BӜ GIÁO DӨC VÀ ĈÀO TҤO
CHѬѪNG TRÌNH PHÁT TRIӆN
GIÁO DӨC TRUNG HOC
ET
VӨ GIÁO DӨC TRUNG HӐC
fro
m
:D
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
TÀI LIӊU HӜI THҦO
ҦO
PHÁT TRIӆN CHUYÊN
YÊN MÔN
M
GIÁO VIÊN
N VҰT
VҰT LÍ
VҰ
TRѬӠNG THPT
HPT CHUYÊN
C
(Tài liӋu lѭu hành nӝi bӝ)
Hà Nӝi, tháng 7- 2011
TT
1
2
3
Trang
3
5
24
fro
m
:D
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
ET
4
5
MӨC LӨC
Nӝi dung
Báo cáo ÿӅ dүn Hӝi thҧo phát triӇn chuyên môn giáo viên
Vұt lí trѭӡng THPT Chuyên
Tham luұn: Kinh nghiӋm bӗi dѭӥng hӑc sinh giӓi thông
qua viӋc sӱ dөng toán vào giҧi các bài vұt lý
Tham luұn: Kinh nghiӋm bӗi dѭӥng kiӃn thӭc phҫn Vұt lý
hiӋn ÿҥi
Chuyên ÿӅ: Mӝt sӕ phѭѫng pháp giҧi bài toán ĈiӋn hӑc
Chuyên ÿӅ: Phѭѫng pháp ҧnh ÿiӋn và ӭng dөng giҧi các bài
àii
toán tƭnh ÿiӋn
Tham luұn: Vұn dөng “Nghӏch lý” trong dҥy hӑc Vұt
ұt lý
Chuyên ÿӅ: Mӝt sӕ bài toán vӅ trѭӡng lӵc thӃ
Tham luұn: Kinh nghiӋm bӗi dѭӥng kiӃn thӭc
hӭc phҫn
ph n Dao
ÿӝng và Sóng
Tham luұn: Bàn vӅ chuyӇn ÿӝng ném xiên
Tham luұn: Các phѭѫng án tiӃn hành
ành thí ng
nghiӋm khҧo sát
chuyӇn ÿӝng ÿӅu sӱ dөng bӝ thí
hí nghiӋm
nghiӋm Vұt
nghiӋ
V lí lӟp 10
Tham luұn: Tìm hiӇu ÿӗng hӗ
ӗ ÿo ÿÿiӋn
iӋn vҥn năng chӍ thӏ kim
nghi
Ӌm ÿiӋn lӟp 11 THPT
và hiӋn sӕ trong các bài thí nghiӋ
nghiӋm
Tham luұn: Bài thӵc
ӵc hành vұ
vұt
vұ lí lӟp 12. Khҧo sát ÿoҥn
u R, L, C m
mҳ nӕi tiӃp.
mҥch xoay chiӅu
mҳc
Tham luұn: Hѭӟ
Hѭӟng
ѭӟng
ng dүn
d hӑc sinh hӑc và nghiên cӭu môn
Vұt lý
Tham lu
luұ
luұn:
ұn:: Mӝt
M
Mӝ sӕ kinh nghiӋm hѭӟng dүn hӑc sinh
hiên cӭu
ӭu tài liӋu chuyên ÿӅ môn Vұt lý
nghiên
Tham
ham luұ
luұn:
luұ Hӝi thҧo phát triӇn chuyên môn cho giáo viên
trѭӡng
trѭӡ
tr
rѭӡng THPT năm 2011
Tha
Tham luұn: Phát triӇn chuyên môn cho giáo viên thông qua
sinh hoҥt tә chuyên môn ӣ trѭӡng chuyên
Tham luұn: Kinh nghiӋm ÿәi mӟi phѭѫng pháp dҥy hӑc
trong trѭӡng chuyên môn Vұt lý
Tham luұn: Kinh nghiӋm tә chӭc hoҥt ÿӝng ngoҥi khóa Vұt
lí trong trѭӡng THPT Chuyên
Tham luұn: Chѭѫng trình bӗi dѭӥng giáo viên dҥy môn
chuyên Vұt lý
Tham luұn: Nâng cao chҩt lѭӧng sӱ dөng thí nghiӋm trong
dҥy hӑc Vұt lí ӣ trѭӡng phә thông
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
166
17
7
18
19
20
36
49
4
62
65
74
79
86
89
93
96
98
102
104
106
108
110
112
2
BÁO CÁO Ĉӄ DҮN HӜI THҦO PHÁT TRIӆN CHUYÊN MÔN
GIÁO VIÊN VҰT LÍ TRѬӠNG THPT CHUYÊN
fro
m
:D
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
ET
Nguy͍n Tr͕ng S͵u – Vͭ Giáo dͭc Trung h͕c,
B͡ Giáo dͭc và Ĉào t̩o
Kính thѭa các quý vӏ ÿҥi biӇu và các thҫy cô giáo,
Ĉӝi ngNJ giáo viên luôn là nhӳng yӃu tӕ quan trӑng nhҩt góp phҫn quyӃt
ÿӏnh sӵ phát triӇn cӫa mӝt nhà trѭӡng. ĈiӅu này ÿһc biӋt ÿúng ÿӕi vӟi giáo viên
các trѭӡng THPT chuyên. Ӣ các trѭӡng THPT chuyên, nѫi sӁ phát hiӋn nhӳng
hӑc sinh có tѭ chҩt thông minh, ÿҥt kӃt quҧ xuҩt sҳc trong hӑc tұp ÿӇӇ b
bӗi
bӗ
ӗi dѭӥng
thành nhӳng ngѭӡi có ÿӫ ÿҥo ÿӭc và trình ÿӝ chuyên môn ÿӇ trӣ
nhӳng
rӣ thành nh
trө cӝt trong xã hӝi trong tѭѫng lai. ĈӇ làm tӕt ÿѭӧc viӋc này,
giáo viên
y,, ÿÿòi
òi hӓi
h i ggi
chuyên phҧi có ÿҥo ÿӭc trong sáng, cNJng nhѭ nӅn tҧng kiӃn
thӭc
n thӭ
th
ӭc vӳ
vvӳng
ӳng vàng.
Trong nhӳng năm qua, mһc dù ÿã có nhiӅu cӕ gҳ
gҳng
ҳng trong ccông tác giҧng
PT chuyên còn bӝc lӝ nhiӅu
dҥy. Tuy nhiên, ÿӝi ngNJ giáo viên các trѭӡng THPT
àii ra, giáo vviên chúng ta còn yӃu
hҥn chӃ kӇ cҧ sӕ lѭӧng cNJng nhѭ trình ÿӝ. Ngoài
ӵcc hành, kkƭƭ năng hѭӟng dүn nghiên
vӅ các kƭ năng nhѭ: kƭ năng thí nghiӋm thӵc
Ӈn tài liӋ
li
Ӌu; khҧ năng xác ÿӏnh mөc tiêu
cӭu khoa hӑc; kƭ năng xây dӵng, phát triӇn
liӋu;
g chѭѫ
ch
ѭѫng…
ng…
giáo dөc và dҥy hӑc qua tӯng bài, tӯng
chѭѫng…
ѭu cӫa Bӝ Giáo dөc và Ĉào tҥo, ngày
ham m
mѭ
mѭu
Trѭӟc bӕi cҧnh ÿó, vӟi sӵ tham
24/6/2010, Thӫ tѭӟng Chính phӫ
quyӃt ÿӏnh sӕ 959/QĈ-TTg phê duyӋt ÿӅ
hӫ
ӫ ÿÿãã kí qu
án Phát triӇn hӋ thӕng các tr
trѭӡng
THPT chuyên giai ÿoҥn 2010-2020. Trong ÿӅ
rѭӡ
ѭ ng THP
án này, nӝi dung phát triӇn
riӇnn ÿӝ
ÿӝii ng
nngNJ
NJ giáo viên, cán bӝ quҧn lý trong các trѭӡng
chuyên ÿѭӧc hӃt sӭcc coi trӑ
trӑng.
tr
ӑng
n ĈӅ án xác ÿӏnh “Chú trӑng xây dӵng ÿӝi ngNJ
giáo viên ÿҫu ÿàn
n vӅ
v hoҥt
ho t ÿÿӝng chuyên môn trong hӋ thӕng các trѭӡng THPT
chuyên, tҥo ÿiӅu
kiӋn
Ӆu ki
Ӌn ÿӇ
ÿ hӑ trӣ thành nhӳng nhân tӕ tích cӵc, là tҩm gѭѫng
trong viӋcc rèn
n luyӋn
lu Ӌn ÿҥo ÿӭc, tӵ hӑc, sáng tҥo và xây dӵng mҥng lѭӟi ÿӝi ngNJ
này trên
ên toàn quӕc.
qu
quӕ
ӕ Cө thӇ là:
Bә
sung, hoàn thiӋn các qui ÿӏnh vӅ cѫ cҩu, ÿӏnh mӭc giáo viên, nhân
1.. B
ә sun
viên; vӅ
vӅ cô
ccông tác tuyӇn dөng, luân chuyӇn giáo viên trѭӡng chuyên; ban hành
qui ÿӏ
ÿӏnh
n vӅ tiêu chuҭn giáo viên, cán bӝ quҧn lý các trѭӡng THPT chuyên trên
cѫ sӣ chuҭn nghӅ nghiӋp giáo viên, chuҭn hiӋu trѭӣng trѭӡng trung hӑc và các
qui ÿӏnh khác vӅ giáo viên.
