1
Môc lôc
Trang
Më ®Çu.......................................................................2
Ch¬ng 1. HÖ h¹t nh©n trong nöa nhãm.....................5
1.1. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nöa nhãm ngîc........5
1.2. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nhãm ph¶i..............9
Ch¬ng 2. Ng«n ng÷ nhãm Aniximov vµ ng«n
ng÷ nhãm Aniximov suy réng.....................19
2.1. T¬ng ®¼ng chÝnh ph¶i §uybr©y vµ t¬ng
®¼ng chÝnh hai phÝa Kroad«.........................19
2.2. ¤t«m¸t, vÞ nhãm có ph¸p vµ v¨n ph¹m
cña ng«n ng÷................................................28
2.3. Ng«n ng÷ nhãm Aniximov vµ ng«n ng÷
nhãm Aniximov suy réng.................................38
KÕt luËn cu¶ luËn v¨n..............................................45
Tµi liÖu tham kh¶o...................................................46
2
Më ®Çu
ViÖc nghiªn cøu ng«n ng÷ h×nh thøc trong vµi chôc n¨m
gÇn ®©y ®· thùc sù hÊp dÉn nhiÒu t¸c gi¶ trong vµ ngoµi
níc. NhiÒu c«ng tr×nh liªn quan ®Õn ¤t«m¸t, vÞ nhãm có
ph¸p vµ v¨n ph¹m cña c¸c ng«n ng÷ ®· ®îc c«ng bè víi
nhiÒu kÕt qu¶ s©u s¾c vµ cã nhiÒu øng dông trong to¸n
häc vµ trong lÜnh vùc m¸y tÝnh.
Cã thÓ kh¶o s¸t c¸c ng«n ng÷ h×nh thøc theo nhiÒu híng
kh¸c nhau tïy theo sù quan t©m vµ tÝnh riªng biÖt cña ngêi
nghiªn cøu. ë ®©y chóng t«i quan t©m nhiÒu ®Õn vÞ nhãm
có ph¸p cña c¸c ng«n ng÷ v× ®ã lµ cÊu tróc c¬ së cña ®¹i
sè hiÖn ®¹i.
Nh ta ®· biÕt, mçi t¬ng ®¼ng trªn mét nhãm ®îc x¸c
®Þnh duy nhÊt bëi líp t¬ng ®¼ng chøa ®¬n vÞ cña nhãm.
§iÒu nµy kh«ng ®óng cho mét nöa nhãm tuú ý. Tuy nhiªn,
trong "Lý thuyÕt nöa nhãm", Cliph¬t vµ Prest¬n ®· chøng
minh ®îc r»ng: Mçi t¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm ngîc x¸c ®Þnh
bëi mét hÖ h¹t nh©n chuÈn øng víi t¬ng ®¼ng ®· cho.
Cliph¬t vµ Prest¬n còng ®· ®a ra kÕt qu¶: ¶nh ®ång cÊu
cña mét nöa nhãm ngîc còng lµ nöa nhãm ngîc vµ ®· chøng tá
mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nöa nhãm ngîc ®îc x¸c ®Þnh
mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng cña nã
chøa c¸c lòy ®¼ng.
Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn, chóng t«i xÐt bµi to¸n t¬ng tù: M«
t¶ t¬ng ®¼ng trªn c¸c nhãm ph¶i, mét líp nöa nhãm kh¸
3
gÇn víi c¸c nhãm. Tõ ®ã kh¶o s¸t mét sè líp ng«n ng÷ h×nh
thøc liªn quan.
LuËn v¨n ®îc chia thµnh c¸c ch¬ng môc nh sau: PhÇn më
®Çu, ch¬ng 1, ch¬ng 2 vµ phÇn kÕt luËn.
Ch¬ng 1. HÖ h¹t nh©n trong nöa nhãm
Ch¬ng nµy gåm hai tiÕt:
1.1. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nöa nhãm ngîc.
Trong tiÕt nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n
vÒ t¬ng ®¼ng trªn
nöa nhãm; tãm t¾t c¸c kÕt qu¶ chÝnh vÒ t¬ng ®¼ng trªn
nöa nhãm ngîc ®Ó lµm c¬ së cho viÖc tr×nh bµy c¸c phÇn
sau.
1.2. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nhãm ph¶i.
§©y lµ mét trong hai néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Trong
tiÕt nµy, chóng t«i ®· thu ®îc nh÷ng kÕt qu¶ t¬ng tù vÒ t¬ng ®¼ng trong nhãm ph¶i, cô thÓ ®· chøng minh ®îc: ¶nh
®ång cÊu cña mét nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i (MÖnh ®Ò
1.2.6); mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nhãm ph¶i ®îc x¸c
®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng
chøa c¸c lòy ®¼ng (§Þnh lý 1.2.16). Tuy nhiªn, kü thuËt
chøng minh cña chóng t«i chñ yÕu kh¸c víi kü thuËt mµ
Cliph¬t vµ Prest¬n ®· dïng khi kh¶o s¸t t¬ng ®¼ng trªn c¸c
nöa nhãm ngîc.
