www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Th
iD
ai
H
o
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
eu
On
KÍNH LÚP TABLE
ai
Li
Tập 6: Casio
gr
ou
ps
/T
Cho người mới bắt đầu
ĐTDx
k.
co
m/
– Đoàn Trí Dũng –
w.
fa
ce
bo
o
Trưởng Nhóm nghiên cứu và phát triển Casio Việt Nam
1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 1: Phá biểu thức
Kỹ thuật 1.1: Kỹ thuật phá biểu thức 1 biến:
x 1 x 1
2
2
ai
H
Bình phương hai vế của phương trình ta có: x2 x 3
o
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: x2 x 3 x 1 x 1
Thay x = 100 vào hai vế:
2
2
4
3
2
4
3
2
x x 3 102070609 100 2.100 7.100 600 9 x 2 x 7 x 6 x 9
2
x 1 x 1 1009899 100 3 100 2 100 1 x 3 x 2 x 1
2
2
4
On
x 1 x 1 x
2x3 7 x2 6x 9 x3 x2 x 1
ai
Kỹ thuật 1.2: Kỹ thuật phá biểu thức 2 biến:
Cách 1: Sử dụng CALC:
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: x y 1 2x y 3
eu
Do đó: x2 x 3
Th
iD
Li
Chú ý rằng khi tách ra ta có 2 x2 3 (Tính 2 cái đầu và cuối thôi, nó khá cơ
1
bản) do đó hay x 1000, y
vào x y 1 2x y 3 2x2 3 ta có:
100
x y 1 2x y 3 2x2 3 1010.0399 1000 10 0.04 0.0001
/T
ou
2
2
m/
ps
1
4
1
3 1000 1000.
100 100 100
vậy x y 1 2x y 3 2x 3 x xy 4 y y .
gr
x y 1 2x y 3 2x
2
x xy 4 y y 2
2
co
Cách 2: Giảm một biến (An toàn hiệu quả):
2
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: x2 y 2 y 2 . Gán y 100 ta có:
x
k.
2
y2 y 2
2
2
9902
2
x4 19804x2 98049604
bo
o
x
Vậy x2 y 2 y 2
2
x4 2 y 2 2 y 4 x2 y 4 2 y 3 5y 2 4 y 4
w.
fa
ce
2
19804 2 y 2 y 4
Tự tách các biểu thức:
4
3
2
98049604 y 2 y 5 y 4 y 4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 2: Chia đa thức không chứa căn
Kỹ thuật 2.1: Chia đa thức 1 biến:
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
x5 2 x4 6 x3 2 x2 23x 7
x 2 3x 1
x 2 x4 6 x3 2 x2 23x 7
1009793 100 3 100 2 200 7
x 3x 1
x 2 x 6 x3 2 x2 23x 7
2
5
4
x3 x2 2x 7
Th
x5 2 x4 6 x3 2 x2 23x 7
On
x 3x 1
Kỹ thuật 2.2: Chia đa thức 2 biến:
2
eu
x3 2 x2 y xy2 y2 xy 3 x 3 y
xy
Li
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
ta được:
ai
H
x 2 3x 1
iD
Thay x = 100 vào biểu thức
o
5
ps
/T
ai
Cách 1: Sử dụng CALC:
1
Thay x 1000, y
ta có kết quả:
100
x3 2 x2 y xy 2 y 2 xy 3x 3 y
1000013.01
xy
1
1
3
x2 xy y 3
100
100
Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta được kết quả
gr
ou
10002 1000.
m/
x3 2x2 y xy 2 y 2 xy 3x 3y x y x 2 xy y 3
k.
co
Cách 2: Sơ đồ Hoorne (Chậm mà chắc):
x3 200 x2 10103x 10300
Gán y 100 ta được:
x 100
Lập sơ đồ Hoorne:
1
200
10103
x
1
100
103
100
bo
o
10300
0
ce
x3 200 x2 10103x 10300
x2 100 x 103
x 100
Hay x3 2x2 y xy 2 y 2 xy 3x 3y x y x 2 xy y 3
w.
fa
Vậy
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 3: Khai căn
Kỹ thuật 3.1: Khai căn 1 biến không chứa căn:
x4 6x3 11x2 6x 1
Rút gọn biểu thức:
1
x1
iD
x 2 x
ai
H
x4 2x2 x 2 x 2 1
Rút gọn biểu thức:
o
Gán x 100 ta có: x4 6x3 11x2 6x 1 10301 x 2 3 x 1 .
