HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u 1;log3 5;logm 2 , v 3;log5 3;4 là góc nhọn. Chọn
phương án đúng và đầy đủ nhất.
1
2
B. m ! 1 hoặc 0 m
A. m ! , m z 1
C. 0 m
1
2
1
2
D. m ! 1
¾ Giải:
Ta có cos u, v
u.v
3 log 3 5.log 5 3 4log m 2
u.v
u.v
. Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta
đi tìm điều kiện để tử số dương.
Mặt khác 3 log 3 5.log 5 3 4log m 2 ! 0 4log m 2 ! 4 log m 2 ! 1 log m 2 ! log m
1
m
1
1
1
! 2 m . Kết hợp với điều kiện suy ra 0 m .
m
2
2
1
1
Với m ! 1 thì 2 m ! . Kết hợp điều kiện suy ra m ! 1.
m
2
1
Vậy m ! 1 hoặc 0 m
2
Với 0 m 1 thì
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 3 y 2 z 37 0 các
điểm A 4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 . Điểm M a; b; c thuộc (P) sao cho biểu thức
P MA.MB MB.MC MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c bằng:
A. 10
B. 13
C. 9
D. 1
¾ Giải:
M a; b; c P 3 ª¬ a 2 b 1 c 2 5º¼
2
2
2
M P 3a 3b 2c 37 0 3 a 2 3 b 1 2 c 2 44
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:
44
2
2
2
2
2
ª¬3 a 2 3 b 1 2 c 2 º¼ d 32 32 22 ª a 2 b 1 c 2 º
¬
¼
a 2 b 1 c 2 t
2
2
2
44
2
88
32 32 22
a 2 b 1 c 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
M 4;7; 2 a b c 1
3
3
2
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x y 2 0 và
° 2m 1 x 1 m y m 1 0
( m là tham số ). Tìm m để đường
°̄mx 2m 1 z 4m 2 0
đường thẳng d m : ®
thẳng d m song song với mặt phẳng (P).
A. m
1
2
B. m 1
C. m
1
2
D. m 1
¾ Giải:
2 x y 2 0
°
d m // P hệ PT ẩn x , y, z sau vô nghiệm: ® 2m 1 x 1 m y m 1 0
°
¯mx 2m 1 z 4m 2 0
m 1
2m 4
(1) y 2 x 2 . Thay vào (2) ta được: x
y
3
3
1 2
Thay x, y vào (3) ta được: 2m 1 z m 11m 6 . Để PT này vô nghiệm thì
3
1
m
2
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm M 1;3;9 và
cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a, b, c là các số thực
dương. Tìm giá trị của biểu thức P a b c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ
nhất.
B. P 39
A. P 44
P 16
C. P 27
D.
¾ Giải:
VOABC
1
OA.OB.OC
6
1
abc
6
Phương trình mặt phẳng đi qua A, B ,C :
1
a
3
b
Vì M ABC
Áp dụng BĐT Côsi: 1
x y z
1
a b c
9
1
c
1 3 9
1 3 9
27.27
1
t 33 . . 1 t
abc t 121,5 minVOABC
6
a b c
a b c
abc
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
1 3 9
1 a 3
°
°a b c
°
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ®
®b 9 a b c 39
°1 3 9
°c 27
¯
°̄ a b c
x 1 y z 1
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ' :
và ba
1
2
1
điểm A 3;2; 1 , B 3; 2;3 , C 5;4; 7 . Gọi tọa độ điểm M a; b; c nằm trên ' sao cho
MA MB nhỏ nhất, khi đó giá trị của biểu thức P a b c là:
A. P
16 6 6
5
B. P
42 6 6
5
C. P
16 6 6
5
D. P
16 12 6
5
¾ Giải
M ' nên M 1 t;2t; 1 t
AM
BM
t 2;2t 2; t AM
t 4;2t 2; t 4 BM
MA MB
6t 2 12t 8
6t 2 24t 36
6t 12t 8 6t 24t 36
2
2
ª
º
«
»
1
2
2
6 « 1 t t 2 2 »
3
«
»
f x
«¬
»¼
§ 1
·
2¸
Áp dụng BĐT Vectơ ta có: f x t 1 t t 2 ¨
© 3
¹
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1 t
1
3
t2
t
2
2
§ 1
·
9¨
2¸
© 3
¹
2
83 6
5
§ 13 3 6 16 6 6 3 6 13 ·
16 6 6
;
;
¸¸ P
5
5
5
5
©
¹
Do đó: M ¨¨
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B ' C ' D' có
A trùng với gốc của hệ tọa độ. Cho B a;0;0 , D 0; a;0 , A ' 0;0; b với a, b ! 0 . Gọi M là
trung điểm của cạnh CC’. Xác định tỉ số
a
để hai mặt phẳng A ' BD và BDM vuông
b
góc với nhau.
