Tài liệu Kính lúp table tập 17

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” TÀI LIỆU ÔN THI Th iD ai H o TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 eu On KỸ THUẬT ai Li “Cân bằng đánh giá” /T Trong giải toán Bất đẳng thức, co m/ gr ou ps Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất. k. Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG bo o Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia tại Hà Nội 0902.920.389 w. fa ce Điện thoại: 1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” ĐÔI LỜI ĐẦU VỀ KỸ THUẬT ai H Trong các dạng toán bất đẳng thức hiện nay, tôi xin phép được chia làm hai dạng chính: Dạng 1: Các bất đẳng thức ở dạng đối xứng, giả đối xứng,… sử iD  Th dụng các biến đổi bất đẳng thức, các đánh giá phụ, bất đẳng thức phụ,… Các dạng bài toán bất đẳng thức này rất khó, bạn On đọc có thể tham khảo các tác phẩm đã được viết bởi Phạm eu Kim Hùng, Võ Quốc Bá Cẩn,… Dạng 2: Các bất đẳng thức ở dạng bất đối xứng, yêu cầu các Li  ai đánh giá cơ bản không quá khó và xây dựng chủ yếu chỉ cần /T nền tảng là biến đổi tương đương. Các dạng bài toán này xuất ps hiện rất nhiều ở các đề thi Trung học phổ thông quốc gia, đề ou thi thử của các trường trung học phổ thông,… gr Kỹ thuật cân bằng đánh giá được chia làm hai phần chính: Phần 1: Đánh giá điểm rơi của bài toán bất đẳng thức.  Phần 2: Thay vào biểu thức cần đánh giá để nhận giá trị, từ co m/  k. đó tìm ra quy luật.  Phần 3: Cân bằng đánh giá! fa ce bo o Để hiểu rõ hơn, xin mời bạn đọc xem từng ví dụ từ trang sau. w. o “CÂN BẰNG ĐÁNH GIÁ” Kỹ thuật này có lẽ không có gì mới và nổi bật, nhưng tôi muốn viết một cách chi tiết và cẩn thận để chia sẻ cho mọi người. Mọi ý kiến đóng góp dù tốt hay xấu, xin vui lòng liên hệ mang tính cá nhân với tác giả. Xin chân thành cảm ơn. 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” Ví dụ 1: Cho các số thực x, y, z  1;2  thỏa mãn điều kiện  4x 4  y 4  z 4  4 x 2  2yz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   x2  3 y  z y2   x 2  y2  z 2  4 1 x 2  2yz . o x2  z2 ai H P iD Đề luyện tập số 15 lớp toán offline thầy Đoàn Trí Dũng Phần 1: Đánh giá điểm rơi: x  1, y  z  2 .  Th  On Phần 2: Với điểm rơi đó ta có: x 2  3 y  z  13  x 2  y 2  z 2  4 Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:   eu x 2  3 y  z  x 2  y2  z 2  4   Li Bài giải      ai Ta chứng minh: x 2  3 y  z  x 2  y 2  z 2  4  x 2  y2  z 2  4 1 ps x 2  y2  z 2  ou Vậy ta có: P  /T  y  1 y  2  z  1 z  2  0 (Luôn đúng). x 2  2yz . x 2  y2  z 2 m/  x 2  y2  z 2  4 co Do đó: P  gr Tới đây ta có đánh giá cơ bản: x 2  2yz  x 2  y 2  z 2 . 1 x 2  y2  z 2 . Tìm điều kiện của x 2  y 2  z 2 . Từ điều kiện ban đầu ta có:      bo o k. 9 9 9x 4  y 4  z 4  9 x 2  2yz  9 x 2  y 2  z 2 4 4  1   1   9 x 2  y 2  z 2  x 4  y 4  z 4  y 4  z 4   4x 4  y 4    4x 4  z 4  4   4   w. fa ce   9 x  9 x 2  y2 2  y2    z   x  y  z  2y z  2x y  2x z  z   x  y  z   x  y  z  9 . 2 2 4 4 2 2 Do đó ta tìm được Max P là 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 62 tại x  1, y  z  2 . 117 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c  [1;2] . Tìm giá trị P 2(ab  bc  ca ) 8 b c  4   2(2a  b  c)  abc 2a(b  c)  bc  4 bc  1 ai H Thi thử Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Lần 2 iD Phần 1: Đánh giá điểm rơi: a  1,b  c  2 . 