Ch¬ng 2. Ng«n ng÷ Aniximov vµ ng«n ng÷ Aniximov suy
réng.
4
Ch¬ng nµy gåm ba tiÕt:
2.1. T¬ng ®¼ng chÝnh ph¶i §uybr©y vµ t¬ng ®¼ng hai
phÝa Kroar«. Trong tiÕt nµy chóng t«i xÐt c¸c t¬ng ®¼ng
chÝnh liªn quan ®Õn c¸c ng«n ng÷ h×nh thøc vµ ¤t«m¸t.
2.2. ¤t«m¸t, vÞ nhãm có ph¸p vµ v¨n ph¹m cña ng«n ng÷.
Trong tiÕt nµy chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh
chÊt c¬ b¶n liªn quan ®Õn ng«n ng÷ h×nh thøc ®Ó lµm c¬
së cho viÖc tr×nh bµy tiÕt sau.
2.3. Ng«n ng÷ nhãm Aniximov vµ ng«n ng÷ Aniximov suy
réng. TiÕt nµy lµ mét trong nh÷ng néi dung chÝnh cña luËn
v¨n. Thùc ra mét sè t¸c gi¶ ®· kh¶o s¸t ng«n ng÷ Aniximov
nhng chØ trong trêng hîp ng«n ng÷ chÝnh quy, nghÜa lµ vÞ
nhãm có ph¸p cña nã lµ mét nhãm h÷u h¹n. ë ®©y, chóng
t«i xÐt c¸c líp ng«n ng÷ nµy trong trêng hîp vÞ nhãm có
ph¸p lµ mét nhãm tuú ý vµ bíc ®Çu ®· thu ®îc mét sè kÕt
qu¶: m« t¶ d¸ng ®iÖu ng«n ng÷, vÞ nhãm có ph¸p vµ
¤t«m¸t cña c¸c ng«n ng÷ Aniximov vµ Aniximov më réng
(MÖnh ®Ò 2.3.1, MÖnh ®Ò 2.3.3, §Þnh lý 2.3.4, §Þnh lý
2.3.6).
LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t©m, nhiÖt
t×nh cña thÇy gi¸o
PGS.TS. Lª Quèc H¸n. Nh©n dÞp nµy, t¸c gi¶ xin ®îc bµy tá
lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ThÇy- ngêi ®· ®Æt cho t¸c gi¶
mét bµi to¸n thó vÞ vµ ®· gióp t¸c gi¶ gi¶i quyÕt trän vÑn
bµi to¸n nµy mét c¸ch tËn t×nh chu ®¸o. T¸c gi¶ còng xin
5
bµy tá lßng biÕt ¬n tíi GS.TS. NguyÔn Quèc Thi, PGS.TS. Ng«
Sü Tïng, PGS.TS. NguyÔn Thµnh Quang, PGS.TS. NguyÔn
Quý Dy, TS. Mai V¨n T, TS. Chu Träng Thanh, TS. NguyÔn
ThÞ Hång Loan vµ c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong tæ §¹i sè - Lý
thuyÕt sè ®· gióp ®ì ®éng viªn, chØ b¶o t¸c gi¶ trong suèt
thêi gian häc tËp còng nh viÖc hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
T¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c tíi Ban gi¸m hiÖu Trêng §¹i häc Vinh, Ban chñ nhiÖm khoa To¸n, khoa Sau ®¹i
häc vµ c¸c phßng ban cã liªn quan; xin c¶m ¬n Së Gi¸o Dôc
vµ §µo T¹o Thanh Ho¸, trêng THPT Yªn §Þnh 3 ®· t¹o ®iÒu
kiÖn vÒ tinh thÇn còng nh vÒ vËt chÊt cho t¸c gi¶ trong thêi
gian häc tËp vµ nghiªn cøu t¹i trêng §¹i häc Vinh.
Mét lÇn n÷a, t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý chØ b¶o
cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vµ c¸c b¹n häc viªn líp Cao häc 12
§¹i Sè - Lý thuyÕt sè.
Vinh,
th¸ng 12/2006
Thi
Òu Thanh H¶i
6
Ch¬ng 1. HÖ h¹t nh©n
trong nöa nhãm
T¬ng ®¼ng trong nöa nhãm lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò
trung t©m cña lý thuyÕt nöa nhãm vµ cã liªn quan chÆt chÏ
víi lý thuyÕt ng«n ng÷ h×nh thøc. Trong ch¬ng nµy, chóng
t«i tr×nh bµy viÖc x©y dùng hÖ h¹t nh©n chuÈn trong mét
sè líp nöa nhãm vµ øng dông chóng ®Ó m« t¶ c¸c t¬ng
®¼ng trªn c¸c líp nöa nhãm ®ã. C¸c kÕt qu¶ vÒ nöa nhãm
ngîc thuéc vÒ V¸cne (1953) vµ Preston (1954).
