www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
Th
iD
ai
H
o
ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
m/
gr
ou
ps
/T
ai
Li
eu
Tập 5: Ưng chảo thủ
On
KÍNH LÚP TABLE
2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
Từ phương trình 2, ta thế y x2 3x 2 vào phương trình 1:
2
x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2
3
5x 2 x 2 3x 2
On
Th
x 2 3x 2 1 0
SHIFT CALC với x 4 ta thu được nghiệm x 3.732050808 .
2
iD
x x 2 3x 2
ai
H
o
2
2
3
2
2
xy x y y 5x y y 1 0
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2
x y 3x 2 0
PHÂN TÍCH CASIO
Với x 3.732050808 ta có y x2 3x 2 4.732050808 do đó y x 1 .
eu
Thay y x 1 vào hệ phương trình ta được:
ai
Li
2
2
3
2
2
3
2
xy x y y 5x y y 1 0
x 4 x x 0
2
2
x y 3x 2 0
x 4x 1 0
Vậy lấy x.PT 2 PT1 0 ta sẽ thu được nhân tử y x 1 .
ps
/T
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y
ou
2
2
3
2
2
xy x y y 5x y y 1 0
Ta có:
2
x y 3x 2 0
gr
m/
xy 2 x2 y y 3 5x2 y 2 y 1 x x2 y 3x 2 0
x3 xy2 x2 y y 3 2x2 y 2 xy 2x y 1 0
k.
co
x3 2 y x2 y 2 y 2 x y 3 y 2 y 1 0
PHÂN TÍCH CASIO
bo
o
Đặt y 100 , ta có: x3 2 y x2 y 2 y 2 x y 3 y 2 y 1 0
w.
fa
ce
x3 98x2 9902x 990099 0 , sử dụng máy tính ta được nghiệm x 99
Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử:
98
990099
1
9902
x
99
1
1
10001
0
Do đó: x3 98x2 9902x 990099 0 x 99 x2 x 10001 0
x 100 1 x2 x 10000 1 0 x 100 1 x2 x 1002 1 0
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
Ta có: x 2 y x y y 2 x y y y 1 0
x y 1 x x 1 y 0 y x 1 (Vì x x 1 y
Vì y 100 do đó ta có: x y 1 x2 x 1 y 2 0
2
2
2
3
2
2
2
2
0x, y
ai
H
Thay y x 1 vào phương trình thứ hai ta có:
x 2 y 3x 2 0 x 2 4 x 1 0 x 2 3
Th
iD
Với x 2 3 y x 1 3 3 .
Với x 2 3 y x 1 3 3 .
).
o
3
On
Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm x; y 2 3; 3 3 ; 2 3; 3 3
.
eu
Bình luận: Mấu chốt của bài toán nằm ở việc đánh giá y x 1 sau đó thay
ai
Li
vào hệ phương trình ta được mối quan hệ: x.PT 2 PT1 0 .
Tuy nhiên đây là nhóm biểu thức ở dạng dễ nhận diện, chúng ta có thể truy
ra giá trị x nhân thêm với phương trình 2 bằng cách xét:
ps
/T
PT 1 x3 4 x2 x
PT 2
x2 4 x 1
Sử dụng công cụ CALC với giá trị x 100 ta được kết quả là 100. Vậy:
m/
gr
ou
PT 1 x3 4x2 x
100 x x.PT 2 PT1 0
PT 2
x2 4 x 1
Tất nhiên đây là bài toán đơn giản, trong các bài toán tiếp theo chúng ta sẽ
có những cách kết nối hai phương trình khó hơn.
Chú ý: Giá trị x y 1 2x y 1 ... do đó có thể sử dụng các đánh giá
w.
fa
ce
bo
o
k.
co
y 1 PT 2 PT 1 0
kết nối hai phương trình như sau: 2 x y 1 PT 2 PT 1 0
....
Như vậy có rất nhiều cách kết nối hai phương trình và tùy vào tình huống
của bài toán ta sẽ có những cách đánh giá khác nhau.
3
2 2
3
3
3
2
2
x y 2 x y xy x y 2 x 2 y 1 0
Bài 2: Giải hệ phương trình: 2
2
x y 1
PHÂN TÍCH CASIO
Từ phương trình 2, ta có y 1 x2 . Xét y 1 x2 , thay vào phương
4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
trình 1 ta có:
2
3
3
2
x3 1 x2 2 x2 1 x2 x 1 x2 x3 1 x2 2 x2 2 1 x2 1 0
ai
H
4
3
2
4 x 8 x 4 x 0
Thay y 1 x vào hệ phương trình ta được:
2
2 x 2 x 0
iD
o
x 0 y 1
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được 2 cặp nghiệm:
x 1 y 0
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là x y 1 hay y 1 x
On
2
Th
2
4 x4 8 x3 4 x2 0 do đó PT1 PT 2 0 khi đó sẽ
xuất hiện nhân tử x y 1 .
