www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
/T
ai
Li
eu
On
Th
iD
ai
H
o
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
iD
ai
H
Trong phần này, chúng ta sẽ phát hiện một mối quan hệ vuông góc trong
hình học phẳng và sử dụng tự duy 2 chiều chứng minh để chứng minh, từ đó
khai thác tính chất vuông góc và kết hợp với các dữ kiện có sẵn trong bài
giải quyết trọn vẹn bài toán.
Tư duy 2 chiều giải toán trong chứng minh độ dài bằng nhau sẽ được trình
bày trong các phần sau này.
o
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
eu
/T
ps
ou
này, ta cần BMMN 0 và BM MN .
D
M
ai
Li
của hình vuông ABCD biết C có hoành độ lớn hơn 3.
Quan hệ vuông góc cần tìm: MJ BN .
A
Chiều tư duy 1: Chứng minh tam giác BMN
vuông cân tại M bằng vector: Ta đặt ra câu
hỏi rằng liệu tam giác BMN có thể vuông cân
được hay không? Nếu chứng minh được điều
này ta sẽ có trung tuyến MJ của tam giác này
sẽ vuông góc với cạnh đáy BN. Để có tính chất
On
Th
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm
I. Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AI, DC, BN. Giả sử
phương trình đường thẳng MJ : 2y 7 0 và N 5;6 . Tìm tọa độ các đỉnh
P
I
N
J
B
C
co
m/
gr
1
1
1
1
Ta có: BM BA BI AB BD
2
2
2
4
1
1
1
3
1
BM AB BA BC AB AD .
2
4
4
4
4
bo
o
k.
Mặt khác: MN MC CN
3
1
3
1
3
1
3
MN AC CD AB AD AB AB AD .
4
2
4
4
4
4
2
w.
fa
ce
3
1
1
3
3
3
Do đó: BMMN AB AD AB AD AB2 AD2 0 .
4
4
16
16
4
4
2
2
1
3
9
1
MN AB AD AD2 AB2
4
16
4
16
BM MN .
Đồng thời:
2
2
3
1
9
1
2
2
BM 4 AB 4 AD 16 AB 16 AD
Vậy tam giác BMN vuông cân tại M. Do đó MJ BN .
4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
eu
On
Th
iD
ai
H
Chiều tư duy 2: Dựng thêm đường phụ A
D
chứng minh tam giác BMN vuông cân tại M:
M
Để chứng minh BM vuông góc với MN, ta tạo
ra một đường thẳng song song với MN, từ đó
I
N
chứng minh đường thẳng này cũng vuông
góc với BM.
P
J
Thật vậy, gọi P là trung điểm của BI. Khi đó:
PM // AB // NC đồng thời vì PM là đường
B
C
trung bình của tam giác ABI do vậy ta có:
1
PM AB NC . Vậy PMNC là hình bình hành. Do đó: PC // MN 1 .
2
Mặt khác, vì MP // AB do đó MP BC , lại có: BP MC do vậy P là trực
tâm của tam giác BMC. Vì vậy: PC BM 2 .
o
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Li
Từ 1 và 2 ta có: BM MN . Mặt khác ta nhận thấy
ai
ABI BCI c.g.c do đó hai trung tuyến BM và PC bằng nhau 3 .
/T
Vì PMNC là hình bình hành cho nên PC MN 4 .
ps
Từ 3 và 4 ta suy ra BM MN . Vậy BMN là tam giác vuông cân.
gr
ou
Do đó trung tuyến MJ vuông góc với BN.
Từ mối quan hệ vuông góc tìm được, ta tìm tọa độ các đỉnh còn lại như
sau: Phương trình đường thẳng qua N vuông góc MJ là NJ : x 5 0 .
co
m/
7
NJ : x 5 0
Tọa độ J là nghiệm của hệ phương trình:
J 5; .
2
MJ : 2y 7 0
J là trung điểm BN do đó B 5;1 . Gọi C x; y x 3 .
bo
o
k.
