Tài liệu Kính lúp table tập 03

ai H LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp Ép tích trong thời gian qua đã khiến vô số các em học sinh, các thầy cô giáo và cả những người đam mê toán học đau đầu về phương pháp nhóm nhân tử đặc biệt này. Có rất nhiều thủ thuật Ép tích nhưng hôm nay, nhóm tác giả chúng tôi xin chia sẻ một phần của bí quyết đó. Đoàn Trí Dũng – Trần Đình Khánh o ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH iD Cuốn sách này thuộc về Bản Làng Casio Men – Già Làng: Đoàn Trí Dũng w. fa ce bo o k. co m/ gr ou ps /T ai Li eu On Th Mọi chi tiết xin vui lòng ngâm cứu Website: casiomen.com 180 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH A. ÉP TÍCH BẰNG ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN /T ai Li eu On Th iD ai H I. Đặt vấn đề: Phương pháp ép tích bằng đặt ẩn phụ hoàn toàn là phương pháp dùng để nhóm các biểu thức chứa căn thành dạng tích thông qua việc giản ước các căn thức bằng cách đặt ẩn phụ. Trong mục này, chúng ta sẽ ưu tiên các phương pháp đặt ẩn phụ và biến đổi để rèn luyện tư duy ẩn phụ và biến đổi tương đương. II. Các phương pháp cơ bản của đặt ẩn phụ hoàn toàn ép tích:  Đặt một ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử.  Đặt hai ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử.  Đặt từ 3 ẩn phụ trở lên kết hợp nhóm nhân tử.  Đặt một ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình.  Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình. II. Bài tập áp dụng: o TOÀN ps Bài 1: Giải phương trình: 2x2  x  1  7  x  1 x  1 x  1  x  t 2  1, t  0 . gr Đặt t  ou Cách 1: Đặt một ẩn phụ và nâng lũy thừa: Điều kiện xác định: x  1 .   m/ Khi đó ta có: 2 x2  x  1  7  x  1 x  1  2 t 2  1  t 2  2  7 t 3  0   2 co  2t 4  7t 3  5t 2  4  0  2 t 2  t  1  t  2   0  k. 2     2 x  1  x  1  1    bo o  2x  2  x  1  1  x 1  2 x 1  2  w. fa ce Vì 2 x  1  x  1  0x  1 do đó 2  2 2 0   0  2x  1  x  1  x 1  2  2 0 x 1  2  x  5 . Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  5 . Cách 2: Đặt một ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình: Điều kiện: x  1 . Xét phương trình 2x2  x  1  7  x  1 x  1 Đặt y  4 x  1  3 . Khi đó ta có hệ phương trình : 181 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  2 7  x  1 y  3  8 x 2  7 xy  17 x  7 y  25  0 2 x  x  1    2 4   y  16 x  6 y  25  0  y  3 2  16 x  1              8 x  y  1 x  y   0  8 x  4 x  1  3  1 x  4 x  1  3  0     x  1  2x  1  1  0 .  On Với x  1 ta có Th   x  1  2x  1 4 x  1  x  3  0 iD  ai H 2  8 x  7 xy  17 x  7 y  25  0  8 x2  7 xy  17 x  7 y  25  y 2  16 x  6 y  25  0  2   y  16 x  6 y  25  0  eu Do đó :  x  1  2 x  1 4 x  1  x  3  0  4 x  1  x  3  0  16  x  1   x  3    x  5   0  x  5 2 Li 2 ai Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  5 . ps /T Bài 2: Giải phương trình: x2  x  2  3  x  x Phân tích ou Ẩn phụ cần đặt: t  x  0 Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: gr t4  t2  t  2  3  t2  0  m/ Nhân tử liên hợp cần tìm: t  1  3  t 2  Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: k. co t  1  3  t2 t  1   3  t 2  2t 2  2t  2 bo o Bài giải Đặt một ẩn phụ và nhóm nhân tử: Điều kiện: 0  x  3 . Đặt t  x  0 . w. fa ce Khi đó: x2  x  2  3  x  x  t 4  t 2  t  2  3  t 2  0   t     t 4  t 2  2t  1  t  1  3  t 2  0  2       t  1 t2  t  1  t  1  3  t2  0     1 2 2t  2t  2 t 2  t  1  t  1  3  t 2  0 2 182 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 o Trừ hai vế của hai phương trình trong hệ ta có: ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2    x 1 3  x x x 1 x  x 1   Vì x x  1  x  x  1  3x 0 3  x  00  x  3 do đó x 1 3  x  0 ai Li eu  x  1 3  x  x  4  x  2 3  x  x  2  3  x  x  2 3 5 x  2    2 x 2 2   x  2   3  x  x  3x  1  0  o 2 ai H  t  1  3  t t  t  1  t  1  3  t   0 3  t    t  1  3  t   t  t  1  2   0   3  t   t  1   t  t  1 3  t  2   0 3  t   t  1   t  t  1 3  t   0 3  t2 iD  t  1  t  1  t  1  t  1  Th  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 On  /T Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  3 5 . 2 ou ps Bài 3: Giải phương trình: 20 x2  14 x  9  14 x  11 2 x2  1  0 ta được hệ phương trình : m/ Đặt y  3 2 x2  1  1 gr Đặt một ẩn phụ đưa về hệ phương trình: Điều kiện xác định: x . 4   w. fa ce bo o k. co  4 1 20 x 2  14 x  9  14 x  11  y   60 x 2  56 xy  28 x  44 y  16  0   3 3   2 2 18 x  16 y  8 y  8  0  4 y  1 2  9 2 x2  1      Trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta được: 24 x2  56 xy  32 y 2  28 x  28 y  0  4 x  y  6 x  8 y  7   0   3 2 x2  1  1  3 2 x2  1  1  6 x  8  4 x  7  0    4 4     3 2 x2  1  4 x  1 2 2  3 2 x  1  4x  1 2 2 x  1  2x  3  0   2 2 x2  1  2x  3     183 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   Trường hợp 1: 3 2 x2  1  4 x  1  9 2 x2  1   4 x  1  x  2 2 3  14 2 3  14 Kết luận: Phương trình có ba nghiệm phân biệt x  2, x  . 2   Trường hợp 2: 2 2 x2  1  2 x  3  4 2 x2  1   2 x  3   x  ai H iD Bài 4: Giải phương trình: o 2 Th 2 x  4  2 x2  1   2 x  3  x  1   2 x  3  x  1  0 On Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình: Điều kiện xác định: x  1,   . eu Đặt a  x  1 và b  x  1 ta được: Li Ta có: 2 x  4  2 x2  1   2 x  3  x  1   2 x  3  x  1  0 /T     2b  1 a   2b  b  6   0  2 a3  2a2 3   gr   b  a  a  3b  4  a  3b  2   0   x 1  x 1 3 x 1  2  x 1 3 x 1  x 1  4  0 m/    2b3  a2  2 ab  b2  a  b  4  a2  b2  2  0 ps 3 ou  2a ai 2 2  a  b  2  0  3 3 2 2  2 a  2b  a  2 ab  b  a  b  4  0 Trừ hai vế của hai phương trình ta được: k. co  x 1  x 1  0  Vì x  1   3 x  1  2  x  1  x  1  x  1   2 x 1  x 1 0 bo o Do đó 3 x  1  x  1  4  0  3 x  1  x  1  4 ce  9  x  1    x 1  4  w. fa  2 2 x 1 1 2  2  8x  6  8 x  1   8 x  6   64  x  1  0  2 x 1 1 x  2 5 4 Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  5 . 