Vì 2 x2 2 x
ai
3
2 2
3
3
3
2
2
x y 2 x y xy x y 2 x 2 y 1 0
2
2
x y 1
Li
eu
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
0 x y 1 x
ps
x4 y 4 x3 y xy3 x3 y3
/T
x3 y 2x2 y 2 xy 3 x3 y 3 2x2 2 y 2 1 x2 y 2 1
3
2
0
y3 0
ou
Trường hợp 1: x y 1 hay y 1 x . Thay y 1 x vào phương trình 2 ta
m/
gr
x 0 y 1
được: 2 x 2 2 x 0
.
x 1 y 0
Trường hợp 2: x3 y 3 0 y x . Thay y x vào phương trình hai ta
1
co
được: 2 x2 1 x
,y
1
x
1
,y
1
bo
o
k.
.
2
2
2
2
Kết luận: Hệ phương trình có 4 cặp nghiệm phân biệt:
x; y 1; 0 , 0;1 , 1 ; 1 , 1 ; 1
2
2 2
2
w.
fa
ce
Chú ý: Nếu các nghiệm tìm được lúc đầu không phải là 0 và 1 ta vẫn có thể
tìm được ra định hướng giải toán cho bài hệ phương trình:
PHÂN TÍCH CASIO
Từ phương trình 2, ta có y 1 x2 . Xét y 1 x2 , thay vào phương
trình 1 ta có:
2
3
3
2
x3 1 x2 2 x2 1 x2 x 1 x2 x3 1 x2 2 x2 2 1 x2 1 0
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được nghiệm x 0.707106781 .
Thay x 0.707106781 ta có y 1 x2 0.707106781 x
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là x y 0 hay y x .
ai
H
o
4
2
4 x 4 x 1 0
Thay y x vào hệ phương trình ta được:
2
2 x 1 0
Th
2
iD
2
Vì 2 x2 1 4 x4 4 x2 1 0 do đó PT1 PT 2 0 khi đó sẽ xuất
hiện nhân tử x y 0 .
eu
Li
3
2 2
3
3
3
2
2
x y 2 x y xy x y 2 x 2 y 1 0
2
2
x y 1
On
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
0 x y 1 x
3
2
0
y3 0
/T
x4 y 4 x3 y xy3 x3 y3
ai
x3 y 2x2 y 2 xy 3 x3 y 3 2x2 2 y 2 1 x2 y 2 1
Trường hợp 1: x y 1 hay y 1 x . Thay y 1 x vào phương trình 2 ta
được: 2 x2 1 x
1
gr
ou
ps
x 0 y 1
được: 2 x 2 2 x 0
.
x 1 y 0
Trường hợp 2: x3 y 3 0 y x . Thay y x vào phương trình hai ta
,y
1
x
1
,y
1
bo
o
k.
co
m/
.
2
2
2
2
Kết luận: Hệ phương trình có 4 cặp nghiệm phân biệt:
x; y 1; 0 , 0;1 , 1 ; 1 , 1 ; 1
2
2 2
2
w.
fa
ce
Bình luận: Bài toán có bốn cặp nghiệm bao gồm 2 cặp nghiệm hữu tỷ và 2
cặp nghiệm vô tỷ. Và để tìm được mối quan hệ giữa hai biến số ta chú ý
như sau:
Nếu hai biến số có nghiệm vô tỷ thì chỉ cần 1 cặp nghiệm vô tỷ, ta
có thể tìm ra mối quan hệ giữa hai biến số.
Nếu hai biến số có nghiệm hữu tỷ thì ta cần ít nhất 2 cặp nghiệm
hữu tỷ mới tìm ra được mối quan hệ này.
Tìm nghiệm của hệ phương trình là công việc vô cùng quan trọng, thông
thường chúng ta chọn các phương trình có bậc nhất hoặc tối đa là bậc 2 đối
6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
với một biến số, ta có thể sử dụng phương pháp thế để tìm nghiệm của
phương trình.
ai
H
o
2
2 x 3 3x 1 3 y 2 y 2 y 1
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2
2
15x 4 y 2 x 2 xy 12 0
y 1 59 y 2 2 y 181
15
2 y 2 2 59 y 2 2 y 181
15
3
.