1.1. hÖ h¹t nh©n chuÈn trong nöa nhãm ngîc
Nh ta ®· biÕt, mçi t¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm ®îc x¸c
®Þnh duy nhÊt bëi líp t¬ng ®¼ng chøa ®¬n vÞ cña nhãm.
§iÒu nµy kh«ng ®óng cho mét nöa nhãm tuú ý. Tuy nhiªn,
®èi víi nöa nhãm ngîc, líp nöa nhãm kh¸ gÇn víi nhãm- mçi
t¬ng ®¼ng cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh bëi mét sè líp t¬ng ®¼ng
chøa lòy ®¼ng cña nöa nhãm ngîc ®ã. TËp hîp c¸c líp t¬ng
®¼ng ®ã gäi lµ hÖ h¹t nh©n chuÈn øng víi t¬ng ®¼ng ®·
cho. PhÇn chøng minh cña c¸c kÕt qu¶ trong phÇn nµy xem
[2].
a. T¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm
1.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp tuú ý kh¸c rçng.
Khi ®ã mçi tËp con cña tÝch §Òc¸c XxX = {(a, b) a, b
7
X} ®îc gäi lµ mét quan hÖ trªn tËp X. NÕu (a, b) , trong
®ã a, b X th× nãi a n»m trong quan hÖ víi b vµ viÕt ab.
Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp vµ B X lµ tËp tÊt c¶ c¸c quan hÖ
trªn X. Ta ®a vµo BX phÐp to¸n hîp thµnh ( ) x¸c ®Þnh
nh sau: Gi¶ sö , BX. Khi ®ã (a, b) nÕu x X
sao cho (a, x) vµ (x, b) . TËp hîp BX tÊt c¶ c¸c quan
hÖ hai ng«i trªn X lµ mét nöa nhãm ®èi víi phÐp to¸n hîp
thµnh ( ). Nöa nhãm BX ®îc gäi lµ nöa nhãm c¸c quan hÖ
trªn tËp X.
1.1.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp, lµ mét bé
phËn cña XxX. ThÕ th× gäi lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng
trªn X nÕu vµ chØ nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y ®îc tho¶
m·n:
i) (Ph¶n x¹) aa, a X.
ii) (§èi xøng) NÕu ab th× ba, a, b X.
iii) (B¾c cÇu) NÕu ab vµ bc th× ac, a, b, c X.
1.1.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö S lµ nöa nhãm vµ lµ mét
quan hÖ trªn S. Khi ®ã ®îc gäi lµ æn ®Þnh bªn ph¶i
(tr¸i) nÕu ab, a, b S th× acbc (cacb), c S.
Quan hÖ ®îc gäi lµ t¬ng ®¼ng ph¶i (tr¸i) nÕu lµ
quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ æn ®Þnh ph¶i (tr¸i).
Quan hÖ ®îc gäi lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S nÕu võa lµ
t¬ng ®¼ng ph¶i, võa lµ t¬ng ®¼ng tr¸i.
8
1.1.4. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö : S S’ lµ ¸nh x¹ tõ nöa nhãm
S vµo nöa nhãm S'. Khi ®ã ®îc gäi lµ ®ång cÊu nöa nhãm
nÕu (ab) = (a)(b), a, b S.
B. PhÇn tö chÝnh quy. Nöa nhãm ngîc
1.1.5. §Þnh nghÜa. Cho S lµ nöa nhãm. Khi ®ã:
i) PhÇn tö a S ®îc gäi lµ chÝnh quy, nÕu a aSa, hay
axa = a, x S.
ii) Nöa nhãm S ®îc gäi lµ nöa nhãm chÝnh quy, nÕu mçi
phÇn tö cña S ®Òu lµ phÇn tö chÝnh quy.
1.1.6. MÖnh ®Ò. Nöa nhãm S lµ nöa nhãm chÝnh quy khi
vµ chØ khi mäi i®ªan chÝnh ph¶i (tr¸i) cña S sinh bëi mét
lòy ®¼ng e nµo ®ã.
1.1.7. §Þnh nghÜa. Cho S lµ nöa nhãm. Khi ®ã:
i) Hai phÇn tö a vµ b S ®îc gäi lµ ngîc nhau, nÕu aba =
a vµ bab = b.
ii) Nöa nhãm S ®îc gäi lµ nöa nhãm ngîc, nÕu mçi phÇn
tö cña S cã mét phÇn tö ngîc duy nhÊt.