A.
a
b
2
B.
a
b
1
2
C.
a
b
3
D.
a
1
b
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
b
-Từ giả thiết ta có: C a; a;0 ; C a; a; b M §¨ a; a; ·¸
©
2¹
- Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:
n1
ª BD, BM º
¬
¼
n2
ª BD, BA 'º
¬
¼
§ ab ab
2·
¨ ; ; a ¸
© 2 2
¹
- Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:
ab; ab; a
2
-Yêu câu của bài toán tương đương với:
a 2b 2 a 2b 2
a4
2
2
a
1
b
x 1 y z 1
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ' :
và mặt
2
1
1
phẳng (P): 2 x y 2 z 1 0 . Mặt phẳng (Q) chứa ' và tạo với (P) một góc D nhỏ nhất,
n1.n2
0
0a b
khi đó góc D gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 60
B. 80
C. 100
D. 50
¾ Giải:
x 1 2t
°
Chọn 2 điểm 1;0; 1 và 3;1; 2 với t 1
' : ®y t
° z 1 t
¯
(Q) chứa ' suy ra Q : a x 1 by c z 1 0 ax by cz a c 0
Và 3;1; 2 Q 3a b 2c a c 0 2a b c 0 c 2a b
( P),(Q) , D ª¬0 0;90 o º¼
Vậy (Q): ax by 2a b z a b 0 . Gọi D
Ta có: cos D
nP .nQ
b 6a
nP . nQ
3 a 2 b 2 (2a b) 2
Nếu a 0 cos D
Nếu a z 0 , đặt t
ª
f ' t 0 «
t
«
«¬t
1 b 2 12ab 36a 2
3 2b2 4ab 5a 2
1
3 2
b2 12ab 36a 2
b
thì ta có:
2b2 4ab 5a 2
a
t 2 12t 36
2t 2 4t 5
f t
7
10 . Từ bảng biến thiến ta có thể dễ nhận thấy:
6
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
maxf t
§ 7·
f ¨ ¸
© 10 ¹
53
D
6
§ 1 53 · 0
cos 1 ¨¨
¸¸ | 8
©3 6 ¹
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 0;1;1 , B 1;0; 3 , C 1; 2; 3
và mặt cầu (S): x2 y 2 z 2 2 x 2 z 2 0 . Điểm D a; b; c trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện
ABCD có thể tích lớn nhất, khi đó a b c bằng:
A.
2
3
B.
2
3
C. 1
D.
4
3
¾ Giải:
Tâm I 1; 0; 1 , bán kính R=2. (ABC): 2x 2 y z 1 0 2
1
d D; ABD .S ABC khi đó VABCD max khi và chỉ khi d D; ABC max
3
Gọi D1 D2 là đường kính của (S) vuông góc với (ABC). Ta thấy với D là điểm bất
VABCD
kỳ thuộc (S) thì d D; ABC d max ^d D1 ; ABC , d D2 ; ABC `
Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2
x 1 2t
°
D1 D2 : ® y 2t thay vào (S) ta suy ra:
° z 1 t
¯
ª
«t
«
«t
«¬
2
3
§7 4 1·
§ 1 4 5·
D1 ¨ ; ; ¸ , D2 ¨ ; ; ¸
2
© 3 3 3¹
© 3 3 3¹
3
7 4 1
2
Vì d D1 ; ABC ! d D2 ; ABC nên D §¨ ; ; ·¸ a b c
©3
3
3¹
3
x 2t
Câu 9: Cho mặt cầu S : x y z 2x 4z 1 0 và đường thẳng d : °® y t . Tìm m để
°z m t
¯
2
2
2
d cắt S tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của S tại A và
tại B vuông góc với nhau.