2. TiӃn hành rà soát, ÿánh giá, sҳp xӃp lҥi ÿӝi ngNJ cán bӝ quҧn lý, giáo viên
và nhân viên ÿӇ có kӃ hoҥch tuyӇn dөng, bӗi dѭӥng nhҵm ÿҧm bҧo ÿӫ sӕ lѭӧng,
cân ÿӕi vӅ cѫ cҩu và nâng cao vӅ trình ÿӑ chuyên môn, nhiӋm vө, năng lӵc làm
viӋc;
3. Chú trӑng xây dӵng ÿӝi ngNJ giáo viên ÿҫu ÿàn vӅ hoҥt ÿӝng chuyên môn
trong hӋ thӕng các trѭӡng THPT chuyên, tҥo ÿiӅu kiên giúp hӑ trӣ thành nhӳng
3
D
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
ET
nhân tӕt tích cӵc, là tҩm gѭѫng trong viӋc rèn luyӋn ÿҥo ÿӭc, tӵ hӑc, sáng tҥo và
xây dӵng mҥng lѭӟi cӫa ÿӝi ngNJ này trên toàn quӕc.
4. Tăng cѭӡng công tác bӗi dѭӥng nâng cao năng lӵc chuyên môn, nhiӋm
vө, tin hӑc và ngoҥi ngӳ cho cán bӝ quҧn lý giáo viên trѭӡng chuyên
- Ĉӏnh hѭӟng nӝi dung bӗi dѭӥng giáo viên chuyên phù hӧp vӟi tӯng giai
ÿoҥn, tăng cѭӡng bӗi dѭӥng cho cán bӝ quҧn lý vӅ các kiӃn thӭc và kƭ năng
quҧn lý.
- Tә chӭc các khóa bӗi dѭӥng tiӃng Anh, tin hӑc cho CBQL và GV ÿѭa ÿi
bӗi dѭӥng TiӃng Anh tҥi nѭӟc ngoài.
- Tә chӭc các khóa ÿào tҥo ngҳn hҥn ӣ ngoài nѭӟc cho giáo viên các môn
ӑc các mô
môn này
Toán, Vұt Lí, Hóa hӑc, Sinh Hӑc, Tin hӑc, ÿӇ tӯng bѭӟc dҥy hӑc
bҵng TiӃng Anh.
ph
phҧi
ҧi làm,
llà trong ÿó
ĈӇ thӵc hiӋn các yêu cҫu trên cӫa ÿӅ án, có nhiӅu viӋcc phҧ
nghiӋp
nghiӋ
Ӌp vө cӫa ÿӝi ngNJ
công tác bӗi dѭӥng, nâng cao năng lӵc chuyên môn và nghi
giáo viên trӣ cNJng nhѭ tә chӭc Hӝi thҧo trao ÿәi ý kiӃ
kiӃn
ki
Ӄn và ÿÿii ÿӃn thӕng nhҩt nӝi
dung ÿào tҥo bӗi dѭӥng trong thӡi gian tӟi. Ĉó là lý do ttә
ә chӭc Hӝi thҧo GV các
trѭӡng THPT chuyên trên toàn quӕc lҫn thӭ nh
nnhҩt
ҩt ngày hôm nay.
Mөc tiêu cӫa Hӝi thҧo là:
- Ĉѭa ÿӃn cѫ hӝi là cán bӝ quҧn
uҧҧn lý cӫa
c a các
c Sӣ Giáo dөc và Ĉào tҥo, các
HPT chuyên trong toàn quӕc có cѫ hӝi giao lѭu,
giáo viên tӯ tҩt cҧ các trѭӡng THPT
trao ÿәi và thҧo luұn cNJng nhѭ
ѭ ttҥo
ҥo ra cѫ
cѫ hhӝi ÿӇ chia sҿ các kinh nghiӋm thӵc tӃ.
hành ra mҥng
m
mҥn
- Trao ÿәi ÿӇ hình thành
lѭӟi giáo viên ÿҫu ÿàn trong toàn quӕc.
- Thӕng nhҩt kӃ hoҥch,
oҥch, nnӝi
ӝi ddung, phѭѫng thӭc bӗi dѭӥng giáo viên chuyên
11-2015
1-2015 và kӃ hoҥch bӗi dѭӥng hàng năm.
THPT giai ÿoҥn 2011-2015
ĈӇ Hӝi thҧo
o thành công,
ccôn ÿӅ nghӏ:
viӋc vӟi tinh thҫn cao nhҩt ÿӇ ÿҥt ÿѭӧc mөc tiêu Hӝi thҧo.
ӡi làm v
vi
- Mӑi ng
ngѭӡi
- Thӕng
nhҩt
qua các mөc tiêu cӫa Hӝi thҧo.
ӕng
ng nnh
ҩ thông
h
dӏp
Nhân
ân ddӏ
ӏp này,
nà chúng tôi xin ghi nhұn và cҧm ѫn sӵ giúp ÿӥ hӛ trӧ cӫa các
thҫy
ҫy cô giáo llà tác giҧ tài liӋu, báo cáo viên các cѫ quan có liên quan ÿã hӛ trӧ
tҥo
ÿӇ ttҥ
ҥo ÿÿiӅu
iӅ kiӋn cho các thҫy cô giáo trên toàn quӕc có nhӳng ngày vui vҿ ӣ Thӫ
ÿô
ô Hà Nӝi và thu ÿѭӧc nhiӅu bә ích. Xin kính chúc các ÿӗng chí ÿҥi biӇu, các
thҫy cô giáo mҥnh khӓe, hҥnh phúc, chúc Hӝi thҧo thành công.
4
Tham luұn:
KINH NGHIӊM BӖI DѬӤNG HӐC SINH GIӒI THÔNG QUA
VIӊC SӰ DӨNG TOÁN VÀO GIҦI CÁC BÀI VҰT LÝ
Tr˱ͥng THPT Chuyên Phan B͡i Châu, Ngh͏ An
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
ET
Toán hӑc có liên hӋ mұt thiӃt vӟi các môn hӑc khác ӣ trѭӡng phә thông và có
ӭng dөng rӝng rãi trong rҩt nhiӅu lƭnh vӵc khác nhau cӫa khoa hӑc, công nghӋ
cNJng nhѭ trong sҧn xuҩt và ÿӡi sӕng.
Trong Vұt Lý thì Toán hӑc ÿѭӧc sӱ dөng là công cө quan trӑng ÿӇ nghiên
rong cchѭѫng
cӭu. Nhӡ toán cao cҩp mà Vұt Lý lý thuyӃt phát triӇn mҥnh mӁ. Trong
ӝi dung to
toá
toán sӱ
trình phә thông nói chung và bӗi dѭӥng HSG nói chung các nӝi
dөng vào Vұt Lý chѭa ÿѭӧc chú trӑng. Ĉһc biӋt mӝt sӕ phҫn
Vұt
ҫn
n Vұ
V
ұt Lý sӱ dөng
toán thì HS chѭa ÿѭӧc trang bӏ nên chѭa giҧi quyӃt ÿѭӧc lý thuy
thuyӃt
th
uyӃӃt và bài tұp. Ví
dө chѭѫng trình lӟp 10 chuyên Lý ÿòi hӓi HS phҧi sӱ
thành thҥo lѭӧng
ӱ ddөng
өngg thà
th
giác, cҩp sӕ nhân, tích phân.....trong lúc chѭѫng
toán chѭa hӑc ÿӃn.
ng trình to
toá
Chѭѫng trình thi HSG Quӕc Gia, Chӑn ĈT Ôlympic
Quӕc
ympic
mpic Qu
Quӕ
ӕ TӃ... ngày càng khó
vӅ nӝi dung Vұt Lý và vӅ Toán hӑc.
