Tài liệu Hệ số đối xứng của giản đồ feynman và ứng dụng vào mô hình 3 3 1 tiết kiệm

bộ giáo dục & đào tạo viện hàn lâm khoa học và công nghệ vn viện vật lý HÀ THANH HÙNG hệ số đối xứng của giản đồ feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã nghành: 62 44 01 03 Người hướng dẫn: GS. TS. Hoàng Ngọc Long Luận án tiến sĩ Hà Nội—2014 Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin cảm ơn GS. TS. Hoàng Ngọc Long đã hướng dẫn và động viên tôi rất nhiều, kể từ khi tôi tham gia khóa học thạc sĩ và trong suốt thời gian tôi làm NCS. Tôi xin cảm ơn nhóm lý thuyết trường của thầy Long đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi cùng làm việc, cùng học tập và cùng nghiên cứu trong thời gian tôi làm NCS và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp TS. Phùng Văn Đồng, TS. Lê Thọ Huệ và TS. Nguyễn Huy Thảo đã hợp tác và đồng ý cho tôi sử dụng các công bố chứa các kết quả mà luận án đã sử dụng. Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tôi làm việc đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm NCS. Tôi xin cảm ơn phòng sau đại học-Viện Vật lý và Viện Vật lý đã giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục hành chính trong học tập nghiên cứu và bảo vệ luận án. Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn tới gia đình đã động viên, chia sẽ những khó khăn và ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để tôi có thể yên tâm nghiên cứu và hoàn thành luận án này. ii Lời cam đoan Tôi xin đảm bảo luận án này gồm các kết quả chính mà tôi đã thực hiện trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Cụ thể, phần mở đầu là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề trước đó liên quan đến luận án, đồng thời đưa ra những động lực để thực hiện các kết quả chính của luận án. Trong chương một tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và các đồng nghiệp TS. Phùng Văn Đồng, TS. Lê Thọ Huệ, TS. Nguyễn Huy Thảo. Chương hai tôi sử dụng các kết quả đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và TS. Phùng Văn Đồng. Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án "Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận án và công trình đã có trước đây. iii Mục lục Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii Các ký hiệu chung vi Danh sách các bảng vii Danh sách hình vẽ viii 1 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman 1.1 Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường . . . . . . . 1.1.1 Ma trận tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator) 1.1.3 Các định lý Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Hàm Green trong lý thuyết trường . . . . . . . 1.1.5 Hàm Green và yếu tố của S ma trận . . . . . . 1.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman . . . . . . . . . 1.2.1 Hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho QED 1.2.3 Hệ số đối xứng cho QCD . . . . . . . . . . . . 2 Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong mô hình E331 2.1 Mô hình E331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Sắp xếp các hạt trong mô hình E331 . . . . . . 2.1.2 Các boson chuẩn trong mô hình E331 . . . . . . 2.1.3 Các dòng trong mô hình E331 . . . . . . . . . . 2.1.4 Khối lượng các fermions trong mô hình E331 . . iv 6 6 6 7 11 13 19 19 20 32 37 41 41 41 44 46 48 2.2 Đối xứng Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Vấn đề Strong-CP . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Đóng góp từ phép biến đổi U (1) chiral vào số hạng vi phạm CP trong QCD . . . . . . . . . . 2.2.3 Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ . . . . . . . 2.2.4 Khử số hạng vi phạm CP . . . . . . . . . . . . 2.3 Đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331 . . . . . . 2.4 Khối lượng các up- quark và down-quark trong mô hình E331 ở bậc một vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 52 53 56 59 61 64 Danh sách các công bố của tác giả 73 Tài liệu tham khảo 74 Phụ lục 84 A HSĐX của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng tính đến bậc ba của lý thuyết nhiễu loạn 85 B Các giản đồ Feynman trong QED được tính đến bậc 4 của lý thuyết nhiễu loạn. 91 C Các giản đồ của quá trình rã : µ− → νµ + e− + νfe tính đến bậc 10 của lý thuyết nhiễu loạn 95 D Các tích phân 98 E Các bổ đính 99 v Các ký hiệu chung Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau: Tên Mô hình chuẩn Mô hình 3-3-1 tiết kiệm Mô hình 3-3-1 với neutrinos phân cực phải Hệ số đối xứng Giá trị trung bình chân không Đối xứng Peccei-Quinn Điện động lực học lượng tử Điện động lực học lượng tử vô hướng Sắc động học lượng tử Liên hợp tích chẵn lẽ Máy gia tốc năng lượng cao (Large Hadron collider) vi Viết tắt SM E331 331RH HSĐX VEV PQ QED sQED QCD CP LHC Danh sách bảng 1.1 Phân loại các trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1 Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình E331. . . 2.2 Số lepton khác không L của các trường trong mô hình E331. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ba đối xứng chiral trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm . . . 2.4 Các bổ đính ở bậc một vòng của các phần tử (MuU ). . 43 vii 44 62 67 Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 10 16 19 1.9 1.10 Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17 . . . . . . . . Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k0 . . . . . . . . . Mối liên hệ giữa yếu tố của S ma trận và hàm Green . Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết φ4 thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết φ4 thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm truyền của trường vô hướng phức . . . . . . . . . Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết ϕ4 phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết ϕ4 phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các đỉnh tương tác trong QED . . . . . . . . . . . . . Các đỉnh tương tác trong sQED . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Các đỉnh tương tác bảo toàn số lepton . . Các đỉnh tương tác vi phạm số lepton . . . Đỉnh tương tác giữa các Higgs . . . . . . . Bổ đính của giản đồ thứ 2 của (MuU )11 . . Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C1 Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 66 68 69 70 E.1 E.2 E.3 E.4 Các Các Các Các . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 . 100 . 101 . 102 1.5 1.6 1.7 1.8 bổ bổ bổ bổ đính đính đính đính cho cho cho cho phần phần phần phần tử tử tử tử (MuU )11 (MuU )12. (MuU )21. (MuU )22. viii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 24 28 29 31 33 36 Mở đầu Lý do chọn đề tài Trong vật lý hạt cơ bản, việc xác định đặc tính của các hạt mới đã và đang là công việc rất quan trọng. Cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật các máy gia tốc đang dần hoạt động ở mức năng lượng cao hơn, nhiều mô hình vật lý tiếp tục được phát triển và mở rộng để kiểm chứng các dự đoán. Một sự kiện mới gần đây, máy gia tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Colidder) tại CERN-Thuỵ Sĩ đã phát hiện ra một loại hạt vô hướng tương tự - Higgs với khối lượng khoảng 125-126 GeV. Đây là hạt đã được dự đoán bởi SM, và cũng là phần cuối cùng được tiến hành kiểm chứng. Việc xác định hạt