Th
15
thay vào phương trình 1 ta có:
3 y 3 3 59 y 2 2 y 181
On
Chọn x
y 1 59 y 2 2 y 181
eu
Từ phương trình 2, ta có x
iD
PHÂN TÍCH CASIO
15
1 3y2 2 y 2 y 1
Li
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được nghiệm y 1.485177807
ai
Thay y 1.485177807 ta được x
y 1 59 y 2 2 y 181
/T
0.3234518715
15
Chú ý rằng 3 0.3234518715 2 1.485177807 2 do đó 2 y 3x 2
ps
Thay 2 y 3x 2 vào hai phương trình ta được:
co
☺Bài giải:
m/
gr
ou
27 2
2
x 4x 2 0
2 x 3 3x 1 3 y 2 y 2 y 1
4
2
2
27 x 2 16 x 8 0
15x 4 y 2 x 2 xy 12 0
Như vậy ta thấy: 4.PT 2 PT1 0 ta sẽ có nhân tử 2 y 3x 2 .
bo
o
k.
1
1
Điều kiện xác định: x ; y .
3
2
2
2 x 3 3x 1 3 y 2 y 2 y 1
Ta có:
2
2
15x 4 y 2 x 2 xy 12 0
w.
fa
ce
4 2x 3 3x 1 3y 2 2 y 2 y 1 15x2 4 y 2 2x 2xy 12 0
15x2 8 y 2 10 x 2 xy 8 y 4
3x 2 2 y 5x 4 y
3x 1 2 y 1 0
4 3x 2 2 y
3x 1 2 y 1
0
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4
0 (*)
3x 2 2 y 5x 4 y
3
x
1
2
y
1
4
1
1
5
Vì x ; y 5x 4 y 2 0 do đó 5x 4 y
0
3
2
3
3x 1 2 y 1
8 2 70
8 2 70
(Thỏa mãn) hoặc x
(Không
27
27
iD
27 x2 16x 8 0 x
Th
thỏa mãn điều kiện).
8 2 70
5 70
.
,y
27
9
Li
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x
On
8 2 70
3x 2 5 70
ta có y
.
27
2
9
eu
Với x
ai
H
Vậy (*) 2 y 3x 2 . Thay vào phương trình thứ hai ta được:
ai
Bình luận: Nút thắt lớn nhất của bài toán nằm ở chỗ chỉ ra mối quan hệ
2 y 3x 2 và thay vào hai phương trình trong hệ ban đầu.
ps
/T
Vấn đề 1: Để tìm ra mối liên hệ giữa 2 biến số, chúng ta có thể tư duy theo
một cách khác như sau:
Trong bài có hai biểu thức chứa căn nên ta có thể đặt giả thiết:
ou
3x 1 2 y 1 2 y 3x 2
gr
Vấn đề 2: Để tìm ra mối liên hệ giữa 2 biến số, ta cũng có thể xuất phát từ
nghiệm vô tỷ: x 0.3234518715, y 1.485177807
m/
Nếu việc phát hiện ra mối quan hệ 2 y 3x 2 gặp trở ngại, ta có thể sử
k.
co
dụng máy tính để tìm ra như sau:
Gán giá trị x 0.3234518715 vào biến A , y 1.485177807 vào biến B .
bo
o
Sử dụng công cụ TABLE với
F X AX B
START = 3
END = 3
STEP = 0.5
Khi đó dựa vào bảng giá trị TABLE như
hình bên ta kết luận như sau:
Tại giá trị X 1.5 ta có:
F X AX B 0.999999999998 1
ce
fa
w.
Do đó ta đánh giá:
X
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
o
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
F X
0.353
0.5148
0.6765
0.8382
0.9999
1.1617
1.3234
1.4851
1.6469
8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
1.8086
1.9703
2.132
2.2938
2.4555
o
1
1.5
2
2.5
3
ai
H
1.5A B 1 3A 2B 2 3A 2 2B
Chú ý rằng:
x 0.3234518715 A
y 1.485177807 B
Do đó: 2 y 3x 2
Li
eu
On
Th
kết giữa hai phương trình bằng cách tư duy như sau:
3x 2
Đặt x 100 y
151 . Thay vào hệ phương trình ta được:
2
2
2 x 3 3x 1 3 y 2 y 2 y 1
67898 0
2
2
271592 0
15x 4 y 2 x 2 xy 12 0
271592
Vì
4 do đó 4.PT 2 PT1 0 ta sẽ có nhân tử 2 y 3x 2 .
67898
iD
Vấn đề 3: Sau khi đã có mối quan hệ 2 y 3x 2 , ta có thể chỉ ra mối liên
ps
/T
ai
2
2 y y 3 x 1 0
Bài 4: Giải hệ phương trình:
3
2
3
2
2 x y 6 x 1 y x y y
PHÂN TÍCH CASIO
gr
trình thứ 2 trong hệ ta có:
ou
Từ phương trình 1 trong hệ , ta rút x
3
2 y 2 y 3
và thế vào phương
3
2
co
m/
2 y 2 y 3
2 y 2 y 3
2 y 2 y 3
2
y2 6
1 y3
y y
3
3
3
SHIFT CALC với x 1 ta thu được nghiệm x 1,380199322 .
k.