Kỹ thuật 3.2: Khai căn 1 biến có chứa căn:
x4 2x2 x 2 x 2 1
x 1 11.41421356 10 2
Gán x 4 ta có:
x4 2x2
x 1 18.73205081 17 3
On
2
Th
Gán x 3 ta có:
x 3 x 1 2
x 1 A x 1 vì
x 4 x 1 3
x 1 x 1 CALC 100 ta có:
x4 2 x2 x 2 x2 1
x 1 x 1 10001 1002 1 x2 1
/T
x4 2 x2 x 2 x2 1
Li
Xét
ai
x4 2x2 x 2 x2 1
eu
Vậy
gr
1
ta có:
100
ou
x4 2x2 y y 2 2x 2 2y 1
Rút gọn biểu thức:
Gán x 1000, y
ps
Kỹ thuật 3.3: Khai căn 2 biến không chứa căn:
m/
x4 2 x2 y y 2 2x2 2 y 1 1000001.01 1000 2 1
1
x2 y 1
100
co
Kỹ thuật 3.4: Khai căn 2 biến chứa căn:
k.
Rút gọn biểu thức:
bo
o
Gán x y 1 :
Gán x 2, y 1 :
x2 y 2 x 2 2 x 1 xy 1
x2 y 2 x 2 2 x 1 xy 1 3.414213562 2 2
x2 y 2 x 2 2 x 1 xy 1 4.732050808 3 3
w.
fa
ce
x y 1 xy 1 2
Chú ý rằng:
. Do đó xét:
x
2,
y
1
xy
1
3
x2 y 2 x 2 2 x 1 xy 1 xy 1 CALC x 1000, y
1
:
100
x2 y 2 x 2 2 x 1 xy 1 xy 1 1001 x 1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 4: Rút gọn biểu thức dãy số
1 2 2 1
100
Bấm máy tính:
x
1
2 33 2
1
x 1 x 1 x
x2
...
n 1
1
n n n 1
9
1
1
1
1
10
100
n
o
1
3
. Kết hợp với điều kiện sin x 0 , tan x 3 .
Th
3
k
Bấm TABLE với:
ai
1
vì có x
3
3
/T
Chọn Start =
Li
F X sin X tan X 3
On
eu
Ví dụ: Biết rằng x
iD
Kỹ thuật 5: Điều kiện phương trình lượng giác
ai
H
Rút gọn biểu thức:
ps
1
+ 1.9 (Để không lặp lại
3
nghiệm ban đầu sau một vòng 2 )
m/
1
vì có k
3
3
co
Step =
gr
ou
End =
k.
Loại các giá trị gây ra F X 0 . Như
2
5
và .
3
3
2
5
k 2 , x
k 2 .
Do đó x
3
3
Chú ý hai nghiệm trên có thể hợp
2
k .
thành x
3
w.
fa
ce
bo
o
vậy chỉ có
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 6: Chia đa thức chứa căn
Kỹ thuật 6.1: Chia đa thức 1 biến 1 căn:
x 1 1
CALC 1 được 3 2 . Chú ý rằng khi x = 1
x x1
x 1 1
x x x2 1
2
2
x 1 1
x x1
x x x2 1
3
x 1 CALC 100 được 10101 = x2 x 1 .
On
x 1 1
x x1
3
Vậy
x 1 x2 x 1
eu
x3 x2 x2 1
A x1
Th
x x1
Trong đó là A là biểu thức chưa biết.
iD
ai
H
x 1 1 1 2 . Do đó ta hiểu rằng:
x3 x2 x2 1
Xét
o
Li
thì
x 1 1 x x 1 x2 x 1 x 1
ai
Xét
x3 x2 x2 1
/T
Kỹ thuật 6.2: Chia đa thức 2 biến chứa 1 căn:
Bước 1: Đặt y 100 , ta được:
ps
Phân tích nhân tử: x2 y 2 x 1 2 x x2 y 0
co
m/
gr
ou
x2 99 2x 2x x2 100 0
Sử dụng công cụ SOLVE ta được:
x 5.116450524
Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay
các giá trị x 5.116450524, y 100 vào
căn thức ta được:
k.
x2 y 11.23290105
ce
bo
o
Chú ý rằng: 2x 10.23290105
Do đó ta có đánh giá:
x2 y 2 x 1
w.