4 Bài 5: Giải bất phương trình: x3  3x2  x  2  2x2 x  4  2x  11 184 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  4  1 Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, bất phương trình có dạng: t 6  2t 5  9t 4  16t 3  25t 2  32t  18  2t 2  3  0 o  ai H  Nhân tử liên hợp cần tìm: 2t  1  2t 2  3  2t  1    2t 2  3 2t  1  2t 2  3  2t 2  4t  2 On  Đặt t  x  4  1 , ta đưa bất phương trình trở thành: 4  3    t  4  2  2 t  4  t  2 t  4   11  48t  64    3t  24t  48   t  2  2t  16t  32t   3 t2  4  2 2 2 2 4 2 2 2 5 /T  t 6  12t 4 2 Li 2 ai t eu  Th Bài giải  x  4   x  4  Điều kiện:  3   x  3  2 x  3  x2  1  0   x  3x  x  2  3     t 6  2t 5  9t 4  16t 3  25t 2  32t  18  2t 2  3  0  ps   t iD Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:  3 2t 2  3   t 6  2t 5  9t 4  16t 3  25t 2  34t  17  2t  1  2t 2  3  0   ou    8t 2  17 t 2  2t  1  2 x  1  2t 2  3  0   gr 4     m/ 1 4 t  8t 2  17 2t  1  2t 2  3 2t  1  2t 2  3  2t  1  2t 2  3  0 2 1   2t  1  2t 2  3  t 4  8t 2  17 2t  1  2t 2  3  1   0 2    co          w. fa ce bo o  k.  x 2  1 2 x  4  1  2 x  11   2 x  4  1  2 x  11   1  0   2     x3 Vì x2  1 2 x  4  1  2 x  11  x  4  1   0x  3 2 x 4 1 Do đó x 2    1 2 x  4  1  2 x  11 2    1  0x  3 .   2 x  4  1  2 x  11 4  x  4   12  2 x  2 2 x  11 Vậy    x  3   x  3 185 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  x2  2 x  7  0  x  2  2 x  11     x  1  2 2 .  x  2  x  3    o Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm x   1  2 2;  .  ai H x  3  5  x  x2  8x  18 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  3  0; 2    Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, bất phương trình có dạng: On  eu  Nhân tử liên hợp cần tìm: 2  t  2  t 2 Th t 4  2t 2  t  3  2  t 2  0 iD Bài 6: Giải bất phương trình: 2  t   2  t   2  t 2  2t 2  4t  2 ai 2  t2 Li Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:     2   ps  thành: t  2  t 2  t 2  3 /T Bài giải Điều kiện: 3  x  5 . Đặt t  x  3  0; 2  , ta biến đổi bất phương trình trở    8 t 2  3  18  t 4  2t 2  t  3  2  t 2  0      gr  ou  t 4  2t 2  1  2  t  2  t 2  0   t  1  t  1  2  t  2  t 2  0 2 2      co  m/ 2 1 2  t  2  t 2 2  t  2  t 2  t  1  2  t  2  t 2  0 2 2 1   2  t  2  t 2  2  t  2  t 2  t  1  1   0 2        bo o k. 2 1   2 x3  5x  2 x3  5x x  3  1  1  0 2  2    1   2  2  2  x2  8 x  15   2  x  3  5  x x  3  1  1  0   2   w. fa ce     1  7  x   2  2  2  x2  8 x  15     5x    2  2  x  3  Vì  1 7 x  5x  22 x3      2  x  3  1  1  0    2 x  3  1  1  03  x  5 . 186 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH ai H o  3  x  5 3  x  5  Do đó:   2 2     x  8 x  15  1 2  2  2  x  8 x  15  3  x  5  3  x  5  2  x4. 2  x  8 x  15  1   x  4   0  Th 2  x  2  x  4  x2  2x2  2x  2 Phân tích Bài 7: Giải phương trình:  eu Nhân tử liên hợp cần tìm: 2  t  2  t 2 Li  4  t 2  2t 4  6t 2  t  2 On Ẩn phụ cần đặt: t  2  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: t  1 iD Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  4 4  t2 t  1   4  t 2  2t 2  2t  3 /T t  1  ai Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: ps Bài giải ou Điều kiện: 2  x  2 . Đặt t  2  x  0  t  2 . 