1.1.8. VÝ dô. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã nhãm lµ mét nöa nhãm
ngîc. Tuy nhiªn cã nh÷ng nöa nhãm ngîc mµ kh«ng ph¶i lµ
mét nhãm. Ch¼ng h¹n nöa nhãm lµ hîp cña c¸c nhãm.
§Þnh lý sau ®©y m« t¶ cÊu tróc cña mét nöa nhãm ngîc.
1.1.9. §Þnh lý. Ba ®iÒu sau ®©y ®èi víi mét nöa nhãm S
lµ t¬ng ®¬ng:
9
i) S chÝnh quy vµ hai lòy ®¼ng bÊt kú cña nã giao ho¸n
®îc víi nhau.
ii) Mçi i®ªan chÝnh ph¶i vµ mçi i®ªan chÝnh tr¸i cña S cã
mét phÇn tö sinh lòy ®¼ng duy nhÊt.
iii) S lµ nöa nhãm ngîc.
C. HÖ h¹t nh©n chuÈn cña nöa nhãm ngîc
1.1.10. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö : S S' lµ mét toµn cÊu tõ
nöa nhãm chÝnh quy S lªn nöa nhãm S'. Khi ®ã S' lµ nöa
nhãm chÝnh quy.
1.1.11. §Þnh lý. ¶nh ®ång cÊu cña mét nöa nhãm ngîc
còng lµ mét nöa nhãm ngîc. Ngoµi ra, qua mét ®ång cÊu tuú
ý th× phÇn tö ngîc víi phÇn tö ®· cho sÏ ¸nh x¹ thµnh phÇn
tö ngîc víi ¶nh cña phÇn tö ®· cho.
1.1.12. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö S lµ nöa nhãm tuú ý vµ A =
{Ai i I} lµ tËp con ®«i mét kh«ng giao nhau cña S. Ta nãi
A lµ mét tËp thõa nhËn ®îc (bªn tr¸i, bªn ph¶i) trong S nÕu
tån t¹i mét t¬ng ®¼ng (tr¸i, ph¶i) trªn S sao cho mçi tËp
Ai (i I) lµ mét - líp. Khi ®ã, ta gäi mçi t¬ng ®¼ng nh
vËy lµ t¬ng ®¼ng thõa nhËn A.
NÕu A thõa nhËn ®îc (bªn tr¸i, bªn ph¶i) vµ tån t¹i ®óng
mét t¬ng ®¼ng (tr¸i, ph¶i) trªn S thõa nhËn A th× A lµ mét
tËp chuÈn (bªn tr¸i, bªn ph¶i) trong S.
10
1.1.13. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö S lµ mét nöa nhãm chÝnh quy
(®Æc biÖt lµ nöa nhãm ngîc), lµ mét t¬ng ®¼ng trªn nã
vµ A lµ c¸c - líp chøa lòy ®¼ng. Khi ®ã A lµ mét tËp
chuÈn trong S.
1.1.14. §Þnh nghÜa. TËp A = {Ai i I} ®îc gäi lµ mét hÖ
h¹t nh©n chuÈn cña nöa nhãm ngîc S nÕu:
K1) Mçi Ai lµ mét nöa nhãm con ngù¬c cña S.
K2) Ai Aj = , víi i j.
K3) Mçi lòy ®¼ng cña S ®îc chøa trong mét Ai nµo ®ã.
K4) a S vµ i I th× j I sao cho a-1Aia Aj (ta viÕt
j = ia, nghÜa lµ a-1Aia Aia).
K5) NÕu a, ab, bb-1 Ai th× b Ai.
1.1.15. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö lµ mét ®ång cÊu cña nöa
nhãm ngîc S. TËp c¸c lòy ®¼ng cña nöa nhãm S/-1 ®îc
gäi lµ h¹t nh©n cña ®ång cÊu vµ cña t¬ng ®¼ng -1 .
1.1.16. §Þnh lý. Gi¶ sö A = {Ai i I} lµ mét hÖ h¹t nh©n
chuÈn cña mét nöa nhãm ngîc S. Khi ®ã quan hÖ A = {(a,
b) SxS aa-1, bb-1, ab-1 Ai, víi i I} lµ mét t¬ng ®¼ng trªn
S vµ A lµ h¹t nh©n cña t¬ng ®¼ng ®ã.
§¶o l¹i, gi¶ sö : S S' lµ mét ®ång cÊu cña nöa nhãm
ngîc S lªn nöa nhãm S’ vµ A lµ h¹t nh©n cña . Khi ®ã A lµ
hÖ h¹t nh©n chuÈn cña S vµ A = -1 .