2 y 2 y 3
0,1900996612 do đó y 2x 1 .
3
Thay y 2x 1 vào hệ phương trình ta được:
bo
o
Với y 1,380199322 ta có x
w.
fa
ce
2
8 x 2 9 x 2 0
2 y y 3 x 1 0
3
3
2
2
3
2
8 x 9 x 2 x 0
2 x y 6 x 1 y x y y
Vậy lấy x.PT1 PT 2 0 ta sẽ thu được nhân tử y 2x 1
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
2
2 y y 3 x 1 0
Ta có hệ:
3
2
3
2
2 x y 6 x 1 y x y y
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
2 x 3 y 2 6 x 1 y 3 x 2 y y x 2 y 2 y 3x 3 0
2x3 y 2 6x 1 y 3 x2 y y 2xy 2 xy 3x2 3x 0
y 3 2x 1 y 2 x2 x 1 y 2x3 3x2 3x 1 0
ai
H
o
PHÂN TÍCH CASIO
Thay giá trị x 100 vào phương trình ta có:
iD
y 3 2x 1 y 2 x2 x 1 y 2x3 3x2 3x 1 0
Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử:
y
1
201
201
1
0
eu
10101
10101
On
Th
y3 201y 2 10101y 2030301 0 , sử dụng máy tính ta được nghiệm
y 201
2030301
0
1002 100 1 0
x2 x 1 0
ps
2
/T
Vì x 100 do đó ta có: y 2x 1 y
2
ai
y 200 1 y
y 200 1 y 2 10000 100 1 0
Li
Do đó: y3 201y2 10101y 2030301 0 y 201 y 2 10101 0
ou
Ta có: y 3 2x 1 y 2 x2 x 1 y 2x3 3x2 3x 1 0
y 2x 1 0
y 2 x 1 y 2 x 2 x 1 0 2
(*)
2
y x x 1 0
m/
gr
nên (*) y 2x 1
co
Do x2 x 1 y 2 0x, y
Thay y 2x 1 vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
2 2 x 1 2 x 1 3 x 1 0
bo
o
k.
2
8x2 9x 2 0 x
9 145
16
ce
9 145
1 145
y 2x 1
16
8
9 145
1 145
Với x
y 2x 1
16
8
Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm
x; y 9 16145 ; 1 8 145 ; 9 16145 ; 1 8 145
w.
fa
Với x
10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Bình luận: Bài toán thường gặp khó khăn trong việc tìm mối liên hệ giữa 2
giá trị x và y. Do đó bạn đọc cần phải nắm vững cách tìm mối liên hệ thông
dụng nhất:
Gán giá trị x 0,1900996612 vào biến A , y 1,380199322 vào biến B
ai
H
Rồi dùng tính năng TABLE với
F X AX B của máy tính để tìm mối quan hệ.
Th
iD
Cách thức này an toàn và chính xác nhất
ai
Li
eu
On
2
3
3
2
2 x y 3xy x 1 0
Bài 5: Giải hệ phương trình:
2
3x x y 1 0
PHÂN TÍCH CASIO
Từ phương trình thứ 2 trong hệ , ta rút y 3x2 x 1 và thế vào phương
trình thứ nhất trong hệ ta có:
2x3 3x2 x 1 3x 3x2 x 1 x 1 0
2
2
/T
3
ps
SHIFT CALC với x 0 ta thu được nghiệm x 0 y 1
1
5
y
3
3
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là y 2x 1
ou
SHIFT CALC với x 1 ta thu được nghiệm x
gr
Thay y 2x 1 vào hệ phương trình ta được:
co
m/
2
3
2
3
3
2
2 x y 3xy x 1 0
6 x x x 0
2
2
3x x y 1 0
3x x 0
k.
