Tài liệu Kính lúp table tập 07

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ai H ai Li eu On Th iD KÍNH LÚP TABLE o ĐOÀN TRÍ DŨNG w. fa ce bo o k. co m/ gr ou ps /T TẬP 7: PHƢƠNG PHÁP NGHIỆM BỘI KÉP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Follow excellence success will chase you! ĐỪNG BAO GIỜ ĐỂ NHỮNG GIẤC MƠ MÃI MÃI CHỈ LÀ NHỮNG GIẤC MƠ NHÉ, CÁC EM! 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 I. Giới thiệu về phương pháp: Giả sử bài toán có điều kiện: f  a   f  b  f  c  k . Khi đó: Li eu On Th g  a   f  a    0   ,  sao cho:  g  b    f  b     0 . Khi đó: P   k   .   g  c    f  c     0  g  x    f x     0 x   Để tìm ra các hệ số  ,  , ta giải hệ :   g x  f x   '  0      x   Trong đó,  là giá trị điểm rơi của bài toán cần tìm. iD ai H g  a   f  a    0   ,  sao cho:  g  b    f  b     0 . Khi đó: P   k   .   g  c    f  c     0 Nếu muốn tìm giá trị lớn nhất của P  g  a   g  b   g  c  , ta tìm các hệ số o Nếu muốn tìm giá trị nhỏ nhất của P  g  a   g  b   g  c  , ta tìm các hệ số  ps /T ai  ou Ta gọi hệ trên là hệ đánh giá hệ số nghiệm bội. Để chứng minh đánh giá trên, ta sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng: g  x   f  x     x    h  x gr 2 m/ Chú ý: Phƣơng pháp tiếp tuyến là một dạng của phƣơng pháp này. II. Bài tập ví dụ: a2 b2 c2 3    . Tìm giá trị nhỏ nhất của: a1 b1 c 1 2 a3 b3 c3 P 2  2  2 a  a1 b b1 c c 1 Phân tích a  b  c  1    1. Điểm rơi: bo o k. co Ví dụ: Cho a, b, c  0 và ce  fa  w.   x2     0  x 1 x2  x  1   8 1 Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ,   . 9 9 Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho: x3 4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài giải    x 2  4 x  1  x  1 8 x2 1 Ta có: f  x   2     0x  0 . x  x  1 9  x  1 9 9 x 2  x  1  x  1 o ai H On 8  a2 b2 c2  1 Do đó: P  f  a   f  b   f  c       9  a  1 b  1 c  1  3 8  a2 b2 c2  1 P      P 1. 9  a  1 b  1 c  1  3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của của P là 1 khi a  b  c  1 . iD  2 Th x3 eu III. Bài tập áp dụng:  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho:  Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    Li  a b c    1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: a2 b2 c2 a2 b2 c2 P   a1 b1 c 1 Phân tích Điểm rơi: a  b  c  1    1 . m/ gr ou ps /T ai Bài 1: Cho a, b, c  0 và  x  x2    0 x1 x2 27 5 ,  . 8 8 co Bài giải k. x2 27  x  5  8 x  10  x  1 Ta có: f  x      0, x  0 .   x1 8  x 2  8 8  x  1 x  2  ce bo o Do đó: P  f  a   f  b  f  c  w. fa P 2 27  a b c  15     8  a2 b 2 c 2 8 27  a b c  15 3   P .   8 a2 b2 c2 8 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của của P là 3 khi a  b  c  1 . 2 5 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài 2: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của :  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho: x3   x  1 x  3   x    0  Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:   1,   0 . Bài giải Th   x  2  x  3  2 x  3   x  3  2   x  3  2    x  2  x  3  2 x  3   0x  0 . x3 2 On   x  1   iD  Ta có: f  x   x3   x  1 x  3  x   x  1 x2  x  x  3 ai H  Phân tích Điểm rơi: a  b  c  1    1 . eu 2 Li Do đó: P  f  a  f  b  f  c   a  b  c  3 . /T ai Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của của P là 3 khi a  b  c  1 . Bài 3: Cho a, b, c  0 và a2  b2  c 2  a  b  c  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: b4 ps a4 P   c4  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho:  1 1 Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ,   . 2 2 Bài giải x4 x2  1     x2  x    0 k. co m/ gr ou  a 2  1 b2  1 c 2  1 Phân tích Điểm rơi: a  b  c  1    1 .   w. fa ce bo o 2 1 2 1  x  1 x  x  1  x x    0, x  0 . Ta có: f  x   2 2 x 1 2 2 x2  1 x4  2  Do đó: P  f  a  f  b  f  c     o P  a3  b3  c 3   a  1 a  3   b  1 b  3   c  1 c  3  1 2 3 3 a  b2  c2  a  b  c   . 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . 3 Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của của P là khi a  b  c  1 . 