Vұt Lý
Vұ
L nói chung và bӗi dѭӥng
ĈӇ nâng cao chҩt lѭӧng giҧng dҥy môn Vұt
HSG nói riêng cNJng nhѭ gúp HS vѭӧt
nhӳng
ӧt qua nhӳ
nh
ӳn khó khăn(do chѭa ÿѭӧc trang
bӏ kӏp vӅ kiӃn thӭc toán) khi hӑc ttұp
ұp và dӵ
dӵ các
c kǤ thi HSG Vұt Lý chúng tôi ÿã
thông qua kinh nghiӋm giҧng ddҥy
nhiӅu
ҥy
y nhiӅ
nhi
Ӆu kkhoá ÿã ÿúc rút ÿӇ viӃt nên ÿӅ tài ''Sӱ
dөng công cө toán hӑc góp
phҫn
p phҫ
ph
ҫn bӗ
bbӗi
ӗi ddѭӥng HSG Vұt Lý''. Chúng tôi sӁ ÿӅ cұp
yӃt toán vvà vұn dөng vào mӝt sӕ ÿӅ thi HSG Vұt Lý gҫn
mӝt sӕ nӝi dung lý thuyӃt
ÿây:
m
:D
I.MӜT SӔ CÁCH
ÁCH KHAI
KHA TRIӆN TRONG TOÁN HӐC
1.1. Ĉӏnh nghƭa
ÿҥo hàm chuӛi mNJ
ngh
hƭa và
àÿ
Ĉӏnh nghƭa:
nghƭ
hƭa:
fro
ex 1 x
x2
xn
...
...
2!
n!
h không có thӭ nguyên.; e
X phҧi
Dx
(1)
2
n
Dx
Dx
1 Dx
...
...
2!
n!
D phҧi có thӭ nguyên x-1 .
Tӯ ÿây suy ra rҵng:
d Dx
e
dx
2
3
ª
º
D x Dx
2D 2
3D3 2
D
...» DeDx
x
x ... D «1 Dx
2!
3!
2!
3!
«¬
»¼
5
d 2 Dx
D 2 e Dx
e
2
dx
Bҵng cách lҩy loga có dӉ dàng suy ra rҵng exey = ex+y vì:
Loge(exey) = logeex + logeey = x + y
1.2. Khai triӇn hàm lѭӧng giác, công thӭc Ѫle (Euler)
Và tiӃp theo:
x
x3 x5 x7
x2 x4 x6
...;cos x 1
...
3! 5! 7!
2! 4! 6!
Ta viӃt chuӛi mNJ ix và chú ý rҵng i
e
ix
2
3
4
i x ix ix
1 ix+
...
2!
1,i 2
1,i3
i,...
1 ix-
x 2 ix 3 x 4
...
2! 3! 4!
3!
4!
§
·
x
x
x3 x5
... i ¨ x
... ¸ ;eix cos x isinx
1
sinx
in
2! 4!
3! 5!
©
¹
Ĉó là công thӭc Euler.
1.3. BiӇu diӉn sinx và cosx theo hàm mNJ phӭcc
(10
(10)
Tӯ công thӭc Euler suy ra rҵng: e-ix = cosx – isinx (1
1 ix
1 ix
cos x
e e ix ;sin x
e e ix
2
2i
I.N
4
x
x2 x3 x4
..... (1) n 1 n
2
3 4
n
O
1.4.Khai triӇn Ln: ln(1 x) | x
C
VA
TL
2
ET
sin x
D(D 1)x 2
D(D 1)...(D n 1)x n
......
2!
n!
AY
H
1.5.Khai triӇn (1 x)D : (1 x)D | 1 Dx
:D
ÁP DӨNG
ӨNG KHAI
KHA TRIӆN CHO VҰT LÝ QUA BÀI TҰP
fro
m
(Ĉ͉ QG
2010):
G 2010)
01 T
Tӕc
ӕ ÿӝ ánh sáng trong chҩt lӓng ÿӭng yên là c/n vӟi c là tӕc ÿӝ
áng trong chân
ch không và n là chiӃt suҩt chҩt lӓng. Ngѭӡi ta thҩy rҵng tӕc
ánh sáng
h sáng u (ÿӕi vӟi phòng thí nghiӋm) trong mӝt dòng chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng
ÿӝ ánh
vvӟi
ӟi vұ
vvұn
ұn tӕ
ttӕc
ӕc v (ÿӕi vӟi phòng thí nghiӋm) có thӇ biӇu diӉn dѭӟi dҥng:
u
c
kv
n
trong ÿó k ÿѭӧc gӑi là hӋ sӕ kéo theo.
a. Năm 1851 Fizeau làm thí nghiӋm vӟi dòng nѭӟc (n = 4/3) và ÿo ÿѭӧc k
= 0,44. Tӯ công thӭc cӝng vұn tӕc trong thuyӃt tѭѫng ÿӕi hãy xác ÿӏnh lҥi giá trӏ
cӫa k.
6
b. NӃu sӱ dөng nguӗn ánh sáng ÿѫn sҳc có bѭӟc sóng O và sӵ phө thuӝc
cӫa chiӃt suҩt chҩt lӓng vào bѭӟc sóng cӫa ánh sáng theo quy luұt n(O) a
b
O2
(a và b là các hӋ sӕ phө thuӝc vào loҥi chҩt lӓng) thì hӋ sӕ k bҵng bao nhiêu?
Coi v c và (1 x) J | 1 Jx khi | x | 1 .
Giҧi:a. Vұn tӕc ánh sáng ÿo ÿѭӧc bӣi mӝt QSV ÿӭng yên ÿӕi vӟi nѭӟc
c
.
n
là u 'x '
Vұn tӕc ánh sáng ÿo ÿѭӧc bӣi mӝt QSV khác ÿӭng yên ÿӕi vӟi PTN là:
ET
c
v
n
v
1
nc
1
v
v
Vì v << c nên: §¨1 ·¸ | 1 . Do ÿó:
nc
nc
©
TL
c
v
v · c §
1 ·
§c
·§
n
| ¨ v ¸ ¨1 ¸ | ¨1 2 ¸ v
v ©n
¹ © nc ¹ n © n ¹
1
nc
c
kv
n
VA
ux
u 'x ' vc
v
1 2 u 'x '
c
¹
I.N
ux
u 'x ' v
v
1 2 u 'x '
c
2
C
§4·
k 1 ¨ ¸ | 0, 438
©3¹
H
O
b. Nguӗn phát ánh sáng bѭӟc sóng
ón O , thì máy thu sӁ ÿo ÿѭӧc vұn tӕc truyӅn
sóng trong chҩt lӓng ÿӭng yên là
c
n(
O)
n(O
c
.
n
'O
O
D
vn
f
(suy tӯ
tӯ công thӭc f c
)
1 vn / c
c
dn
dn Ovn(O)
2bvn
Ӈn Taylor
Taylor: n(Oc) n(O 'O) | n 'O n(O) .
Khai triӇn
n
dO
dO
c
cO 2
c
c
c 2bv
| 2
|
2bvn
c
n nO
n(O ) n
cO 2
c
c 2bv
Coi nѭӟc nhѭ HQC K', ucxc uc
, còn HQC cӫa PTN là K, Theo
n(Oc) n nO 2
vӟi
v
c/n
AY
- NQS ÿӭng trong HQC
QC
C PTN ssӁӁ tthҩy dòng chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng tѭѫng ÿӕi vӟi
hi
hiӋӋu ӭng Doppler sӁ ÿo ÿѭӧc bѭӟc sóng Oc O 'O ,
mình vӟi tӕc ÿӝ v, vàà do hiӋu
công thӭc cӝng vұn tӕc tѭѫng ÿӕi tính (bӓ qua các sӕ hҥng tӹ lӋ vӟi
ux
u
u ' v
v
1 2 u '
c
v2
):
c
c 2bv
v
v · c §
1
2b ·
§ c 2bv
·§
n nO 2
| ¨ 2 v ¸ ¨1 ¸ | ¨1 2 2 ¸ v
v § c 2bv ·
n nO
nO ¹
¹ © nc ¹ n © n
1 2 ¨ 2 ¸ ©
c © n nO ¹
7
k 1
1
2b
2
2
n
nO
C
VA
TL
I.N
ET
II. PHѬѪNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TOÁN HӐC
2.1. Ĉӏnh nghƭa
Phѭѫng trình vi phân tuyӃn tính cҩp hai có hӋ sӕ là hҵng sӕ
y” + py’ + qy = f(x)
(2.1)
y là hàm cӫa x, y’ và y” là ÿҥo hàm cҩp mӝt và cҩp hai cӫa y theo x; p và q là
hai hҵng sӕ thӵc. Phѭѫng trình trên là phѭѫng trình có vӃ phҧi.
Phѭѫng trình: y” + py’ + qy = 0
(2.2)
ѭ ng ӭ
ѭѫ
n vӟi
là phѭѫng trình không có vӃ phҧi hoһc phѭѫng trình thuҫn nhҩt ttѭѫng
ӭng
(2.1).
Phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa (2.1) và (2.2)
(2.3)
3)
r2 + pr + q = 0
Ӌm thӵc
th ph
phâ biӋt r1 và r2 nӃu
ÿó là mӝt phѭѫng trình ÿҥi sӕ bұc hai, có hai nghiӋm
phân
2
2
biӋt thӭc ' = p – rq > 0. Khi ' = p – 4q = 0 thìì r1 = r2 là mӝt nghiӋm kép. Khi
' < 0 thì không có nghiӋm thӵc,
hӵc,, nӃ
nnӃu
Ӄu xét nghiӋm ҧo thì
p
p
1
'
' .
r
D r iE vӟi D , E
2
2
2
2
2.2. NghiӋm cӫa phѭѫng trình thuҫn
thuҫ
thu
ҫn nhҩ
nh
nhҩt
ҩ (2.2) khi ' > 0
Ĉӏnh lí: NӃu y1 và y2 là hai nghi
nghiӋm
ghiӋӋm riêng
riên
riê ÿӝc lұp tuyӃn tính cӫa (2.2) thì: y =
C1y1 +C2y2
là nghiӋm tәng quát cӫaa (2.2). C1 và C2 là hai hҵng sӕ tuǤ ý.
g: N
Ӄu ' > 0 thì phѭѫng trình ÿһc trѭng (2.3) có 2 nghiӋm
Tìm nghiӋm riêng:
NӃu
thӭc riêng biӋt làà r1 và r2.
:D
AY
H
O
r
ng: y1
Có thӇ thӱ lҥi rҵng:
er1x và y 2
e r2x
m
Ӌm
m riêng ÿÿӝc lұp tuyӃn tính cӫa phѭѫng trình thuҫn nhҩt (2.2)
Là nghiӋm
fro
ұt vvұy:
ұy:
Thұt
yy' r1e r1x , y" r12e r1x
Thay vào ((2.2) ta có:
r12e r1x pr1e r1x qe r1x
0;hay :e r1x r12 pr1 q
0
Vì r1 là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng (2.3) nên lѭӧng trong dҩu ngoһc () ӣ
trên bҵng không: Phѭѫng trình (2.2) ÿѭӧc nghiӋm ÿúng.
NghiӋm tәng quát cӫa (2.2) sӁ là: y C1e r1x C2e r2x
(2.4)
Trong ÿó C1 và C2 là hai hҵng sӕ bҩt kì, r1 và r2 là thӵc.
2.3. NghiӋm cӫa phѭѫng trình thuҫn nhҩt (2.2) khi ' < 0
Tìm nghiӋm riêng. Khi ' < 0 phѭѫng trình ÿһc trѭng: r 2 pr q 0
(2.3)
8
Có hai nghiӋm phӭc: r1
p
'
2
2
p
'
2
2
D iE;r2
D iE
Có thӇ thӱ lҥi rҵng:
e DiE x
y1
eDx cos E x isinEx ; y 2
e DiE x
eDx cos E x isinEx
Là hai nghiӋm riêng ÿӝc lұp tuyӃn tính cӫa phѭѫng trình vi phân (2.2).
NghiӋm tәng quát cӫa phѭѫng trình vi phân (2.2) có dҥng: y = C1y1 + C2y2
còn có thӇ viӃt dѭӟi dҥng khác. Thұt vұy:
y1 y 2
y
eDx ª¬C1 (cos Ex isinEx) + C2 cos Ex isinEx º¼
ET
eDx ª¬ C1 C2 cos Ex i C1 C2 sin Ex º¼
Ĉһt D1 = C1 + C2 và D2 = i(C1 – C2) ta sӁ có: y eDx D1 cos
oss Ex D 2 ssin Ex
fro
m
:D
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
(2.5)
Trong ÿó D1 và D2 là hai hҵng sӕ bҩt kì, D và E là hai sӕӕ thӵc.
thӵ
thӵc.
2
2.4. Trѭӡng hӧp riêng: phѭѫng trình y” + Z y = 0
Ĉây là trѭӡng hӧp riêng cӫa mөc 2.3, phѭѫng
ng
g trình ÿһc
ÿһc trѭng r2 + Z2 = 0 có
Z).
). Theo cô
công thӭc (2.5) thì nghiӋm
hai nghiӋm ҧo r1 = iZ, r2 = -iZ(D = 0, E = Z
tәng quát có dҥng:
y = D1cosZx + D2sinZx
(2.6)
th
thӵc.
ӵc
vӟi D1 và D2 là hai hҵng sӕ bҩt kì,, Z là thӵ
2
hân
ân y” + Z y = 0 có thӇ chӑn ngay hai nghiӋm riêng
Khi giҧi phѭѫng trình vi phân
hӑӑn nhѭ
nhѭ th
thӃӃ ta có thӇ ÿi ÿӃn biӇu thӭc (2.6) cӫa nghiӋm
y1 = cosZx, y2 = sinZx; chӑn
tәng quát.
ViӋc chӑn y1 = cos
cosZx
sZx là nghiӋm
ng
riêng có thӇ thӱ lҥi mӝt cách dӉ dàng. Thұt
2
Zx, y”1 = --Z sinZx. Thay y”1 và y1 vào phѭѫng trình y” + Z2y =
vұt y’1 = -ZsinZx,
gay rҵng
rҵng phѭ
ph
0 ta thҩy ngay
phѭѫng trình này ÿѭӧc nghiӋm ÿúng.
2.5. NghiӋm
hiӋm
m cӫa
c a phѭѫng
p
trình thuҫn nhҩt (2.2) khi ' = 0
Khi ÿó thì ph
phѭѫng trình ÿһc trѭng r2 + pr + q = 0 có mӝt nghiӋm kép:
p
r1 r2
2
ӣm
mөc 2.2 ÿã thӱ lҥi rҵng hàm y1
e r1x là mӝt nghiӋm riêng cӫa phѭѫng trình
vi phân thuҫn nhҩt (2.2). Trong trѭӡng hӧp ' = p2 – 4q =0 ta có thӇ thӱ lҥi rҵng
nghiӋm riӃng thӭ hai cӫa phѭѫng trình vi phân thuҫn nhҩt (P3.2) là: y 2
Thӵc vұy: y'2
e r1x r1xe r1x ; y"2
xe r1x
r12 xe r1x 2r1e r1x
Thay vào phѭѫng trình (P3.2) y” + py’ + qy = 0 ta thҩy vӃ ÿҫu có dҥng:
r xe
2
1
r1x
2r1e r1x p er1x r1xer1x qxer1x
xer1x r12 pr1 q er1x 2r1 p
9
Vì r1 là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng nên: r12 pr1 q 0
p
nên: 2r1 + p = 0
2
Tӯ ÿó ta thҩy rҵng vӃ ÿҫu viӃt ӣ trên bҵng không, nghƭa là phѭѫng trình (2.2)
Vì nghiӋm r1
ÿѭӧc nghiӋm ÿúng. y 2
c.er1x chính là nghiӋm riêng ÿӝc lұp tuyӃn tính vӟi y1.
AY
H
O
C
VA
TL
I.N
ET
NghiӋm tәng quát cӫa (2.2) là: y = C1y1 + C2y2 = (C1 + C2x) er1x
(2.7)
Trong ÿó C1 và C2 là hai hҵng sӕ bҩt kǤ, r1 là nghiӋm kép thӵc cӫa phѭѫng trình
ÿһc trѭng.
2.6. NghiӋm cӫa phѭѫng trình vi phân tuyӃn tính có vӃ phҧi:
y” + py’ + qy = f(x)
(2.1)
Phѭѫng trình không vӃ phҧi (thuҫn nhҩt) tѭѫng ӭng là:
y” + py’ + qy = 0
(2.2)
chӭng minh rҵng:
chӭ
Trong lí thuyӃt phѭѫng trình vi phân, ngѭӡi ta ÿÿãã chӭng
hân tuyӃ
tuy
Ӄn tính
tí có vӃ phҧi (2.1) thì bҵng
NghiӋm tәng quát cӫa phѭѫng trình vi phân
tuyӃn
ng trình không
kh
tәng cӫa nghiӋm tәng quát cӫa phѭѫng
vӃ phҧi tѭѫng ӭng (2.2) và
mӝt nghiӋm riêng bҩt kì cӫa (2.1).
y = y1(x) + y2(x)
ӫaa (2.2) ÿã
ÿã ttìm ÿѭӧc trong các mөc trên. Mӝt nghiӋm
NghiӋm tәng quát y1(x) cӫa
ÿѭ
ÿѭӧc trong trѭӡng hӧp vӃ phҧi có dҥng ÿһc biӋt.
riêng y2(x) cӫa (2.1) có thӇ tìm ÿѭӧ
m
:D
ÁP DӨNG PHѬѪNG
HѬѪ
ѬѪNG
NG TRÌNH VI PHÂN CHO VҰT LÝ THӆ HIӊN BÀI
TҰP
0
M
m
M
m
fro
Bài
ài ch͕
ch͕n
ch
͕n ĈT Ôlympic Qu͙c T͇
a
a
a
n
n+1
n-1
2010:Bi
BiӃt
BiӃ
Ӄt rҵng do chuyӇn ÿӝng nhiӋt,
na
Hình 2
nguyên tӱ (hoһc ion) trong vұt
các ng
ngu
rҳn kӃt tinh sӁ dao ÿӝng xung quanh các vӏ trí cân bҵng tҥi các nút mҥng. Khi
mӝt nguyên tӱ dao ÿӝng, nó sӁ kéo các nguyên tӱ khác cNJng dao ÿӝng theo. KӃt
quҧ là trong mҥng tinh thӇ sӁ có mӝt sóng lan truyӅn, sóng này thѭӡng ÿѭӧc gӑi
là sóng ÿàn hӗi.