fa
Vậy biểu thức cần tìm là:
Xét phép chia
x2 y 2 x 1
x2 y 2x 1 2x x2 y
x2 y 2x 1
:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
CALC x 1, y 1 ta được kết quả 1 2 1 x2 y
Kỹ thuật 6.3: Chia đa thức 1 biến chứa nhiều căn:
Chia đa thức:
3x 2 3x 9 2 x 2 2
x 3 x2 4
.
eu
x 3 x2 4
x
2 x3
ai
x 2 x3 3
Li
CALC 4 được kết quả 24.29150262 19 2 7 19 2 x 3
3x 3x 9 2 x 2 2
/T
CALC 2 được kết quả 6.414213562 5 2 5 x
CALC 3 được kết quả 11.732050808 10 3 10 x
ps
3x 3x 9 2 x 2 2
2
x 3 x2 4
x
gr
ou
2 x3 x
x 2 x3 3
CALC 100 được kết quả 10001 x2 1 .
3x 2 3x 9 2 x 2 2
m/
Vậy:
x
x 2 x3 3
2
Xét
CALC 0 được kết quả 1 2 3 1 2 x 3
Xét
x2 y 2x 1 1 x 2 y .
ai
H
quả là 1. Vậy x2 y 2x 1 2x x2 y
1
được kết
100
iD
x2 y 2x 1
x 2 y CALC x 1000, y
Th
Xét
On
x2 y 2 x 1 2 x x2 y
x 3 x2 4
x
x2 1 2 x 3 x
co
x 2 x3 3
Kỹ thuật 6.4: Chia đa thức 2 biến chứa nhiều căn:
x2 xy x 3 x y x 2 y xy y 2
k.
bo
o
Chia đa thức:
CALC x y 1 ta được kết quả 1 2 1 x y
CALC x 2, y 1 ta được kết quả 1 2 3 1 2 x y
CALC x 2, y 4 ta được kết quả 2 2 6 2 2 x y
ce
fa
w.
x2 x y
Tìm ra quy luật:
x 2 xy x 3 x y x 2 y xy y 2
x2 x y
Ax xy
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
o
CALC x 0, y 3 ta được kết quả 1 3 1 x2 y
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
x xy
CALC x 0, y 2 được kết quả
2 y
CALC x 0, y 3 được kết quả
3 y
CALC x 0, y 5 được kết quả
5 y
x 2 xy x 3 x y x 2 y xy y 2
CALC x 1000, y
1
được kết quả là 0.
100
x xy y
Th
x2 x y
On
Vậy xét tiếp
o
x2 x y
ai
H
Xét
iD
x 2 xy x 3 x y x 2 y xy y 2
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
/T
ai
Li
eu
Do đó: x2 xy x3 x y x2 y xy y2 x x y y x2 x y
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 7: Quy tắc tìm liên hợp căn bản
Trong phương trình, bất phương trình
F x x2 3 x 1 7
/T
ai
Li
eu
On
Th
iD
Start = 1, End = 7, Step = 0.5
Thấy ngay nghiệm x = 2
Nghiệm đơn qua mốc 0 hàm đổi dấu
Nguyên tắc xử lý:
Trục căn với số tương ứng căn nhận được.
Truy ngược dấu.
ax b
x x1
Sử dụng
nếu có 2 nghiệm.
ax b . Giải hệ
ax b
x x2
ai
H
o
Kỹ thuật 7.1: Nghiệm hữu tỷ nguyên đơn: x2 3 x 1 7
Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 1 3 x 6 x 1 0
3
3
1
2
x6
co
F x
x6
ps
x 1 1 0
0
x 1 1
23 x 6 4
ou
x6 2
1
2
m/
x 2 x 2
3
1
gr
Cách 1: x2 4
. Vì điều
23 x 6 4
w.
fa
ce
bo
o
k.
kiện x 1 , chọn Start = 1, End = 5, Step
1
= 0.5. Ta có MaxF(x) 0.087 . Chọn
3
1
MaxF(x) =
3
1
F x
. Start = 1, End = 5,
x 1 1
Step = 0.5. Ta có MaxF(x) = 1.