2 6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài 4: Cho a, b, c  0 và a2  b2  c 2  ab  bc  ca  6 . Tìm giá trị lớn nhất của  a  b    b  c    c  a . biểu thức: P  2 2 2 2  a  b   1 2  b  c   1 2  c  a  1 3 3 2 2 2  12  Điểm rơi: a  b  b  c  c  a  2    2 .  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho:  Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:        x2    0 Th 2x  1 2 11 28 ,   . 81 81 eu Bài giải x3 iD  a  b   b  c   c  a ai H o Phân tích Biến đổi lại điều kiện của biểu thức: On  3 22x 2  7 x  7  x  2 11 2 28  x    0, x  0 . Ta có: f  x   2 81 2 x  1 81 81 2 x 2  1 ou Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Li ai    2 2 2 11 28 8 a  b   b  c   c  a    .  81 27 3 ps  P  f  a  b  f b  c   f c  a   2 /T x3 8 khi a  b  c  1 . 3 gr Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của của P là m/ Bài 5: Cho a, b, c  0 và abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : a3  b3  c3  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho: bo o k. co   a2  a  1 b2  b  1 c 2  c  1 Phân tích Biến đổi lại điều kiện của biểu thức: abc  1  ln a  ln b  ln c  0 Điểm rơi: a  b  c  1    1 . ce fa w. P x3 x2  x  1   ln x    0 2 1 Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ,    . 3 3 Bài giải x3 2 1  ln x  , với x   0;   . Khi đó ta có: Xét: f  x   2 3 x  x1 3  7 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 f ' x   x2 x2  2 x  3 x 2   x1 2   2   x  1  3x 3x 4  7 x 3  12 x 2  6 x  2    2 3 x2  x  1 x Sử dụng khảo sát bảng biến thiên của hàm số ta được f  x   f 1  0 . 2  lna  lnb  ln c   1  1 . 3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của của P là 1 khi a  b  c  1 .   ai H iD  Th  o Vậy: P  f  a   f b   f c   a 2         Li biểu thức: P  a3  b3  c3  a2  b2  c2 . Phân tích  Biến đổi lại điều kiện của biểu thức: eu On Bài 6: Cho a, b, c  0 và a2  2 b2  2 c 2  2  27 . Tìm giá trị nhỏ nhất của   2 b2  2 c 2  2  27  ln a2  2  ln b2  2  ln c 2  2  3ln 3 Điểm rơi: a  b  c  1    1 .  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho: x3  x2   ln x2  2    0  Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ai   15 15ln 3 ,  2. 2 2 ou ps /T  Bài giải 15 15ln 3 Xét: f  x   x 3  x 2  ln x 2  2   2 , với x   0;   . Khi đó ta có: 2 2  m/ gr  15x  3x   P  f  a  f b  f c     f '  x   3x  2 x  3   5x 2  11x  x  1  f ' x  0  x  1 x2  2 x2  2 Sử dụng khảo sát bảng biến thiên của hàm số ta được f  x   f 1  0 . k. co 2      w. fa ce bo o 15 45ln 3 . ln a2  2  ln b2  2  ln c 2  2  6  2 2  P  6 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của của P là 6 khi a  b  c  1 . Bài 7: Cho a, b, c  0 và a2  b2  c 2  a  b  c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu     thức: P  a2  1 b2  1 c 2  1 . Phân tích       Biến đổi lại biểu thức: ln P  ln a2  1  ln b2  1  ln c 2  1  8 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  Điểm rơi: a  b  c  1    1 .  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho: ln x2  1   x2  x    0  Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:   1,    ln2 . Bài giải     2x  2x  1      2   x  1  x  1 iD  f ' x  0  x  1 x2  1 x2  1 Sử dụng khảo sát bảng biến thiên của hàm số ta được f  x   f 1  0 . 2x  Th f ' x  o Xét: f  x   ln x2  1  2 x 2  x  ln 2 , với x   0;   . Khi đó ta có: ai H    On  ln P  f  a   f  b   f  c   2 a2  b2  c 2  a  b  c  3ln 2  ln8 . Li eu  P  8 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của của P là 8 khi a  b  c  1 . 2 b3 b2   c  a  2  c3 c2   a  b 2  Điểm rơi: a  b  c  1    1 .  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  sao cho:  Nghiệm của hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    bo o k. co m/ gr ou ps  ce fa a2   b  c   Phân tích a3 b3 c3   Biến đổi lại biểu thức: P  2 2 2 a2   3  a  b2   3  b  c2  3  c  Xét: f  x   w. a3 /T P ai Bài 8: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của : x3 x2   3  x  2 x    0 17 12 . ,  25 25 Bài giải x2   3  x  9  x  12  x  1 17 12  x   0x   0; 3  25 25 25 2 x2  6 x  9 2 x3 2   Khi đó: P  f  a   f  b  f  c  17 36 3 a  b  c   .  25 25 5 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . 3 Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của của P là khi a  b  c  1 . 5 9 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01