Higgs thuộc mô hình nào sẽ đóng vai trò là kim chỉ nam cho sự phát triển của khoa học. Việc kiểm chứng hạt vô hướng Higgs cũng như các quá trình vật lý khác đòi hỏi rất nhiều về kỹ thuật thực nghiệm cũng như phương pháp tính toán. ở mức cây, hầu hết các lý thuyết còn nhiều sai lệch với thực nghiệm. Vì vậy, để có sự phù hợp lớn hơn giữa thực nghiệm và lý thuyết, đòi hỏi tất yếu là phải tính toán các bổ đính bậc cao. Đặc biệt, một số quá trình vật lý chỉ xuất hiện ở khai triển bậc cao như: moment từ của neutrino, rã Higgs thành hai photon... Đây là vấn đề đã nhận được nhiều sự quan tâm và hiện nay vẫn đang tiếp tục được phát triển. Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường cho chúng ta xác định các bổ đính bậc cao, một phần rất quan trọng trong các quá trình vật lý, nhưng không được kể đến ở mức cây (tree-level). Đặc biệt, khi thực hiện khai triển bậc cao trong lý thuyết trường, các yếu tố của giản đồ Feynman như: hàm truyền, đỉnh tương tác, hệ số đối xứng sẽ được xác định một cách cụ thể, rõ ràng. Các quá trình va chạm nói chung sẽ được đón nhận đầy đủ các thông tin nếu chúng ta xác định được ma trận tán xạ. Cụ thể, mỗi phần tử của ma trận tán xạ tương ứng với một hoặc nhiều giản đồ 1 Feynman. Một trong những yếu tố quan trọng ở đây là hệ số đối xứng (HSĐX) của các giản đồ Feynman. Đây là vấn đề phức tạp được nhiều người quan tâm. Kastening và các đồng nghiệp đã có một số công bố về cách tính hệ số đối xứng cho các giản đồ Feynman dựa trên các đặc điểm về các yếu tố hình dạng (topo) của các giản đồ [23]. Bên cạnh đó, còn có nhiều chương trình sử dụng máy tính để tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman như, FeynArt [21], QGRAF [22]...Tuy nhiên, các chương trình này gần như chỉ mới chú ý đến các trường thực và các giản đồ liên kết mà chưa chú ý đến các trường phức và các giản đồ chân không (vacuum diagrams) - các yếu tố có vai trò quan trọng trong lý thuyết hiệu dụng và chuyển pha trong vũ trụ học. Bên cạnh đó, chúng ta cũng phải kể đến công trình rất chi tiết [11] của T.P.Cheng và L.F.Li, đã đưa ra HSĐX của một số giản đồ cho trường vô hướng thực, nhưng còn hạn chế là chưa đưa ra công thức tổng quát tính HSĐX. Ngoài ra, M.E.Peskin và D.V.Schroeder có kể đến sự thừa số hóa chân không của các giản đồ nhưng chưa đưa ra được công thức tổng quát để tính HSĐX [12]. Đặc biệt, gần đây C.D.Palmer và các đồng tác giả đã công bố cách tính hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho nhiều trường hợp: vô hướng, spinor QED, scalar QED, QCD [35]. Tuy nhiên, các tác giả trong [35] chỉ mới xét đến các giản đồ liên kết, chưa xét đến các giản đồ chân không và chưa chỉ ra được cách xác định hệ số hoán vị g giữa các đỉnh tương tác trong giản đồ. Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để xây dựng công thức tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman. Một số công bố sử dụng phương pháp đạo hàm phiếm hàm (functional derivative method) để tính HSĐX của các giản đồ [6, 7, 8, 9]. Còn các tác giả trong [10] lại đưa ra cách tính HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn cao hơn dựa trên HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn thấp hơn. Một số công bố khác sử dụng cách khai triển bậc cao trong lý thuyết trường để đưa ra cách tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman [11, 12, 13, 14, 15]. Cách tiếp cận này rất đơn giản và trực quan, bằng cách khai triển T tích của các hàm Green, HSĐX của các giản đồ được đưa ra một cách tự nhiên. Thực tế, các quá trình vật lý xảy ra rất phong phú với sự xuất hiện của nhiều trường khác nhau. Do vậy, việc xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman có các trường khác nhau là rất quan trọng. Phải nhấn mạnh rằng, chúng ta có kết quả vật lý 2 đúng chỉ khi có HSĐX của giản đồ chính xác. Trong luận án này, với việc sử dụng kết quả từ [19] và [20], chúng tôi đã xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman. Một trong những kết quả rất ý nghĩa là định lý về HSĐX trong điện động lực học lượng tử (QED). Đó là, HSĐX của các giản đồ liên kết trong QED luôn bằng 1, kết quả này thực sự rất bổ ích khi áp dụng cho các lý thuyết thống nhất các tương tác. Một vấn đề mang tính thời sự bậc nhất trong khoa học hiện nay là sự hoạt động trở lại của máy gia tốc LHC, với năng lượng các hạt được gia tốc cỡ 14 TeV, và điều này cho chúng ta kỳ vọng vào các hiện tượng vật lý mới. Mô hình chuẩn với nhiều thành công và những tiên đoán chính xác tiếp tục định hướng cho sự phát triển của vật lý hạt cơ bản. Tuy nhiên, các tồn tại của mô hình chuẩn như: giải thích khối lượng và sự dao động của neutrino, giải thích nguồn gốc tự nhiên của khối lượng các hạt, vì sao phải cần cơ chế Higss để sinh khối lượng cho các hạt, giải thích sự phân bậc khối lượng giữa thang yếu và thang Planck, giải thích sự không đối xứng của vật chất và phản vật chất trong vũ trụ... là bằng chứng tin cậy cho thấy, mô hình chuẩn N N (dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C SU (2)L U (1)Y ) là một lý thuyết hiệu dụng của một lý thuyết tổng quát hơn. Để giải quyết các vấn đề tồn tại của mô hình chuẩn, chúng ta đã phát triển các mô hình chuẩn mở rộng. Các mô hình 3-3-1(mở rộng nhóm đối xứng chuẩn N N thành SU (3)C SU (3)L U (1)X ) đã phát triển theo hướng mở rộng mô hình chuẩn và đạt được nhiều thành quả quan trọng. Các mô hình 3-3-1 đã giải thích một cách rất tự nhiên tại sao số thế hệ phải là 3 [16]. Đồng thời, các mô hình 3-3-1 còn giải quyết vấn đề lượng tử hóa điện tích, khối lượng các neutrinos... Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1, việc phân chia này phụ thuộc vào phần lepton được đưa vào trong mô hình. Phiên bản thứ nhất, gọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu, được đề xuất bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [99], trong đó, ta đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của nhóm SU (3)L. Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng cho các fermions. Phiên bản thứ hai, được các tác giả Foot, Long và Tuan đề xuất năm 1994, trong đó, thành phần thứ ba của các tam tuyến lepton của nhóm SU (3)L là các neutrinos phân cực phải [17]. Mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) với hai tam tuyến Higgs [34], có số trường 3 vô hướng đưa vào trong mô hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết được hầu hết các vấn đề quan trọng của mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (331RH) như các kết quả đã thể hiện ở tài liệu tham khảo [18]. Tuy nhiên, mô hình E331 có một hạn chế là khối lượng up-quark và down-quark bằng không ở mức cây (tree-level), điều này do nguyên nhân rất đơn giản là số trường vô hướng chúng ta đưa vào mô hình là ít nhất. Một nhận định mới đây của nhóm tác giả J.C. Montero và B.L.Sanchez-Vega [32], cho rằng tồn tại một đối xứng toàn cục U (1) P Q kiểu đối xứng Peccei-Quinn [33]. Đối xứng này là nguyên nhân làm cho khối lượng các quark u và quark d bằng không ở mọi bậc của lý thuyết nhiễu loạn. Khi đó, mô hình E331 đưa ra như ở tài liệu tham khảo [17] là không đúng. Các kết quả có được từ mô hình E331, cần phải được xem xét lại. Bằng cách xem xét đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331, chúng tôi đã chỉ ra là sau khi phá vỡ đối xứng tự phát bằng trung bình chân không của các vô hướng, đối xứng còn dư không phải là đối xứng kiểu Peccei-Quinn. Đây là kết luận quan trọng, dẫn đến các quark có thể nhận khối lượng khi chúng ta tính đến các bổ đính ở nhiễu loạn bậc cao. Tiếp theo, sử dụng các công thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồ ở bậc một vòng, chúng tôi đã chỉ ra các quark đều có khối lượng ở nhiễu loạn bậc cao. Đồng thời, chúng tôi tính ra khối lượng của up-quark và down-quark ở bậc nhiễu loạn một vòng. Đó là một bằng chứng nữa ủng hộ mạnh mẽ các kết quả đã công bố của mô hình E331. Mục đích nghiên cứu • Xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman. • ứng dụng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát của các giản đồ Feynman để tính khối lượng các quark trong mô hình E331 ở bậc một vòng. Đối tượng nghiên cứu • Các phương pháp khai triển bậc cao trong lý thuyết trường 4 • Các giản đồ Feynman có các trường khác nhau. • Khối lượng các fermion trong mô hình E331 Nội dung nghiên cứu • T-tích của các Lagrangian tương tác. • Hệ số hoán vị g của các đỉnh tương tác trong giản đồ Feynman mà không làm thay đổi dạng hình học của giản đồ. • Xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman. • Đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331 • Bổ đính khối lượng các quark trong mô hình E331 ở bậc một vòng. Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp lý thuyết trường lượng tử. • Các phương pháp tính bằng phần mềm Mathematica 7.0 5 Chương 1 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman 1.1 Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường Một quá trình vật lý hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ bằng ma trận tán xạ hoặc hàm Green toàn phần. Nếu ma trận tán xạ được thể hiện dưới ngôn ngữ toán học là các toán tử thì hàm Green lại thường được biểu thị ở dạng hàm vector, tensor... Mỗi một phần tử của ma trận tán xạ tương ứng với hàm Green ở cùng bậc nhiễu loạn và cũng chính là một hoặc nhiều giản đồ Feynman cụ thể. Với lý do như vậy, khai triển bậc cao trong lý thuyết trường là việc làm tất yếu để thu được thông tin đầy đủ của một quá trình vật lý. 1.1.1 Ma trận tán xạ Ma trận tán xạ còn có tên gọi khác: S ma trận (scattering matrix) là trường hợp giới hạn của toán tử tiến triển thời gian khi thời gian tiến tới vô cùng S = lim U (t, t0 ), (1.1) t→∞ t0 →−∞ trong đó, U (t, t0 ) là toán tử tiến triển thời gian và hàm φ trong U (t, t0) chưa được xác định vì Hamiltonian thực chất lại biểu diễn qua chúng. Do vậy ta phải xây dựng tương tác của các hạt trên ngôn ngữ của các trường tự do. Tức là trong định nghĩa (1.1) ta sử dụng các trường tự do (sóng phẳng) ở trạng thái đầu và cuối. Kết hợp các điều kiện trên với phương trình Schrodinger, chúng 6 ta thu ma trận tán xạ với kết quả là:  S = T exp −i Z  dxHint(x) . (1.2) Ngoài ra, chúng ta còn có cách khác để xây dựng S ma trận chỉ dựa trên ba điều kiện [36] • Điều kiện hiệp biến tương đối tính (relativistic covariance) S(Lg) = UL S(g)UL+ (1.3) • Điều kiện nhân quả (causality condition)   δ  δS(g) +  S (g) = 0 với x ≤ y δg(x) δg(y) (1.4) • Điều kiện unita (unitarity condition) trong đó: S + (g)S(g) = 1. (1.5) Từ ba điều kiện trên, người ta đã thu được S ma trận  Z S = T exp i  dxLint(x) ≡ T eiSint . (1.6) Như chúng ta đã biết Hint(x) = −Lint (x) nên S ma trận thu được từ phương pháp này và phương pháp dựa trên phương trình Schrodinger xét ở trên là như nhau. Ma trận tán xạ thực chất là một toán tử và là trường hợp đặc biệt của toán tử tiến triển thời gian. Tiếp theo, chúng ta sẽ tóm tắt lại các tính chất của toán tử tiến