2  x  2  x  4  x2  2x2  2x  2 Ta có: gr   t  4  t2  t 4  t2  2 t2  2  2    2 t2  2  2 co t  1   2t  7t  t  3  0 4  t   t  1   2t  7t  t  3   0   2t  2t  3  t  t  1   t  1  4  t   t  1  0   t  1  4  t  t  1  4  t   t  t  1   t  1  4  t   t  1  0   t  1  4  t    t  1  4  t   t  t  1  t  1   0     t  1  4  t   t  t  2   t  t  1 4  t   0   t  1  4  t    t  2t    t  t  4  t   t  2  4  t    0   4 2 4 2 bo o  t  1  4  t2 k.   t  1  m/   t  1 4  t 2  2t 4  6t 2  t  2 2 w. fa ce 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 187 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH         t  1  4  t 2  t t 2  2   t  1 4  t 2  t  2  4  t 2   0    t  1  4  t 2  2t  t  2  t 2  2   t  1 4  t 2  2  t  2  t  2  4  t 2   0   4  t2   t  1  4  t2    4  t 2  t  2  4  t 2  t  2  2  x 1 2  x  4  t2 4  t 2 . Do đó: t  2  t  1 2 t  4t  4  2t  3t  2 o t  2     4  t 2  2  t  2    0   4  t2  0 3  2x 2 2x A0 Th t  1  t  2   ai H  Chú ý rằng: 2t  t  2   t  2  4  t 2  iD  On Trong đó: A  6  x  4 2  x   2x  7  4  x2  0x  2; 2  . Vậy: eu 2  x  1 2  x  2  x  3  x  2 2  x 1 7  x2 x (Thỏa mãn).  2 2  x  2x  1   2 2 2 4  2  x   4 x  4 x  1   2  x 2  2x 2 2x 0 /T Trường hợp 2: ai Li Trường hợp 1:     2  x   x  2  0  2  x 2  2  x  ou  ps  2x 2 2x  2 2x 2 2x 0  2x 0 gr Vì 2  2  x  2  x  0 do đó x  2 (Thỏa mãn điều kiện). co m/ Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  2, x  3 k. Bài 8: Giải phương trình: 7x  8  1    2x  1  1 7 . 2 2 1 . 2 Đặt t  2x  1  0 , phương trình trở thành: w. fa ce bo o Điều kiện: x  3  t2  1  2 7t 2  9 7t 2  9  t 2  2t   t 2  2t 7  8  1   t  1  3   2  2 2      3   2t 6  12t 5  24t 4  16t 3  7t 2  9  0   t  1 t  3  2t 2  t  1  4t  3  0    2x  1  1   2 x  1  3  2  2 x  1   2  2  2x  1  1  4 2x  1  3   0  188 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Vì 2  2 x  1   1  x  1 x  5 . 2 Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1  x  5 . 2 2 x  1  1  4 2 x  1  3  0, x  ai H o Bài 9: Giải phương trình: 5x  6  5 x  1  x2  1  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  1 Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:  3t  1     Th  On  Nhân tử liên hợp cần tìm: 3t  1  t 2  1 iD 5t 2  1  5t  t t 2  2  0  Li Bài giải eu t 2  1 3t  1  t 2  1  8t 2  6t  1 Điều kiện: x  1 . ai Đặt t  x  1 , phương trình trở thành: 5t 2  1  5t  t t 2  2  0        3t  1  t  1  t   3t  1  t  1  3t  1    3t  1  t  1  2t  1  t  1   0 2 ou ps 2 2  t2  1  0 2  gr   x 1  2 x 1 1  0 m/  3 x 1  x 1 1 Vì /T   3t  1  t 2  2 t  8t 2  6t  1  0 x  1  2 x  1  1  0 do đó 3 x  1  1  x  1 co  9x  8  6 x  1  x  1  6 x  1  9  8x bo o k.  9 45  3 17 1  x  8  x (Thỏa mãn điều kiện). 2 32 36  x  1   9  8 x   w. fa ce Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  45  3 17 . 