Tài liệu Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – nguyễn hoàng việt

TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” TÍCH PHÂN HÀM ẨN ...............................................................................................................................1 https://luyenthitracnghiem.vn MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ............................................1 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN ..............................10 DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN ..........................................................................12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ......................................12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng ..............................................18 CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ............................................................................20 CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ......................22 CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ...................................................................................................23 CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. ..................................................................................................26 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN.......................................................................................31 BÀI TẬP .....................................................................................................................................................46 THẦY VIỆT  0905.193.688 0 https://www.facebook.com/vietgold MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN ..........................................20 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 1: Cho 5 2 2 5  f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng D. 32 . C. 40 . B. 36 . A. 34 . Lời giải Chọn A Tacó 2 2 2 5 5 5 5  2  4 f  x  dx  2 dx  4 f  x  dx  2x 2  4 f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên 5 2 và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết 9  f  x  dx  9 0 và F  0   3 . Tính F  9  . A. F  9   6 . C. F  9   12 . B. F  9   6 . D. F  9   12 . Lời giải Chọn C 9 https://www.facebook.com/vietgold Ta có: I   f  x  dx  F  x   F  9   F  0   9  F  9   12 . 9 0 0 Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn 2 6 0 4 6 4 0 2  f  x  dx  10 và  f  x  dx  6 . Tính giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx . C. P  8 . B. P  16 . A. P  4 .` D. P  10 . Lời giải Chọn A Ta có 1 6 2 4 6 0 0 2 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 2 6 6 4 0 4 0 2  P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  6  4 . \0 , thỏa mãn f   x   Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  xác định trên f  2   b . Tính f  1  f  2  . A. f  1  f  2   a  b . 1 , f  1  a và x  x5 3 https://luyenthitracnghiem.vn B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Lời giải Chọn C Ta có f    x   Do đó 1  x    x  3 5  1   f   x  nên f   x  là hàm số lẻ. x  x5 3 2 1 2 2 2 1  f   x  dx  0   f   x  dx   f   x  dx . Suy ra f  1  f  2    f  2   f 1  f  1  f  2   f  2   f 1  a  b . Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa x2 0 A. f  4   123 . B. f  4   2 . 3 C. f  4   3 . 4 D. f  4   1 . 4 Lời giải Chọn D Ta có: F  t    f  t  dt  F '  t   f  t  Đặt G  x   x2  f  t  dt  F  x   F  0  2 0      G '  x    F x2   2x. f x 2 (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u  x   f '  u .u '  x  )   / Mặt khác, từ gt: G  x   x2  f t  dt  x.cos  x 0  G '  x    x.cos  x  '  x sin  x  cos  x THẦY VIỆT  0905.193.688 2 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình    2x. f x2  x sin  x  cos  x (1) Tính f  4   ứng với x  2 https://luyenthitracnghiem.vn Thay x  2 vào (1)  4. f  4   2 sin 2  cos 2  1  f  4   1 4   Ví dụ 6: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G '   . 2 0 x   A. G '    1 . 2   B. G '    1 . 