khi đó tổng
S = a0 + a1 + a2 + ... + a2n bằng
D. S = 313.
C. S = 312.
B. S = 311.
A. S = 310.
Đáp án A
Ta
có
(
1 + x + x2
)
n
(
)
n
(
= 1 + x 1 + x = Ckn x k 1 + x
k =0
n
)
k
n
k
= Cnk x k C kj x k
k =0
j =0
æk
ö
÷
Þ Tk + 1 = Ckn x k çççå C kj x k ÷
Ta tính các số hạng như sau:
÷
÷
çè j = 0
ø
T0 = 1 ; T1 = Cn1Cn2 x + Cn1C11 x 2 = nx; T2 = Cn2Cn0 x 2 + Cn2C21 x 3 + Cn2C22 x 4 ,....
Như vậy ta có:
a3 = Cn2C21 + Cn3C20 ; a4 = Cn2C22 + Cn3C31 + Cn4C40
Theo giả thiết
a3 a4
C 2C1 + Cn3C20 Cn2C22 + Cn3C31 + Cn4C40
=
Þ n 2
=
14 41
14
41
n (n - 1) n (n - 1)(n - 2) n (n - 1) 3n (n - 1)(n - 2) n (n - 1)(n - 2)(n - 3)
+
+
+
2!
3!
2!
3!
4!
Û
=
14
41
2
Û 21n - 99n - 1110 = 0 Þ n = 10
2.
Trong khai
triển
(1 + x + x )
10
2
= a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a20 x 20
cho
x= 1
ta
được
S = a0 + a1 + a2 + ... + a20 = 310
12
1
Câu 42 : (THPT KIM SƠN A)Số hạng chứa x trong khai triển x + là
x
2
C. C128
B. C123
A. C125 x 2
D. C125 x3
Đáp án A
12
k
12
12
1
1
Ta có x + = C12k x12− k = C12k x12− 2 k . Xét 12 − 2k = 2 k = 5 .
x
x
k =0
k =0
Số hạng chứa x 2 là C125 x 2 .
Câu
(1 + x + x
43
2
+x
:
)
3 10
(THPT
Hà
Trung-Thanh
Hóa-Lần
1.)Khai
triển
= a0 + a1 x + ... + a30 x30 . Tính tổng S = a1 + 2a2 + ... + 30a30 .
A. 5.210
C. 410.
B. 0.
D. 210.
Đáp án B
10
'
9
Ta có (1 + x + x 2 − x3 ) = ( a0 + a1 x + ... + a30 x 30 ) 10 (1 + x + x 2 − x 3 ) (1 + x + x 2 − x 3 )
'
a1 + 2a2 x + ... + 30a30 x 29 10 (1 + x + x 2 − x3 ) a1 + 2a2 x + ... + 30a30 x 29
9
Chọn x = 1 10 (1 + 1 + 1 − 1) .0 = a1 + 2a2 x + ... + 30a30 S = 0
9
Câu 44: (THPT Hà Trung-Thanh Hóa-Lần 1.) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
2 2
x + với x 0
x
C. −24 C64 .
B. 22 C62 .
A. 24 C62 .
Đáp án A
6
k
6
6
6− k 2
2
k
12 −3 k
Ta có x 2 + = C6k ( x 2 ) = C6k ( 2 ) ( x )
x k −0
x
k −0
Số hạng không chứa x = 12 − 3k = 0 k = 4 a4 = C64 24.
D. −22 C64 .
Câu 45 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong khai triển ( x − y ) , hệ số của số hạng
11
chứa x 8 .y3 là
5
C. −C11
3
B. −C11
3
A. C11
8
D. C11
Đáp án B
Câu 46 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
2C0n + 5C1n + 8C2n + ... + ( 3n + 2) Cnn = 1600.
A. 5
C. 10
B. 7
D. 8
Đáp án B
Ta có: S = 2 ( C0n + ... + Cnn ) + 3 ( C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nCnn )
Xét khai triển (1 + x ) = C0n + C1n x + ... + Cnn x n
n
Đạo hàm 2 vế ta có: n (1 + x )
n −1
= C1n + 2Cn2 x + 3C3n x 2 + ... + nCnn x n −1
Cho x = 1 ta có: 2n = C0n + C1n + ... + Cnn ; n.2n −1 = C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nC nn
SHIFT − CALC
→ n = 7.
Do đó S = 2.2n + 3.n2n −1 = 1600 ⎯⎯⎯⎯⎯
Câu 47 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Cho số nguyên dương n, tính tổng
( −1) nCnn
−C1n 2C2n 3C3n
S=
+
−
+ ... +
2.3 3.4 4.5
( n + 1)( n + 2 )
n
A.
−n
( n + 1)( n + 2)
B.
2n
( n + 1)( n + 2)
C.
n
( n + 1)( n + 2)
D.
−2n
( n + 1)( n + 2)
Đáp án A
Giải trắc nghiệm: n = 2 S = −
Với n = 2 thay vào A được = −
1
nên đáp án B và Csai.
6
1
1
thay vào D được = − .
6
3
Câu 48 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
15
1
Newtơn P ( x ) = x 2 +
x
C. 3003
B. 2700
A. 4000
Đáp án C
15
k
15
15
15− k 1
1
k
k
. ( x 2 ) . = C15
.x 30−3k .
Xét khai triển x 2 + = C15
x
x k =0
k =0
Số hạng không chứa x ứng với x 30−3k = x 0 → k = 10.
D. 3600
Vậy số hạng cần tìm là C10
15 = 3003.