Trong bài toán này, ta xét mҥng tinh thӇ mӝt chiӅu gӗm hai loҥi nguyên tӱ có khӕi
lѭӧng tѭѫng ӭng là m và M = 3m, ÿһt xen kӁ cách ÿӅu nhau mӝt khoҧng cách bҵng
a (Hình 2).
10
Lҩy mӝt nguyên tӱ làm gӕc tӑa ÿӝ. Xét các nguyên tӱ thӭ n - 1, n, n + 1,... có
khӕi lѭӧng và vӏ trí nhѭ hình vӁ. Giҧ sӱ nguyên tӱ thӭ n lӋch khӓi nút mҥng mӝt
ÿoҥn xn ( x n a ) dӑc theo ÿѭӡng thҷng mҥng thì các nguyên tӱ lân cұn sӁ dӏch
I.N
ET
chuyӇn theo. Khi ÿó, do tѭѫng tác vӟi nhau giӳa các nguyên tӱ trong chuӛi xuҩt
hiӋn lӵc kéo nguyên tӱ này trӣ vӅ vӏ trí cân bҵng. Coi các lӵc này là lӵc ÿàn hӗi
có ÿӝ lӟn tӍ lӋ vӟi ÿӝ biӃn thiên khoҧng cách giӳa các nguyên tӱ vӟi hӋ sӕ tӍ lӋ D
(D phө thuӝc vào tính chҩt cӫa mҥng tinh thӇ).
Do lӵc tѭѫng tác giӳa hai nguyên tӱ giҧm rҩt nhanh theo khoҧng cách nên ta chӍ
xét tѭѫng tác giӳa hai nguyên tӱ liӅn kӅ, bӓ qua các tѭѫng tác khác.
1. ThiӃt lұp hӋ phѭѫng trình vi phân mô tҧ chuyӇn ÿӝng cӫa các nguyên
guyên tӱ
tӱ ttrong
mҥng tinh thӇ.
2. NghiӋm cӫa hӋ phѭѫng trình có thӇ tìm dѭӟi dҥng
xn =
ng sóng chҥy
ch
Ansin(naq)cos(Zt + M), trong ÿó Z là tҫn sӕ dao ÿӝng m
mҥng,
ҥng,
g, An là biên ÿӝ dao
ÿӝng cӫa nguyên tӱ thӭ n (các nguyên tӱ cùng loҥi có biên ÿӝ dao ÿӝng giӕng
2S
là sӕ sóng, O là bѭӟc sóng, M là hhҵng
ҵng ssӕ.
ӕ. T
Tìm sӵ phө thuӝc cӫa
O
TL
nhau), q
d˱ͣi d̩ng phͱc xn
VA
Z vào q (hӋ thӭc tán sҳc). Chú ý: nghi͏m cͯa
cͯa h͏
h͏ ph˱˯ng
ph
trình còn có th͋ tìm
An ei ( nqa Zt ) .
H
O
C
Giҧi:1.Vì tѭѫng tác giӳa hai nguyên
guyên
yên ttӱ
ӱ liӅn
liӅ kӅ là ÿáng kӇ nên ta bӓ qua các
tѭѫng tác khác. Sӱ dөng ÿӏnh luұt
Newton, viӃt ÿѭӧc các phѭѫng trình vi phân
ұtt II Newto
mô tҧ chuyӇn ÿӝng cӫa các nguyên tӱ
tӱ ӣ ô mҥng thӭ n (M > m). Coi chiӅu dѭѫng
cӫa trөc tӑa ÿӝ hѭӟng tӯ nguyên
guyên tӱ
tӱ n ÿӃn (n+1)
AY
°Mx"n D x n x n 1 D x n 1 x n D x n 1 x n 1 2x n
® "
°̄mx n 1 D x n 1 x n D x n 2 x n 1 D x n 2 x n 2x n 1
(1)
(2)
D
2.
Cách 1:
NghiӋm
m ccӫa
ӫa hӋ
hӋ có dҥng:
xn = Ansin(aqn
sin(aqn)cos(Zt+M) x 'n = - ZAnsin(aqn)sin(Zt+M);
x "n
Z2 Ansin(aqn)cos(Zt+M)
x"n Z2 x n , x"n r1 Z2 x n r1 , x"n r 2 Z2 x n r 2 ,...
Ĉһt An-2= An= An+2=...= A, An-1= An+1=...= B
Thay vào (1) và (2)
AMZ2 sin(aqn) D{Bsin[aq(n 1)] Bsin[aq(n 1)] A sin(aqn)}
A(2D MZ2 ) sin(aqn) DB{sin[aq(n 1)] sin[aq(n 1)]}=DB2sin(aqn)cos(aq)
A(2D MZ2 ) 2DBcos(aq)
(3)
11
Tѭѫng
tӵ:
Bm(2D MZ2 ) sin[aq(n 1)] DA{sin[aq(n 2)] sin(aqn)}=DA2sin[aq(n 1)]cos(aq)
B(2D mZ2 ) 2DAcos(aq)
(4)
Nhân 2 vӃ (3) và (4), ta có AB(MZ2 2D)(mZ2 2D) 4D 2 ABcos 2 (aq)=2D 2 (1 cos 2aq)
4D 2 MmZ4 2D(M m)Z2 2D 2 [1 cos(2aq)]
Z4 2D
M m 2 4D 2
Z
sin 2 (aq) 0
Mm
Mm
(5)
x "n
Z2 x n ; x "n r1
Z2 x n r1 ; x "n r 2
Z2 x n r 2 ,...
I.N
thay vào (1) và (2)
TL
MZ2 Aei(aqn Zt ) D(Beiaq Be iaq 2A)ei(aqn Zt )
(2D MZ2 )A D(Beiaq Be iaq ) 2DBcos(aq)
Tѭѫng tӵ:
ET
Cách 2:
Ĉһt x n Aei(aqn Zt ) , x n r1 Bei{aq(n r1)Zt} , x n r 2 Aei{aq(n r 2)Zt} ta có
(2D mZ2 )B 2DA cos(aq)
M m 2 4D 2
Z
sin 2 aq
Mm
Mm
0
:D
AY
H
O
Z4 2D
M m 2 4D 2
Z
q)]
)] 0
[1-cos 2 (aq)]
Mm
Mm
C
Suy ra: Z4 2D
VA
Nhân hai vӃ: 4D 2 MmZ4 2D(M m)Z2 4D 2cos 2 (aq)
(5)
Phѭѫng trình này có 2 nghiӋm:
Ӌm:
m
2
4
§ 1 1·
§ 1 1·
sin 2 aq
D¨ ¸ D ¨ ¸
© M m ¹ Mm
©M m¹
2
4
§ 1 1·
§ 1 1·
sin 2 aq
D¨ ¸D ¨ ¸
©M m¹
© M m ¹ Mm
4D §
3 2 ·
¨¨ 1 1 sin aq ¸¸ (6)
3m ©
4
¹A
T
4D §
3 2 ·
¨¨ 1 1 sin aq ¸¸
3m ©
4 O
¹
(7)
y
M
m
°Z
°
°
®
°
°Z
°¯
z
fro
III.TÍCH
.TÍCH VÉC
V
TѪ TRONG TOÁN HӐC
x
JG
3.1. Mӝ
Mӝt
M
ӝt vvé
véc tѫ A có thӇ ÿѭӧc xác ÿӏnh bҵng mӝt
Hình
trong
rong ha
hhai cách sau ÿây:
ҵ ÿӝ dài A và hѭӟng (xác ÿӏnh bӣi góc T hӧp vӟi trөc Oz và góc M mà mһt
- Bҵng
JG
phҷng chӭa A và Oz hӧp vӟi trөc Ox) T còn gӑi là góc phѭѫng vӏ và M gӑi là
góc kinh ÿӝ, xem hình P.3.
- Bҵng 3 toҥ ÿӝ Ax, Ay, Az tӭc là ba hình chiӃu lҫn lѭӧt lên các trөc Ox, Oy, Oz.
GG G
3.2. NӃu gӑi i, j,k lҫn lѭӧt là vec tѫ ÿѫn vӏ trên các trөc Ox, Oy, Oz thì ta có:
JG
G
G
G
A Ax i A y j Az k
JG
JG JG JG
3.3. Tích vô hѭӟng cӫa hai véc tѫ A và B : A.B ABcos D
12
JG
JG
D là góc giӳa hai vec tѫ A và B .