BC 2CN
Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:
C 7; 5 .
BCCN
0
N là trung điểm của CD do đó D 3;7 . Vì AB DC do đó A 1; 3 .
w.
fa
ce
Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là: A 1; 3 ,B 5;1 ,C 7; 5 ,D 3;7 .
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có
đỉnh C 4; 3 và M là một điểm nằm trên đoạn AB không trùng với A và
B. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và C lên DM và I là
giao điểm của CE và BF. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết rằng I 2; 3 và
đỉnh B nằm trên đường thẳng x 2y 10 0 .
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Quan hệ vuông góc cần tìm: BF CE .
Chiều tư duy 1: Ta chứng minh BF và CE
vuông góc bằng vector: Để BF CE ta cần
o
F
M E
K
I
iD
D
Th
Ta có: BFCE BC CF CD DE .
Vì BC CD,CF DE do đó ta có:
ai
H
tích vô hướng BFCE 0 . Tuy nhiên tính
trực tiếp là rất khó, ta cần phân tích các
vector đó thành các các vector cơ bản trong
hình vẽ:
A
BFCE BCDE CFCD ADDE CFCD
C
On
B
eu
BFCE DE2 CF2 . Mặt khác ADE DCF Vì AD CD,ADE DCF
ai
Li
do đó DE CF . Vậy: BFCE DE2 CF2 0 . Do đó: BF CE .
Chiều tư duy 2: Gọi K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Vì
AC vuông góc BD do đó để chứng minh CF vuông góc CE, ta chứng minh
tứ giác BIKC nội tiếp bằng việc chứng minh hai góc bằng nhau:
/T
ps
Ta có: ADE DCF Vì AD CD,ADE DCF . Do đó AE DF .
Mặt khác: EAC 450 MAE 450 ADE FDB . Đồng thời: AC BD .
gr
ou
Do vậy: ACE DBF c.g.c suy ra ICK IBK . Do đó tứ giác BIKC nội
A
D
F
k.
co
m/
tiếp. Vì vậy: BIC BKC 900 BF CE .
Từ mối quan hệ vuông góc tìm được, ta
tìm tọa độ các đỉnh còn lại như sau:
Phương trình đường thẳng BI vuông góc
với CI là: BI : x y 5 0 .
M E
w.
fa
ce
bo
o
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương
x 2y 10 0
B 0; 5 .
trình:
x y 5 0
Phương trình đường thẳng BC đi qua 2
điểm B và C là: BC : 2x y 5 0 .
K
I
B
C
Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với BC là: AB : x 2y 10 0 .
Gọi A 10 2a;a AB , khi đó: AB2 BC2 80 10 2a a 5 80
2
a 1 hoặc a 9 . Suy ra A 8;1 hoặc A 8;9 .
6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Phương trình đường thẳng CI là: CI : x y 1 0 . Vì A và B khác phía so
Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là: A 8;1 ,B 0; 5 ,D 4; 7 .
ai
H
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có
AB AC nội tiếp đường tròn có tâm I 2;0 . Một đường tròn có tâm K tiếp
o
với CI do đó ta chọn A 8;1 . Vì AB DC D 4; 7 .
Th
iD
xúc với AB tại B và đi qua C cắt đường thẳng AC tại điểm D. Biết rằng
đường thẳng BD : 5x y 20 0 và điểm A nằm trên đường thẳng
: x 3y 10 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và B biết rằng đỉnh B có hoành độ
IABD IABA IAAD
ps
ou
/T
ai
Li
eu
On
là một số nguyên tố.
Quan hệ vuông góc cần tìm: AI BD .
Chiều tư duy 1: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh rằng AI và BD
vuông góc với nhau.
Gọi G và H lần lượt là trung điểm của
A
các đoạn thẳng AC và AB. Theo tính chất
của dây cung đường tròn, ta có IH và IG
lần lượt vuông góc với AB và AC.