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
2
x 1
0
2
3
3
x
1
1
2 x6 4
2
3
x6 1
x 1
0 (Quá đủ rồi nhé)
2
3
x
1
1
x6 1 3
Th
On
23 x 6 1
eu
2
a b sử dụng truy ngược
Vậy
x 1 1 sử dụng liên hợp
a
ps
/T
Nếu
Li
x6
3
a b a b a .
x 1
x 1 1 x 1 x 1
a a b .3 a
3
a b sử dụng truy ngược
Vậy
3
x 6 2 nên ta sử dụng liên hợp truy ngược sau:
ou
Nếu
3
x6 2
m/
x 6
gr
x6
1
0
1
3
x
1
1
2 x6 4
1
ai
2
x 2 x
3
2
x 2 x
3
Cách 2:
3
1
1
. Khi đó:
x 1 1
o
2
ai
H
và lấy
3
2 x6 4
1
iD
1
Vậy ta lấy
3
3
x6
2 1
x 2 x
3 3
3
x6 2
3
3
a b
3
a b
3
x 6 x 6 43 x 6
co
x2 1 3 x 6 x 1 0 4 x2 4 4 3 x 6 4 x 1 0
k.
4 x 2 5x 6 x 6 4 3 x 6 4 x 1 x 1 0
bo
o
x 2 4x 3
w.
fa
ce
x 2 4x 3
x6 2
3
3
3
x6 2
3
x 6 4 x 1
x 1 1 0
4 x 1
0 (Quá đẹp trai!)
2
x 1 1
x 6 23 x 6 4
3
x6 2
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
3
x6
2x2 x 3 21x 17 x x2
x2 x 2x2 x 3 21x 17 0
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
x2 3x 2 2 x2 x 3 x 1 3x 1 21x 17 0
2 x2 x 3 x 1
2
9 x2 3x 2
3x 1 21x 17
o
3x 1 21x 17
0
1
9
x 2 3x 2 1
2 x2 x 3 x 1 3x 1 21x 17
Kỹ thuật 7.2: Nghiệm hữu tỷ không nguyên đơn:
1 x 2 1 x 5x 3 3x 2 0
Li
F x 1 x 2 1 x 5x 3 3x 2
0
eu
ai
H
x 3x 2
2 x2 x 3 x 1
3x 1 21x 17 0
iD
x 2 3x 2
x 3x 2
2
Th
2
2 x2 x 3 x 1
On
2
/T
ai
Start = –1, End = 1, Step = 0.5
Thấy ngay nghiệm x = 2
Thấy hàm đổi dấu khi x từ 0.5 sang 1
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
Chọn 1 giá trị trong khoảng này chẳng
hạn là 0,7. Ta quay lại Mode 1 và
SHIFT SOLVE
3
Tìm được ngay nghiệm x = 0.6 =
5
Nghiệm đơn hàm luôn có sự đổi dấu
Nguyên tắc xử lý:
Trục căn với số tương ứng căn nhận được.
Truy ngược dấu.
ax b
x x1
Sử dụng
nếu có 2 nghiệm.
ax b . Giải hệ
ax b
x x2
11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 7.3: Nghiệm hữu tỷ nguyên kép: x2 x 1 2x 1 0
F x x2 x 1 2x 1
ai
H
o
Start = 0.5, End = 7, Step = 0.5
Thấy ngay nghiệm x = 1
Nghiệm kép qua mốc 0 hàm số quay
về dấu cũ ban đầu
Nguyên tắc xử lý:
Th
iD
ax b
x x0
Cách 1: Đặt
ax b . Giải hệ:
'a
x x0
Cách 2: Sử dụng ghép hằng đẳng thức.
Cách 3: Sử dụng AM – GM
Cách 4: Chia đa thức bằng máy tính Casio sau khi tìm ra liên hợp.
Li
eu
On
ai
Kỹ thuật 7.4: Nghiệm hữu tỷ không nguyên kép: 9x2 3x 1 6x 1 0
/T
F x 9 x 2 3x 1 6 x 1
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
Start = 0, End = 5, Step = 0.5.
Có lẽ nào phương trình đã cho lại có
thể vô nghiệm sao? Thực tế nghiệm
kép không nguyên TABLE không bao
giờ nhìn thấy được (trừ khi ăn may)
Với loại nghiệm này nên kiểm tra bằng
1
SOLVE. SOLVE ra được x =
3
1
x là nghiệm kép nếu:
3
w.
fa
ce
d 9 x 2 3x 1 6 x 1
1 0
dx
x
3
d
d
0
2
2
9 x 3x 1 6 x 1
9 x 3x 1 6 x 1
1
1
x 0.1 dx
x 0.1
dx
3
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
o
d
9 x 2 3x 1 6 x 1
1 0
dx
x
3
Th
iD
ai
H
d
9 x 2 3x 1 6 x 1
2.42 0
1
dx
x 0.1
3
eu
On
d
9 x 2 3x 1 6 x 1
3.5 0
1
dx
x 0.1
3
Li
Nguyên tắc xử lý:
ai
ax b
x x0
Cách 1: Đặt
ax b . Giải hệ:
'a
x x0
Cách 2: Sử dụng ghép hằng đẳng thức.