Đến đây khá khó khăn phát hiện ra mối quan hệ giữa 2 phương trình
nhưng nếu chúng ta để ý kỹ ta sẽ nhận thấy
bo
o
2x 1 3x2 x 6x3 x2 x mà y 2x 1
Vậy lấy y.PT 2 PT1 0 ta sẽ thu được nhân tử y 2x 1
w.
fa
ce
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
2
3
3
2
2 x y 3xy x 1 0
Ta có hệ:
2
3x x y 1 0
2x3 y 3 3xy 2 x 1 y 3x2 x y 1 0
2
o
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
2x3 y 3 3xy 2 x2 2x 1 3x2 y xy y 2 y 0
y 3 3x 1 y 2 3x2 x 1 y 2x3 x2 2x 1 0
PHÂN TÍCH CASIO
Thay giá trị x 100 vào phương trình ta có:
o
ai
H
y 3 3x 1 y 2 3x2 x 1 y 2x 3 x 2 2x 1 0
30101
10001
2010201
0
On
Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử:
y
1
301
1
100
201
Th
iD
y3 301y 2 30101y 2010201 0 , sử dụng máy tính ta được nghiệm
y 201
Li
y 2.100 1 y 2 100 y 1002 1 0
eu
Do đó: y3 301y 2 30101y 2010201 0 y 201 y 2 100 y 10001 0
ai
Vì x 100 do đó ta có: y 2x 1 y 2 xy x2 1 0
/T
Ta có: y 3 3x 1 y 2 3x2 x 1 y 2x 3 x 2 2x 1 0
nên (*) y 2x 1
gr
Do x2 xy 1 y 2 0x, y
ou
ps
y 2x 1 0
(*)
y 2 x 1 y 2 xy x 2 1 0 2
2
y x xy 1 0
Thay y 2x 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:
1
5
y 2 x 1
3
3
bo
o
Với x
k.
co
m/
x 0
3x 2 x 2 x 1 1 0 3x 2 x 0
x 1
3
Với x 0 y 2x 1 1
w.
fa
ce
1 5
Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm x; y 0; 1 ; ;
3 3
Bình luận: Bài toán có những điểm cần chú ý:
Thứ nhất: mối quan hệ giữa 2 nghiệm: giả sử y ax b khi đó ta coi
1 5
là đường thẳng đi qua 2 điểm của đồ thị 0; 1 và ; khi đó
3 3
12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
o
ai
H
b 1
a 2
ta giải hệ phương trình: 5 1
vậy là đã tìm được
a b b 1
3 3
mối quan hệ giữa 2 giá trị x và y của hệ phương trình
Thứ 2: Sau khi thay y 2x 1 vào 2 phương trình trong hệ nhận
On
Th
iD
thấy khá khó khăn để tìm mối quan hệ. Nếu khi cảm thấy khó khăn
1 y
như vậy chúng ta nên thử thay ngược giá trị x
các bạn sẽ
2
thấy dễ dàng tìm mối quan hệ này hơn
Li
eu
3
3
2
2
x y 2 xy 2 x 2 x 4 0
Bài 6: Giải hệ phương trình: 2
x x y 1 0
3
/T
trình thứ nhất trong hệ ta có:
ai
PHÂN TÍCH CASIO
Từ phương trình thứ 2 trong hệ , ta rút y x2 x 1 và thế vào phương
2
ps
x3 x2 x 1 2x x2 x 1 2x2 2x 4 0
SHIFT CALC với x 0,5 ta thu được nghiệm x 1 y 3
ou
SHIFT CALC với x 0,5 ta thu được nghiệm x 1 y 1
gr
Giả sử mối quan hệ giữa x và y là: y ax b
co
m/
a b 3
a 1
Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:
a b 1 b 2
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là y x 2
k.
Thay y x 2 vào hệ phương trình ta được:
w.
fa
ce
bo
o
3
3
2
2
3
2
x y 2 xy 2 x 2 x 4 0
2 x 4 x 2 x 4 0
2
2
x x y 1 0
x 1 0
Đến đây khá khó khăn phát hiện nhanh ra mối quan hệ giữa 2 phương
trình nhưng nếu chúng ta để ý kỹ ta sẽ nhận thấy
2x3 4x2 2x 4 x 2 2 x2 2 2 x2 1 x 2 mà y x 2
Vậy lấy 2 y.PT 2 PT1 0 ta sẽ thu được nhân tử y x 2
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
3
3
2
2
x y 2 xy 2 x 2 x 4 0
Ta có hệ: 2
x x y 1 0
x3 y 3 2xy 2 2x2 2x 4 2 y x2 x y 1 0
2x 2 y 2x 2x 2 y x
o
x3 y 3 2xy 2 2x2 2x 4 2x2 y 2xy 2y 2 2y 0
3
2x2 2x 4 0
PHÂN TÍCH CASIO
Thay giá trị x 100 vào phương trình ta có:
y 3 2 x 2 y 2 2 x2 2 x 2 y x3 2x2 2x 4 0
iD
2
Th
2
On
y3
ai
H
y 3 y 2 2x 2 y 2x2 2x 2 x3 2x2 2x 4 0
1020204
0
ai
20202
10002
/T
Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử:
202
y
1
100
102
1
Li
eu
y3 202 y 2 20202 y 1020204 0 , sử dụng máy tính ta được nghiệm
y 102
Do đó: y3 202 y2 20202 y 1020204 0 y 102 y 2 100 y 10002 0
ps
y 100 2 y 2 100 y 1002 2 0
ou
gr
Vì x 100 do đó ta có: y x 2 y 2 xy x2 2 0
m/
Ta có: y 3 2x 2 y 2 2x2 2x 2 y x3 2x2 2x 4 0
co
y x 2 0
y x 2 y 2 xy x2 2 0 2
(*)
2
y xy x 2 0
k.