2   C. G '    0 . 2   D. G '    2 . 2 Lời giải: Chọn B Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F '  t   t.cos  x  t  x Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x  F  0  0 / /    G '  x    F  x   F  0   F '  x   F '  0    x cos  x  x   0   x '  1  G '    1 2 https://www.facebook.com/vietgold x Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt . Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn 0 v   sin  x  t  x x 0 0  G  x   t.sin  x  t    sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t   cos 0  cos x  1  cos x x 0 x 0     G '  x   sin x  G '    sin  1 2 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên thỏa  f  0   f   0   1; . Tính   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  . A. 1 . 2 1 B.  . 4 C. 1 . 4 1  f  x  1dx . 0 D. 7 . 4 Lời giải Chọn C 3 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3x2  6xy , x  . Cho y  0  f   x   f   0   3x2  f   x   1  3x2 Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x3  x  1 .  f  x  1dx   f  x dx    0 1 1 DẠNG SAU: f '( x)  g( x), f '( x)  f ( x) n 0  x4 x2  1 1 1 x  x  1 dx     x      1  . 4 2 4  4 2  1  3  g( x) (Trong đó g( x) là hàm số đã biết, n là số dương). Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  xác định trên \1 thỏa mãn f   x   f  2   2018 . Tính S  f  3   f  1 . A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . Lời giải 1 , f  0   2017 , x 1 D. S  4 . https://luyenthitracnghiem.vn 0 0 1 Chọn A  f  x  dx   x  1 dx  ln  x  1   C .  f  x   ln  x  1   2017  Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên   f  x   ln  x  1   2018 Do đó S  f  3   f  1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . 1 Cách 1: Ta có khi x  1 khi x  1 . 0 0  dx 1  ln x  1 |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f '( x)dx   x 1 2  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (2)  f '( x)dx  dx  ln x  1 |3  ln 2 (2) 2 2 2 x  1   Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)  0  S  1 . Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) xác định trên 2 1 3 \   thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . 3x  1 3 3 Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Lời giải Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 4 https://www.facebook.com/vietgold Cách 2: “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   1 ln 3x  1  C1 khi x   ;  3 3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   . 3x  1 3x  1 ln 3x  1  C khi x   1 ;   3  1    https://luyenthitracnghiem.vn   1  f 0  1 ln 3x  1  1 khi x   ;  3 0  C1  1 C  1     f  x   Ta có:   2  .   1 0  C  2 C  2  1  f  2  2  2   3 ln 3x  1  2 khi x   ;       3  Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 .   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  0 1 0   f   x  dx  1 3 3 3 3 0 3  3x  1 dx  ln 3x  1 1 0 1  ln 3 3 2 3 f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3x  1 2  ln 8 3 3 3 2 2 3x  1 1 4  1 2 2 Lấy  2    1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 . 3 Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  xác định trên 1 2 \   thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị 2x  1 2 https://www.facebook.com/vietgold của biểu thức f  1  f  3  bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . Lời giải Chọn C 1 2. d  2 x  1 2 Ta có f  x    f   x  dx   dx   2  ln 2x  1  c . 2x  1 2x  1 f  0   1  c  1  f  x   ln 2x  1  1 .  f  1  ln 3  1  f  1  f  3   2  ln15 .   f  3   ln 5  1 Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) xác định trên 1 2 \   thỏa mãn f ( x)  , f (0)  1 và f (1)  2 . 2x  1 2 Giá trị của biểu thức f (1)  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Lời giải 5 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn C 1  2 Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x)   dx  ln(2 x  1)  C1 . 2x  1 2  Lại có f (1)  2  C1  2.  1 2 • Trên khoảng  ;  : f ( x)   dx  ln(1  2 x)  C2 . 2 2x  1  https://luyenthitracnghiem.vn Lại có f (0)  1  C2  1.  