NӃu viӃt biӇu thӭc cӫa tích vô hѭӟng theo hình chiӃu thì:
JG JG
A.B A x Bx A y By A z Bz
JG JG
JG JG JG JG
A.B A B cosD ; D =( A , B )
Bx
Bz
By
d JGJG
+Ĉҥo hàm: (AB)
dt
G
G
G
A y Bz A z B y i A z B x A x Bz j A x B y A y B x k
TL
G
k
Az
C
VA
JG JG
AB
G
G
i
j
Ax Ay
I.N
ET
JG
JG
3.4. Tích véc tѫ (hoһc tích hӳu hѭӟng) cӫa hai véc tѫ A và B :
JG JG
G
A B ABsin D.n
G
JG
JG
n là véctѫ ÿѫn vӏ trên trөc vuông góc vӟi mһt phҷng chӭa A và B trөc hѭӟng
th chiӅu
theo chiӅu chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn cӫa mӝt ÿinh vít thuұn khi nó quayy theo
JG
JG
tӯ A tӟi B .
NӃu viӃt biӇu thӭc cӫa tích vô hѭӟng theo hình chiӃu thì:
JG
JG
JG
JG
dA JG dB JG d JG JG JG dB dA JG
A B)
B A
B
A ; (A
B
dt
dt
dt
dt
dt
JG
JG
:D
AY
H
O
Toán tӱ nabna ÿѭӧc ÿӏnh nghƭa
ghƭ
gh
h a nhѭ
nh
n ѭ sau:
s
sa
w G w JG w G
i J k
wx wy
wz
ên m
ӝt hàm vô hѭӟng f(x, y, z) gӑi là gradf
Toán tӱ nabla tác dөng lên
mӝt
JG
wwff G wf G wf G
i
gradf (x, y,z) .ff
j k (véc tѫ)
wx wy
wz
JG
ác ddөng
өng
ng llê
Toán tӱ nabla tác
lên mӝt hàm véctѫ A( x, y, z ) theo cách nhân vô hѭӟng gӑi
JG
là dive A
m
JG
JGJG
div A( x, y, z ) A
z
wAx wAy wAz
(vô hѭӟng)
wx
wy
wz
fro
tӱ nabla
na
Toán tӱ
tác dөng lên mӝt hàm vec tѫ
JG
heo
eo cá
theo
cách nhân hӳu hѭӟng gӑi là rota A
G
G
G
i
j
z
JG
JG JG w
w
w
rotA x, y,z A
wx wy wz
Ax
A y Az
A
T
y
O
M
x
3.5. Toán tӱ Laplace ' biӇu diӉn dive
cӫa grad cӫa mӝt hàm vô hѭӟng f
2
13
'f
2f
w 2f w 2f w 2f
wx 2 wy 2 wz 2
. f divgradf
3.6. Hai hӋ thӭc:
JG
divrot A (x,y,z) = 0
rotgrad f(x, y, z) = 0
ÁP DӨNG TÍCH VÉC TѪ CHO VҰT LÝ THӆ HIӊN QUA BÀI TҰP
Bài ch͕n ĈT Ôlmpic Qu͙c T͇ năm 2009:Trong vùng không gian xung quanh
JJJJG
G
G
ET
ÿiӇm O tӗn tҥi mӝt tӯ trѭӡng. Cҧm ӭng tӯ tҥi ÿiӇm M bҩt kì ( OM r ) là B
G
k r
r2 r
vӟi k là mӝt hҵng sӕ. Ӣ thӡi ÿiӇm t = 0, tҥi ÿiӇm M 0 (OM 0 r0 ) có m
mӝt
ӝt hҥt
h ÿiӋn
ÿiӋ tích
G
I.N
q, khӕi lѭӧng m chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc v0 vuông góc vӟii OM 0 . B
Bӓӓ qua trӑng
2r0 .
H
O
b) Tính T ӣ thӡi ÿiӇm mà r
C
VA
TL
lӵc và lӵc cҧn.
1. Chӭng minh rҵng ÿӝ lӟn vұn tӕc v cӫa hҥt không
hôn ÿә
hông
ÿәii trê
trên cҧ quӻ ÿҥo cӫa
hҥt.
GG
ӫa tích vô hѭӟng
h
2. Bҵng cách lҩy ÿҥo hàm theo thӡi gian cӫ
cӫa
r.v rӗi tính tích vô
hѭӟng ÿó ÿӇ:
an
n cӫ
ccӫa
ӫa bình phѭѫng
p
a) Tìm sӵ phө thuӝc vào thӡi gian
khoҧng cách tӯ hҥt ÿӃn
G G
ұp bӣi
bӣi v và r ӣ thӡi ÿiӇm t.
ÿiӇm O và cӫa cotT, vӟi T là góc lұp
G
G
AY
3. Bҵng cách lҩy ÿҥo hàm theo tth
thӡi gian cӫa tích hӳu hѭӟng r v , rӗi tính
uy ra quӻ
quӻ ÿҥo
ÿ cӫa hҥt nҵm trên mӝt mһt nón ÿӍnh O. Hãy
tích hӳu hѭӟng ÿó ÿӇ suy
tính nӱa góc ӣ ÿӍnh cӫa
cӫӫa hình nón
nnó ÿó theo k, m, q, r0 và v0 .
Giҧi: 1.Phѭѫng
ѫng
ng trình chuyӇn
ch
ÿӝng
:D
G
G
dv
F m
dt
G G
qv B
(1)
fro
ddv 2
dt
m
G
G
GG
dv G
G
ĈiӅu nàyy có ngh
nghƭa là F luôn vuông góc vӟi v , tӭc F.v 0 hay m .v 0 hay
dt
0 o v2
const
v02 tӭc là v
v0 .
GG
a, Lҩy ÿҥo hàm cӫa tích r .v ta ÿѭӧc
d GG
(r.v)
dt
G
G dv
v2 r
dt
G
Theo (1) và theo biӇu thӭc cӫa cҧm ӭng tӯ B , ta có
G
G dv
r
dt
qG G G
kq G G G
r(v B)
r(v r)
m
mr 3
G
G G
G G G
Vì r A (v r ) nên suy ra r .(v B) 0 .
14
d GG
(r.v)
dt
Theo câu 1, v v0 , nên cuӕi cùng ta có
v02 . Lҩy tích phân này ta ÿѭӧc:
GG
GG
r.v v02 t C1 vӟi C1 là mӝt hҵng sӕ. Dùng ÿiӅu kiӋn ban ÿҫu, tҥi t = 0, r.v
G G
r0 A v0 ) suy ra C1 = 0. KӃt quҧ ta ÿѭӧc:
GG
r.v v02 t
(2)
0 (vì
* ĈӇ xác ÿӏnh r(t), ta viӃt phѭѫng trình (2) dѭӟi dҥng:
G
G dr
2r
dt
2v02 t
dr 2
dt
hay
2v02 t
Lҩy tích phân ta ÿѭӧc: r 2 v02 t 2 C2 .
v 02 t 2 r02
(3)
Vұy r 2 là hàm bұc nhҩt cӫa bình phѭѫng thӡi gian.
Theo (3), cuӕi cùng ta ÿѭӧc
r02
v02 t 2
co T
cot
C
v02 t 2 r02
1
v02 t 2
O
tan 2 T
TL
r2
1
v 02 t 2
1
1
cos 2 T
VA
tan 2 T
vo t
. Suy
Su ra
S
r
I.N
* HӋ thӭc (2) có thӇ viӃt lҥi dѭӟi dҥng rv0 cos T v02 t hay cos
os T
ET
r2
Vì tҥi t = 0, r r0 , suy ra
v0
t (4)
ro
2r0 tҥi th
thӡ
thӡi
ӡi ÿÿiӇm
iӇm t sao cho, theo (3), v0 t
D
b) r
AY
H
ính cӫ
ccӫa
ӫa thӡi
th gian, tăng tӯ 0 ÿӃn f trong suӕt quá
Nhѭ vұy, cot T là hàm tuyӃn tính
óc T gi
trình chuyӇn ÿӝng, tӭc là góc
giҧm
ҧm tӯ S / 2 tӟi 0; do ÿó, vұn tӕc ban ÿҫu vuông
G
rӗi dҫ
ddҫn
ҫn ddҫn
ҫ ÿӏnh hѭӟng theo hѭӟng cӫa r .
góc vӟi vectѫ bán kínhh rӗi
r0 . Thay vào (4), ta ÿѭӧc
cot T 1 , suy
uy ra T 450 .