A. m 1 hoặc m 4
C. m 1 hoặc m 0
B. m 0 hoặc m 4
D. Cả A, B, C đều sai
¾ Giải:
¾ Bình luận: Ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của S tại A và B vuông góc với
nhau thì hai vtpt của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với nhau. Mà hai vtpt
của hai mặt phẳng này chính là IA, IB . Với I 1; 0; 2 là tâm của mặt cầu S .
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Vậy ta có hai điều kiện sau:
1. d cắt S tại hai điểm phân biệt.
2. IA.IB 0 .
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình
2 t
2
t 2 m t 2. 2 t 4. m t 1 0 có hai nghiệm phân biệt.
2
3t 2 2 m 1 t m2 4m 1 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ' ' ! 0 m 1 3m2 12m 3 ! 0
2
m2 5m 1 0 .
Với phương trình có hai nghiệm phân biệt , áp dụng định lí Viet ta có
m2 4 m 1
; t1 t2
3
t1t2
1 t ; t ; m 2 t , IB 1 t ; t ; m 2 t .
Vậy IA.IB 1 t 1 t t t m 2 t m 2 t 0
3t t m 1 t t m 2 1 0
Khi đó IA
2
m 1
3
1
1
1
1
2
2
1 2
2
2
1
2
2
1 2
1
m2 4 m 1
2
ª m 1
2
2
2
(TM).
m 1 m 2 1 0 «
3
¬ m 4
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; 2 . Điểm
M a; b; c thuộc đường thẳng ' :
x 1
2
y
1
z 1
sao cho biểu thức
1
P 2MA2 3MB2 4MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b c ?
A.
5
3
11
3
16
D.
3
C.
B. 0
¾ Giải:
A 3DB 4DC 0
Gọi D x; y; z là điểm thỏa 2DA
2DA 3DB 4DC 0 2DA 3 DA AB 4 DA AC
0 DA 4 AC
A 3 AB
A
1 x 4.2 3.2
°
®1 y 4.2 3.1 D 13;12; 6
°1 z 4.1 3.1
¯
2
2
Khi đó: P 2 MD DA 3 MD DB 4 MD DC
2
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
MD2 2 MD 2 DA
A 3DB 4 DC
C 2 AD
A 2 3BD2 4 DC 2
MD 2 AD 3BD 4 DC
2
2
2
2
Do 2 AD2 3BD2 4DC 2 không đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất. Mà M thuộc
' nên MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D lên '
M 1 2t; t; 1 t . Ta có: DM.u'
0t
§ 8 11 5 ·
11
M¨ ; ; ¸ a b c
6
© 3 6 6¹
11
3
Câu 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; 2 . Điểm
M a; b; c thuộc mặt phẳng D : 2x y 2z 7 0 sao cho biểu thức
P
3MA 5MB 7 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b c ?
A. 4
B. 5
¾ Giải:
C. 13
D. 7
Gọi F x; y; z là điểm thỏa 3FA
A 5FB 7 FC
C 0 C
CF 3CA 5C
CB F 23; 20; 11
Khi đó: P
3 MF FA 5 MF FB 7 MF FC
M
MF
Do đó P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của F lên D . Điểm
M 23 2t; 20 t; 11 2t . Vì M thuộc D nên:
2 23 2t 20 t 2 11 2t 7 0 t 9 M 5;11;7 a b c 13
Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; 2 . Điểm
M a; b; c thuộc mặt cầu S : x 1 y 2 z 1
2
2
861 sao cho biểu thức
P 2MA2 7 MB2 4MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b c ?