32 Bài 10: Giải phương trình: 4x  3  2 1  x2  4 1  x  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  1  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: 189 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH 4t 2  4t  1  2t 2  t 2  0  Nhân tử liên hợp cần tìm: t  1  2  t 2  Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: t  1   2  t 2  2t 2  2t  1 o 2  t2 ai H t  1  Bài giải       2  t2  0 2   3 1 x  1 x 1  2  t2  0  1 x  1 x 1  0 Li   3t  1  t  1  eu  2  t  t  1  ai   2t t  1  2  t 2  t  1  2  t 2 On 4t 2  4t  1  2t 2  t 2  0  2t t  1  2  t 2  2t 2  2t  1  0 Th Đặt t  1  x , phương trình trở thành: iD Điều kiện: 1  x  1 . /T Trường hợp 1: 3 1  x  1  x  1  0  3 1  x  1  x  1  9x  9  2  x  2 1  x  10x  7  2 1  x 1 x  1 x 1  0  1 x  1 x  1 m/ Trường hợp 2: gr ou ps  7 3 19  36   x  1 (Thỏa mãn điều kiện).   10 x 50  10 x  7 2  4 1  x    2  2 1  x  1  2 1  x2  1 (Phương trình vô nghiệm). co 2 3 19  36 . 50 bo o k. Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  w. fa ce Bài 11: Giải phương trình: 5x  15  6 1  x  12 1  x  15 1  x2  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  1  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: 5t 2  20  6t  15t  12  2  t 2  0  Nhân tử liên hợp cần tìm: t  2 2  t 2  Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: 190 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH t  2 2  t2 t  2  2  t 2  5t 2  8 Bài giải Điều kiện: 1  x  1 . o Đặt t  1  x , phương trình trở thành: ai H 5t 2  20  6t  15t  12  2  t 2  0     15t  12   t  2 2  t   5  5t  8   0   15t  12   t  2 2  t   5  t  2 2  t  t  2   t  2 2  t  5t  10 2  t  15t  12   0   t  2 2  t  5 2  t  5t  6   0 iD  10t 2  40  12t  15t  12  2 2  t 2  0 2 2    1 x  2 1 x 5 1 x  5 1 x  6  0 /T  2  2  t2  0 ai 2 2 eu 2 On 2 Li 2 Th   15t  12  t  2 2  t 2  25t 2  40  0 ps 3 . 5 Trường hợp 2: 5 1  x  5 1  x  6  0  5 1  x  5 1  x  6 1 x  2 1 x  0  x  ou Trường hợp 1: gr  25  25x  61  25x  60 1  x    36  50x   60 1  x k. co m/  18 24 1  x   25    18  25x   30 1  x   x . 25  18  25x 2  900  1  x   w. fa ce bo o Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x    Bài 12: Giải phương trình: x2  1   x  1  x2  1 3 24 và x   . 5 25 x  1  x2  2  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  1 Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: t 4  2t 2  t 2  2  t 5  t 4  2t 3  2t 2  2t  1  0 191 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Nhân tử liên hợp cần tìm:   t2  2  t  1 Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:   t2  2  t  1 t 2  2  t  1  1  2t o  ai H Bài giải Điều kiện: x  1 . Đặt t  x  1 , phương trình trở thành:  iD   t  2  t  t  2t  2t  2t  1  0   t  2  t  1  1  2t   0   t  2  t  1   t  2  t  1 t  2  t  1  0  t 4  2t 2  2t 2 4  2t 2 5 4 3 2 On 4 2 2 2  Th t 2  2  t 4  2t 2  2 t  t 4  2t 2  1  0 2  t 4  2t 2  t  1  t 2  2   x2  x  1  x  1   eu   t  t  2  t2  2  t  1  0  Li  2t 2 ai 4 x 1  x 1 1  0 ps x 1  x 1 1 0  x 1  x 1 1 1 5  x  1  x  2 x  1  x  1   x  (Thỏa mãn điều kiện). 