Mô tả:
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z
z 1 z 2 z 1 . Tính giá trị của M.n
nhỏ nhất của biểu thức P
A.
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
13 3
4
B.
39
4
C. 3 3
D.
13
4
¾ Cách 1:
Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z
Đặt t
t2
z 1 d z 1 d z 1 2 t >0;2@
z 1 , ta có: 0
1 z 1 z
z2 z 1
1 z.z 1
1 z.z z z
z 2 z z.z
2 2Re( z ) Re( z )
z z 1 z
2Re( z ) 1
2
t2 2
2
2Re( z ) 1
t2 3
Xét hàm số: f t t t 2 3 , t >0;2@ . Xét 2 TH:
Ö Maxf t
13
; Minf t
4
3 M .n
13 3
4
¾ Cách 2:
z r cos x i sin x a bi
Do z
P
° z.z
1 ®
°r
¯
z
2
1
a 2 b2
1
2 2cos x 2cos x 1 , đặt t
ª
cos x > 1;1@ f t
1º
TH1: t « 1; »
¬ 2¼
f ' t
maxf t
1
°
2!0®
2 2t
°minf t
¯
f 1 3
§1·
f¨ ¸
©2¹
3
ª1 º
TH1: t « ;1»
¬2 ¼
f ' t
1
2 2t
Ö Maxf t
2 0t
13
; Minf t
4
7
maxf t
8
3 M .n
§ 7 · 13
f ¨ ¸
© 8¹ 4
13 3
4
2 2t 2t 1
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i
2
2
z 2 z i . Tính module số phức w M mi
nhỏ nhất của biểu thức P
A. w
5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
2 314
1258
B. w
C. w
3 137
D. w
2 309
¾ Cách 1:
P 4x 2 y 3 y
z 3 4i
P 4x 3
2
5 x 3 y 4
2
2
2
§ P 4x 3
·
5 x 3 ¨
4¸ 5
2
©
¹
2
f x
f ' x 8 x 3 8 P 4 x 11 0 x 0,2P 1,6 y 0,1P 1,7
ª P 33
¬ P 13
Thay vào f x ta được: 0, 2 P 1,6 3 0,1P 1,7 4 5 0 «
2
2
¾ Cách 2:
z 3 4i
5 x 3 y 4
2
2
5: C
(') : 4 x 2 y 3 P 0
Tìm P sao cho đường thẳng ' và đường tròn C có điểm chung
d I ; ' d R 23 P d 10 13 d P d 33
Vậy MaxP 33 ; MinP 13
w 33 13i w
1258
Bài 3: Cho số phức z x yi x, y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i
biểu thức P
A. z
3
2
5 và
2
z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính z .
4 2
B. z
C. z
5 2
D. z
5
¾ Giải:
z 3 4i
5 x 3 y 4
2
2
5
bunhia
P 4 x 2 y 3 4 x 3 2 y 4 23 d
4 x 2 y 3 33
°
2
2
°̄ x 3 y 4
MaxP 33 ®
Chú ý: BĐT Bunhiacopxky: ax by d
a
2
4
2
2
2
22 ª x 3 y 4 º 23 33
¬
¼
x 5
®
z
5 ¯y 5
b2 x 2 y 2
5 2
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a
x
b
y
Bài 4: Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z 2 4i
z 2i và m
min z . Tính
module số phức w m x y i .
A. w
2 3
B. w 3 2
¾ Cách 1:
z 2 4i
z 2i x y
x y t
z
2
min z
2
x y
C. w
5
D. w
4
2
42
2
2
2 2
x y 4 x 2
2 2 , Dấu “=” xảy ra khi ®
®
w
¯x y
¯y 2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y
2
Dấu “=” xảy ra khi x
2 6
2
x y
t
2 2 4i w
2 6
2 2 4i w
2 6
2
2
y
¾ Cách 2:
z 2 4i
z 2i y
x2 y 2
z
min z
4 x
x2 4 x
2
2 x 2 8 t 2 2
2
x y
2 2 . Dấu “=” xảy ra khi ®
¯x 2
4
x 2
®
w
¯y 2
Bài 5: Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z i 1
z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A. min z
2
min z
1
2
B. min z 1
¾ Cách 1:
z i 1
z 2i x y 1
C. min z
0
D.