11
1.2. hÖ h¹t nh©n chuÈn trong nhãm ph¶i
Nöa nhãm ngîc vµ nhãm ph¶i lµ nh÷ng líp nöa nhãm ®Æc
biÖt cña líp nöa nhãm chÝnh quy vµ cã nh÷ng tÝnh chÊt gÇn
víi nhãm. Trong 1.1 ®· nªu lªn kÕt qu¶: ¶nh ®ång cÊu cña
mét nöa nhãm ngîc lµ nöa nhãm ngîc; Mét t¬ng ®¼ng tuú ý
trªn mét nöa nhãm ngîc ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi
viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng cña nã chøa c¸c lòy ®¼ng. VÊn
®Ò ®Æt ra mét c¸ch tù nhiªn lµ ®èi víi c¸c nhãm ph¶i ta cã
thÓ ®¹t ®îc kÕt qu¶ t¬ng tù nh vËy kh«ng. TiÕt nµy ®îc
x©y dùng nh»m gi¶i ®¸p vÊn ®Ò ®ã.
a. §Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt ®Æc trng cña nhãm
ph¶i
1.2.1. §Þnh nghÜa. i) Nöa nhãm S gäi lµ ®¬n ph¶i nÕu nã
kh«ng chøa i®ªan ph¶i thùc sù.
ii) Nöa nhãm S gäi lµ nhãm ph¶i nÕu nã ®¬n ph¶i vµ gi¶n
íc tr¸i, nghÜa lµ víi hai phÇn tö bÊt kú a, b S, ph¬ng tr×nh
ax = b cã nghiÖm duy nhÊt trong S.
VÝ dô.
+) Nöa nhãm E ®îc gäi lµ nöa nhãm c¸c phÇn tö
kh«ng bªn ph¶i nÕu mçi phÇn tö cña nã lµ phÇn tö kh«ng
bªn ph¶i, tøc lµ xy = y, x, y E.
Râ rµng E lµ mét nhãm ph¶i.
+)TÝch trùc tiÕp cña hai nöa nhãm S vµ T lµ tËp SxT =
{(s, t) s S, t T} víi phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh sau: (s,
t).(s', t') = (ss', tt'), s, s' S; t, t' T.
Râ rµng tÝch trùc tiÕp cña hai nöa nhãm ®¬n ph¶i lµ nöa
nhãm ®¬n ph¶i. ThËt vËy, viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh (a, b)(x, y)
12
= (c, d) dÉn tíi viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh ax = c vµ by = d. Còng
hiÓn nhiªn lµ tÝch trùc tiÕp cña hai nöa nhãm víi luËt gi¶n íc
tr¸i lµ mét nöa nhãm víi luËt gi¶n íc tr¸i. Do ®ã, tÝch trùc
tiÕp cña hai nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i.
1.2.2. Bæ ®Ò. Mçi lòy ®¼ng cña mét nöa nhãm ®¬n ph¶i
S lµ mét ®¬n vÞ tr¸i cña nã.
Chøng minh. Gi¶ sö e lµ lòy ®¼ng vµ a lµ phÇn tö tuú ý
thuéc nöa nhãm S. V× S ®¬n ph¶i suy ra x S sao cho ex
= a. Khi ®ã ea = e2x = ex = a.
1.2.3. §Þnh lý. Cho S lµ nöa nhãm. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng:
i) S lµ mét nhãm ph¶i.
ii) S ®¬n ph¶i vµ chøa lòy ®¼ng.
iii) S lµ tÝch trùc tiÕp GxE cña nhãm G vµ nöa nhãm E
c¸c phÇn tö kh«ng bªn ph¶i.
Chøng minh. i) ii). V× S lµ nhãm ph¶i nªn S ®¬n ph¶i
(theo ®Þnh nghÜa). Gi¶ sö a S, v× S ®¬n ph¶i suy ra e
S sao cho ae = a. Khi ®ã ae 2 = ae e2 = e (v× S lµ nhãm
ph¶i nªn cã thÓ gi¶n íc tr¸i).
ii) iii). Gi¶ sö E lµ tËp c¸c lòy ®¼ng cña S. Theo ®iÒu
kiÖn ii) th× E . Theo Bæ ®Ò 1.2.2 mçi phÇn tö thuéc E lµ
®¬n vÞ tr¸i trong S, ®Æc biÖt ef = f, e, f E. VËy E lµ nöa
nhãm con c¸c phÇn tö kh«ng bªn ph¶i cña S.
13
Ta chøng minh S lµ nöa nhãm víi luËt gi¶n íc tr¸i, ®iÒu ®ã
còng chøng minh ®îc ii) i). Gi¶ sö ca = cb (a, b, c S) vµ f
S x S sao cho cx = f. Gi¶ sö e = xc. ThÕ th× e2 = xcxc
= xfc = xc = e e = ea = xca = xcb = eb = b.