2 4 5 Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  . 4 m/ gr ou Vì x2  x  1  x  1  0 do đó /T t co Bài 12: Giải phương trình: k. 3x  3  2 2 x 2  5x  2  2   x2 3   x  5 2x  1  0 Phân tích bo o Ẩn phụ cần đặt: t  x  2 Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: ce fa w.  2t 3  3t 2  3  t 2  2t  3  Nhân tử liên hợp cần tìm: 2t  1  2t 2  3   2t 2  3  0 Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:    2t 2  3  2t  1 2t  1  2t 2  3  2t 2  4t  4 Bài giải 192 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH 2t 2  3  0      2t 2  3  2t  1  0   2t 2  3  2t  1 2t  1  2t 2  3  t 2  2t  3    2t  3  2t  1 3t  3  2t 2t  3   0 2t  3  2t  1   2t  3   2t 2t  3  t   0 2t  3  t   2t  3  2t  1  0  2t 2  3  2t  1  2t 2t  1  2t 2  3  t 2  2t  3   0   2 2 2 2 2 ai 2 2 2 2x  1  x  2  2 eu 2 Li 2  2t 2  3  2t  1  0 /T        2t  3  2x  1  2 x  2  1  0 ps  2t 2  2t 2  3  2t  1  0 ai H 2  iD  4t 3  8t 2  8t  t 2  2t  3 Th   2t  2t  4t  4    t  On  2t 3  3t 2  3  t 2  2t  3 o 1 Điều kiện: x   . 2 Đặt t  x  2 . Khi đó phương trình trở thành: gr ou Vì 2x  1  2 x  2  1  0 do đó 2x  1  x  2  0  x  1 . Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .  m/ Bài 13: Giải phương trình: 3x2  3x  9  2 x2  2   x  3  x2  4  x 0 co Phân tích bo o k. Ẩn phụ cần đặt: t  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng:  t 5  3t 4  3t 2  4t  9  2 t 4  2  ce Nhân tử liên hợp cần tìm: t  3  2 t 2  3   t2  3  0 w. fa Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: t  3  2   t 2  3 t  3  2 t 2  3  3t 2  6t  3 Bài giải Điều kiện: x  0 . Đặt t  x . Khi đó phương trình trở thành: 193 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  t 5  3t 4  3t 2  4t  9  2 t 4  2      t2  3  0   3t 2  6t  3  t 4  2 t  3  2 t 2  3  0          o  t  3  2 t2  3 t  3  2 t2  3  t4  2 t  3  2 t2  3  0  x  2 x  3  x2  1  0 do đó Vì  x  2 x  3  x2  1  0 iD x 2 x3 3 x 2 x3 30 x 32 x3  x  9  6 x  4x  12  3x  6 x  3  0  3   Th  2 x 1  0  x 1.  3x 2  2 x  1  x 2  x  2    x  2  x2  x  1 3  x  6  x  x2  0 ai Bài 14: Giải phương trình: Li eu Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 . On  ai H  t  3  2 t2  3 t4  t  1  2 t2  3  0 /T Điều kiện xác định: 2  x  3 . Đặt t  x  2 . Khi đó phương trình trở thành:      ps t 5  3t 4  3t 3  10t 2  9  t 4  3t 2  t  3 5  t2  0    5  t2  0  x  2  x2  x  1  0 m/  3 x2  3x   5  t2  t  3  0 gr    t 4  3t 2  t  3 ou   t 4  3t 2  t  3  t  3   t 4  3t 2  t  3 Vì k.  2  1 3 x  2   x     0 do đó: 2 4  bo o  co 2   1 3   3 x2  3x x  2 x      0  2 4    w. fa ce 3 x2  3x 0  3 x2  3x  9  5  2 x  2 3  x  2  x  2 3  x  x  1, x  2 . Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1, x  2 . Bài 15: Giải phương trình:  2 x2  2  x2 x  1  2 x x2  1  x2  x  x 1  0 Điều kiện xác định: x  1 . 