G
H
D
Ta có: IABD IA BA AD
I
co
m/
gr
B
C
IABD MABA NAAD
1
1
IABD AB2 AC.AD .
K
2
2
Mặt khác do AB là tiếp tuyến của đường tròn K do đó theo tính chất của
k.
góc giữa tiếp tuyến và dây cung ta có: ABD ACB ABD ∽ ACB g.g .
AB AC
AB2 AC.AD . Suy ra IABD 0 hay AI BD .
AD AB
Chiều tư duy 2: Chứng minh AI và BD vuông góc nhau thông qua
phương pháp cộng góc bằng 90 độ:
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn K nên theo tính chất của góc giữa
w.
fa
ce
bo
o
Vậy:
tiếp tuyến và dây cung ta có: ABD ACB 1 .
Gọi H là trung điểm của AB, theo tính chất của dây cung ta có IH AB .
Tam giác IAB cân tại I do đó IH đồng thời là đường phân giác, như vậy:
1
HAI 900 AIH 900 AIB
2
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
1
Mặt khác theo tính chất của góc nội tiếp thì: ACB AIB .
2
Từ mối quan hệ vuông góc tìm được, ta
tìm tọa độ các đỉnh còn lại như sau:
Ta viết được phương trình đường thẳng
AI là: IA : x 5y 2 0 A 7;1 .
o
Vậy: HAI 900 ACB 2 . Từ 1 , 2 ta có: ABD HAI 900 AI BD .
ai
H
A
iD
H
Li
eu
On
Th
D
I
Vậy tọa độ của B là nghiệm của hệ:
I;IA : x 2 2 y 2 26
B 3; 5
B
C
BD : 5x y 20 0
(Chú ý rằng đỉnh B có hoành độ là một
K
số nguyên tố).
CHÚ Ý: Bổ đề 1. Nếu tam giác ABC nội tiếp
A
ai
đường tròn I , ta có: IBD 900 BAC .
/T
Gọi D là trung điểm của BC, theo tính chất của
dây cung và đường tròn ta có: ID BC . ΔIBC
C
D
cân tại I có: 900 IBD BID
ou
B
ps
I
BIC
BAC .
2
gr
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có
AB AC nội tiếp đường tròn : x 2 y 1 25 có tâm I. Gọi D và
2
m/
2
co
E lần lượt là hình chiếu của A và B lên BC và AI. Biết phương trình đường
thẳng DE : 2x y 1 0 và đường thẳng AC đi qua điểm P 9; 2 . Tìm tọa
w.
fa
ce
bo
o
k.
độ các đỉnh B và C biết rằng các điểm A và D có hoành độ âm.
Quan hệ vuông góc cần tìm: DE AC .
Chiều tư duy 1: Sử dụng tích vector
A
và tích vô hướng chứng minh DE
K
vuông góc với AC:
Ta có: DEAC DA AE AC
E
DEAC AD2 AE.ACcosIAC
Theo Bổ đề 1: IAC 900 ABD
AD
Vậy: cosIAC sin ABD
AB
I
B
P
D
8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
C
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
DEAC AD2 AE.AC.
AE AD
AD
AD.AC
.
AB
AB AC
nên BAD BED .
Mặt khác tứ giác ABEK nội tiếp nên:
iD
P
C
D
ps
/T
ai
I
gr
K
co
m/
E
I
bo
o
k.
D
Từ mối quan hệ vuông góc tìm được, ta
tìm tọa độ các đỉnh còn lại như sau:
Phương trình đường thẳng AC qua P và
vuông góc với DE có dạng:
AC : x 2y 5 0
ou
A
B
B
Li
eu
E
EAK KBE 900 ABC BAD
Do đó: BED KBE . Vậy: DE // BK.
Vì BK AC , do vậy: DE AC .
Th
On
AE AD
Như vậy: DEAC AD.AC
0 . Vậy: DE AC .