A. 8
B. 5
¾ Giải:
C. 5
D. 3
Gọi K x; y; z là điểm thỏa 2KA
A 7 KB 4KC
C 0 K 21;16;10
Khi đó: P MK 2 2KA2 7 KB2 4KC 2
Do đó P nhỏ nhất khi MK lớn nhất. Mặt cầu (S) có tâm
I 1;0; 1 KI
22; 16; 11
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
x 1 22t
°
Phương trình đường thẳng KI: ® y 16t . Thay x, y, z vào (S) ta được:
° z 1 11t
¯
22t 16t 11t
ª K 23; 16; 12
«
«¬ K 21;16;10
2
2
2
861 t
r1 . Suy ra KI cắt (S) tại hai điểm
1
2
Vì KK1 ! KK2 nên MK lớn nhất khi và chỉ khi M { K1 23; 16; 12 . Vậy
M
23; 16; 12
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;1; 1 , B 3; 5; 5 . Điểm M a; b; c thuộc
mặt phẳng D : 2x y 2z 8 0 sao cho biểu thức P MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính a b c ?
A.
B.
¾
7
3
Giải:
C. 2
D. 4
M a; b; c . Đặt f M 2a b 2c 8
Ta có f A . f B ! 0 , nên A, B ở về cùng một phía so với D . Gọi A’ là điểm đối
xứng của A qua D
x 1 2t
°
Phương trình đường thẳng AA’: ® y 1 t . Tọa độ giao điểm I của AA’ và D
° z 1 2t
¯
x 1 2t
°
°y 1 t
I 3; 0;1
là nghiệm của hệ: ®
° z 1 2t
°¯2 x y 2 z 8 0
Vì I là trung điểm AA’ nên A ' 5; 1; 3 và A’, B nằm khác phía so với D . Khi đó
với mọi điểm M thuộc D ta luôn có:
MA MB A' M MB t A' B . Đẳng thức xảy ra khi M
A ' B D
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
x 5 4t
°
A'
A ' B 8; 6; 2 A ' B : ® y 1 3t . Tọa độ giao điểm M của A’B và D là nghiệm
°z 3 t
¯
x 5 4t
°
° y 1 3t
của hệ: ®
M 1; 2; 4
°z 3 t
°¯2 x y 2 z 8 0
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;1; 1 , C 7; 4; 4 . Điểm M a; b; c thuộc
mặt phẳng D : 2x y 2z 8 0 sao cho biểu thức P
MA MC đạt giá trị lớn nhất.
Tính a b c ?
A.
B.
¾
7
3
Giải:
C. 2
D. 4
M a; b; c . Đặt f M 2a b 2c 8
Ta có f A . f C 0 nên A và C nằm về hai phía so với D
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D
x 1 2t
°
Phương trình đường thẳng AA’: ® y 1 t . Tọa độ giao điểm I của AA’ và D
° z 1 2t
¯
x 1 2t
°
°y 1 t
I 3; 0;1
là nghiệm của hệ: ®
° z 1 2t
°¯2 x y 2 z 8 0
Vì I là trung điểm AA’ nên A ' 5; 1; 3 . Khi đó với mọi điểm M thuộc D ta luôn
có:
MA MC
MA ' MC d A ' C . Đẳng thức xảy ra khi M
A ' C D
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
x 5 2t
°
A'
A ' C 2; 3;1 A ' C : ® y 1 3t . Tọa độ giao điểm M của A’C và D là nghiệm
°z 3 t
¯
x 5 2t
°
° y 1 3t
của hệ: ®
M 3; 2; 2
°z 3 t
°¯2 x y 2 z 8 0
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ' :
P : ax by cz 3
A.
B.
¾
x 1
1
y 1
2
z
và mặt phẳng
2
0 chứa ' và cách O một khoảng lớn nhất. Tính a b c ?
2
C. 1
D. 1
3
Giải:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên ' , suy ra K 1 t;1 2t; 2t ,
OK
1 t;1 2t; 2t
Vì OK A ' nên OK.u'
0t
§2 1 2·
°K ¨ ; ; ¸
1
° ©3 3 3¹
®
3
°OK § 2 ; 1 ; 2 ·
¨
¸
°¯
©3 3 3¹
Gọi H là hình chiếu của O lên (P), ta có: d O; P OH d OK 1 . Đẳng thức xảy ra
khi H { K . Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua K và
vuông góc với OK. Từ đó ta suy ra phương trình của (P) là:
2x y 2z 3 0 a b c 1
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ' :
D : x 2y 2z 5
x 1
1
y 1
2
z
và mặt phẳng
2
0 . Mặt phẳng Q : ax by cz 3 0 chứa ' và tạo với D một góc
nhỏ nhất. Tính a b c ?