194 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Đặt t  x  1 , phương trình trở thành:   t  2   t  1  t  1  t  0  2t  4t   t  2t  1 t  2   2t  2t  t  2   t  3t  2  t  0  t  2t  3t  4t  2t   t  2t  2t  2t  1 t  2  0  t  t  2  t  t  1   t  2t  2t  2t  1 t  2  0 4 2 4 2 5 4 3 2 2 t 2  2  2t t 2  1 2 4 3 3 2 2 3 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2     1 2 3  2 2 2      t  2 t  2  t    t  t  1  t  1   0  2  4        2   1 3   x  1 x  1 x  1     x  1  x x  1  1   2 4    Phương trình vô nghiệm với mọi x  1 . Kết luận: Phương trình vô nghiệm.  2 2   2  0   ai Li eu  o 2 ai H  iD  2 Th  On  2 t2  1  2  t2  1 ps /T Bài 16: Giải phương trình: x  3  1  x  1  x  3 1  x2  0 Phân tích ou Ẩn phụ cần đặt: t  1  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: gr t 2  t  2   3t  1 2  t 2  0  m/ Nhân tử liên hợp cần tìm: t  2  t 2  k. co Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: t  2  t2 t   2  t 2  2t 2  2 bo o Bài giải Điều kiện xác định: 1  x  1 . ce Đặt t  1  x . Khi đó phương trình trở thành: w. fa t 2  2  t  2  t 2  3t 2  t 2  0  t 2  t  2   3t  1 2  t 2  0    3t  1  t    2  t   t     3t  1 t  2  t 2  2t 2  2  0 2 2  t2 t   2  t2  0 195 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   3t  1  t  2  t   0 2  t  2t  1  2  t   0   t   t  2  t2 2   1 x  1 x 2 1 x  1 x 1  0 Trường hợp 1: o  2 1 x  1 x  0  x  0 . ai H  2 On Th  4x  5  4 1  x  1  x  4 1  x  4  5x  4  4 24 1  x   5 1  x   .   x 5 25 16  x  1   4  5x 2 16  x  1  25x2  40 x  16   iD Trường hợp 2: 2 1  x  1  x  1  0  2 1  x  1  1  x 24 . 25 eu Li Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  0, x   /T ai Bài 17: Giải phương trình: 3x  10  3 2  x  6 2  x  4 4  x2  0 Phân tích ps Ẩn phụ cần đặt: t  2  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: ou 3t 2  3t  16   4t  6  4  t 2  0  gr Nhân tử liên hợp cần tìm: t  2 4  t 2  Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: 4  t2 co m/ t  2 t  2  4  t 2  5t 2  16 Bài giải k. Điều kiện xác định: 2  x  2 . bo o Đặt t  2  x . Khi đó phương trình trở thành:   3 t 2  2  10  3t  6 4  t 2  4t 4  t 2  0 w. fa ce  3t 2  3t  16   4t  6  4  t 2  0      2t  3   t  2 4  t    t  2 4  t  t  2   t  2 4  t    t  2 4  t    2t  3    0    2t  3  t  2 4  t 2  5t 2  16  0 2 2 2  4  t2  0 2 196 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   t  2 4  t2    2  4  t2  t  3  0   2x 2 2x 2 2x  2x 3 0 2  x  2 2  x  0  2  x  4 2  x  x  ai H o 6 . 5 Trường hợp 2: 2 2  x  2  x  3  0  2 2  x  3  2  x Trường hợp 1:  5  3  x   12 2  x  0 (Phương trình vô nghiệm   2  x  2 ). Bài 18: Giải phương trình: 3x2  3x  9  2 x2  2 Th  x  3  x2  4  x 0 Li Phân tích  On  6 . 