1 ln(2 x  1)  2 khi x    2. Vậy f ( x)   1 ln(1  2 x)  1 khi x    2 Suy ra f (1)  f (3)  3  ln15. Cách 2: 0 0  2dx 1  ln 2 x  1 |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f '( x)dx   2x  1 3  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (1)  f '( x)dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2) 1 1 1 2x  1   Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f ( 1)  ln15  f ( 1)  f (3)  3  ln15 . Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) xác định trên 1 3 \   thỏa mãn f   x   , f  0   1 và 3x  1 3 2 f    2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng 3 B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . https://www.facebook.com/vietgold A. 3  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Lời giải Chọn A   1 ln 3x  1  C1 khi x   ;  3 3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   . 3x  1 3x  1  1  ln 3x  1  C khi x  ;  3  1      1  f 0  1 ln 3x  1  1 khi x   ;  3 0  C1  1 C  1     f  x   Ta có:   2  .   1 0  C  2 C  2  1  f  2  2  2 ln 3x  1  2 khi x  ;   3 3        Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 . THẦY VIỆT  0905.193.688 6 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình https://luyenthitracnghiem.vn   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  0 1 0   f   x  dx  1 3 3 3 3 0 0 3 1 dx  ln 3 x  1  ln 1 3x  1 1 4 3 3 2 3 f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3x  1 2  ln 8 3 3 3 2 2 3x  1  1 2 2 Lấy  2    1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 . 3 Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  xác định trên \2; 2 và thỏa mãn f   x   f  0   1 và f  3   2 . Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f  4  . A. P  3  ln 3 . 25 B. P  3  ln 3 . 5 C. P  2  ln . 3 Lời giải 4 ; f  3   0 ; x 4 2 5 D. P  2  ln . 3 Chọn B Từ f   x   4dx 4dx 4   f  x   2 x 4 x 4  x  2  x  2  2  ln    ln   ln  x2  C1 khi x   ; 2  x2 x2  C2 khi x   2; 2  x2 x2  C3 khi x   2;   x2 https://www.facebook.com/vietgold   f  3   0 ln 5  C1  0 C1   ln 5    Ta có  f  0   1  0  C2  1  C2  1  1  C  2  ln 5  3  f  2   2 ln  C3  2  5  ln    f  x   ln   ln  x2 -ln5 x2 khi x   ; 2  x2 1 x2 khi x   2; 2  . x2  2  ln 5 khi x   2;   x2 1 Khi đó P  f  4   f  1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 . 3 Nhận xét 3: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học. 7 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn   1;1 , thỏa mãn f  x   0, x  và f '  x   2 f  x   0 . Biết f  1  1 , tính f  1 . A. f  1  e 2 . C. f  1  e 4 . B. f  1  e 3 . D. f  1  3 . Lời giải Chọn C f '  x f '  x  2 f  x  0  ln f  1 f  1  4  f  x f  1 f  1  2  1  1 1 1 f '  x df  x  dx   2dx    4  ln f  x  f  x f x   1 1 1 1  4  e 4  f  1  f  1 .e 4  e 4 . Ví dụ 15: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2x  3  f 2  x  và 1 a f  0    . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3   ...  f  2017   f  2018   với 2 b a a  , b   và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? b  A.  a  1 . b B. a  1. b C. a  b  1010 . https://luyenthitracnghiem.vn Biến đổi: D. b  a  3029 . Lời giải Ta có f   x    2x  3  f 2  x    f  x f 2 f  x f 2  x dx    2 x  3  dx    x https://www.facebook.com/vietgold Chọn D  2x  3 1  x 2  3x  C . f  x 1 Vì f  0     C  2 . 2 Vậy f  x    1  x  1 x  2   1 1  . x 2 x1 Do đó f  1  f  2   f  3   ...  f  2017   f  2018   1 1 1009 .   2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . THẦY VIỆT  0905.193.688 8 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: x g  x   1  2018  f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0 https://luyenthitracnghiem.vn A. 1011 . 2 B. 1009 . 2 1  g  x dx . 0 C. 2019 . 2 D. 505 . Lời giải Chọn A x Ta có g  x   1  2018  f  t  dt  g  x   2018 f  x   2018 g  x  0 g  x   g  x 2  t  2018   g  x  g  x 0 t dx  2018  dx  2 0  g  x  t 0 t  2018 x 0  g  t   1  2018t (do g  0   1 )  g  t   1009t  1 1  https://www.facebook.com/vietgold 0 1  1009 2  1011 . g  t dt   t t  2  2 0 Ví dụ 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . 2 A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9ln 2 . Lời giải Chọn C   Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9 f   x   1    f   x   x    2 Lấy nguyên hàm hai vế   Do f   0   9 nên C  f   x   1 2  f   x   x  2  1 . 9 f   x   1 1 1 x dx   dx   C . 9 f  x  x 9  f '  x   x  2 9 9 1 suy ra f   x   x   f  x  x x1 x1 9 1  x2   9  1  x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  . Vậy T  f  1  f  0     2 0 x1 2   0 1 9 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng. DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết Ví dụ 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên 9  f  x  dx  9 0 và F  0   3 . Tính F  9  . C. F  9   12 . B. F  9   6 . https://luyenthitracnghiem.vn A. F  9   6 . D. F  9   12 . Lời giải Chọn C 9 Ta có: I   f  x  dx  F  x   F  9   F  0   9  F  9   12 . 9 0 0 2 2 0 0 Ví dụ 19: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng: C. 8 . B. 6 . A. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B 2 2 2 0 0 0 Ta có J    4 f  x   3 dx  4  f  x  dx  3 dx  4.3  3x 0  6 .  f  x  dx  10 và 2 4 4 2 2  g  x  dx  5 . Tính I   3 f  x   5g  x  dx C. I  5 . Lời giải B. I  15 . A. I  5 . https://www.facebook.com/vietgold 4 Ví dụ 20: Cho 2 D. I  10 . Chọn A 4 4 4 2 2 2 Có: I    3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 . Ví dụ 21: Cho 5 2 2 5  f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng: D. 32 . C. 40 . B. 36 . A. 34 . Lời giải Chọn A 2 2 2 5 5 5 5 Tacó   2  4 f  x  dx  2  dx  4  f  x  dx  2 x 2  4  f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . THẦY VIỆT  0905.193.688 5 2 10 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;10  và 10  f  x  dx  7 và 0 2 10 0 6 6  f  x  dx  3 . Tính 2 https://luyenthitracnghiem.vn P   f  x  dx   f  x  dx . D. P  10 . C. P  4 . B. P  4 . A. P  7 . Lời giải Chọn C Ta có 10 2 6 10 0 0 2 6  f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7 2 10 0 6   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . Vậy P  4 . Ví dụ 23: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2  và 2 2 2 0 0  0 g  x  . f   x  dx  2 ,  g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx . https://www.facebook.com/vietgold C. I  5 . Lời giải B. I  6 . A. I  1 . D. I  1 . Chọn C 2 2 0 0  Xét tích phân I    f  x  .g  x  dx    f   x  .g  x   f  x  .g  x  dx 2 2 0 0   g  x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 . 2 2 1 1 Ví dụ 24: Cho   3 f  x   2 g  x   dx  1 ,   2 f  x   g  x   dx  3 . Khi đó, A. 11 . 7 5 B.  . 7 C. 6 . 7 2  f  x  dx bằng 1 D. 16 . 7 Lời giải Chọn B  5 a   7  3a  2b  1 Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx , ta có hệ phương trình   2 a  b   3  1 1 b  11  7 2 11 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 2 Vậy  f  x  dx   7 . 5 1 DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại b Cho  u '( x). f u( x) .dx , tính b b b a a a  f ( x).dx . Hoặc cho  f ( x).dx , tính  u '( x). f u( x).dx . a https://luyenthitracnghiem.vn Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u( x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số. 4 Ví dụ 25: Cho  2  f  2x  dx f  x  dx  16 . Tính 0 0 A. 16 . C. 32 . Lời giải B. 4 . D. 8 . Chọn D 2 Xét tích phân  f  2x  dx 0 ta có 1 Đặt 2x  t  dx  dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 2 Do đó  f  2 x  dx  0 6 Ví dụ 26: Nếu  4 4 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .16  8 .  20 20 2 f  x  dx  12 thì 0 2  f  3x  dx bằng B. 36 . A. 6 . C. 2 . https://www.facebook.com/vietgold 0 D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt t  3x  dt  3dx . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  6 2 Khi đó:  f  3x  dx  0 2 Ví dụ 27: Cho   1 6 1 1 f  t  dt  .12  4 .  30 3 5  f x 2  1 xdx  2 . Khi đó I   f  x dx bằng: A. 2 . 2 B. 1 . C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt t  x2  1  dt  2xdx . Đổi cận: x  1  t  2 , x  2  t  5 . THẦY VIỆT  0905.193.688 12 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 2   Khi đó:  f x2  1 xdx  1 5 5 2   1 f  t  dt   f  t dt  2  f x 2  1 xdx  4 .  