G
dr G
3. Tính
ÿӃn
h ÿӃ
Ӄn (1) và chú ý rҵng v
dt
f
d G G
(r
( v)
v
dtt
G
G
dr G G dv
v r
dt
dt
G
G dv
r
dt
G G
v v 0 , ta có:
G q G G
r (v B)
m
kq G G G
r (v r)
mr 3
C
r0 v0
G
G
G
G
G GG
Theo hӋ thӭc gӧi ý trong ÿӅ bài r (v r) v.r 2 r.(v.r) , ta
có:
d G G
(r v)
dt
G
G G
kq § v r § G r · ·
¨ v. ¸
m ¨© r r 2 © r ¹ ¸¹
G G
kq ª 1 dr r dr º
m «¬ r dt r 2 dt »¼
D
kq
m
Hình 5
15
G
G r
vì v.
r
dr
- ÿây chính là thành phҫn cӫa vұn tӕc theo phѭѫng bán kính vectѫ.
dt
G G
G
1 dr r dr º d § r ·
Lѭu ý rҵng «ª
2 »
¨ ¸ , suy ra
¬ r dt r dt ¼ dt © r ¹
G G
G
d G G kq ª 1 dr r dr º kq d § r ·
(r v)
¨ ¸
dt
m «¬ r dt r 2 dt »¼ m dt © r ¹
Lҩy tích phân hai vӃ, ta ÿѭӧc:
G
kq r G
C
m r
G G
rv
G
(5)
ET
Trong ÿó C là mӝt vectѫ không ÿәi, có ÿӝ lӟn tính ÿѭӧc tӯ
hình bên (dùng (5) và ÿiӅu kiӋn ban ÿҫu tҥi t = 0, r r0 và v v0 ).
Theo ÿӏnh lý Pitago:
2
(6)
(6
TL
Theo tính chҩt cӫa tích hӳu hѭӟng và (5)
I.N
§ kq ·
(r0 v0 ) 2 ¨ ¸
©m¹
C
GG
kq
§ kq
·
r C.r r ¨ C coss M ¸
m
©m
¹
G
K
Vӟi M là góc tҥo bӣi vectѫ C và vectѫ r. Tӯ
Tӯ phѭѫng
phѭѫ
phѭѫng trình trên suy ra:
kq
q
mC
C
co
const
C
cos M
VA
G G G
r(r v) 0
(7)
O
ҥt ch
chuyӇn ÿӝng
ÿ
Nhѭ vұy trong suӕt quá trình hҥt
chuyӇn
góc M luôn không ÿәi, ÿiӅu này có
AY
H
nghƭa là quӻ ÿҥo cӫa hҥt nҵm
ҵm trên mӝt
m mһt nón ÿӍnh O, có trөc song song vӟi
mӝ
G
Ӎnh
n D S M.
vectѫ C và nӱa góc ӣ ÿӍnh
:D
Theo (6) và (7), ta có
m
n gi
iҧn hѫ
hhѫn:
ѫn tan D
Hay ÿѫn
giҧn
cos D
cos M
kq
mC
1
§ mr v ·
1 ¨ 0 0 ¸
© kq ¹
2
mr0 v0
kq
fro
IV.. H
Hӊ
ӊ TOҤ
TO ĈӜ CӴC TRONG TOÁN HӐC
4.1.HӋӋ tӑa ÿӝ cӵc:
4.1.H
rong
ong toán hӑc, hӋ tӑa ÿӝ cӵc là mӝt hӋ
Trong
tӑa ÿӝ hai chiӅu trong ÿó mӛi ÿiӇm M bҩt
kǤ trên mӝt mһt phҷng ÿѭӧc biӇu diӉn
bҵng 2 thành phҫn:
+Khoҧng cách tӯ ÿiӇm ÿó tӟi mӝt ÿiӇm
gӕc O (g͙c Cc) gӑi là bán kính.
+Góc tҥo bӣi ÿѭӡng thҷng OM vӟi
hѭӟng gӕc cho trѭӟc (trͭc Cc).
16
+ HӋ tӑa ÿӝ cӵc hӳu ích trong nhӳng trѭӡng hӧp trong ÿó quan hӋ giӳa hai
ÿiӇm dӉ ÿѭӧc viӃt dѭӟi dҥng góc và khoҧng cách. Trong các hӋ tӑa ÿӝ thông
thѭӡng nhѭ hӋ tӑa ÿӝ Descartes, quan hӋ này chӍ có thӇ ÿѭӧc biӇu diӉn dѭӟi
dҥng công thӭc lѭӧng giác.
+Các ÿiӇm trong hӋ tӑa ÿӝ cӵc vӟi gӕc Cӵc O và trөc Cӵc L. Vӟi minh hӑa
màu xanh lá cây ÿiӇm (màu ÿӓ) có bán kính 3 và góc 60 ÿӝ, hoһc (3,60°). Vӟi
minh hӑa màu xanh da trӡi ÿiӇm có tӑa ÿӝ (4,210°).
+Tích hӳu hѭӟng cӫa hai véc tѫ trong hӋ toҥ ÿӝ cӵc:
G G G
c a b c r a T b z a z bT ;cT a z b r a r b z ;c z a r bT a T b r
TL
I.N
ET
4. 2.Trong hӋ toҥ ÿӝ cӵc các ÿҥi lѭӧng Vұt Lý ÿѭӧc biӇu diӉn nhѭ
hѭ sau:
sau
G
G,
G
G
G
G
,
'
,
z
e r T' eT ; e z 0 ; eT T er ; r rer ;
JG
G
G
v r ' .e r r.T' .eT ;
.p
G
G
G
G
G '' JG
G
a r .e r r ' .T' .eT r ' .T' .eT r.T'' .eT r.T'2 .e r
r
G
2 G
(r '' r.T' )e r (2r 'T' r.T'' )eT
T
y
ar
r.T'
r r(T ) : aT 2.r .T r.T
''
' 2
'
'
''
1 d 2 '
. (rr .T )
r dt
x
C
vr r ; vT
VA
O
'
O
+Các biӇu thӭc ÿӏnh luұt II NiuTѫn:
uTѫ
uT
ѫn:
n
m(2r ' .T' r.T'' )
:D
AY
H
ÿѭӧc Fr m ª¬ r '' r(T' ) 2 º¼ ;FT
F=m.ar ; FT maT ; tӯ ÿó taa ÿѭӧc:
G
G
F F.er m ª¬ r '' r((T' ) 2 º¼ F;2r
F;2
; 'T' r.T'' 0
ÁP DӨNG Hӊ
Hӊ TOҤ
TOҤ Ĉ
ĈӜ CӴC CHO VҰT LÝ THӆ HIӊN QUA BÀI TҰP
fro
m
Bài ch͕
ch͕n
͕n ĈT
ĈT Ô
Ôlympíc Qu͙c T͇ 2009:
Trong
rong mһ
m
mһt
һt phҷng Oxy ngѭӡi ta ÿһt cӕ ÿӏnh
tҥi
tҥi gӕc
gӕc toҥ
gӕ
t ÿӝ O mӝt lѭӥng cӵc ÿiӋn có
G
G
om lѭӥng cӵc p . Véc tѫ p nҵm trên trөc
ome
momen
Ox và hѭӟng theo chiӅu dѭѫng cӫa Ox (Hình
1). Mӝt hҥt nhӓ khӕi lѭӧng m, ÿiӋn tích q
chuyӇn ÿӝng ӣ vùng xa gӕc O trong mһt
phҷng dѭӟi tác dөng cӫa ÿiӋn trѭӡng gây bӣi
lѭӥng cӵc. Bӓ qua tác dөng cӫa trӑng lӵc và
lӵc cҧn. Xét chuyӇn ÿӝng cӫa hҥt trong hӋ
toҥ ÿӝ cӵc. Vӏ trí M cӫa hҥt ӣ thӡi ÿiӇm t
y
. M
G
r
O
G
p
T
x
Hình 1
17
JJJJG
G
ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi véctѫ r OM và góc T
JJJJG
OM, pG .
1. Chӭng minh rҵng chuyӇn ÿӝng cӫa hҥt tuân theo các phѭѫng trình vi
phân sau:
qp sin T
2
°° r T ' ' 4SH mr 2
0
®
2W
°r '2 rr "
0
°̄
m
1
2
ET
Trong ÿó W0 là năng lѭӧng ban ÿҫu cӫa hҥt.
2. BiӃt tҥi thӡi ÿiӇm t = 0 hҥt ӣ vӏ trí M0 có
r 0 r0 ; T 0 T0 ; r ' 0 r0' ; Tc(0) T'0 . Hãy xác ÿӏnh khoҧng cách r(t) ttӯ
ӯ hҥt
hҥt tӟi
tӟ gӕc
³
0
dT
| 2, 62 .
cosT
TL
S/ 2
Cho
I.N
O theo t.
3. Tìm các ÿiӅu kiӋn ÿӇ hҥt chuyӇn ÿӝng theo quӻ ÿҥo là cung tròn ttâm O bán
kính r0. Tính chu kì và tӕc ÿӝ góc cӵc ÿҥi cӫa hҥt. Mô tҧ
tҧ chuyӇn
chuy
huyӇӇn ÿӝng cӫa hҥt
trong hai trѭӡng hӧp: q > 0 và q < 0.
C
O
H
q0 1 1
( )
4SHH0 r1 r2
AY
ĈiӋn thӃ M
M
ds
VA
Giҧi: 1.Xác ÿӏnh ÿiӋn trѭӡng gây bӣi
bӣ
ӣi lѭӥng
lѭӥng
lѭӥ
cӵc ÿiӋn ӣ ÿiӇm xa O. Gӑi q0 là ÿiӋn tích
ích lѭӥ
llѭӥng
ѭӥng
ng cӵc
c
và l là khoҧng cách giӳa 2 ÿiӋn tích
ch ccӫa
ӫa llѭӥng
ѭ n cӵc
ѭӥ
thì p = q0l.
G
eT
G
er
dT
r2
r1
T
q 0 r2 r1
(
)
4SH0 r2 r1
G
p
Hình 1
Coi (r2 -r1) | lcosT ; r1 | r2 | r ; q0l = p
q 0 r2 r1
q l ccos
os T
(
)| 0
4SH0 r2 r1
4SH0 r 2
fro
m
:D
M
Er
dM
dr
ER
p cos T
4SH0 r 2
pcos
pco T
2SH
S 0r3
dK
1 dK p sin R
ds
r dR 4QF0 r 3
JG
pcosT JG p sin T JJG
er
eT
2SH0 r 3
4SH0 r 3
Trong hӋ tӑa ÿӝ cӵc E
Phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng cӫa ÿiӋn tích trong ÿiӋn trѭӡng trên có dҥng:
G
ma
JG
qE
G
G
qpcosT JG qp sin T JJG
er
eT
2SH0 r 3
4SH0 r 3
(*)
vӟi er , eT là các véc tѫ ÿѫn vӏ.
G
Trong tӑa ÿӝ cӵc, chú ý rҵng: v
JG
JJG
r 'e r rT 'eT ,
G
der
dt
G
G de
T 'eT ; T
dt
G
T 'er ,
18
ta có:
G
G
G
JG
JJG
JG
JJG
JJG
JG
de
dv
de
r ''e r r ' r rT ' 'eT rT ' T r ''e r r ' T 'eT rT ' 'eT r(T ') 2 e r
dt
dt
dt
G dvG
JG
JJ
G
1
hay a
r '' rT '2 e r r 2 T ' 'eT (**)
dt
r
G
a
Tӯ (*) v à (**) suy ra
qpcosT
2SH 0 mr 3
r " rT '2
r T ' '
2
qpsin T
4SH0mr 2
1
2
3
2W0
m
Tӯ (1) và (3) ta có: r '2 rr "
2. Ĉһt u t
r2 t o u '
I.N
2W0
m
2rr ' o u "
2rr
rrr " 2r '2
O
Thay vào phѭѫng trình (4) có:
4
TL
qpcosT
2SH 0 mr 2
VA
r '2 r 2 T ' 2
W0
C
1
mv 2 qM r const W0
2
1
qpcosT
m r '2 r 2 T '2
2
4SH 0 r 2
ET
Tӯ ÿӏnh luұt bҧo toàn năng lѭӧng:
2W0
4W0
u'
t C1 u
m
m
2W0 2
Hay r 2 t
t C1t C2
m
AY
H
1
u"
2
2W
W0 2
t C1t C2
m
Tӯ các ÿiӅu kiӋn ban ÿҫ
ÿҫuu tìm ÿѭӧc: C1
2W
W0 2
t 22r0 r0' t r02
m
r02
5
m
:D
Vұy: r 2 t
2r0 r0' ; C2
fro
KӂT
T LU
LUҰ
LUҰN
ҰN
Chѭѫng
Chѭѫ
Ch
ѭ
trình giҧng dҥy và bӗi dѭӥng HSG cӫa chúng tôi trong nhӳng
nnăm
ăm qu
qua ÿã ÿáp ӭng ÿѭӧc yêu cҫu nên kӃt quҧ thi HSG môn Vұt Lý cӫa trѭӡng
P chuyên Phan Bӝi Châu không nhӳng dӳ vӳng ÿѭӧc mà không ngӯng lӟn
THPT
mҥnh. ĈӅ tài chúng tôi ÿѭa ra là mӝt phҫn trong nӝi dung cҫn trang bӏ cho HS
chuyên Lý ÿӇ các em vѭӧt qua các bài Vұt Lý ngày càng khó hѫn trong các kǤ
thi HSG ÿӗng thӡi giúp các em vӯa hӑc tӕt Vұt Lý vӯa ôn tұp mӝt sӕ nӝi dung
Toán và thҩy ÿѭӧc sӵ liên hӋ mұt thiӃt hai bӝ môn này.
Do thӡi gian hҥn chӃ nên ÿӅ tài không tránh khӓi nhӳng khiӃm khuyӃt, chúng
tôi mong nhұn ÿѭӧc các góp ý cӫa ÿӗng nghiӋp ÿӇ hoàn thiӋn ÿӅ tài này tӕt hѫn.
PHͬ LͬC
19
1. BÀI KHAI TRIӆN
Bài 2:(Câu 5 – Ch͕n ĈTQT năm 2011 ngày 2)Xác ÿӏnh hӋ sӕ ma sát trѭӧt và
hӋ sӕ cҧn.
Xét chuyӇn ÿӝng cӫa tҩm nhӵa trên mӝt mһt bàn nҵm nhang, ngѭӡi ta thҩy
trong quá trình chuyӇn ÿӝng tҩm nhӵa chӏu tác dөng cӫa lӵc ma sát trѭӧt(hӋ sӕ
ma sát trѭӧt D ) và chӏu lӵc cҧn cӫa môi trѭӡng tӹ lӋ thuұn vӟi vұn
G
G
tӕc( f c E v , E là hӋ sӕ cҧn). Coi va chҥm trong quá trình làm thí nghiӋm (nӃu
VA
TL
I.N
ET
có) là va chҥm hoàn toàn ÿàn hӗi.
Cho các dөng cө sau:
-Vұt nhӓ có khӕi lѭӧng m ÿã biӃt.
-Thѭӟc ÿo có vҥch chia ÿӃn milimét.
-Các sӧi dây mӅm, mҧnh, nhҽ.
-Tҩm nhӵa phҷng hình chӳ nhұt.
-Bàn thí nghiӋm, giá ÿӥ, giá treo cҫn thiӃt.
Yêu cҫu:
thӭc cҫn thiӃt ÿӇ xác ÿӏnh hӋ sӕ
thӭ
Trình bày cѫ sӣ lý thuyӃt và xây dӵng các công thӭc
ma sát trѭӧt D giӳa tҩm nhӵa vӟi mһt bàn và hӋ
hӋ sӕ cҧn E cӫa môi trѭӡng khi
D
AY
H
O
C
tҩm nhӵa chuyӇn ÿӝng.
Giҧi:
Cҫn tҥo ÿѭӧc vұn tӕc cӫa tҩm
ÿѭӧc khӕi lѭӧng M cӫa tҩm nhӵa.
ҩm
m và xác ÿӏnh
ÿ
ng
g chuyӇn
chuyӇ
chuyӇn ÿӝng
ÿ
Tҥo vұn tӕc cho vұt m bҵng
trong trѭӡng trӑng lӵc rӗi cho va chҥm
vào M.
Ĉӝ cao ban ÿҫu cӫa
ӫa m so vӟ
vvӟi vӏ trí va chҥm là h thì vұn tӕc cӫa nó ngay trѭӟc
lúc va chҥm là: v1 2 gh
(1)
Va chҥm ÿàn
giӳa
àn hhӗi
ӗ gi
giӳ
ӳa m và M sӁ cho ta vұn tӕc M ngay sau va chҥm:
v2
2m
v1
M m
Phѭѫng
hѭѫ
ѫng trìn
trình chuyӇn ÿӝng cӫa vұt M vӟi vұn tӕc ÿҫu v2 và chӏu lӵc cҧn ma sát
trѭӧt
trѭӧ
tr
rѭӧt và llӵc cҧn môi trѭӡng.
Ma
a
D Mg E v Mdv / dt
D Mg E v
Ĉәi biӃn u = D Mg+ E v, giҧi phѭѫng trình vi phân ta có:
§ DMg
·
E
t
DMg
= D Mg+ E v2, ta ÿѭӧc v = ¨
v2 ¸ e M
E
E
©
¹
u
du
³u dt
0
t
1
³ Edt
vӟi u0= u
t0
(3)
Thӡi gian tҩm ván chuyӇn ÿӝng ÿӃn lúc v = 0 là: t1
Ev 2
M
ln(1
)
E
DMg
(4)
20
- Xem thêm -
.PDF 
120 
246 
142 