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
x y
t
x y
2
z
x2 y 2 t
2
2
1
2
2
1
2
1
2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y
2
2
x y
t
2
2
Dấu “=” xảy ra khi x y
¾ Cách 2:
z i 1
z
z 2i y
x y
2
Vậy min z
x 1
x x 1
2
2
2
1· 1
1
§
2¨ x ¸ t
2¹ 2
2
©
2
A.
2
1
2
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z
biểu thức P
1
1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
z 3 3z z z z . Tính M m
7
4
B.
13
4
C.
3
4
D.
15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
¾ Cách 1:
Ta có z
Đặt t
2
1 z.z 1
z z >0;2@ t 2
z 3 3z z
z z2 3 z
2
z z z z
z 2 2 z.z z
t2 1 t2 1
2
§ 1· 3 3
P t t 1t ¨t ¸ t
© 2¹ 4 4
3
Vậy minP
; maxP 3 khi t
4
15
M n
4
2
2
¾ Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
2
2 z2 z
2
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
P
z 3z z z z
P
z z 1 z z t
z 3 3z z
3
2
z
zz
z z
2
z2 3 z z z
2
1 z z
3
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4
Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thỏa az 2 bz c 0 a z 0 . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
P
z1 z2 z1 z2 2 z1 z1
2
2
A. P 2
2
c
a
C. P 4
c
a
B. P
1 c
.
2 a
D. P
2
Ta có : z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
2
c
a
2
2 z1 2 z2
2
Khi đó P 4 z1 z2
Ta lại có: z1 z2
c
P
a
4 z1 z2
4
c
a
Bài 8: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1
z2
z3
1 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A. z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số thuần ảo
B. z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số nguyên tố
C. z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số thực âm
D. z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số 1
Chứng minh công thức:
9
2
2
z1 z2 z2 z3 z3 z1
Ta có: z
vế trái:
2
2
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3
z.z và z1 z2 ... zn
2
z1 z2 ... zn . Áp dụng tính chất này ta có
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
z
1
z2 z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1
z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z2 z2 z1 z2 z3 z3 z2 z3 z1 z1 z3
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z1 z2 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z2 z3
z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3
2
2
2
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3
2
2
2
Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1 z2 z2 z3 z3 z1
2
3 là số
nguyến số
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z
A.5
B. 6
1 và
C. 7
z
z
z
z
1?
D. 8
Phạm Minh Tuấn
Ta có: z
2
1 z.z
Đặt z cos x i sin x, x > 0;2S @ z2
z z
z z
1
z z
z.z
2
2
1 2 cos 2 x
cos 2x i sin 2x
ª
«cos 2 x
1 «
«cos 2 x
«¬
1
2
1
2
Giải 2 phương trình lượng giác trên với x >0;2S @ nên ta chọn được các giá trị
S 5S 7S 11S S 2S 4S 5S ½
; ; ; ; ¾
x ® ; ; ;
¯6 6 6 6 3 3 3 3 ¿
Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1
z1 z2 z3 z 0 . Tính P
A. P
1999
z1 z2 z2 z3 z3 z1
z1 z2 z3
P
999,5
z2
z3
1999 và
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
B. P
19992
P 5997
Giải:
§ z1 z2 z2 z3 z3 z1 · § z1 .z2 z2 .z3 z3 .z1 ·
¸
¸ ¨¨
¸
z
z
z
z
z
z
1
2
3
©
¹©
1
2
3
¹
P2 ¨
Mặc khác: z1
Suy ra P 2
z2
z3
1999 z1 z1
z2 z2
z3 z3
° z1
°
°°
1999 2 ® z2
°
°
° z3
°̄
1999 2
z1
1999 2
z2
1999 2
z3
§ 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2
.
.
.