Cách 3: Sử dụng AM – GM
Cách 4: Chia đa thức bằng máy tính Casio sau khi tìm ra liên hợp.
Chú ý: Có thể kiểm tra điều kiện bội 3 bằng cách sau:
d
f x
0
xa
dx
d
d f x
f
x
0
dx
x a 0.1
x a 0.1
dx
gr
ou
ps
/T
bo
o
k.
co
m/
Kỹ thuật 7.5: Nghiệm vô tỷ: x3 x x 2 0
F x x3 x x 2
w.
fa
ce
Start = 2, End = 7, Step = 0.5
Thấy ngay có nghiệm x trong khoảng 1
– 1.5
13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
o
Chọn 1 giá trị trong khoảng này ví dụ
1.3
SHIFT SOLVE với x = 1.3
Thu được x = 1.499238715
x1
iD
x 2 x 1 x 3 2 x 2 5x
Th
2 x4 2 x2
On
Ví dụ: Giải bất phương trình sau:
ai
H
Nguyên tắc xử lý:
Tìm liên hệ căn thức với x .
Chia đa thức bằng máy.
Liên hợp ngược.
eu
Dùng máy tính Casio dò được 2 nhân tử: 2 x x 1 , x x 1
ai
/T
Li
Xét phép chia đa thức chứa căn:
2x4 2x2
x 1
x 2 x 1 x3 2 x2 5x
x1
2x x 1 x x 1
CALC x 1 được kết quả 4 2 4 x 1 .
m/
gr
ou
ps
CALC x 2 được kết quả 8 2 3 8 2 x 1 .
Tìm được quy luật:
2 x4 2 x2
x 1
x 2 x 1 x 3 2 x 2 5x
x1
A x x1
2x x 1 x x 1
co
2 x4 2 x2
x 1
x 2 x 1 x 3 2 x 2 5x
x1
2x x 1 x x 1
bo
o
k.
Xét
ce
Vậy
x x1
CALC 100 được kết quả 10102 x2 x 2
2x4 2x2
x 1
x 2 x 1 x 3 2 x 2 5x
x1
x x 1 x2 x 2 .
2x x 1 x x 1
w.
fa
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
Kỹ thuật 8: Các phương pháp nhân liên hợp
Trong hệ phương trình
o
Kỹ thuật 8.1: Ép tích liên hợp căn với căn:
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai
ai
H
biến sau: 2x2 5xy 2 y 2 x 3y 1 5y 1 0
Phân tích
iD
Bước 1: Đặt y 100 , ta được:
On
Th
2x2 500x 20000 x 301 501 0
Sử dụng công cụ SOLVE ta được:
x 200 2.100 2 y
ai
/T
ps
x 3y 1 5y 1
ou
Li
thức ta được:
x 3 y 1 501
5 y 1 501
Do đó nhân tử cần tìm chính là:
eu
Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay
các giá trị x 200, y 100 vào các căn
Đến đây chú ý rằng liên hợp ngược:
x 3y 1 5y 1
gr
x 3y 1 5y 1 x 2 y
m/
Do vậy ta cần tách nhân tử x 2 y từ biểu thức 2 x2 5xy 2 y 2 .
k.
co
Điều này hoàn toàn không hề khó khăn bởi:
2x2 5xy 2 y 2 x 2 y 2x y
bo
o
Chú ý: Công đoạn phân tích nhân tử hai biến không chứa căn có thể được
thực hiện bằng một cách khác như sau:
Đặt y 100 , ta được:
w.
fa
ce
2x2 500x 20000
Sử dụng máy tính cầm tay giải phương
trình bậc 2 ta thu được các nghiệm:
x1 200 2.100 2 y
100 y
2
2
Do đó ta có thể viết lại như sau:
x2 50
15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
2x2 5xy 2 y 2 x 2 y 2x y
ai
H
o
Bài giải
Điều kiện xác định: x 3y 1 0,5y 1 0 .