Do y 2 xy x2 2 0x, y
nên (*) y x 2
bo
o
Thay y x 2 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:
x2 x y 1 0 x2 x x 2 1 0 x2 1 x 1
w.
fa
ce
Với x 1 y x 2 3
Với x 1 y x 2 1
Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm x; y 1; 3 ; 1;1
3
3
4
2 2
2
2
x y xy 5 y 4 x y 3x 3 y 1 0
Bài 7: Giải hệ phương trình: 2
2
x 2 y 1
14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
PHÂN TÍCH CASIO
1 x2
1 x2
. Xét y
, thay vào phương
2
2
Từ phương trình 2, ta có y
3
o
trình 1 ta có:
2
2
1 x2
1 x2
1 x2
2 1 x
2
x
5
4 x
3x 3
1 0
2
2
2
2
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được nghiệm x 0,5773502629
iD
ai
H
1 x2
x
2
3
1 x2
0,5773502723 x
2
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là x y
On
Th
y
3x
2
1 9 x4 6 x2 1 0 do đó PT1 PT 2 0 khi đó sẽ xuất
2
2
ai
Vì
Li
eu
9 x 4 6 x 2 1 0
Thay x y vào hệ phương trình ta được: 2
3x 1
/T
hiện nhân tử x y
ps
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
gr
x y xy
ou
3
3
4
2 2
2
2
x y xy 5 y 4 x y 3x 3 y 1 0
2
2
x 2 y 1
1 x
2
3
5 y 4 4 x 2 y 2 3x 2 3 y 2
co
3
m/
x3 y xy 3 5y 4 4x2 y 2 3x 2 3y 2 1 x 2 2 y 2 1 0
x4 y 4 y 2 x3 y xy 3 x2 0
y x
k.
x
4
4 y 4 1 4x 2 y 2 2x 2 4 y 2 0
bo
o
x2 y 2 x2 y 2 xy x2 y 2 x2 y 2 0
2
2
2
y 2 xy 1 0 (*)
ce
Do x2 y 2 xy 1 0x; y R nên (*) x2 y 2 0 x2 y2 x y
w.
fa
Trường hợp 1: x y Thay vào phương trình 2 ta được:
3
3
y
3
3
Trường hợp 2: x y Thay vào phương trình 2 ta được:
x 2 2 y 2 1 3x 2 1 x
x 2 2 y 2 1 3x 2 1 x
3
y
3
3
3
15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
x 1 x
3
x 2 3x 1 x 2 3x 1
2
2
On
trình thứ nhất trong hệ ta có:
Th
iD
ai
H
2
2
2
3
2
xy x y y xy y 3x x 2
Bài 8: Giải hệ phương trình: 2
x y 3x 1 0
PHÂN TÍCH CASIO
Từ phương trình thứ 2 trong hệ , ta rút y x2 3x 1 và thế vào phương
o
Kết luận: Hệ phương trình có 4 cặp nghiệm phân biệt:
x; y 33 ; 33 , 33 ; 33 , 33 ; 33 , 33 ; 33
3x 1 x x 2 3x 2 x 2 0
eu
SHIFT CALC với x 1 ta thu được nghiệm x 0,7320508076
Li
y x2 3x 1 1,732050808 x 1
ai
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là y x 1
Thay y x 1 vào hệ phương trình ta được:
ou
ps
/T
2
2
2
3
2
3
2
xy x y y xy y 3x x 2
x 3x 2 0
2
2
x y 3x 1 0
x 2 x 2 0
Đến đây khá khó khăn phát hiện nhanh ra mối quan hệ giữa 2 phương
trình nhưng nếu chúng ta để ý kỹ ta sẽ nhận thấy
gr
x3 3x2 2 x 1 x2 2x 2
m/
Vậy lấy x 1 .PT 2 PT1 0 ta sẽ thu được nhân tử y x 1
k.
co
☺Bài giải:
Điều kiện xác định: x , y .
bo
o
2
2
2
3
2
xy x y y xy y 3x x 2
Ta có hệ: 2
x y 3x 1 0
ce
xy 2 x2 y y 2 xy y 3 3x2 x 2 x 1 x2 y 3x 1 0
w.