¨
§ z1 z2 z2 z3 z3 z1 · ¨ z1
z2
z2
z3
z3
z1
¨
¸¨
1999 2 1999 2 1999 2
© z1 z2 z3
¹¨
z
z
z3
1
2
©
·
¸
¸ 1999 2
¸
¸
¹
Ö P 1999
Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1z z2
r . Tính Min, Max của
z z3 .
Max
z2
r
; Min
z3
z1
z1
z
r
2 z3
z1 z1
Áp dụng: Cho số phức z thỏa mãn
3 3 2i
1 2 2i
z 1 2i
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
A) M.n 25
B) M.n 20
3 . Gọi M và n lần lượt là giá
z 3 3i . Tính M.m
C) M.n 24
D) M.n 30
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Áp dụng Công thức trên với z1
3 3 2i
1 2 2i
; z2
1 2i , z 3
3 3i; r
3 ta được
Max 6; Min 4
Bài 12: Dạng Tổng quát: Dạng: z1z z2 z1z z2
k 2 4 z2
Ta có: Min z
2
a bi; z2
c di; z
x yi
k
2 z1
và Max z
2 z1
k với z1
Chứng minh công thức:
z1z z2 z1z z2 t z1z z2 z1z z2
Ta có: k
2z1z z d
k
. Suy ra
2 z1
k
2 z1
Max z
Mặc khác:
z1z z2 z1z z2
ax by c ay bx d
2
k
2
ax by c ay bx d
2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
k
d
ax by c ay bx d
2
1.
2
1.
ax by c ay bx d
2
2
1 1 ª«¬ ax by c ay bx d ax by c ay bx d º»¼
4 a b x y 4 c d
2
2
2
2
Suy ra z
Áp dụng:
2
2
2
2
x2 y 2 t
2
2
k 2 4 c 2 d2
2
4 a2 b2
k 2 4 z2
2 z1
2
2
2
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1
4 . Gọi m
min z và M
max z , khi đó M.n
bằng:
B. 2 3
A. 2
Cho số phức z thỏa mãn iz
2 3
3
C.
2
2
iz
1 i
i 1
3
4 . Gọi m min z và M
max z , khi
đó M.n bằng:
B. 2 2
A. 2
C. 2 3
1
3
i . Tính giá trị nhỏ nhất của
2 2
Bài 13: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3
2
2
D. 1
2
z1 z2 z3 .
biểu thức P
A. Pmin
1
C. Pmin
3
B. Pmin
1
3
D. Pmin
2
2
2
Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P t 3 3 z1 . z2 . z3
Mặc Khác: z1 z2 z3
1
3
i z1z2 z3
2 2
Suy ra P t 3 . Dấu “=” xảy ra khi z1
Bài 14: Cho số phức z
và biểu thức P
1 z1 z2 z3
z2
z3
2
1
1
x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn
2
2
z 2 z i §¨ z 2 z ·¸ ª z 1 i z 1 i º . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
¼
©
¹¬
nhất của P lần lượt là:
A. 0 và 1
z3
z 1 2i
C. 3 và 0
1
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
B. 3 và 1
z3
z 1 2i
D. 2 và 0
1 z3
z 1 2i x y 1
P 16x2 y 2 8xy , Đặt t
§ xy·
xy 0 d t d ¨
¸
© 2 ¹
ª 1º
P 16t 2 8t , t «0; » MaxP 0; MinP
¬ 4¼
Bài 15: Cho các số phức z thỏa mãn z
P
1
4
1
1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 z 1 z2 1 z3 .