Ta có: 2x2 5xy 2 y 2 x 3y 1 5y 1 0
x 3y 1 5y 1 0
Th
x 3y 1 5y 1 2x y x 3y 1
5 y 1 x 3 y 1 5 y 1 2 x y 1 0
x 3y 1
Li
Đến đây bài toán đã được phân tích nhân tử thành công.
ai
Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai
/T
biến sau: x y 1 x3 1 x2 y 1 1 0
gr
ou
x 101 x3 1 101x2 1 0
Sử dụng công cụ SOLVE ta được:
x 101 100 1 y 1
ps
Phân tích
Bước 1: Đặt y 100 , ta được:
co
m/
Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay
các giá trị x 101, y 100 vào các căn
bo
o
k.
thức ta được:
x 3 1 1015.036945
2
x y 1 1 1015.036945
Do đó nhân tử cần tìm chính là:
w.
fa
ce
x3 1 x2 y 1 1
Đến đây chú ý rằng liên hợp ngược:
x3 1 x2 y 1 1
x3 1 x2 y 1 1 x2 x y 1
Tuy nhiên khác với Ví dụ 1, trong bài toán này ta không thể tách được
nhân tử x2 x y 1 từ biểu thức x y 1 bên ngoài. Chính vì vậy ta cần
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5y 1 0
On
x 3y 1 5y 1
eu
iD
x 2 y 2x y
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
ai
H
trong điều kiện xác định, bởi nếu không sẽ xuất hiện nghiệm ngoại lai
không mong muốn.
Bài giải
x3 1 x2 y 1 1
x2
x3 1 x2 y 1 1
x3 1 x2 y 1 1 0
x3 1 x2 y 1 1 1 0
ai
On
x3 1 x2 y 1 1
eu
x3 1 x2 y 1 1 0
Li
Th
Ta có: x y 1 x3 1 x2 y 1 1 0
iD
Điều kiện xác định: x 1, x2 y 1 1 .
x2 x y 1 x2
ps
/T
Đến đây bài toán đã được phân tích nhân tử thành công.
Kỹ thuật 8.2: Ép tích liên hợp căn với đa thức hai biến:
Ví dụ 3: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai
gr
ou
biến sau: x2 y 2x 1 2x x2 y 0
Phân tích
m/
Bước 1: Đặt y 100 , ta được:
bo
o
k.
co
x2 99 2x 2x x2 100 0
Sử dụng công cụ SOLVE ta được:
x 5.116450524
Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay
các giá trị x 5.116450524, y 100 vào
fa
ce
căn thức ta được:
w.
o
nhân hai vế với x 2 , điều này là hoàn toàn có cơ sở bởi điều kiện xác định
của bài toán đó là x 1 .
Chú ý: Trong các bài tập tương tự, nhóm biểu thức nhân thêm vào cần phải
được khẳng định là các nhóm biểu thức luôn khác 0 với các giá trị x , y
x2 y 11.23290105
Chú ý rằng: 2x 10.23290105
Do đó ta có đánh giá:
x2 y 2 x 1
Vậy biểu thức cần tìm là:
17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
x2 y 2 x 1
Chú ý về liên hợp ngược:
x2 y 2x 1
x 2 y 2 x 1 y 3x 2 4 x 1
ai
H
o
Bài giải
Điều kiện xác định: x y 0 .
2
Ta có: x2 y 2x 1 2x x2 y 0
x y 2x 1
x2 y 2 x 1
2
iD
Th
x2 y 2x 1 0
x2 y 2x 1 0
x2 y 2x 1 2x
On
y 3x 2 4 x 1 2 x
x2 y 2x 1 0
eu
x2 y 1 0
Li
x2 y 2x 1 2x 2x 1 2 x
ai
Đến đây bài toán đã được phân tích nhân tử thành công.
/T
Ví dụ 4: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai
ps
biến sau: x y 1 x y 1 y 1 2xy 0
co
m/
gr
ou
Phân tích
Trong bài toán trước chúng ta đã phân tích về cách sử dụng SOLVE để truy
tìm nhân tử liên hợp, trong ví dụ này chúng ta sẽ đề cập về một dạng bài
toán phân tích nhân tử mà ý tưởng của tác giả muốn chúng ta sử dụng
phương pháp đánh giá. Tuy nhiên chúng ta vẫn có thể hóa giải được bằng
cách phân tích nhân tử thông qua chức năng TABLE kết hợp SOLVE:
Bước 1: Đặt y 100 , ta được:
bo
o
k.
x 99 x 101 99 200x 0
Sử dụng công cụ SOLVE ta thu được:
x 200 2.100 2 y
w.
fa
ce
Bước 2: Tuy nhiên điều cần kiểm chứng
là tính chất bội của nghiệm trên.