AB AC
Chiều tư duy 2: Chứng minh DE và AC
A
vuông góc bằng cách kẻ đường phụ: Kẻ
đường cao BK của tam giác ABC.
K
Ta có tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp
ai
H
o
Mặt khác theo Bổ đề 1 ta có: EAB 900 ACD DAC .
Do đó: ABE ∽ ACD g.g .
P
C
Tọa độ của A và C là nghiệm của hệ
phương trình:
: x 2 2 y 12 25
A 1; 3
AC : x 2y 5 0,x A 0 C 7;1
Phương trình đường tròn đường kính AC là: : x 3 y 1 20 .
2
2
w.
fa
ce
Tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình:
: x 3 2 y 12 20
D 1;1 .
DE : 2x y 1 0,x D 0
Phương trình đường thẳng CD đi qua hai điểm C và D: CD : x 1 0 .
CD : x 1 0,B C
B 1; 5 .
Do đó tọa độ B là nghiệm của hệ:
2
2
: x 2 y 1 25
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có
trực tâm H, các đường cao AK và CD. Biết rằng : x 2 y2 5 là
2
ai
H
và đường thẳng BC đi qua điểm Q 1; 4 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Th
On
H
I
/T
B
K
Q
C
ps
P
D
eu
IBPA IBAK BKPA BKAK
1
IKPK HBAK BKCA
2
1
IKPK HK.AK BK.CK
2
HK CK
1
IKPK AK.BK
.
2
BK AK
Li
ai
iD
ABC biết rằng điểm D có hoành độ lớn hơn tung độ.
Quan hệ vuông góc cần tìm: IK KP .
Chiều tư duy 1: Sử dụng tích tích
A
vô hướng chứng minh IK vuông
góc KP:
Ta có: IKPK IB BK PA AK
gr
ou
Mặt khác, vì HBK KAC (góc có cạnh tương ứng vuông góc).
HK CK
1
Do đó: HBK ∽ CAK g.g . Do đó: IKPK AK.BK
0.
2
BK AK
m/
Chiều tư duy 2: Chứng minh IK
vuông góc PK bằng việc chứng tỏ
tổng hai góc bằng 90 độ:
Ta có I và P lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp các tam giác BHK,
AKC do đó các tam giác IBK và
APK cân tại I và P.
k.
co
A
bo
o
ce
fa
w.
Vì: KAP IBK (góc có cạnh tương
ứng vuông góc). Vậy: IKB AKP .
P
D
H
I
Do đó: IKB IBK,AKP PAK .
B
o
đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK, trung điểm của AC là điểm P 7; 5
K
Q
C
Mặt khác: IKB IKH 900 AKP IKH 900 IK PK .
Từ mối quan hệ vuông góc tìm được, ta tìm tọa độ các đỉnh còn lại như
sau:
10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Xét tam giác vuông IKP, theo định
lý Pithagore ta có:
2
P
D
45
H
iD
I
Do đó tọa độ của D và K là nghiệm
của hệ phương trình:
B
: x 2 2 y 2 5,x y
K
D
D
2
2
P;PK : x 7 y 5 45
Vậy ta tìm được tọa độ các điểm: D 4; 1 ,K 1; 2 .
C
eu
On
Q
Th
P;PK : x 7 y 5
2
ai
H
PK IP2 IK 2 3 5
Do đó ta viết được đường tròn tâm
P bán kính PK có dạng:
o
A
Li
Ta có phương trình đường thẳng KQ đi qua K và Q là: KQ : x 1 0 .
ou
ps
/T
ai
: x 2 2 y 2 5
B 1; 2 .
Vậy tọa độ của B là nghiệm của hệ:
KQ : x 1 0, B K
KQ : x 1 0,C K
C 1;8 .