A. Pmin
1
C. Pmin
3
B. Pmin
4
D. Pmin
2
Ta có: z
P
2
1 z
1
1 z 1 z2 1 z3
Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn
A. max z
B. max z
1 z z 1 z 2 1 z 3 t 1 z z 1 z 2 1 z 3
6z i
d 1 . Gọi M
2 3iz
1
2
3
4
2
2
6z i
d 1 6 z i d 2 3iz 6 z i d 2 3iz
2 3iz
max z
C. max z
1
3
D. max z
1
6z i 6 z i d 2 3iz 2 3iz 6 z i 6 z i d 2 3iz 2 3iz
z.z d
2
1
1
1
z d zd
9
9
3
2
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
a bi , a, b
Bài 17: Cho z
thỏa
z2 4
2 z và P 8 b2 a2 12 . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
z 4
2
z 2
A. P
2
B. P
C. P
z 2
D. P
z 4
2
2
2
2
Đề Đặng Thúc Hứa
Giải: z 2 4
2 z a2 b2 4 2ab 4 a2 b2
2
2
Chọn b 0 a4 4a2 16 0 a 1 i 3 z
Suy ra P
0
1 i 3
4
2
§
·
Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P ¨ 1 i 3 2 ¸
©
¹
Bài 18: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i
2
4 Nhận
1 . Gọi M
max z 1 i , m min z 1 i .
Tính giá trị của biểu thức M 2 n2 .
A. M 2 m2
28
C. M 2 m2
26
B. M 2 m2
24
D. M 2 m2
20
z 2 3i
1 x 2 y 3
2
2
z 1 i x 1 y 1
2
Đặt P
Lấy (1)-(2) ta được: y
2
P 2 (2) với P ! 0
P 2 10 6 x
. Thay vào (1) :
4
§ P 2 10 6 x
·
3¸
x 2 ¨
4
©
¹
2
1 (1)
2
1 52 x 2 40 12 P 2 x P 4 4 P 2 52
0 (*)
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Để PT (*) có nghiệm thì:
'
40 12P
2
Vậy M
2
4.52. P 4 4P 2 52 t 0 14 2 13 d P d 14 2 13
14 2 13 , m
Bài 19: Cho số thức z
14 2 13 M 2 m2
*
thỏa mãn z 3
28
1
d 2 và M
z3
max z
1
. Khẳng định nào sau
z
đây đúng?
C. 2 M
A. 1 M 2
B. 1 M
5
2
7
2
D. M 3 M 2 M 3
Giải:
§
1·
¨z z ¸
©
¹
3
1
z 3
z
3
3
§
1
1·
1
z3 3 3 ¨ z ¸ z3 3
z¹
z
z
©
§
§
1·
1·
¨ z z ¸ 3¨ z z ¸
©
¹
©
¹
3
3
§
§
§
§
1·
1·
1·
1·
¨ z z ¸ 3¨ z z ¸ ¨ z z ¸ 3¨ z z ¸ d 2
©
¹
©
¹
©
¹
©
¹
3
3
§
1·
§
1·
1
1
Mặt khác: ¨ z ¸ 3 ¨ z ¸ t z
3 z
z¹
z¹
z
z
©
©
3
Suy ra:
1
1
z
3 z d 2 , đặt t
z
z
z
t 3 3t 2 d 0 t 2 t 1 d 0 t d 2 z
2
1
t 0 , ta được:
z
1
d2
z
Bài 20: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 1 i
1 i
2017
. Khi đó số thức w z 1 i có
phần ảo bằng:
A. ( z) 21008 1
C. ( z) 21008
B. ( z) 21008 3
D. ( z) 21008 2
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn
Giải: Chọn D
z 3 i 1 i 1 i
2017
z 3 i 1 i 1 i
1 i
2018
1009
z
w
ª 1 i 2 º
«¬
¼»
3i
i
i
1
1
21008 i 3 i 1 i
1009
¬ª 2i ¼º
2
3i
21008 i 3 i
4 21008 2 i
Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn 1 5i z
2 42
3i 15 . Mệnh đề nào dưới đây
z
đúng:
1
z 2
2
3
B.
z 3
2
A.
C.
D. 3 z 5
Giải: Chọn B
1 5i z 2 z42 3i 15
2 42
1 5 i z 3i 1 5 i
z
2 42
1 5i z 3i
1
z
2
6. z 3
5
z 4
2
5i z 3i
2
2
2 42
6 z 3 . z 4.42
z
2 42
z
0 z
2
- Xem thêm -
.PDF 
13 
536 
97 