22 2 1 5 5 2 2 https://luyenthitracnghiem.vn Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I   f  x dx   f  t dt  4 . 1 Ví dụ 28: Cho hàm số f  x  liên tục trên và thỏa mãn  f  x  dx  9 . 2   f 1  3x   9 dx . 0 A. 27 . D. 75 . C. 15 . B. 21 . Lời giải Chọn B Đặt t  1  3x  dt  3dx . Với x  0  t  1 và x  2  t  5 . 2 2 5 2 dt  9x Ta có   f  1  3x   9  dx   f  1  3x  dx   9dx    f  t   3 0  https://www.facebook.com/vietgold Tính tích phân 5 0 0 2 0 1 1 1 1  f  x  dx  18  .9  18  21 .  3 5 3 Ví dụ 29: Cho hàm số f  x  liên tục trên 2 A.  0 x 5 f   dx  . 2 2 2 B.  0 thỏa 1 2 0 0 x  f  x  dx  10 . Tính  f  2  dx . x f   dx  20 . 2 2 C.  0 x f   dx  10 . 2 2 D. x  f  2  dx  5 . 0 Lời giải Chọn B Đặt t  1 x  dt  dx . 2 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  1 . 2 Ta có:  0 x f   dx  2. f  t  dt  2.10  20 . 2 0 1 Ví dụ 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và 3  0 f   2 x  1 dx  8 . Tích phân I   xf  x  dx 1 bằng: A. I  16 . 13 B. I  2 . C. I  8 . D. I  4 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Lời giải Chọn D 3 I f   x  1 dx  8 . Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx ; 0 đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 . 2 2 1 1 1 https://luyenthitracnghiem.vn 2 Khi đó I   2tf  t  dt  8   tf  t  dt  4 . Vậy I   xf  x  dx  4 . 2 4 1 1 Ví dụ 31: Cho  f  x  dx  2 . Tính I   f  x  dx bằng x D. I  C. I  4 . B. I  2 . A. I  1 . 1 . 2 Lời giải Chọn C Đặt t  x  dt  f 4 I  x  dx  x 1 1 2 x dx ; đổi cận: x  1  t  1 , x  4  t  2 2 2 1 1  f t  2dt  2 f t  dt  2.2  4 .  thỏa mãn f  x  dx  6 và x 1  https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên 16 2  f  sin x  cos xdx  3 . 0 4 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 C. I  9 . B. I  6 . A. I  2 . D. I  2 . Lời giải Chọn B Xét I  16  f  x  dx  6 , đặt 1 x x t dx 2 x  dt 4 4 1 1 Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 nên I  2  f  t  dt  6   f  t  dt  6  3. 2  2  J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du 0 THẦY VIỆT  0905.193.688 14 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Đổi cận: x  0  u  0 ; x   2 1  u  1  J   f  u  du  3 0 4 1 4 0 0 1 https://luyenthitracnghiem.vn Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 . Ví dụ 33: Cho hàm số f  x  liên tục trên thỏa 1 2 0 0  f  2x  dx  2 và  f  6x  dx  14 . Tính 2  f  5 x  2  dx . 2 D. 36 . C. 34 . B. 32 . A. 30 . Lời giải Chọn B 1 + Xét  f  2x  dx  2 . Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 0 1 2 2 1 Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 . 20 0 0 2 + Xét  f  6x  dx  14 . Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . https://www.facebook.com/vietgold 0 12 12 2 1 Nên 14   f  6 x  dx   f  v  dv   f  v  dv  84 . 60 0 0 2 + Xét    f 5 x  2 dx  2 * Tính I1  0   2  2   f 5 x  2 dx   f 5 x  2 dx . 0 0  f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 .Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . I1  12 2 2  1 1 1  f t d t  f t d t f t d t           84  4   16 . 0 5 12 5  0  5 2   * Tính I1   f 5 x  2 dx . 0 Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 15 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 12  1 1 1 f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .  50 52 0  5 12 I2  2 2 Vậy  f  5 x  2  dx  32 . 2 Hoặc: Do  f 5 x 2 hàm 2 0 2 2  là hàm số chẵn nên  f  x  dx  18 . Tính I   x  2  f  3x 11 Ví dụ 34: Biết 2 1 2 https://luyenthitracnghiem.vn  f  5 x  2  dx  2  f  5 x  2  dx  2.16  32 .   1 dx . 0 A. I  5 . D. I  10 . C. I  8 B. I  7 . Lời giải Chọn B Đặt t  3x2  1  dt  6xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  2  t  11 2    2 2 0 0   I   x 2  f 3x 2  1 dx   2 xdx   xf 3x 2  1 dx  4  0 Ví dụ 35: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 1 và  f  2 x  dx  8 . Tính I   xf  x  dx 2 D. 32 . C. 8 . Lời giải Chọn C Đặt x2  2t  2xdx  2dt  xdx  dt . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  1 . 1 Ta có: I   f  2t  dt  8 . 0 Ví dụ 36: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết 3  xf  x  dx  5 . 1 3 Tính I   f  x  dx . 1 A. I  5 . 2 B. I  7 . 