fa
xy2 x2 y y2 xy y3 3x2 x 2 x3 xy 3x2 x x2 y 3x 1 0
x3 y 3 xy 2 x2 y 1 x2 y 2 x y 0
x3 x2 y 1 x y 2 1 y 3 y 2 y 1 0
PHÂN TÍCH CASIO
Thay giá trị y 100 vào phương trình ta có:
16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
x3 99x2 10001x 990099 0 , sử dụng máy tính ta được nghiệm x 99
Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử:
x
1
10001
99
990099
99
1
0
10001
0
ai
H
Do đó: x3 99x2 10001x 990099 0 x 99 x2 10001 0
iD
x 100 1 x2 1002 1 0
Th
Vì y 100 do đó ta có: x y 1 x2 y 2 1 0
Do x2 y 2 1 0x, y
Li
nên (*) y x 1
ai
eu
x y 1 0
(*)
x y 1 x2 y 2 1 0 2
2
x y 1 0
On
Ta có: x3 x2 y 1 x y 2 1 y 3 y 2 y 1 0
/T
Thay y x 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:
ou
Với x 1 3 y x 1 3
ps
x2 y 3x 1 0 x2 2x 2 0 x 1 3
Với x 1 3 y x 1 3
m/
gr
Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm x; y 1 3; 3 ; 1 3; 3
k.
co
2
2
4 x y xy 7 x 3 y 4 0
Bài 9: Giải hệ phương trình: 2
2
x x 2x 1 y y y 2
bo
o
PHÂN TÍCH CASIO
ce
Từ phương trình thứ nhất trong hệ, ta có x
w.
fa
Chọn x
y 7 15 y 2 34 y 113
8
o
x3 x2 y 1 x y 2 1 y 3 y 2 y 1 0
y 7 15 y 2 34 y 113
8
.
thay vào phương trình thứ hai trong hệ
ta có:
2
y 7 15 y 2 34 y 113 y 7 15 y 2 34 y 113
8
8
17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
y 3 15 y 2 34 y 113
y2 y y 2
4
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được hai nghiệm đó là:
Th
iD
ai
H
o
y 7 15 y 2 34 y 113
x
y 1
0
8
1
y
y 7 15 y 2 34 y 113 1
3
x
8
3
1 1
Ta tìm được 2 cặp giá trị 0; 1 ;
3 3
On
Giả sử mối quan hệ giữa x và y là: y ax b
ai
Li
eu
b 1
a 2
Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình: 1
1
b 1
ab
3
3
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là y 2x 1
/T
Thay y 2x 1 vào hệ phương trình ta được:
ou
ps
2
2
6 x 2 2 x 0
4 x y xy 7 x 3 y 4 0
2
2
2
3x x 0
x x 2x 1 y y y 2
Như vậy ta thấy: 2.PT 2 PT1 0 ta sẽ có nhân tử y 2x 1 .
gr
☺Bài giải:
k.
co
m/
1
Điều kiện xác định: x ; y 2 .
2
2
2
4 x y xy 7 x 3 y 4 0
Ta có: 2
2
x x 2x 1 y y y 2
bo
o
4x2 y 2 xy 7 x 3y 4 2 x2 x 2x 1 y 2 y y 2 0
4x2 y 2 xy 7 x 3y 4 2x2 2x 2 2x 1 2 y 2 2 y 2 y 2 0
w.
fa
ce
6x2 y 2 xy 5x 5y 4 2 2x 1 2 y 2 0
6 x2 y 5 x y 2 5y 4 2
2x 1 y 2 0
Chú ý: Đến đây nếu các bạn cảm thấy khó khăn khi phân tích nhân tử
thành phần 6x2 y 5 x y 2 5y 4 thì có 2 cách.
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 để tìm mối quan hệ
18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
Dùng máy tính để phân tích nhân tử bằng tính năng thay y 100
iD
2
0 (*)
2 x y 1 3x y 4
2 x 1 y 2
1
3
Vì x ; y 2 3x y 4 2 4 0 do đó
2
2
2
3x y 4
0
2x 1 y 2
ai
H
0
Th
2x 1 y 2
On
2x y 1
eu
2 x y 1 3x y 4 2
o
và dung tính năng SHIFT CALC để hóa giải.
2x 1 y 2
2 x y 1 3x y 4 2
0
2x 1 y 2
Li
Vậy (*) y 2x 1 . Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta được:
2
1
1
y 2x 1
3
3
ou
Với x
ps
/T
2
ai
1
x
4 x y xy 7 x 3 y 4 0 6 x 2 x 0
3 (thỏa mãn điều kiện)
x
0
Với x 0 y 2x 1 1
2
co
m/
gr
1 1
Kết luận: Hệ phương trình có hai cặp nghiệm x; y 0; 1 ; ;
3 3
bo
o
k.