2(2a  b  c)  abc  16  2a(b  c)  bc  4 eu 2(2a  b  c)  abc  2a(b  c)  bc  4 On Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau: Th Phần 2: Với điểm rơi đó ta có: Li Bài giải    /T  ai Ta chứng minh: 2(2a  b  c)  abc  2a(b  c)  bc  4  2(2a  b  c)  abc  2a(b  c)  bc  4 ps  abc  2ab  2ac  bc  4a  2b  2c  4  0  (a  1)(b  2)(c  2)  0 (Luôn đúng). ou Nhận xét: Rõ ràng đánh giá cuối cùng rất khó phát hiện . gr co 2a(b  c)  bc  4  bc  4 b  c  4  2a(b  c)  bc  4 bc  1 bc  4 b c  4  2a(b  c)  bc  4 bc  1 bo o 1 k.  2(ab  bc  ca) 8 b c  4   2a(b  c)  bc  4 2a(b  c)  bc  4 bc  1 m/ Vậy: P  Vì a  1 do đó: P  1   2 bc  4 bc  4 bc  4 bc  1 7 Vậy, giá trị lớn nhất của P   khi a  1,b  c  2 . 6 Bình luận: Thực chất phương pháp không có gì mới mẻ, nhưng nó ce fa w. bc  4 o lớn nhất của biểu thức sau: được diễn ra một cách hoàn toàn tự nhiên, hạn chế các bước “suy đoán”. 4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” a c  2 a b 1  a b  c  a  b  1 a  c a  2b  c     ai H P o a  2b  c Ví dụ 3: Cho a, b, c  0 thỏa mãn  2 . 2 2 a  b  c  2  ab  bc  ca Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  iD Thi thử Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc – Lần 2  2 On   2 a b  2. eu a  b  0 b c   2 2 2  a b a  2 b  2  2 ab  b  Th Phần 1: Đánh giá điểm rơi: 2 2 2 2  b  2,b  c  . 2 2 Phần 2: Với điểm rơi đó ta có: ai Li Các điểm rơi cần tìm: a       gr  ou 2 2b  2  2 a c 2 2 2    a b a b c a b 1 2b  2 2b  2  2 b b 2     m/    ps  /T a c  2 2b  2  2  a b  c  a  b  1 2b 2  2 2  2 b  1  2 Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau: co a c 2 2  a b c a b 1 a b k.   bo o Phần 4: Với điểm rơi đó ta có: a b 1 2b  1  2 1 1    2 a  c a  2b  c 2b  2 2b  2 2b  2 w. fa ce        2  1 1  a b a b   2 Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau: a b 1 1 1   a b a  c a  2b  c a b      2 5 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” Bài giải Đánh giá 1: Ta chứng minh: a c 2 2  a b c a b 1 a b  a2  ab  ac  bc  2a  2b  2ab  2ac  2a  2b  2 2  0 (Luôn đúng). a b 1 1 1   a b a  c a  2b  c a b    eu Đánh giá 2: Ta chứng minh:  On  a 2  bc  a 2  b2  c2  bc  b  c Th iD  a 2  bc  ab  ac  2 Mặt khác sử dụng phép thế: ab  ac  2  a 2  b2  c2  bc ta được: ai H o    a  b a  c  2   2a b  c   2a  2b  2 Li  2 a b 1 a b 1    a  b   a  c a  2b  c  a  c a  2b  c  a  b2  2 ai  ou   2  1 1  a b a b   2 . 1 2 2 2 2 , khi a  ,b  c  . 4 2 2 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ co m/ Kết luận: MaxP  2 1 1   a b a b a b 2 gr Vậy ta có đánh giá: P  ps /T  a2  2ab  b2  a 2  ac  2ab  2bc  ac  c2  b  c   0 (Đúng). k. Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  2x . w. fa ce bo o Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x z z 4x 2   x  2y  1 y  1 x  y   2 Trƣờng THPT Thực Hành Cao Nguyên – Tây Nguyên– Lần 1 Bài 2: (Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – Lần 1) Cho các số    thực a  0;1 ,b  0;2 ,c  0; 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2(2ab  ac  bc) 8 b b . P   2 2 2 1  2a  b  3c b  c  b(a  c)  8 12a  3b  27c  8 6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” ai H Kỹ thuật trên không có tác dụng thay thế các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà chỉ đơn thuần bổ trợ và giúp các bạn có thêm iD một hướng tư duy mới trong việc tiếp cận bất đẳng thức. Th Trên đây là một trong số các kỹ thuật giải bất đẳng thức tôi sử Li eu On dụng trong giảng dạy offline xin được chia sẻ với các bạn đọc. /T ai MỌI CHI TIẾT ĐÓNG GÓP Ý KIẾN XIN GỬI VỀ Đoàn Trí Dũng. Số điện thoại: 0902.920.389. Email: [email protected] w. fa ce bo o k. co m/ gr ou ps Thày giáo: o THAY LỜI KẾT 7 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01