Tài liệu Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm và ngôn ngữ aniximov suy rộng

  • Số trang: 62 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 55 |
  • Lượt tải: 0
tructuyentailieu

Tham gia: 25/05/2016

Mô tả:

1 Môc lôc Trang Më ®Çu.......................................................................2 Ch¬ng 1. HÖ h¹t nh©n trong nöa nhãm.....................5 1.1. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nöa nhãm ngîc........5 1.2. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nhãm ph¶i..............9 Ch¬ng 2. Ng«n ng÷ nhãm Aniximov vµ ng«n ng÷ nhãm Aniximov suy réng.....................19 2.1. T¬ng ®¼ng chÝnh ph¶i §uybr©y vµ t¬ng ®¼ng chÝnh hai phÝa Kroad«.........................19 2.2. ¤t«m¸t, vÞ nhãm có ph¸p vµ v¨n ph¹m cña ng«n ng÷................................................28 2.3. Ng«n ng÷ nhãm Aniximov vµ ng«n ng÷ nhãm Aniximov suy réng.................................38 KÕt luËn cu¶ luËn v¨n..............................................45 Tµi liÖu tham kh¶o...................................................46 2 Më ®Çu ViÖc nghiªn cøu ng«n ng÷ h×nh thøc trong vµi chôc n¨m gÇn ®©y ®· thùc sù hÊp dÉn nhiÒu t¸c gi¶ trong vµ ngoµi níc. NhiÒu c«ng tr×nh liªn quan ®Õn ¤t«m¸t, vÞ nhãm có ph¸p vµ v¨n ph¹m cña c¸c ng«n ng÷ ®· ®îc c«ng bè víi nhiÒu kÕt qu¶ s©u s¾c vµ cã nhiÒu øng dông trong to¸n häc vµ trong lÜnh vùc m¸y tÝnh. Cã thÓ kh¶o s¸t c¸c ng«n ng÷ h×nh thøc theo nhiÒu híng kh¸c nhau tïy theo sù quan t©m vµ tÝnh riªng biÖt cña ngêi nghiªn cøu. ë ®©y chóng t«i quan t©m nhiÒu ®Õn vÞ nhãm có ph¸p cña c¸c ng«n ng÷ v× ®ã lµ cÊu tróc c¬ së cña ®¹i sè hiÖn ®¹i. Nh ta ®· biÕt, mçi t¬ng ®¼ng  trªn mét nhãm ®îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi líp t¬ng ®¼ng chøa ®¬n vÞ cña nhãm. §iÒu nµy kh«ng ®óng cho mét nöa nhãm tuú ý. Tuy nhiªn, trong "Lý thuyÕt nöa nhãm", Cliph¬t vµ Prest¬n ®· chøng minh ®îc r»ng: Mçi t¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm ngîc x¸c ®Þnh bëi mét hÖ h¹t nh©n chuÈn øng víi t¬ng ®¼ng ®· cho. Cliph¬t vµ Prest¬n còng ®· ®a ra kÕt qu¶: ¶nh ®ång cÊu cña mét nöa nhãm ngîc còng lµ nöa nhãm ngîc vµ ®· chøng tá mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nöa nhãm ngîc ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng cña nã chøa c¸c lòy ®¼ng. Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn, chóng t«i xÐt bµi to¸n t¬ng tù: M« t¶ t¬ng ®¼ng trªn c¸c nhãm ph¶i, mét líp nöa nhãm kh¸ 3 gÇn víi c¸c nhãm. Tõ ®ã kh¶o s¸t mét sè líp ng«n ng÷ h×nh thøc liªn quan. LuËn v¨n ®îc chia thµnh c¸c ch¬ng môc nh sau: PhÇn më ®Çu, ch¬ng 1, ch¬ng 2 vµ phÇn kÕt luËn. Ch¬ng 1. HÖ h¹t nh©n trong nöa nhãm Ch¬ng nµy gåm hai tiÕt: 1.1. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nöa nhãm ngîc. Trong tiÕt nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ t¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm; tãm t¾t c¸c kÕt qu¶ chÝnh vÒ t¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm ngîc ®Ó lµm c¬ së cho viÖc tr×nh bµy c¸c phÇn sau. 1.2. HÖ h¹t nh©n chuÈn trong nhãm ph¶i. §©y lµ mét trong hai néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Trong tiÕt nµy, chóng t«i ®· thu ®îc nh÷ng kÕt qu¶ t¬ng tù vÒ t¬ng ®¼ng trong nhãm ph¶i, cô thÓ ®· chøng minh ®îc: ¶nh ®ång cÊu cña mét nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i (MÖnh ®Ò 1.2.6); mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nhãm ph¶i ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng chøa c¸c lòy ®¼ng (§Þnh lý 1.2.16). Tuy nhiªn, kü thuËt chøng minh cña chóng t«i chñ yÕu kh¸c víi kü thuËt mµ Cliph¬t vµ Prest¬n ®· dïng khi kh¶o s¸t t¬ng ®¼ng trªn c¸c nöa nhãm ngîc. Ch¬ng 2. Ng«n ng÷ Aniximov vµ ng«n ng÷ Aniximov suy réng. 4 Ch¬ng nµy gåm ba tiÕt: 2.1. T¬ng ®¼ng chÝnh ph¶i §uybr©y vµ t¬ng ®¼ng hai phÝa Kroar«. Trong tiÕt nµy chóng t«i xÐt c¸c t¬ng ®¼ng chÝnh liªn quan ®Õn c¸c ng«n ng÷ h×nh thøc vµ ¤t«m¸t. 2.2. ¤t«m¸t, vÞ nhãm có ph¸p vµ v¨n ph¹m cña ng«n ng÷. Trong tiÕt nµy chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n liªn quan ®Õn ng«n ng÷ h×nh thøc ®Ó lµm c¬ së cho viÖc tr×nh bµy tiÕt sau. 2.3. Ng«n ng÷ nhãm Aniximov vµ ng«n ng÷ Aniximov suy réng. TiÕt nµy lµ mét trong nh÷ng néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Thùc ra mét sè t¸c gi¶ ®· kh¶o s¸t ng«n ng÷ Aniximov nhng chØ trong trêng hîp ng«n ng÷ chÝnh quy, nghÜa lµ vÞ nhãm có ph¸p cña nã lµ mét nhãm h÷u h¹n. ë ®©y, chóng t«i xÐt c¸c líp ng«n ng÷ nµy trong trêng hîp vÞ nhãm có ph¸p lµ mét nhãm tuú ý vµ bíc ®Çu ®· thu ®îc mét sè kÕt qu¶: m« t¶ d¸ng ®iÖu ng«n ng÷, vÞ nhãm có ph¸p vµ ¤t«m¸t cña c¸c ng«n ng÷ Aniximov vµ Aniximov më réng (MÖnh ®Ò 2.3.1, MÖnh ®Ò 2.3.3, §Þnh lý 2.3.4, §Þnh lý 2.3.6). LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t©m, nhiÖt t×nh cña thÇy gi¸o PGS.TS. Lª Quèc H¸n. Nh©n dÞp nµy, t¸c gi¶ xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ThÇy- ngêi ®· ®Æt cho t¸c gi¶ mét bµi to¸n thó vÞ vµ ®· gióp t¸c gi¶ gi¶i quyÕt trän vÑn bµi to¸n nµy mét c¸ch tËn t×nh chu ®¸o. T¸c gi¶ còng xin 5 bµy tá lßng biÕt ¬n tíi GS.TS. NguyÔn Quèc Thi, PGS.TS. Ng« Sü Tïng, PGS.TS. NguyÔn Thµnh Quang, PGS.TS. NguyÔn Quý Dy, TS. Mai V¨n T, TS. Chu Träng Thanh, TS. NguyÔn ThÞ Hång Loan vµ c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong tæ §¹i sè - Lý thuyÕt sè ®· gióp ®ì ®éng viªn, chØ b¶o t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp còng nh viÖc hoµn thµnh luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c tíi Ban gi¸m hiÖu Trêng §¹i häc Vinh, Ban chñ nhiÖm khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc vµ c¸c phßng ban cã liªn quan; xin c¶m ¬n Së Gi¸o Dôc vµ §µo T¹o Thanh Ho¸, trêng THPT Yªn §Þnh 3 ®· t¹o ®iÒu kiÖn vÒ tinh thÇn còng nh vÒ vËt chÊt cho t¸c gi¶ trong thêi gian häc tËp vµ nghiªn cøu t¹i trêng §¹i häc Vinh. Mét lÇn n÷a, t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý chØ b¶o cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vµ c¸c b¹n häc viªn líp Cao häc 12 §¹i Sè - Lý thuyÕt sè. Vinh, th¸ng 12/2006 Thi Òu Thanh H¶i 6 Ch¬ng 1. HÖ h¹t nh©n trong nöa nhãm T¬ng ®¼ng trong nöa nhãm lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña lý thuyÕt nöa nhãm vµ cã liªn quan chÆt chÏ víi lý thuyÕt ng«n ng÷ h×nh thøc. Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy viÖc x©y dùng hÖ h¹t nh©n chuÈn trong mét sè líp nöa nhãm vµ øng dông chóng ®Ó m« t¶ c¸c t¬ng ®¼ng trªn c¸c líp nöa nhãm ®ã. C¸c kÕt qu¶ vÒ nöa nhãm ngîc thuéc vÒ V¸cne (1953) vµ Preston (1954). 1.1. hÖ h¹t nh©n chuÈn trong nöa nhãm ngîc Nh ta ®· biÕt, mçi t¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm ®îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi líp t¬ng ®¼ng chøa ®¬n vÞ cña nhãm. §iÒu nµy kh«ng ®óng cho mét nöa nhãm tuú ý. Tuy nhiªn, ®èi víi nöa nhãm ngîc, líp nöa nhãm kh¸ gÇn víi nhãm- mçi t¬ng ®¼ng cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh bëi mét sè líp t¬ng ®¼ng chøa lòy ®¼ng cña nöa nhãm ngîc ®ã. TËp hîp c¸c líp t¬ng ®¼ng ®ã gäi lµ hÖ h¹t nh©n chuÈn øng víi t¬ng ®¼ng ®· cho. PhÇn chøng minh cña c¸c kÕt qu¶ trong phÇn nµy xem [2]. a. T¬ng ®¼ng trªn nöa nhãm 1.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp tuú ý kh¸c rçng. Khi ®ã mçi tËp con  cña tÝch §Òc¸c XxX = {(a, b) a, b  7 X} ®îc gäi lµ mét quan hÖ trªn tËp X. NÕu (a, b)  , trong ®ã a, b  X th× nãi a n»m trong quan hÖ  víi b vµ viÕt ab. Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp vµ B X lµ tËp tÊt c¶ c¸c quan hÖ trªn X. Ta ®a vµo BX phÐp to¸n hîp thµnh ( ) x¸c ®Þnh nh sau: Gi¶ sö ,   BX. Khi ®ã (a, b)    nÕu x  X sao cho (a, x)   vµ (x, b)  . TËp hîp BX tÊt c¶ c¸c quan hÖ hai ng«i trªn X lµ mét nöa nhãm ®èi víi phÐp to¸n hîp thµnh ( ). Nöa nhãm BX ®îc gäi lµ nöa nhãm c¸c quan hÖ trªn tËp X. 1.1.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp,  lµ mét bé phËn cña XxX. ThÕ th×  gäi lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn X nÕu vµ chØ nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y ®îc tho¶ m·n: i) (Ph¶n x¹) aa, a  X. ii) (§èi xøng) NÕu ab th× ba, a, b  X. iii) (B¾c cÇu) NÕu ab vµ bc th× ac, a, b, c  X. 1.1.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö S lµ nöa nhãm vµ  lµ mét quan hÖ trªn S. Khi ®ã  ®îc gäi lµ æn ®Þnh bªn ph¶i (tr¸i) nÕu ab, a, b  S th× acbc (cacb), c  S. Quan hÖ  ®îc gäi lµ t¬ng ®¼ng ph¶i (tr¸i) nÕu  lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ æn ®Þnh ph¶i (tr¸i). Quan hÖ  ®îc gäi lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S nÕu  võa lµ t¬ng ®¼ng ph¶i, võa lµ t¬ng ®¼ng tr¸i. 8 1.1.4. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö : S  S’ lµ ¸nh x¹ tõ nöa nhãm S vµo nöa nhãm S'. Khi ®ã  ®îc gäi lµ ®ång cÊu nöa nhãm nÕu (ab) = (a)(b), a, b  S. B. PhÇn tö chÝnh quy. Nöa nhãm ngîc 1.1.5. §Þnh nghÜa. Cho S lµ nöa nhãm. Khi ®ã: i) PhÇn tö a  S ®îc gäi lµ chÝnh quy, nÕu a  aSa, hay axa = a, x  S. ii) Nöa nhãm S ®îc gäi lµ nöa nhãm chÝnh quy, nÕu mçi phÇn tö cña S ®Òu lµ phÇn tö chÝnh quy. 1.1.6. MÖnh ®Ò. Nöa nhãm S lµ nöa nhãm chÝnh quy khi vµ chØ khi mäi i®ªan chÝnh ph¶i (tr¸i) cña S sinh bëi mét lòy ®¼ng e nµo ®ã. 1.1.7. §Þnh nghÜa. Cho S lµ nöa nhãm. Khi ®ã: i) Hai phÇn tö a vµ b  S ®îc gäi lµ ngîc nhau, nÕu aba = a vµ bab = b. ii) Nöa nhãm S ®îc gäi lµ nöa nhãm ngîc, nÕu mçi phÇn tö cña S cã mét phÇn tö ngîc duy nhÊt. 1.1.8. VÝ dô. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã nhãm lµ mét nöa nhãm ngîc. Tuy nhiªn cã nh÷ng nöa nhãm ngîc mµ kh«ng ph¶i lµ mét nhãm. Ch¼ng h¹n nöa nhãm lµ hîp cña c¸c nhãm. §Þnh lý sau ®©y m« t¶ cÊu tróc cña mét nöa nhãm ngîc. 1.1.9. §Þnh lý. Ba ®iÒu sau ®©y ®èi víi mét nöa nhãm S lµ t¬ng ®¬ng: 9 i) S chÝnh quy vµ hai lòy ®¼ng bÊt kú cña nã giao ho¸n ®îc víi nhau. ii) Mçi i®ªan chÝnh ph¶i vµ mçi i®ªan chÝnh tr¸i cña S cã mét phÇn tö sinh lòy ®¼ng duy nhÊt. iii) S lµ nöa nhãm ngîc. C. HÖ h¹t nh©n chuÈn cña nöa nhãm ngîc 1.1.10. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö  : S  S' lµ mét toµn cÊu tõ nöa nhãm chÝnh quy S lªn nöa nhãm S'. Khi ®ã S' lµ nöa nhãm chÝnh quy. 1.1.11. §Þnh lý. ¶nh ®ång cÊu cña mét nöa nhãm ngîc còng lµ mét nöa nhãm ngîc. Ngoµi ra, qua mét ®ång cÊu tuú ý th× phÇn tö ngîc víi phÇn tö ®· cho sÏ ¸nh x¹ thµnh phÇn tö ngîc víi ¶nh cña phÇn tö ®· cho. 1.1.12. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö S lµ nöa nhãm tuú ý vµ A = {Ai i  I} lµ tËp con ®«i mét kh«ng giao nhau cña S. Ta nãi A lµ mét tËp thõa nhËn ®îc (bªn tr¸i, bªn ph¶i) trong S nÕu tån t¹i mét t¬ng ®¼ng (tr¸i, ph¶i)  trªn S sao cho mçi tËp Ai (i  I) lµ mét  - líp. Khi ®ã, ta gäi mçi t¬ng ®¼ng  nh vËy lµ t¬ng ®¼ng thõa nhËn A. NÕu A thõa nhËn ®îc (bªn tr¸i, bªn ph¶i) vµ tån t¹i ®óng mét t¬ng ®¼ng (tr¸i, ph¶i) trªn S thõa nhËn A th× A lµ mét tËp chuÈn (bªn tr¸i, bªn ph¶i) trong S. 10 1.1.13. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö S lµ mét nöa nhãm chÝnh quy (®Æc biÖt lµ nöa nhãm ngîc),  lµ mét t¬ng ®¼ng trªn nã vµ A lµ c¸c  - líp chøa lòy ®¼ng. Khi ®ã A lµ mét tËp chuÈn trong S. 1.1.14. §Þnh nghÜa. TËp A = {Ai i  I} ®îc gäi lµ mét hÖ h¹t nh©n chuÈn cña nöa nhãm ngîc S nÕu: K1) Mçi Ai lµ mét nöa nhãm con ngù¬c cña S. K2) Ai  Aj = , víi i  j. K3) Mçi lòy ®¼ng cña S ®îc chøa trong mét Ai nµo ®ã. K4) a  S vµ i  I th× j  I sao cho a-1Aia  Aj (ta viÕt j = ia, nghÜa lµ a-1Aia  Aia). K5) NÕu a, ab, bb-1  Ai th× b  Ai. 1.1.15. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö  lµ mét ®ång cÊu cña nöa nhãm ngîc S. TËp c¸c lòy ®¼ng cña nöa nhãm S/-1  ®îc gäi lµ h¹t nh©n cña ®ång cÊu  vµ cña t¬ng ®¼ng -1 . 1.1.16. §Þnh lý. Gi¶ sö A = {Ai i  I} lµ mét hÖ h¹t nh©n chuÈn cña mét nöa nhãm ngîc S. Khi ®ã quan hÖ A = {(a, b)  SxS aa-1, bb-1, ab-1 Ai, víi i I} lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S vµ A lµ h¹t nh©n cña t¬ng ®¼ng ®ã. §¶o l¹i, gi¶ sö : S  S' lµ mét ®ång cÊu cña nöa nhãm ngîc S lªn nöa nhãm S’ vµ A lµ h¹t nh©n cña . Khi ®ã A lµ hÖ h¹t nh©n chuÈn cña S vµ A = -1 . 11 1.2. hÖ h¹t nh©n chuÈn trong nhãm ph¶i Nöa nhãm ngîc vµ nhãm ph¶i lµ nh÷ng líp nöa nhãm ®Æc biÖt cña líp nöa nhãm chÝnh quy vµ cã nh÷ng tÝnh chÊt gÇn víi nhãm. Trong 1.1 ®· nªu lªn kÕt qu¶: ¶nh ®ång cÊu cña mét nöa nhãm ngîc lµ nöa nhãm ngîc; Mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nöa nhãm ngîc ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng cña nã chøa c¸c lòy ®¼ng. VÊn ®Ò ®Æt ra mét c¸ch tù nhiªn lµ ®èi víi c¸c nhãm ph¶i ta cã thÓ ®¹t ®îc kÕt qu¶ t¬ng tù nh vËy kh«ng. TiÕt nµy ®îc x©y dùng nh»m gi¶i ®¸p vÊn ®Ò ®ã. a. §Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt ®Æc trng cña nhãm ph¶i 1.2.1. §Þnh nghÜa. i) Nöa nhãm S gäi lµ ®¬n ph¶i nÕu nã kh«ng chøa i®ªan ph¶i thùc sù. ii) Nöa nhãm S gäi lµ nhãm ph¶i nÕu nã ®¬n ph¶i vµ gi¶n íc tr¸i, nghÜa lµ víi hai phÇn tö bÊt kú a, b  S, ph¬ng tr×nh ax = b cã nghiÖm duy nhÊt trong S. VÝ dô. +) Nöa nhãm E ®îc gäi lµ nöa nhãm c¸c phÇn tö kh«ng bªn ph¶i nÕu mçi phÇn tö cña nã lµ phÇn tö kh«ng bªn ph¶i, tøc lµ xy = y, x, y  E. Râ rµng E lµ mét nhãm ph¶i. +)TÝch trùc tiÕp cña hai nöa nhãm S vµ T lµ tËp SxT = {(s, t) s  S, t  T} víi phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh sau: (s, t).(s', t') = (ss', tt'), s, s'  S; t, t'  T. Râ rµng tÝch trùc tiÕp cña hai nöa nhãm ®¬n ph¶i lµ nöa nhãm ®¬n ph¶i. ThËt vËy, viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh (a, b)(x, y) 12 = (c, d) dÉn tíi viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh ax = c vµ by = d. Còng hiÓn nhiªn lµ tÝch trùc tiÕp cña hai nöa nhãm víi luËt gi¶n íc tr¸i lµ mét nöa nhãm víi luËt gi¶n íc tr¸i. Do ®ã, tÝch trùc tiÕp cña hai nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i. 1.2.2. Bæ ®Ò. Mçi lòy ®¼ng cña mét nöa nhãm ®¬n ph¶i S lµ mét ®¬n vÞ tr¸i cña nã. Chøng minh. Gi¶ sö e lµ lòy ®¼ng vµ a lµ phÇn tö tuú ý thuéc nöa nhãm S. V× S ®¬n ph¶i suy ra x  S sao cho ex = a. Khi ®ã ea = e2x = ex = a. 1.2.3. §Þnh lý. Cho S lµ nöa nhãm. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng: i) S lµ mét nhãm ph¶i. ii) S ®¬n ph¶i vµ chøa lòy ®¼ng. iii) S lµ tÝch trùc tiÕp GxE cña nhãm G vµ nöa nhãm E c¸c phÇn tö kh«ng bªn ph¶i. Chøng minh. i)  ii). V× S lµ nhãm ph¶i nªn S ®¬n ph¶i (theo ®Þnh nghÜa). Gi¶ sö a  S, v× S ®¬n ph¶i suy ra e  S sao cho ae = a. Khi ®ã ae 2 = ae  e2 = e (v× S lµ nhãm ph¶i nªn cã thÓ gi¶n íc tr¸i). ii)  iii). Gi¶ sö E lµ tËp c¸c lòy ®¼ng cña S. Theo ®iÒu kiÖn ii) th× E  . Theo Bæ ®Ò 1.2.2 mçi phÇn tö thuéc E lµ ®¬n vÞ tr¸i trong S, ®Æc biÖt ef = f, e, f  E. VËy E lµ nöa nhãm con c¸c phÇn tö kh«ng bªn ph¶i cña S. 13 Ta chøng minh S lµ nöa nhãm víi luËt gi¶n íc tr¸i, ®iÒu ®ã còng chøng minh ®îc ii)  i). Gi¶ sö ca = cb (a, b, c  S) vµ f  S  x  S sao cho cx = f. Gi¶ sö e = xc. ThÕ th× e2 = xcxc = xfc = xc = e  e = ea = xca = xcb = eb = b. NÕu e  E th× Se lµ nöa nhãm con cña S trong ®ã e lµ ®¬n vÞ ph¶i (vµ còng lµ ®¬n vÞ tr¸i). NÕu a  Se th× ta cã thÓ gi¶i ph¬ng tr×nh ax = e trong S. Nhng khi ®ã a(xe) = e2 = e, tøc lµ phÇn tö a kh¶ ngÞch bªn ph¶i trong nöa nhãm Se víi ®¬n vÞ e. Do ®ã Se lµ mét nhãm con cña S. Gi¶ sö mét phÇn tö cè ®Þnh g  E. Ta ký hiÖu nhãm Sg bëi G. Gäi : GxE  S (a, e)  ae, víi a  G, e  E. Khi ®ã a, b  G vµ e, f  E, ta cã: [(a, e)(b, f)] = (ab, ef) = (ab)(ef)=abf (a, e)(b, f) = (ae)(bf) = a(eb)f = abf. VËy  lµ mét ®ång cÊu. Ta chøng tá  lµ ¸nh x¹ mét - mét. Gi¶ thiÕt r»ng (a, e) = (b, f) tøc lµ ae = bf (víi a, b  G; e, f  E). V× g lµ mét ®¬n vÞ cña nhãm G nªn ta cã a = ag = aeg = bfg = bg = b. Do ®ã ae = af  e = f (V× S lµ nöa nhãm víi luËt gi¶n íc tr¸i). 14 Cuèi cïng ta chøng tá  ¸nh x¹ GxE lªn S. Gi¶ sö a  S tån t¹i e  S sao cho ae = a. Tõ ®ã ae2 = ae vµ e2 = e (V× cã thÓ gi¶n íc tr¸i). Do ®ã e  E. Khi ®ã ag  Sg = G vµ (ag, e) = age = ae = a. VËy  lµ ®¼ng cÊu tõ GxE lªn S. iii)  i). V× tÝch trùc tiÕp cña hai nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i vµ v× E, G lµ c¸c nhãm ph¶i nªn GxE còng lµ nhãm ph¶i. 1.2.4. MÖnh ®Ò. S lµ mét nhãm ph¶i khi vµ chØ khi S lµ nöa nhãm chÝnh quy víi luËt gi¶n íc tr¸i. Chøng minh. +) §iÒu kiÖn cÇn. Do S nhãm ph¶i nªn tån t¹i lòy ®¼ng e lµ ®¬n vÞ tr¸i cña S. Mçi a  S, x  S sao cho ax = e  axa = ea = a. VËy S lµ nöa nhãm chÝnh quy vµ hiÓn nhiªn trong S cã luËt gi¶n íc tr¸i. +) §iÒu kiÖn ®ñ. V× S cã luËt gi¶n íc tr¸i nªn chØ cÇn chøng minh S ®¬n ph¶i. Ta chøng minh ph¬ng tr×nh ay = b cã nghiÖm trong S, a, b  S. ThËt vËy, a  S  x  S ®Ó axa = a (v× S chÝnh quy). Ta cã ay = b  axay = b  axb = b suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = xb  S. 1.2.5. MÖnh ®Ò. Cho S lµ nöa nhãm. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng: i) S lµ nhãm ph¶i. ii) Tån t¹i ®¬n vÞ tr¸i e  S sao cho e  aS, a  S. 15 iii) §èi víi mçi a  S, nöa nhãm con aS chøa ®¬n vÞ tr¸i cña S. Chøng minh. i)  ii). Gi¶ sö S nhãm ph¶i suy ra S ®¬n ph¶i vµ chøa lòy ®¼ng (theo §Þnh lý 1.2.3). Gäi e lµ lòy ®¼ng cña S th× e lµ ®¬n vÞ tr¸i (theo Bæ ®Ò 1.2.2). V× S ®¬n ph¶i nªn aS = S, a  S. §Æc biÖt lÊy e  S th× e  aS, a  S. ii)  i). Gi¶ sö tån t¹i ®¬n vÞ tr¸i e  S sao cho e  aS víi mçi a  S. Ta chøng minh S nhãm ph¶i. V× e lµ ®¬n vÞ tr¸i cña S suy ra ex = x, x  S. LÊy x = e  S  ee = e 2 = e. VËy S chøa lòy ®¼ng e. Ta cÇn chøng