triển thời gian. 1.1.2 Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator) Trong vật lý, việc giải chính xác các bài toán có tính đến tương tác hầu như là vô vọng, nên người ta phải sử các phương pháp gần đúng. Chẳng hạn, với phương pháp gần đúng Hatree-Fock chúng ta đã dùng các hàm tự do thay vào Lagrangian tương tác. Một cách tương tự, trong lý thuyết trường, với công cụ toán học phát triển chúng ta mô tả tương tác của các hạt theo ngôn ngữ của các trường tự do. Khi đó, chúng ta sử dụng biểu diễn tương tác. 7 Trong biểu diễn tương tác (interaction picture) các toán tử trường và vector trạng thái được định nghĩa như sau φI (t, ~x) = eiH0 t φS (~x)e−iH0t = eiH0 t e−iHtφ(t, ~x)eiHt e−iH0t = U (t, 0)φ(t, ~x)U −1(t, 0), |a, tiI = eiH0 t |a, tiS = U (t, 0)|ai, (1.7) trong đó U (t, 0) = eiH0 t e−iHt = e−iHint t = e−iHint (t−t0 ) , với t0 = 0, (1.8) là toán tử unita có tên gọi là toán tử tiến triển thời gian (evolution operator) thoả mãn các điều kiện sau U (t, t0)U (t0 , t0) = U (t, t0), U (t, 0)U −1(t0, 0) = U (t, t0) Ngoài ra, toán tử tiến triển thời gian còn thoả mãn tính chất nhóm, nghĩa là có nghịch đảo U −1(t, t0) = U (t0 , t) = U † (t, t0). (1.9) Trong biểu diễn tương tác, các hàm sóng thoả mãn phương trình tự do ∂0φI (t, ~x) = i[H0, φI (t, ~x)]. (1.10) Trạng thái cuối ở thời điểm t liên hệ với trạng thái ban đầu ở thời điểm t0 qua toán tử tiến triển thời gian |a, tiI = U (t, t0)|a, t0 iI , U (t0 , t0) = 1. (1.11) Đây là cơ sở cho chúng ta thu được phương trình chuyển động của toán tử tiến triển thời gian U (t, t0) i ∂ 0 U (t, t0) = Hint U (t, t0), ∂t (1.12) trong đó 0 Hint = eiH0 t Hinte−iH0 t là Hamiltonian trong biểu diễn tương tác 0 Hint = Hint (φI ). (1.13) Dễ dàng nhận ra, trong (1.13) hàm sóng φI thực chất là hàm tự do. 8 Tiếp theo, chúng ta tìm biểu thức cho toán tử tiến triển thời gian. Mặc dù có lời giải tường minh một cách hình thức của U (t, t0), nhưng sẽ thuận lợi hơn, nếu chúng ta tìm lời giải của phương trình tích phân tương đương với điều kiện biên U (t0, t0 ) = 1, U (t, t0) = 1 − i Z t dt0 Hint (t0 )U (t0, t0). t0 (1.14) Để cho ngắn gọn, trong phần tiếp theo, chúng ta ký hiệu lại H ≡ Hint. Phương trình này có thể giải bằng phương pháp lặp trình (interactive) dẫn tới dãy tương tác U (t, t0) = 1 − i = 1−i Z t t0 Z t dt1 H(t1 )U (t1, t0) " dt2H(t2 )U (t2, t0) t0 Z t Z 1 2 t 1 − i dt1 H(t1 ) + (−i) dt1 dt2H(t1 )H(t2) + · · · t0 t0 t0 Z t Z t Z t n−1 1 dtn H(t1 )H(t2) · · · H(tn ) + dt2 · · · +(−i)n dt1 t0 t0 t0 = t0 Z t dt1 H(t1 ) 1 − i # Z t 1 ··· (1.15) Theo phương diện vật lý, chúng ta có thể minh hoạ U (t, t0) như là toán tử cho xác suất U (t, t0) ∼< f |S|i > tìm thấy trạng thái cuối f khi biết trạng thái đầu i. Trước hết, chúng ta xét số hạng bậc hai Z t t0 dt1 Z t 1 t0 dt2 H(t1)H(t2 ) (1.16) mà có thể tách hai tích phân và đổi thứ tự lấy tích phân ở số hạng thứ hai Z t Z t 1Zt 1Zt 1 dt1 dt2H(t1 )H(t2) + dt2 dt1 H(t1)H(t2 ) t0 t2 2 t0 2 t0 Tiếp theo, thay đổi ký hiệu tích phân trong số hạng thứ hai Z t Z t 1Zt 1Zt dt2 dt1 H(t1 )H(t2) = dt1 dt2 H(t2)H(t1). t2 t1 2 t0 2 t0 Cùng với số hạng đầu tiên, biểu thức trong (1.16) có thể viết trong dạng Z t t0 dt1 Z t 1 t0 dt2 H(t1)H(t2 ) = Z t t0 dt1 Z t 1 t0 dt2[H(t1 )H(t2)θ(t1 − t2 ) +H(t2 )H(t1)θ(t2 − t1 )] 9 (1.17) t2 t t0 t0 t1 t Hình 1.1: Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17 Một cách hình tượng, chúng ta có thể minh hoạ phương trình trên bằng hình vẽ 1.1 Nếu chúng ta đưa vào tích theo thứ tự thời gian (gọi là T -tích) T [H(t1)H(t2) · · · H(tn )] ≡ H(t1)H(t2 ) · · · H(tn ) với ti1 ≥ ti2 ≥ · · · ≥ tin (1.18) thì khi ti = tj , chúng ta có thể