Câu 49 (Hải Hậu A-Nam Định 2018): Hệ số của x 3 y3 trong khai triển (1 + x ) (1 + y ) là
6
A. 20
B. 800
C. 36
6
D. 400
Đáp án D
2
6 k k 6 k k 6
6
6
1
+
x
1
+
y
=
( ) ( ) C6 x C6 y = ( C6k ) x k yk
k =0
k =0
k =0
( )
Số hạng chứa x 3 y3 k = 3 a 3 = C36
2
x 3 y3 = 400x 3 y3
Câu 50 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Biết tổng các hệ số trong khai triển
( 3x − 1)
n
= a 0 + a1x + a 2 x 2 + ...a n x n là 211. Tìm a 6 .
A. a 6 = −336798
B. a 6 = 336798
C. a 6 = −112266
D. a 6 = 112266
Đáp án A
Cho x = 1 vào 2 vế ( 3x − 1) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ...a n x n ta được 2n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n
n
5 6
3 ( −1) = −336798
Vậy n = 11 a 6 = C11
5
Câu 51 (Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2018): Tìm hệ số của x 3 trong khai triển
(1 − 2 x )
10
B. −960
A. 120
C. 960
D. −120
.
Đáp án B
10
Ta có (1 − 2 x ) = C10k (1)
10
10 − k
( −2 x )
k =0
k
10
= C10k ( −2 ) ( x )
k
k
k =0
Số hạng chứa x3 k = 3 a3 = C103 ( −2 ) x 3 = −960 x 3
3
Câu 52 (Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Biết rằng hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức
Newton ( 2 − x ) , ( n
n
A. n = 8
Đáp án C
*
) bằng 280. Tìm n.
B. n = 6
C. n = 7
D. n = 5
(2 − x)
n
n
= C kn ( − x ) .2n − k hệ số của x 4 là: C4n ( −1) .2n − 4 = 280 n = 7
k
4
k =0
2
Câu 53 (Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Số hạng không chứa x trong khai triển x − 2
x
A. 110
B. 240
C. 60
6
D. 420
Đáp án C
6
k
6
6
2
k
2
Ta có x − 2 = C6k x 6− k − 2 = C6k ( −2 ) x 6−3k
x k =0
x
k =0
Số hạng không chứa x 6 − 3k = 0 x = 2 a 2 = C62 ( −2 ) = 60
2
Câu
54
Đăng
(Nguyễn
Đạo-Bắc
n
Ninh-2018):
Trong
khai
triển
k
n
n−k 1
2 1
2
x
+
=
Cnk .2n − k ( x 2 ) . , ( x 0 ) hệ số của x 3 là 26 Cn9 . Tính n
x
x
k =0
B. n = 13
A. n = 12
C. n = 14
D. n = 15
Đáp án D
n
k
n
n
1
1
Ta có 2 x 2 + = Cnk .2n − k . = Cnk .2n − k x 2 n −3k
x
x k =0
k =0
Cho 2n − 3k = 3 Cnk .2n − k = 26.Cn9 .
2n − 3k = 3
Giải hệ k n−k
6
9
Cn .2 = 2 .Cn
n = 15
Hệ này tương đối khó giải, thử 4 đáp án ta được
k = 9
Câu
55
(Lương
Tài
2-Bắc
Ninh
2018)Tính
2017 2017
S = 2C02017 − 2C12017 + 4C22017 − 8C32017 + ... + 22016 C2016
C2017 ?
2017 − 2
B. S = 1
A. S = −1
C. S = 0
D. S = 2
Đáp án C
Xét khai triển (1 − x )
2017
2017
= C02017 − C12017 x + C22017 x 2 − ... − 22017 C 2017
.
2017 x
2017 2017
C 2017 = −1
Cho x = 2 ta được C02017 − 2C12017 + 4C22017 − 8C32017 + ... + 22016 C 2016
2017 − 2
2017 2017
C 2017 = 0.
Lại có C02017 = 1 S = 2C02017 − 2C12017 + 4C22017 − 8C32017 + ... + 22016 C2016
2017 − 2
tổng
Câu 56 (Kim Liên-Hà Nội 2018): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
1
2x − 2 , x 0
x
A. 15
B. 240
C. -240
D. -15
Đáp án B
6
6
6
1
6− k
k 6 − k 6 −3k
k
−2 k
k
2x − 2 = C6 ( 2x ) ( x ) = C6 ( −1) 2 x
x k =0
k =0
Số hạng không chứa x 6 − 3k = 0 k = 2 a 2 = C62 ( −1) 24 = 240
2
Câu 57 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
12
21
3
1
f ( x ) = x 2 + + 2x 3 + 2 thì f ( x ) có bao nhiêu số hạng?
x
x
A. 30
B. 32
C. 29
D. 35
Đáp án B
12 − k
12
3
3
k
xk
Số hạng tổng quát của khai triển x 2 + là C12
x
x
k 12 − k 2k −12
= C12
3 x
( 0 k 12 )
21
i 1
1
Số hạng tổng quát của khai triển 2x 3 + 2 là Ci21 ( 2x 3 ) 2
x
x
21−i
k
= C12
2i x 5i − 42 ( 0 k 21)
Cho 2k −12 = 5i − 42 5i − 2k = 30
Phương trình này có 3 nghiệm nguyên ( k;i ) là ( 0;6) ; ( 5;8) ; (10;5)
Do đó f ( x ) có 13 + 22 − 3 = 32 số hạng
Câu 58 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Cho n là số nguyên dương; a, b là các số
n
b
9 4
thực ( a 0) . Biết trong khai triển a −
có số hạng chứa a b . Số hạng có số mũ của a
a
n
b
và b bằng nhau trong khai triển a −
là
a
A. 6006a 5 b 5
Đáp án D
B. 5005a 8 b8
C. 3003a 5 b 5
D. 5005a 6 b 6
- Xem thêm -
.PDF 
22 
12 
140 