A. 1
B. 3
¾ Giải:
¾ Công thức giải nhanh: n Q
C. 5
D. 1
ª ªn , n º , n º
¬« ¬ D ' ¼ ' ¼»
¾ Chứng minh công thức:
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
A 1;1;0 ' . Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với D ,
x 1 t
°
suy ra d : ® y 1 2t , chọn C 2; 1; 2 d, C z A . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của
° z 2t
¯
C lên Q và ' , khi đó M
ACH và sinM
sinACH
AH AK
AK
. Mà
không đổi
t
AC AC
AC
nên suy ra M nhỏ nhất H { K hay Q là mặt phẳng đi qua ' và vuông góc với
mặt phẳng ACK
Mặt phẳng ACK đi qua ' và vuông góc với D nên: n ACK
ªn , n º
¬ D ' ¼
Do Q đi qua ' và vuông góc với mặt phẳng ACK nên:
n Q
ªn
,n º
¬ ACK ' ¼
ª ªn , n º , n º
«¬ ¬ D ' ¼ ' »¼
Áp dụng công thức trên ta có n Q
Q : 8 x 1 20 y 1 16z
8; 20; 16 suy ra:
0 2x 5y 4z 3 0 a b c 1
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ' :
x 1
1
y 1
2
z
và hai điểm
2
M 1; 2;1 , N 1;0; 2 . Mặt phẳng E : ax by cz 43 0 đi qua M, N và tạo với ' một
góc lớn nhất. Tính a b c ?
A. 22
B. 3 3
¾ Giải:
¾ Công thức giải nhanh: n E
C. 33
D. 11
ª ªn , n º , n º
«¬ ¬ NM ' ¼ NM »¼
Chứng mình tương tự câu 15: n E
E : 1 x 1 10 y 2 22 z 1
1;10; 22 suy ra
0 x 10 y 22 z 43 0 a b c 33
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 1;0; 3 , C 2; 3; 1 . Điểm
M a; b; c thuộc mặt phẳng D : 2x y 2z 1 0 sao cho biểu thức
P 3MA2 4MB2 6MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b c ?
A. 15
C. 20
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
B. 12
¾ Giải:
D. 7
M a; b; c D 2a b 2c 1 0
P a2 b2 c 2 26a 48b 6c 2
a 11 b 25 c 1
2
2
2
2 2a b 2c 1 747 t 747
Dấu “=” xảy ra khi: a 11; b 25; c 1 a b c 15
Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 1;0; 3 , C 2; 3; 1 . Điểm
M a; b; c thuộc đường thẳng ' :
P
y 1
3
x 1
2
z 1
sao cho biểu thức
1
MA 7 MB 5 MC đạt giá trị lớn nhất. Tính a b c ?
31
4
11
B.
3
12
5
55
D.
7
A.
C.
¾ Giải:
M ' M 1 2t; 1 3t;1 t
MA 7 MB 5MC
P
2t 19; 3t 14; t 20
2t 19 3t 14 20 t
2
Dấu “=” xảy ra khi: t
2
2
2
§ 12 · 6411
6411
14 ¨ t ¸
t
7 ¹
7
7
©
12
abc
7
55
7
Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 1;0; 3 , C 2; 3; 1 . Điểm
M a; b; c thuộc mặt cầu S : x 2 y 2 z 8
2
2
2
283
sao cho biểu thức
2
P MA2 4 MB2 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính a b c ?
C. 28
D. 7
¾ Giải:
C. 6
D. 3
Gọi E x; y; z là điểm thỏa EA 4EB
E 2EC 0 E 9; 4; 13
Khi đó: P EM2 EA2 4EB2 2EC 2
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
P lớn nhất khi EM nhỏ nhất. Mặt cầu (S) có tâm
x 2 11t
°
I 2; 2; 8 IE 11; 2; 21 IE : ® y 2 2t . Thay x, y, z vào (S) ta được t
° z 8 21t
¯
1
r .