NÕu e E th× Se lµ nöa nhãm con cña S trong ®ã e lµ
®¬n vÞ ph¶i (vµ còng lµ ®¬n vÞ tr¸i). NÕu a Se th× ta cã
thÓ gi¶i ph¬ng tr×nh ax = e trong S. Nhng khi ®ã a(xe) = e2
= e, tøc lµ phÇn tö a kh¶ ngÞch bªn ph¶i trong nöa nhãm Se
víi ®¬n vÞ e. Do ®ã Se lµ mét nhãm con cña S.
Gi¶ sö mét phÇn tö cè ®Þnh g E. Ta ký hiÖu nhãm Sg bëi
G.
Gäi : GxE
S
(a, e) ae, víi a G, e E.
Khi ®ã a, b G vµ e, f E, ta cã:
[(a, e)(b, f)] = (ab, ef) = (ab)(ef)=abf
(a, e)(b, f) = (ae)(bf) = a(eb)f = abf.
VËy lµ mét ®ång cÊu.
Ta chøng tá lµ ¸nh x¹ mét - mét. Gi¶ thiÕt r»ng (a,
e) = (b, f) tøc lµ ae = bf (víi a, b G; e, f E). V× g lµ
mét ®¬n vÞ cña nhãm G nªn ta cã a = ag = aeg = bfg =
bg = b. Do ®ã ae = af e = f (V× S lµ nöa nhãm víi luËt
gi¶n íc tr¸i).
14
Cuèi cïng ta chøng tá ¸nh x¹ GxE lªn S. Gi¶ sö a S
tån t¹i e S sao cho ae = a. Tõ ®ã ae2 = ae vµ e2 = e (V×
cã thÓ gi¶n íc tr¸i). Do ®ã e E.
Khi ®ã ag Sg = G vµ (ag, e) = age = ae = a.
VËy lµ ®¼ng cÊu tõ GxE lªn S.
iii) i). V× tÝch trùc tiÕp cña hai nhãm ph¶i lµ mét
nhãm ph¶i vµ v× E, G lµ c¸c nhãm ph¶i nªn GxE còng lµ
nhãm ph¶i.
1.2.4. MÖnh ®Ò. S lµ mét nhãm ph¶i khi vµ chØ khi S lµ
nöa nhãm chÝnh quy víi luËt gi¶n íc tr¸i.
Chøng minh. +) §iÒu kiÖn cÇn. Do S nhãm ph¶i nªn tån t¹i
lòy ®¼ng e lµ ®¬n vÞ tr¸i cña S. Mçi a S, x S sao cho
ax = e axa = ea = a. VËy S lµ nöa nhãm chÝnh quy vµ
hiÓn nhiªn trong S cã luËt gi¶n íc tr¸i.
+) §iÒu kiÖn ®ñ. V× S cã luËt gi¶n íc tr¸i nªn chØ cÇn
chøng minh S ®¬n ph¶i. Ta chøng minh ph¬ng tr×nh ay = b
cã nghiÖm trong S, a, b S.
ThËt vËy, a S x S ®Ó axa = a (v× S chÝnh quy). Ta
cã ay = b axay = b axb = b suy ra nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh lµ y = xb S.
1.2.5. MÖnh ®Ò. Cho S lµ nöa nhãm. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ
t¬ng ®¬ng:
i) S lµ nhãm ph¶i.
ii) Tån t¹i ®¬n vÞ tr¸i e S sao cho e aS, a S.
15
iii) §èi víi mçi a S, nöa nhãm con aS chøa ®¬n vÞ tr¸i
cña S.
Chøng minh. i) ii). Gi¶ sö S nhãm ph¶i suy ra S ®¬n ph¶i
vµ chøa lòy ®¼ng
(theo §Þnh lý 1.2.3). Gäi e lµ lòy ®¼ng cña S th× e lµ ®¬n
vÞ tr¸i (theo Bæ ®Ò 1.2.2). V× S ®¬n ph¶i nªn aS = S, a
S. §Æc biÖt lÊy e S th× e aS, a S.
ii) i). Gi¶ sö tån t¹i ®¬n vÞ tr¸i e S sao cho e aS
víi mçi a S. Ta chøng minh S nhãm ph¶i. V× e lµ ®¬n vÞ
tr¸i cña S suy ra ex = x, x S. LÊy x = e S ee = e
2
=
e. VËy S chøa lòy ®¼ng e.
Ta cÇn chøng minh S ®¬n ph¶i, tøc lµ chøng minh aS =
S, a S.
Râ rµng aS S (do S lµ nöa nhãm).
(1)
LÊy bÊt kú a S, do e aS b S ®Ó e = ab. Do e ®¬n
vÞ tr¸i cu¶ S nªn ta cã a = ea = aba = a(ba) aS S aS,
a S.
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã aS = S, a S.