giữ nguyên thứ tự, hoặc tiền định nghĩa. Như vậy, biểu thức cho toán tử tiến triển thời gian lúc này được đưa ra " U (t, t0) = T exp −i " ≡ T exp −i Z t t0 Z t t0 0 0 dt Hint (t ) dt 0 Z # 3 0 # d xHint(t , x) . (1.19) Nói chung, Hint (t) với các thời gian khác nhau là không giao hoán. Nếu [Hint (t), Hint(t0 )] = 0 cho tất cả t và t0 , đây là trường hợp U (t, t0 ) được xác định đơn giản nhất, cơ sở từ phương trình (1.12) cho ta nghiệm. " U (t, t0) = exp −i Z t t0 0 0 # dt Hint (t ) . (1.20) Tất nhiên, ở đây Hint được viết trong biểu diễn tương tác. Trường hợp tổng quát, toán tử tiến triển thời gian là nghiệm của phương trình (1.12) và được viết dưới dạng: U (t, t0) = = " # 0 T exp −i dt1Hint (t1, ~x) t0 Z t Z t ∞ (−i)p Z t X 4 4 1+ d x1 d x2... t0 t0 t0 p=1 p! Z t 0 Hint (xp)] . 10 0 0 d4xp T [Hint (x1)Hint (x2)... (1.21) Các quá trình vật lý đều được nhận biết thông qua ma trận tán xạ. Để xác định S ma trận, ngoài toán tử tiến triển theo thời gian chúng ta cần thêm các định lý Wick để khai triển T -tích. 1.1.3 Các định lý Wick Như chúng ta đã biết ở trên, ma trận tán xạ là trường hợp giới hạn của toán tử tiến triển thời gian khi thời gian tiến tới vô cùng S = lim U (t, t0 ). t→∞ t0 →−∞ Kết hợp với các điều kiện vật lý, chúng ta đã thu được S ma trận  Z  dxLint(x) ≡ T eiSint . S = T exp i Để có dạng thuận tiện hơn của ma trận tán xạ, chúng ta bắt đầu với T -tích. T -tích trong (1.21) được định nghĩa như sau T [φ(x1)...φ(xn)] = φ(x1)...φ(xn), nếu x01 ≥ x02 ≥ ... ≥ x0n. (1.22) Trong (1.22), khi thời gian bằng nhau (x01 = x02 = ...) xảy ra, chúng ta phải tiền định nghĩa (predefinition), một trong những khả năng đó là 1 [φ1 (~x, t0 )φ2(~y, t0) + κφ2 (~y, t0 )φ1(~x, t0)] . 2 (1.23) ở (1.23), ta qui ước như sau, κ = 1 ứng với trường boson, κ = −1 ứng với trường fermion. Đặc biệt, đối với các trường tuân theo thống kê Fermi-Dirac, chúng ta phải đổi dấu khi hoán vị thứ tự, cụ thể là, với φ là trường boson T [φ1(~x, t0 ), φ2(~y, t0 )] = T [φ(x1)φ(x2)] = Còn với ψ là trường Dirac T [ψα (x1)ψβ (x2)] =       φ(x1)φ(x2) nếu x01 > x02 , φ(x2)φ(x1) nếu x02 > x01 . (1.24) ψα (x1)ψβ (x2) nếu x01 > x02, (1.25) −ψβ (x2)ψα (x1) nếu x02 > x01. 11 Định nghĩa: Tích chuẩn hay N - tích (Normal product, normal ordering : : hoặc N ) là tích mà trong đó toán tử sinh đứng trước (bên trái), toán tử hủy đứng sau (bên phải). Định nghĩa N -tích cho chúng ta các hệ quả sau. • Trung bình chân không của N -tích bằng không. Điều này suy ra từ tác động của toán tử huỷ cho chân không triệt tiêu: a(~k) | 0i = 0. • Để giảm bớt những giản đồ chân không (giản đồ không có đường ngoài) không cần thiết người ta thường quy ước rằng: các trường trong Lagrangian hoặc Hamiltonian đã được viết trong dạng N tích. • Tuy nhiên khi tính các giản đồ chân không, người ta phải bỏ N tích đi. Để tính các yếu tố ma trận chúng ta sử dụng hai định lý Wick . Định lý Wick 1: T -tích của các toán tử bằng tổng các N -tích của chúng với mọi cặp đôi (pairing, construction) khả dĩ, kể cả N -tích không có cặp đôi T [φ(x)φ(y)] ≡ N [φ(x)φ(y)] + φ(x)φ(y). Cặp đôi liên hệ với hàm truyền Feynman như sau i∆F (x − y) = < 0|T [φ(x)φ(y)]|0 >=< 0| φ(x)φ(y)|0 >, i[SF (x − y)]βα = < 0| ψ α (x)ψ̄ β (y) |0 >, µ ∗ν i∆µν F (x − y) = < 0| V (x)V (y) |0 > . (1.26) Chú ý rằng cặp đôi liên kết chặt chẽ với giao hoán hoặc phản giao hoán tử của các trường < 0| φ(x)φ(y)|0 >=< 0| [φ(x), φ(y)]± |0 >, (1.27) trong đó giao hoán tử (-) ứng với trường boson, phản giao hoán tử (+) ứng với trường fermion. Ngoài ra, chúng ta còn gặp N -tích với các cặp đôi. Khi tính trung bình chân không, sử dụng (1.27) chúng ta sẽ chuyển từ tích 12