2
ª § 7
5·
« E1 ¨ ; 3; ¸
2
2¹
Suy ra IE cắt (S) tại hai điểm « ©
« § 15 37 ·
« E2 ¨ ;1; ¸
2 ¹
¬ © 2
§ 7
5·
Vì EE1 EE2 nên EM nhỏ nhất khi và chỉ khi M { E1 ¨ ; 3; ¸ , suy ra
2
2
©
6;0;12
M
Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
x
a
y 1
b
¹
z2
cắt đường thẳng
c
x1 y z 2
sao cho khoảng cách từ điểm B 2;1;1 đến đường thẳng d là nhỏ nhất.
1
2
1
Tính a b c ?
d' :
A. 28
B. 7
¾ Giải:
C. 6
D. 18
°M d d '
M 1 2t ; t ; 2 t , suy ra
°̄ A 0; 1; 2 d
Gọi ®
d B, d
ª AB
B, AM º
¼
¬
AM
5t 2 18t 18
6t 2 2t 2
ªt 0
minf t
¬t 2
f ' t 0 «
f 2
ª AB,
º
° ¬ AB, AM ¼ 1 t ;1; 4 2t
®
°̄ud AM 2t 1; t 1; t
f t
1
ud
11
3; 3; 2 a b c
4
x y 1 z 2
cắt đường thẳng
a
b
c
z2
x5 y z
sao cho khoảng cách giữa d và ' :
là lớn nhất. Tính
2
2 1
1
Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
d' :
x1
2
y
1
abc ?
A. 8
B. 1
C. 1
D. 12
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
¾ Giải:
°M d d '
M 1 2t ; t ; 2 t , suy ra ud
°̄ A 0; 1; 2 d
Gọi ®
N 5;0; 0 , u'
d d, '
2; 2;1 ª¬u
'
ªu , AM º .AN
¬ '
¼
ªu , AM º
¬ '
¼
ª
f ' t 0 «
t
«
«¬t
3
t 1; 4t 1;6t
, AM
A º
¼
2 t
2
53t 2 10t 2
4
37 minf t
2
2t 1; t 1; t
AM
§ 4 ·
f ¨ ¸ ud
© 37 ¹
3 f t
1
29; 41; 4 a b c
37
8
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0,
Q : x y 2 z 1 0 và điểm I 1;1 2 . Mặt cầu S tâm I, tiếp xúc với P và mặt
phẳng D : ax by cz m 0 vuông góc với P , Q sao cho khoảng cách từ I đến (α)
bằng 29 . Biết rằng tổng hệ số a b c m dương .
Cho các mệnh đề sau đây:
(1) Điểm A 1;1;0 và B 1;1; 2 thuộc mặt cầu S .
(2) Mặt phẳng (α) đi qua C 0; 5; 3 .
x 2t
°
(3) Mặt phẳng (α) song song với đường thẳng (d) ® y 5 t
°z 3
¯
(4) Mặt cầu S có bán kính R
2.
(5) Mặt phẳng (α) và Mặt cầu S giao nhau bằng một đường tròn có bán kính lớn hơn
2.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề sai ?
A.1
B.3
C.2
D.4
¾ Giải: Chọn đáp án C
R d I , P 2 . Phương trình mặt cầu: x 1 y 1 z 2
2
2
2
4.
2;3; 4 D : 2 x 4 y 3z m 0 . d I ; D 29 m r 29
Vậy D : 2 x 4 y 3z r 29 0 chọn D : 2 x 4 y 3z 29 0 do a b c m ! 0.
nD
Đối chiếu:
(1) Đúng: Thay tọa độ điêm vào mặt cầu ta thấy .
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
(2) Đúng: Thay tọa độ điêm vào mặt phẳng
(3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng (α) song song (d) nhưng
thực chất là (d) thuộc phẳng phẳng (α), các em kiểm tra bằng cách tính khoảng
cách 2 điểm bất kỳ đến (α) đều bằng 0 .
(4) Đúng
(5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu
nên hai mặt không giao nhau .
Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 2; 3; 0 , B 0; 2; 0 và đường thẳng d
x t
°
có phương trình ® y 0 . Điểm C a; b; c trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có
°z 2 t
¯
chu vi nhỏ nhất. Tính a b c ?
A.
B.