Tõ §Þnh lý 1.2.3 suy ra S lµ nhãm ph¶i.
i) iii). Gi¶ sö S lµ nhãm ph¶i suy ra S ®¬n ph¶i vµ
chøa lòy ®¼ng. Gäi e lµ mét lòy ®¼ng cña S suy ra e lµ
®¬n vÞ tr¸i trong S (theo Bæ ®Ò 1.2.2). Do S ®¬n ph¶i
suy ra e aS, a S. VËy aS chøa ®¬n vÞ tr¸i e cña S, a
S.
16
iii) i). Gi¶ sö a S, aS chøa ®¬n vÞ tr¸i cña S. Gäi e
lµ ®¬n vÞ tr¸i cña S suy ra ex = x, x S. Víi x = e th× e2
= e suy ra e lµ lòy ®¼ng cña S.
Víi bÊt kú x S ta cã x = ex, theo gi¶ thiÕt iii) ta cã e aS,
a S e = ab, b S. VËy x = ex = ab = a(bx) aS S
aS S = aS.
VËy S lµ nhãm ph¶i.
B. T¬ng ®¼ng trªn c¸c nhãm ph¶i
Trong môc nµy tríc hÕt ta chøng minh r»ng ¶nh ®ång cÊu
tuú ý cña mét nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i. Sau ®ã chøng tá
mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nhãm ph¶i ®îc x¸c ®Þnh
mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng cña nã
chøa c¸c lòy ®¼ng.
1.2.6. MÖnh ®Ò. NÕu S lµ nhãm ph¶i, lµ t¬ng ®¼ng trªn S
th× S/ lµ nhãm ph¶i.
Chøng minh. Gi¶ sö a lµ phÇn tö bÊt kú thuéc S/. V× S lµ
nhãm ph¶i nªn S lµ
nöa nhãm chÝnh quy (theo MÖnh ®Ò 1.2.4). Víi a S suy ra
x S sao cho axa = a a x a = (axa) = a S/ lµ
nöa nhãm chÝnh quy.
Ta cÇn chøng minh S/ cã luËt gi¶n íc tr¸i. Gi¶ sö a b
= a c suy ra ab = ac. Do a S nªn a1 S sao cho aa1
lòy ®¼ng. Khi ®ã (a1a)2 = a1(aa1)a = a1a suy ra aa1còng lòy
17
®¼ng. Ta cã ab = ac a1ab = a1ac (V× ab = ac a1ab
= a1ac do S nhãm ph¶i nªn cã luËt gi¶n íc tr¸i). VËy b = c.
VËy S/ lµ nhãm ph¶i.
Tõ mÖnh ®Ò trªn ta suy ra ¶nh ®ång cÊu cña mét nhãm
ph¶i lµ mét nhãm ph¶i.
1.2.7. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö lµ ®ång cÊu tõ nhãm ph¶i S lªn
nhãm ph¶i S', e' lµ lòy ®¼ng thuéc S'. Khi ®ã -1(e') lµ mét
nöa nhãm con ph¶i cña S.
Chøng minh. Gi¶ sö a, b -1(e'). Ta cã (a) = e' vµ (b) = e'
(a).(b) = e'.e' = e’ (v× e' lµ lòy ®¼ng). Mµ lµ ®ång
cÊu nªn (a).(b) = (ab) = e'
ab -1(e'). Do ®ã -1(e') lµ nöa nhãm con cña S.
Gi¶ sö a, b -1(e'). Ta chøng minh ph¬ng tr×nh ax = b
cã nghiÖm trong -1(e'). V× S nhãm ph¶i nªn d S sao cho
ad = b (ad) = (b)
(a).(d) = (b) e'.(d) = e' e'(d) = e'e' (v× e' lµ lòy
®¼ng thuéc S')
Suy ra (d) = e' (do S' lµ nhãm ph¶i nªn cã luËt gi¶n íc tr¸i) suy
ra d -1(e'). VËy ta cã -1(e') ®¬n ph¶i.
MÆt kh¸c -1(e') S mµ S lµ nhãm ph¶i nªn cã luËt gi¶n
íc tr¸i suy ra -1(e') còng cã luËt gi¶n íc tr¸i.
VËy ®îc -1(e') lµ nhãm con ph¶i cña S.
1.2.8. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö S lµ mét nhãm ph¶i vµ A = {Ai
i I} lµ tËp c¸c tËp con ®«i mét kh«ng giao nhau cña S. Ta
18
nãi A lµ tËp thõa nhËn ®îc nÕu tån t¹i mét t¬ng ®¼ng
trªn S sao cho mçi tËp Ai (i I) lµ mét - líp.
Khi ®ã, ta gäi mçi t¬ng ®¼ng nh vËy lµ mét t¬ng ®¼ng
thõa nhËn A.
NÕu A thõa nhËn ®îc vµ tån t¹i duy nhÊt mét t¬ng ®¼ng
trªn S thõa nhËn A th× ta nãi A lµ tËp chuÈn trong S.