2
2
x x 2 x 1 y 2 y 2 2 y 1
Bài 10: Giải hệ phương trình: :
2
2
4 x 2 y 2 x 3 y 11 0
PHÂN TÍCH CASIO
w.
fa
ce
Từ phương trình thứ hai trong hệ, ta có x
Chọn x
1 8 y 2 12 y 45
4
1 8 y 2 12 y 45
4
.
thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta
có:
2
1 8 y 2 12 y 45 1 8 y 2 12 y 45
5 8 y 2 12 y 45
2
4
4
4
19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
y2 2y 2 2y 1 0
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được nghiệm là: y 0,7769839649
1,138491983
4
Đến đây chúng ta khó tìm ra mối quan hệ vì các hệ số không giống nhau ở
phần sau dấu phẩy hoặc cộng trừ với nhau ra mối quan hệ là số nguyên.
Nhưng nếu các bạn quan sát kỹ thì nhận thấy có khả năng
o
1 8 y 2 12 y 45
iD
ai
H
Thay vào x
2 x 1 2 y 1 4x 2 y 3 0
On
Th
Thay giá trị nghiệm vừa tìm được vào biểu thức:
4.1,138491983 2.0,7769839649 3 2,2.109 0
eu
Do đó mối quan hệ biểu thức cần tìm là 4 x 2 y 3 0 y 2 x
3
2
3
vào hệ phương trình ta được:
2
11
2
2
2
0
x x 2 x 1 y 2 y 2 2 y 1
3x x
4
2
2
12 x 2 4 x 11 0
4 x 2 y 2 x 3 y 11 0
ps
/T
ai
Li
Thay y 2 x
ou
Như vậy ta thấy: 4.PT1 PT 2 0 ta sẽ có nhân tử y 2 x
1
.
2
gr
☺Bài giải:
3
2
m/
Điều kiện xác định: x 1; y
co
2
2
x x 2 x 1 y 2 y 2 2 y 1
Ta có:
2
2
4 x 2 y 2 x 3 y 11 0
k.
4x2 2 y 2 2x 3y 11 4 x2 x 2 x 1 y 2 2 y 2 2 y 1 0
bo
o
4x2 2 y 2 2x 3y 11 4x2 4x 8 x 1 4 y 2 8 y 8 4 2 y 1 0
ce
8 x2 2 y 2 2 x y 3 8 x 1 4 2 y 1 0
w.
fa
8 x2 2 x 2 y 2 y 3 4 2 x 1 2 y 1 0
Chú ý: Đến đây nếu các bạn cảm thấy khó khăn khi phân tích nhân tử
thành phần 8x2 2x 2 y 2 y 3 thì nên dùng công thức nghiệm của
phương trình bậc 2 để tìm mối quan hệ vì mối quan hệ nghiệm khá lẻ nên
khá khó khăn với việc phát hiện tìm mối quan hệ bằng tính năng SHIFT
CALC
20
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải
2 x 1 2y 1
0
4
0 (*)
4x 2 y 3 2x y 1
2 x 1 2 y 1
4
1
Vì x 1; y 2x y 1 0 do đó 2 x y 1
0
2
2 x 1 2y 1
iD
3
. Thay vào phương trình thứ hai trong
2
hệ ta được:
1 34
(thỏa mãn điều kiện)
6
1 34
3 7 2 34
Với x
y 2x
6
2
6
ps
/T
ai
Chỉ có giá trị x
Li
eu
On
1 34
x
6
4x2 2 y 2 2x 3y 11 0 12x2 4x 11 0
1 34
x
6
Th
Vậy (*) 4 x 2 y 3 0 y 2 x
o
4x 2 y 3
ai
H
4 x 2 y 3 2 x y 1 4.
1 34
7 2 34
.
,y
6
6
gr
ou
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x
k.
co
m/
2
2
2 x x 2 x 1 y y 2 y 1
Bài 11: Giải hệ phương trình: :
2
2
xy x 2 y 7 x 2 0
PHÂN TÍCH CASIO
bo
o
Từ phương trình thứ hai trong hệ, ta có y
w.
fa
ce
Chọn y
x 7 x2 56 x 16
.
4
x 7 x2 56 x 16
thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta
4
2
x 7 x 2 56 x 16 x 7 x 2 56 x 16
có: 2 x x 2 x 1
4
4
2
x 2 7 x 2 56 x 16
0
2
Sử dụng SHIFT CALC ta thu được nghiệm là:
21
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
- Xem thêm -
.PDF 
51 
57 
96 