2 C. I  9 . 2 D. I  11 . 2 Lời giải Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 16 https://www.facebook.com/vietgold B. 16 . 2 0 0 A. 4 . 11 1 1 f  t  dt  4  .18  7  6 1 6 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn điều kiện b f  a  b  x   f  x  , x a; b . Khi đó  xf  x  dx  https://luyenthitracnghiem.vn a ab f  x  dx 2 a b Chứng minh: Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   a; b . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b Ta có b b a a a b  xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f t  dt b b b b b a a a a a    a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx b b a a b  2  xf  x  dx   a  b   f  x  dx   xf  x  dx  a ab f  x  dx . 2 a b Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 . f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn f 1  3  x   f  x  . 3 Khi đó  xf  x  dx  https://www.facebook.com/vietgold 1 1 3 5 f  x  dx   f  x  dx  .  4 1 2 1 3 3 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t  4  x , với x  1; 3 . Ta có 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f t  dt  4 f t  dt   t. f t  dt 3 3 1 1  5  4  f  t  dt  5   f  t  dt  5 . 2 Ví dụ 37: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 3  thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1; 3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx bằng A. 2 . B. 1 . 1 1 C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn B 3 Xét I   xf ( x)dx (1). 1 17 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 . 3 3 3 1 1 1 Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )dt , hay I    4  x  f ( x)dx (2). 3 3 1 1 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x)dx   f ( x)dx  I  1 . 2 b Tính  f  x  dx , biết hàm f  x số thỏa mãn : a A. f  x  B. u. f  u  C. f  a  b  x  g x . Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng : + Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C . + Nếu f  x  liên tục trên  a; b  thì u  a   a + Với  thì u  b   b u  a   b + Với  thì u  b   a b b b a a  f  a  b  x  dx   f  x  dx b  1 f  x  dx  g  x  dx . A  B  C a b 1 f  x  dx  g  x  dx . A  B  C a a  a https://luyenthitracnghiem.vn TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng b + Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1. 6 3x  1 https://www.facebook.com/vietgold   Ví dụ 38: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 thỏa mãn f  x   6 x 2 f x 3  . Tính 1  f  x  dx 0 A. 2 . C. 1 . B. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức)   Biến đổi f  x   6 x 2 f x 3  6 3x  1    f  x   2.3x 2 . f x 3   6 3x  1 với A  1 , B  2 . 1 Áp dụng công thức ta có:  0 1 6 f  x  dx  dx  4 .  1   2  0 3x  1 1 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) THẦY VIỆT  0905.193.688 18 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   Từ f  x   6 x 2 f x 3  1 1 1     f  x  dx  2  3x 2 f x 3 dx  6  6 3x  1 0 0 1 3x  1 0 dx Đặt u  x3  du  3x2dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1 . https://luyenthitracnghiem.vn 1 Khi đó   0 1  0 1 1 0 0 2 3  3x f x dx   f u du   f  x  dx thay vào  *  , ta được: 1 1 f  x  dx  2  f  x  dx  6  0 1 3x  1 0 1 dx   f  x  dx  6  1 0 0 1 3x  1 dx  4 . Ví dụ 39: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   f  2  x   2x . Tính 2 giá trị của tích phân I   f  x  dx . 0 4 C. I  . 3 Lời giải 1 B. I  . 2 A. I  4 . D. I  2 . Chọn D Cách 1:(Dùng công thức) f  x   f  2  x   2x Với 2 ta có B  1, A  1; suy ra: 2 2 https://www.facebook.com/vietgold 1 x2 2 x dx I   f  x  dx    2. 1  1 0 2 0 0 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2 0 0 0 Từ f  x   f  2  x   2x   f  x  dx   f  2  x  dx   2xdx  4 (*) Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 . 2 Suy ra  f  2  x  dx 0  2 2 0 0  f  u du   f  x  dx . 2 2 0 0 Thay vào (*), ta được 2  f  x  dx  4   f  x  dx  2 .   2 3 Ví dụ 40: Xét hàm số f  x  liên tục trên   1; 2  và thỏa mãn f  x   2xf x  2  3 f 1  x   4x . Tính giá trị của tích phân I  2  f  x  dx . 1 A. I  5 . B. I  5 . 2 C. I  3 . D. I  15 . Lời giải 19 THẦY VIỆT  0905.193.688