¾
2
C. 1
3
D. 4
Giải:
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA+CB nhỏ nhất
Gọi C t ;0; 2 t . Ta có CA
Đặt u
2 t 2 ; 3 v
2 t 2 32 , CB
2 1 t 2 2
2
2 1 t ; 2 u v
2
2; 5
Áp dụng tính chất u v t u v . Dấu “=’’ xảy ra khi u cùng hướng với v
CA CB
u v t uv
2 25
2 t 2
Dấu “=” xảy ra khi
2 1 t
3 3
3
t
2
7
abc
5
2
Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M a; b; c với c 0 thuộc mặt cầu
S : x 2 y 1 z 1
2
2
2
9 sao cho biểu thức P a 2b 2c đạt giá trị lớn nhất. Khi
đó a b c ?
C. 1
D. 3
A. 1
B. 9
¾ Giải
M a; b; c S a 2 b 1 c 1
2
2
2
9
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
a 2 2 b 1 2 c 1 6 d 1 4 4 ª¬« a 2 b 1 c 1
2
P
b1
°a 2
2
°
c 1
°
Dấu “=” xảy ra khi: ®a 2
2
°
° a 2 2 b 1 2 c 1 2
°
¯
2
abc
2
º
¼»
9 6 15
1
9
Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A 2; 4; 1 , B 1; 4; 1 , C 2; 4; 3 ,
D 2; 2; 1 và điểm M a; b; c sao cho biểu thức P
MA2 MB2 MC 2 MD2 đạt giá
trị nhỏ nhất, khi đó a b c ?
7
4
23
B.
4
¾ Giải:
21
4
3
D.
4
A.
C.
§ 7 14 ·
Gọi G là trong tâm của ABCD suy ra G ¨ ; ; 0 ¸
©4 4 ¹
P 4 MG2 GA2 GB2 GC 2 GD2 . Vì GA2 GB2 GC 2 GD2 không đổi nên P
§ 7 14 ·
nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất hay M { G ¨ ; ; 0 ¸
©4 4 ¹
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 4x 2y 6z 5 0 và
mặt phẳng P : 2x 2 y z 16 0 . Điểm M a; b; c di động trên (S) và điểm N m; n; p
di động trên (P) sao cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất, khi đó
abc mn p ?
A. 3
B. 2
¾ Giải:
C. 0
D. 1
Mặt cầu (S) có tâm I 2; 1; 3 và bán kính R 3
d I; P
minMN
5 ! R . Do đó (S) và (P) không có điểm chung. Suy ra
53 2
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N 0 . Dễ thấy N 0 là hình chiếu
vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN 0 với
mặt cầu (S). Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) thì N0
d P ,
y 2 2t
°
khi đó d : ® y 1 2t . Tọa độ N 0 là nghiệm của hệ:
°z 3 t
¯
y 2 2t
°
§ 4 13 14 ·
° y 1 2t
N0 ¨ ; ; ¸
®
3 3 ¹
© 3
°z 3 t
°¯2 x 2 y z 16 0
IM0
3
IN M 0; 3; 4 a b c m n p 0
5 0
Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 6x 8y 2z 23 0 và
mặt phẳng P : x y z 3 0 . Điểm M a; b; c nằm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng
cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, khi đó a b c ?
A. 1
B. 5
¾ Giải:
C. 7
D. 9
Mặt cầu (S) có tâm I 3; 4;1 và bán kính R
3
y 3 t
°
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), d : ® y 4 t . Khi đó
°z 1 t
¯
M d S hay tọa độ M là nghiệm của hệ:
y
°
°y
d:®
°z
°x2
¯
3t
4t
1t
y 2 z 2 6 x 8 y 2 z 23 0
ª M1 4; 5; 0
«
«¬ M2 2; 3; 2
Ta thấy d M1 ; P ! d M2 ; P . Do đó M 4; 5; 0 a b c 9
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 4x 6y m 0 và đường
thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng P : 2x 2 y z 1 0 , Q : x 2 y 2z 4 0 .
Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng d tại hai điểm M, N sao cho MN 8
C. m 3
D. m 12
A. m 12
B. m 5
¾ Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I 2; 3; 0 và bán kính R
13 m
IM m 13
Gọi H là trung điểm của MN suy ra MH 4 . IH d I ; d
VTCP u
2;1; 2 d I ; d
ªu; AI º
¼
¬
u
3 . Vậy
m 3
m 3 . (d) qua A có
3 m 12
Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm E 2;1; 5 , F 4; 3;9 . Gọi ' là giao tuyến
của hai mặt phẳng P : 2 x y z 1 0 , Q : x y 2z 7
sao cho biểu thức P
0 . Điểm I a; b; c thuộc '
IE IF lớn nhất. Tính a b c ?
A. 4
B. 1
¾ Giải:
C. 3
D. 2
x 1 t
x 2 t '
°
°
' : ® y 5t , EF : ® y 1 t '
° z 3 3t
° z 5 2t '
¯
¯
1 t 2 t '
ªt 0
°
«
EF cắt ' tại A 1; 0; 3
Xét hệ: ®5t 1 t '
¬t ' 1
°3 3t 5 2t '
¯
Trong mặt phẳng '; EF mọi điểm I thuộc ' ta có IE IF d EF
Dấu “=” xảy ra khi I, E, F thẳng hàng, suy ra I { A 1; 0; 3
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 1; 2 , B 2; 2;1 và mặt phẳng
P : x 3y z 2
0 . Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, ' là giao tuyến của
(P) và (Q). Điểm M a; b; c thuộc ' sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất, khi đó
abc ?
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
A.
3
2
C. 1
3
2
¾ Giải:
B.
D. 4
§ 3 3 3·
3
Gọi I là trung điểm AB suy ra I ¨ ; ; ¸ , Q : x y z
2
© 2 2 2¹
0
7
° x 4 2t
°
§ 7
1 ·
M ¨ 2t ; t ; t ¸
' là giao tuyến của (P) và (Q) suy ra ' : ® y t
4 ¹
© 4
°
1
°z
t
4
¯
2
§ 5 · 25
25
6¨t ¸
t
32
© 8 ¹ 32
OM
Dấu “=” xảy ra khi t
5
§ 1 5 3·
M¨ ; ; ¸
8
© 2 8 8¹
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2; 3; 4 , mặt phẳng P : x 2 y z 5 0
x 3 y 1 z 3
. Gọi ' là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao
2
1
1
điểm của d và (P) đồng thời vuông góc với d. Điểm M a; b; c thuộc ' sao cho độ dài
và đường thẳng d :
đoạn thẳng AM là nhỏ nhất, khi đó a b c ?
13
3
3
B.
2
¾ Giải:
A.
Gọi I
u'
C.
7
2
D. 0
d P suy ra I 1; 0; 4
x 1 t
ªu , n º 3; 3; 3 suy ra ' : °
M 1 t; t; 4 t
®y t
¬ d P ¼
°z 4 t
¯
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao
_____________________________________________________________________________________________________________________________
AM ngắn nhất khi và chỉ khi AM A ' AM.u'
0t
4
3
§ 7 4 16 ·
Vậy M ¨ ; ; ¸
© 3 3 3 ¹
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 5;8; 11 , B 3; 5; 4 , C 2;1; 6 và
đường thẳng d :
P
x 1
2
y2
1
z 1
. Điểm M a; b; c thuộc d sao cho biểu thức
1
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c ?
15
4
14
B.
9
¾ Giải:
A.
C.
7
2
D. 2
M 1 2t; 2 2t;1 t d
P
2t 1 2t 4
2
Dấu “=” xảy ra khi t
2
2
t
2
§ 10 · 53
53
9¨t ¸
t
9 ¹
9
9
©
10
§ 11 2 1 ·
M¨ ; ; ¸
9
9 9¹
© 9
Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 5; 0 , B 3; 3; 6 và đường thẳng
x 1 y 1
1
2
abc ?
d:
z
. Điểm M a; b; c thuộc d sao cho 'MAB có diện tích nhỏ nhất, khi đó
2
A. 3
B. 1
¾ Giải:
C. 4
D. 2
M 1 2t;1 t; 2t d
S'MAB
1ª
AM , ABº
¼
2¬
18 t 1 198 t 198
2
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com
- Xem thêm -
.PDF 
22 
728 
73 