1.2.9. MÖnh ®Ò. NÕu S lµ mét nhãm ph¶i, lµ mét t¬ng
®¼ng trªn nã vµ A lµ tËp c¸c - líp chøa lòy ®¼ng th× A lµ
tËp chuÈn trong S.
Chøng minh. Gi¶ sö lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S thõa nhËn A.
Ta cÇn chøng tá = . Gi¶ sö (a, b) , do S nhãm ph¶i nªn
x S ®Ó ax lµ lòy ®¼ng cña S. Suy ra xa còng lµ mét lòy
®¼ng. V× æn ®Þnh ph¶i nªn (ax, bx) . T¬ng tù y S
®Ó yb, by còng lµ lòy ®¼ng vµ v× æn ®Þnh bªn tr¸i nªn
ta còng cã
(ya, yb) . Theo gi¶ thiÕt thõa nhËn A nªn
- líp chøa lòy ®¼ng ax trïng víi - líp chøa lòy ®¼ng ax.
VËy (ax, bx) .
T¬ng tù (ya, yb) (bya, byb) .
(1)
Dïng tÝnh æn ®Þnh tr¸i (ph¶i) cña mét c¸ch thÝch hîp ta
cã a = axa
(ax, bx) (axa, bxa) (a, bxa)
(2)
19
(bybxa, byaxa) mµ
bybxa bxa
byaxa bya
(bxa, bya) .
(3)
Tõ (1) vµ (3) (bxa, byb) (bxa, b) .
(4)
Do b¾c cÇu nªn tõ (2) vµ (4) suy ra (a, b) . VËy .
(5)
§æi vai trß cña vµ cho nhau, t¬ng tù ta còng cã .
(6)
VËy tõ (5) vµ (6) ta cã = .
Theo MÖnh ®Ò 1.2.9 vµ ®Þnh nghÜa cña tËp chuÈn ta cã
t¬ng ®¼ng trªn mét nhãm ph¶i S ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch
duy nhÊt bëi tËp chuÈn A tÊt c¶ c¸c - líp chøa lòy ®¼ng.
B©y giê ta t×m c¸c ®Æc trng cña nh÷ng tËp A ®ã vµ m« t¶
cÊu tróc cña nh÷ng t¬ng ®¼ng t¬ng øng.
1.2.10. §Þnh nghÜa. TËp A = {Ai i I} ®îc gäi lµ mét hÖ
h¹t nh©n chuÈn cña nhãm ph¶i S nÕu:
K1) Mçi Ai lµ mét nhãm con ph¶i cña S.
K2) Ai Aj = , víi i j.
K3) Mçi lòy ®¼ng cña S ®îc chøa trong mét Ai nµo ®ã.
K4) Víi a, x bÊt kú thuéc S mµ ax Aj th× aAix Aj, i
I.
20
1.2.11. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö lµ mét ®ång cÊu cña nhãm
ph¶i S. TËp c¸c lòy ®¼ng cña nöa nhãm S/-1 ®îc gäi lµ
h¹t nh©n cña ®ång cÊu vµ cña t¬ng ®¼ng -1 .
1.2.12. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö lµ mét t¬ng ®¼ng trªn nhãm
ph¶i S. Khi ®ã h¹t nh©n cña t¬ng ®¼ng lµ hÖ h¹t nh©n
chuÈn cña nhãm ph¶i S.
Chøng minh. Gi¶ sö A = {Ai i I} lµ tËp c¸c lòy ®¼ng
thuéc S/, tøc lµ A lµ h¹t nh©n cña t¬ng ®¼ng . Ta kiÓm
tra A tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt tõ K 1 ®Õn K4 cña §Þnh nghÜa
1.2.10.
K1). XÐt ®ång cÊu : S S/. Do Ai lµ t¹o ¶nh cña lòy
®¼ng nªn Ai lµ nhãm ph¶i, i I (theo MÖnh ®Ò 1.2.7).
K2). V× Ai (i I) lµ c¸c líp t¬ng ®¬ng do ®ã K2) tho¶ m·n.
K3). Mçi lòy ®¼ng cña S qua ®ång cÊu biÕn thµnh lòy
®¼ng cña S/ do ®ã K3) tho¶ m·n.
K4). Ta cã () = (ayx) = (a).(y).(x) = (a).(x), i I,
= ayx vµ y Ai (v× y Ai nªn (y) lµ lòy ®¼ng cña S/)
suy ra () = (a)(x) = (ax) mµ ax Aj Aj hay ayx
Aj. VËy aAix Aj.
1.2.13. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A = {Ai i I} lµ mét hÖ h¹t
nh©n chuÈn cña nhãm ph¶i S. Quan hÖ hai ng«i trªn S x¸c
®Þnh bëi A = {(a, b) SxS ax = b vµ bx = a cã nghiÖm
thuéc Ai víi i I} lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S.
- Xem thêm -
.DOC 
62 
57 
69 