Tọa độ của C là nghiệm của hệ:
2
2
P;PK
:
x
7
y
5
45
gr
Vì P là trung điểm của AC do đó ta tìm được tọa độ điểm A 13; 2 .
co
m/
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội
3
tiếp đường tròn I : x2 y2 x 2y 30 0 và có AC AB . Gọi D 2;
2
k.
là chân đường phân giác trong góc A. E 1;0 là điểm thuộc đoạn AC sao
bo
o
cho AB AE . Tìm tọa độ các đỉnh C biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.
Quan hệ vuông góc cần tìm: JA DE .
A
w.
fa
ce
Chiều tư duy 1: Sử dụng tích vô hướng của
hai vector để chứng tỏ JA vuông góc với DE:
Gọi K và J là trung điểm BC và AC. Gọi G là
hình chiếu vuông góc của A trên BC. Theo tính
chất của dây cung trong đường tròn, ta có:
JI AC,IK BC
J
E
I
B
G D
H
K
C
Xét: AIDE AI DC CE AIDC AICE
AIDE GK.DC JA.CE .
F
11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Li
eu
On
Th
iD
ai
H
1
BC
BC AB2 BC2 AC2 AC2 AB2
GK BC BG
ABcos ABC
.
2
2
2
2BC
2BC
DC DB
BC
AC.BC
(Tính chất đường phân giác).
DC
AC AB AB AC
AB AC
AC
Đồng thời ta cũng có: JA.CE
AC AB .
2
AC2 AB2 AC.BC AC
Do đó: AIDE GK.DC JA.CE
AC AB 0 .
2BC
AB AC
2
Vậy: JA DE .
Chiều tư duy 2: Chứng minh JA vuông góc
A
với DE bằng cách chứng minh tổng hai góc
bằng 90 độ: Gọi H là giao điểm của AI với
đường DE. Ta có ABD ADE (c.g.c) .
E
o
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Do đó: ABC AED .
Mặt khác theo Bổ đề 1 ta có:
HAE 90 ABC
ai
B
/T
0
ps
Do đó: AHE 1800 AED HAE 900 .
I
D
H
K
C
F
m/
gr
ou
Do đó AI vuông góc với đường thẳng DE.
Từ mối quan hệ vuông góc tìm được, ta tìm
A
tọa độ các đỉnh còn lại như sau:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm
I
D
H
K
bo
o
k.
B
co
E
F
C
1
5 5
I ;1 và bán kính: R
.
2
2
Phương trình đường thẳng DE đi qua hai
điểm D và E là: DE : x 2y 1 0 .
Đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với
đường DE là: AI : 2x y 2 0 .
w.
fa
ce
A là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó tọa độ
của
A
là
nghiệm
của
hệ
phương
trình:
2x y 2 0
y 2x 2
x 2
2
2
2
x y x 2y 30 0
5x 5x 30 0 x 3
Do điểm A có hoành độ dương nên ta chọn điểm A 2;6 . Khi đó phương
trình đường thẳng AD đi qua hai điểm A và D là: AD : x 2 0 .
12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Tư duy 2 chiều trong giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
Phương trình đường thẳng AE đi qua A và E là: AE : 2x y 2 0 .
ai
H
đường thẳng AD. Do đó EB.AD 0 và trung điểm của EB thuộc đường AD
y B 0
do đó tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: 1 xB
B 5;0 .
20
2
On
Th
iD
Gọi F là giao điểm của AD với đường tròn I ta có tọa độ điểm F là
x 2,y 6
x 2 0
nghiệm của hệ: 2
.
2
x y x 2y 30 0 x 2,y 4
Do điểm A 2;6 mà F không trùng A do đó ta chọn F 2; 4 . Phương
Li
eu
trình đường (BC) đi qua F và vuông góc với IF là: BC : x 2y 10 0 .
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
/T
ai
C là giao điểm của BC và AE do đó tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ
x 2y 10 0
14 22
C ; .
phương trình:
3
3
2x y 2 0
13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
o
Do AD là phân giác của góc BAC mà AB AE do đó E đối xứng với B qua
- Xem thêm -
.PDF 
11 
203 
101 