5 eu Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  iD  8  4x  9  12 2  x  2  x  12 2  x  15  5x ai Ẩn phụ cần đặt: t  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng:  /T t 5  3t 4  3t 2  4t  9  2 t 4  2   ps Nhân tử liên hợp cần tìm: t  3  2 t 2  3  t2  3  0   gr t 2  3 t  3  2 t 2  3  3t 2  6t  3 Bài giải m/ t  3  2 ou Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: Điều kiện xác định: x  0 . co Đặt t  x . Khi đó phương trình trở thành:  k. 3t 4  3t 2  9  2 t 4  2    bo o  t 5  3t 4  3t 2  4t  9  2 t 4  2   t  t2  3  t4  4 t  0  t2  3  0  t  3    t  3  2 t  3  t  3  2 t  3  t  2   t  3  2 t  3   0 t  3  t  t  1  2 t  3   0   2 t  3  2 w. fa ce  t 4  2 t  3  2 t 2  3  3t 2  6t  3  0 4   t  3  2  t 32   2 2 2 x 2 x3 3 2 4 4   t2  3  0 2 2  x  2 x  3  x2  1  0 197 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH x  2 x  3  x2  1  0, x  0 . Do đó: Vì x  2 x  3  3  0  x  3  2 x  3  x  6 x  9  4x  12  3x  6 x  3  0  3   2 x 1  0  x 1 . Bài 19: Giải phương trình: iD x2  2 x  3   2x  3  1  x2   x  3  1  x   2 x  3  1  x  0    2  t 2  2t 2  1 Nhân tử liên hợp cần tìm: 2t  2  t 2  On  2  t2  0 Li  eu Ẩn phụ cần đặt: t  1  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: Th Phân tích t 4  t 3  4t 2  4t  2t 3  t ai H o Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 . Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:  2t   ai 2  t2 2  t 2  5t 2  2 /T  2t  Bài giải ps Điều kiện xác định: 1  x  1 .   2          2  t  1  3   1  2 t2  1  3  2 t2  1  3 t 2  t2  t2  1  3 t gr 2 2 co m/ t ou Đặt t  1  x . Khi đó phương trình trở thành:  2  t2  0  k.  t 4  2t 2  1  2t 2  2  3  2t 2  2  3 t 2  t 2  t 3  4t  bo o  2t 2  2  3   2  t   2t  1 2  t  t  t  4t  4t   2t  2t  t  1 2  t  0  t  t  1  4t  t  1   2t  t  1  t  1 2  t  0   t  1  t  4t   2t  1 2  t   0   t  1  5t  2t   2t  1  2t  2  t    0 w. fa ce  t 4  t 3  4t 2  4t  2t 3  t 4 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2  t2  0 0 2 2 3 2  2 2 2 2 198 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  Th 2 On 2    0 iD 2 2  t2 o  2t  2  t   2t  1 2t    t  1  2t  2  t   t  2t  2  t    2t  1   0   t  1  2t  2  t  t 2  t  1  0 1   t  1  2  t  2t  2  2t 2  t   0 2 1   t  1  2  t  2t   t  2t 2  t   2  t    0 2 1   t  1  2  t  2t  t  2  t   0 2 2  t2 ai H      eu    t  1  t  2t    t  1 t 5t 2  2  2t 2  1 2t  2  t 2 gr ou ps /T ai Li 2 1 1 x  1 1 x  2 1 x 1 x  1 x  0 2 Chú ý rằng 1  x  1  0,   1  x  1 . Do đó ta có 2 trường hợp sau: 3 Trường hợp 1: 1  x  2 1  x  1  x  4  4 x  x   . 5 Trường hợp 2: 1  x  1  x  0  x  0 . 3 Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  0, x   . 5  m/ Bài 20: Giải phương trình: x x3  3x  x2  3  x  3  x  0 Phân tích k. co Ẩn phụ cần đặt: t  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: bo o t Nhân tử liên hợp cần tìm: 3  1  t4  3  t2  t  3  0 t4  3  t  w. fa ce Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:  t4  3  t   t4  3  t  t4  t2  3 Bài giải Điều kiện xác định: x  3 . Đặt t  x . Khi đó phương trình trở thành: t 2 t 6  3t 2  t 4  3  t 2  3  t  0 199 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01