Nghiệm hữu tỷ rất có thể sẽ rơi vào
trường hợp nghiệm bội, vì vậy:
Sử dụng công cụ TABLE với:
F x x 99 x 101 99 200x
Lựa chọn START = 195, END = 205,
STEP = 1 để kiểm tra, ta nhận thấy rõ
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
rang nghiệm x 200 2 y là nghiệm bội
iD
ai
H
o
kép. Tất nhiên nghiệm này có thể thu
được thong qua cách sử dụng phương
pháp đánh giá (Hầu như các bài toán
bội kép đều có thể đánh giá được).
eu
On
Th
Tuy nhiên điểm yếu của phương pháp đánh giá là phải sử dụng đến yếu tố
bất đẳng thức. Trong chuyên đề “Ép tích” này, chúng ta sẽ tập trung vào
phương pháp phân tích nhân tử, vì vậy để có thể hóa giải bài toán trên, ta
sẽ đi tìm nhân tử giống như cách tìm nhân tử nghiệm kép cho phương
trình vô tỷ một biến.
Li
Đặt ax b x 101 99 , để tìm ra các giá trị a , b ta giải hệ phương trình:
/T
ai
ax b x 101 99
1
x 200
a
2
ax b ' x 101 99 '
b 1
x 200
1
Nhân tử cần tìm là x 1 x 101 99 hay x 2 2 x y 1 y 1 .
2
ou
ps
gr
m/
Tương tự như vậy ta sẽ tìm được nhân tử thứ hai là: x 2 y 2 2 xy .
k.
w.
fa
ce
bo
o
co
Chú ý: Việc tìm nhân tử thứ hai sẽ dễ dàng hơn nếu ta hiểu rằng, sau khi
tạo ra nhân tử thứ nhất, tất cả phần còn lại sẽ tạo ra nhân tử thứ hai.
Chú ý về liên hợp ngược:
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 2 x y 1 y 1 x 2 y 2
2
x 2 y 2 2 xy x 2 y 2 2 xy x 2 y
Để xây dựng được nhân tử ta cần đến kỹ thuật đảo căn liên hợp ngược.
Bài giải
Điều kiện xác định: xy 0, y 1, x y 1 2 .
Ta có: x y 1 x y 1 y 1 2xy 0
1
1
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 y 2 2 xy 0
2
2
19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Casio cho người mới bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)
x 1 y
2xy x y 1 y 1 0
ai
x 2 2 x y 1 y 1
On
eu
Li
Th
ai
H
iD
o
1
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 y 2 2 xy
2
1
x 2 y 2 2 xy x 2 y 2 2 xy 0
2
2
1
1
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 y 2 2 xy x 2 y 0
2
2
1
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 y 2 2 xy
2
1
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 2 x y 1 y 1 0
2
1
x 2 2 x y 1 y 1 x 2 y 2 2 xy x 2 2 x y 1 y 1 0
2
1
x 2 2 x y 1 y 1 2 x 2 y 2 2 xy 2 2 x y 1 y 1 0
2
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
/T
Đến đây bài toán đã được phân tích nhân tử thành công.
Chú ý:
Bản chất của kỹ thuật tìm liên hợp căn với đa thức chứa hai biến
chính là kỹ thuật ép tích cho bài toán nhân tử một biến trong đó
một biến đã bị tham số hóa “tạm thời”.
Để giải quyết tốt các bài toán này, học sinh cần phải nắm vững được
các kỹ thuật tìm nhân tử liên hợp cơ bản đã biết bao gồm:
o Tìm nhân tử trong trường hợp có nghiệm vô tỷ đơn.
o Tìm nhân tử trong trường hợp có nghiệm vô tỷ bội.
o Tìm nhân tử trong trường hợp có nghiệm hữu tỷ đơn.
o Tìm nhân tử trong trường hợp có nghiệm hữu tỷ bội.
o Tìm nhân tử trong trường hợp có đa nghiệm hữu tỷ.
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
- Xem thêm -