minh S ®¬n ph¶i, tøc lµ chøng minh aS = S, a  S. Râ rµng aS  S (do S lµ nöa nhãm). (1) LÊy bÊt kú a  S, do e  aS  b  S ®Ó e = ab. Do e ®¬n vÞ tr¸i cu¶ S nªn ta cã a = ea = aba = a(ba)  aS  S  aS, a  S. (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã aS = S, a  S. Tõ §Þnh lý 1.2.3 suy ra S lµ nhãm ph¶i. i)  iii). Gi¶ sö S lµ nhãm ph¶i suy ra S ®¬n ph¶i vµ chøa lòy ®¼ng. Gäi e lµ mét lòy ®¼ng cña S suy ra e lµ ®¬n vÞ tr¸i trong S (theo Bæ ®Ò 1.2.2). Do S ®¬n ph¶i suy ra e  aS, a  S. VËy aS chøa ®¬n vÞ tr¸i e cña S, a  S. 16 iii)  i). Gi¶ sö a  S, aS chøa ®¬n vÞ tr¸i cña S. Gäi e lµ ®¬n vÞ tr¸i cña S suy ra ex = x, x  S. Víi x = e th× e2 = e suy ra e lµ lòy ®¼ng cña S. Víi bÊt kú x  S ta cã x = ex, theo gi¶ thiÕt iii) ta cã e  aS, a  S  e = ab, b  S. VËy x = ex = ab = a(bx)  aS  S  aS  S = aS. VËy S lµ nhãm ph¶i. B. T¬ng ®¼ng trªn c¸c nhãm ph¶i Trong môc nµy tríc hÕt ta chøng minh r»ng ¶nh ®ång cÊu tuú ý cña mét nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i. Sau ®ã chøng tá mét t¬ng ®¼ng tuú ý trªn mét nhãm ph¶i ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi viÖc cho c¸c líp t¬ng ®¬ng cña nã chøa c¸c lòy ®¼ng. 1.2.6. MÖnh ®Ò. NÕu S lµ nhãm ph¶i,  lµ t¬ng ®¼ng trªn S th× S/ lµ nhãm ph¶i. Chøng minh. Gi¶ sö a lµ phÇn tö bÊt kú thuéc S/. V× S lµ nhãm ph¶i nªn S lµ nöa nhãm chÝnh quy (theo MÖnh ®Ò 1.2.4). Víi a  S suy ra x  S sao cho axa = a  a x a = (axa) = a  S/ lµ nöa nhãm chÝnh quy. Ta cÇn chøng minh S/ cã luËt gi¶n íc tr¸i. Gi¶ sö a b = a c suy ra ab = ac. Do a  S nªn a1 S sao cho aa1 lòy ®¼ng. Khi ®ã (a1a)2 = a1(aa1)a = a1a suy ra aa1còng lòy 17 ®¼ng. Ta cã ab = ac  a1ab = a1ac (V× ab = ac  a1ab = a1ac do S nhãm ph¶i nªn cã luËt gi¶n íc tr¸i). VËy b = c. VËy S/ lµ nhãm ph¶i. Tõ mÖnh ®Ò trªn ta suy ra ¶nh ®ång cÊu cña mét nhãm ph¶i lµ mét nhãm ph¶i. 1.2.7. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö  lµ ®ång cÊu tõ nhãm ph¶i S lªn nhãm ph¶i S', e' lµ lòy ®¼ng thuéc S'. Khi ®ã -1(e') lµ mét nöa nhãm con ph¶i cña S. Chøng minh. Gi¶ sö a, b  -1(e'). Ta cã (a) = e' vµ (b) = e'  (a).(b) = e'.e' = e’ (v× e' lµ lòy ®¼ng). Mµ  lµ ®ång cÊu nªn (a).(b) = (ab) = e'  ab  -1(e'). Do ®ã -1(e') lµ nöa nhãm con cña S. Gi¶ sö a, b  -1(e'). Ta chøng minh ph¬ng tr×nh ax = b cã nghiÖm trong -1(e'). V× S nhãm ph¶i nªn d  S sao cho ad = b   (ad) = (b)   (a).(d) = (b)  e'.(d) = e'  e'(d) = e'e' (v× e' lµ lòy ®¼ng thuéc S') Suy ra (d) = e' (do S' lµ nhãm ph¶i nªn cã luËt gi¶n íc tr¸i) suy ra d  -1(e'). VËy ta cã -1(e') ®¬n ph¶i. MÆt kh¸c -1(e')  S mµ S lµ nhãm ph¶i nªn cã luËt gi¶n íc tr¸i suy ra -1(e') còng cã luËt gi¶n íc tr¸i. VËy ®îc -1(e') lµ nhãm con ph¶i cña S. 1.2.8. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö S lµ mét nhãm ph¶i vµ A = {Ai i  I} lµ tËp c¸c tËp con ®«i mét kh«ng giao nhau cña S. Ta 18 nãi A lµ tËp thõa nhËn ®îc nÕu tån t¹i mét t¬ng ®¼ng  trªn S sao cho mçi tËp Ai (i  I) lµ mét  - líp. Khi ®ã, ta gäi mçi t¬ng ®¼ng  nh vËy lµ mét t¬ng ®¼ng thõa nhËn A. NÕu A thõa nhËn ®îc vµ tån t¹i duy nhÊt mét t¬ng ®¼ng trªn S thõa nhËn A th× ta nãi A lµ tËp chuÈn trong S. 1.2.9. MÖnh ®Ò. NÕu S lµ mét nhãm ph¶i,  lµ mét t¬ng ®¼ng trªn nã vµ A lµ tËp c¸c  - líp chøa lòy ®¼ng th× A lµ tËp chuÈn trong S. Chøng minh. Gi¶ sö  lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S thõa nhËn A. Ta cÇn chøng tá  = . Gi¶ sö (a, b)  , do S nhãm ph¶i nªn x  S ®Ó ax lµ lòy ®¼ng cña S. Suy ra xa còng lµ mét lòy ®¼ng. V×  æn ®Þnh ph¶i nªn (ax, bx)  . T¬ng tù y  S ®Ó yb, by còng lµ lòy ®¼ng vµ v×  æn ®Þnh bªn tr¸i nªn ta còng cã (ya, yb)  . Theo gi¶ thiÕt  thõa nhËn A nªn  - líp chøa lòy ®¼ng ax trïng víi  - líp chøa lòy ®¼ng ax. VËy (ax, bx)  . T¬ng tù (ya, yb)    (bya, byb)  . (1) Dïng tÝnh æn ®Þnh tr¸i (ph¶i) cña  mét c¸ch thÝch hîp ta cã a = axa (ax, bx)    (axa, bxa)    (a, bxa)   (2) 19  (bybxa, byaxa)   mµ bybxa  bxa  byaxa  bya  (bxa, bya)  . (3) Tõ (1) vµ (3)  (bxa, byb)    (bxa, b)  . (4) Do  b¾c cÇu nªn tõ (2) vµ (4) suy ra (a, b)  . VËy   . (5) §æi vai trß cña  vµ  cho nhau, t¬ng tù ta còng cã   . (6) VËy tõ (5) vµ (6) ta cã  = . Theo MÖnh ®Ò 1.2.9 vµ ®Þnh nghÜa cña tËp chuÈn ta cã t¬ng ®¼ng  trªn mét nhãm ph¶i S ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt bëi tËp chuÈn A tÊt c¶ c¸c  - líp chøa lòy ®¼ng. B©y giê ta t×m c¸c ®Æc trng cña nh÷ng tËp A ®ã vµ m« t¶ cÊu tróc cña nh÷ng t¬ng ®¼ng t¬ng øng. 1.2.10. §Þnh nghÜa. TËp A = {Ai i  I} ®îc gäi lµ mét hÖ h¹t nh©n chuÈn cña nhãm ph¶i S nÕu: K1) Mçi Ai lµ mét nhãm con ph¶i cña S. K2) Ai  Aj = , víi i  j. K3) Mçi lòy ®¼ng cña S ®îc chøa trong mét Ai nµo ®ã. K4) Víi a, x bÊt kú thuéc S mµ ax  Aj th× aAix  Aj, i  I. 20 1.2.11. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö  lµ mét ®ång cÊu cña nhãm ph¶i S. TËp c¸c lòy ®¼ng cña nöa nhãm S/-1  ®îc gäi lµ h¹t nh©n cña ®ång cÊu  vµ cña t¬ng ®¼ng -1 . 1.2.12. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö  lµ mét t¬ng ®¼ng trªn nhãm ph¶i S. Khi ®ã h¹t nh©n cña t¬ng ®¼ng  lµ hÖ h¹t nh©n chuÈn cña nhãm ph¶i S. Chøng minh. Gi¶ sö A = {Ai i  I} lµ tËp c¸c lòy ®¼ng thuéc S/, tøc lµ A lµ h¹t nh©n cña t¬ng ®¼ng . Ta kiÓm tra A tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt tõ K 1 ®Õn K4 cña §Þnh nghÜa 1.2.10. K1). XÐt ®ång cÊu : S  S/. Do Ai lµ t¹o ¶nh cña lòy ®¼ng nªn Ai lµ nhãm ph¶i, i  I (theo MÖnh ®Ò 1.2.7). K2). V× Ai (i  I) lµ c¸c líp t¬ng ®¬ng do ®ã K2) tho¶ m·n. K3). Mçi lòy ®¼ng cña S qua ®ång cÊu  biÕn thµnh lòy ®¼ng cña S/ do ®ã K3) tho¶ m·n. K4). Ta cã () = (ayx) = (a).(y).(x) = (a).(x), i  I,  = ayx vµ y  Ai (v× y  Ai nªn (y) lµ lòy ®¼ng cña S/) suy ra () = (a)(x) = (ax) mµ ax  Aj    Aj hay ayx  Aj. VËy aAix  Aj. 1.2.13. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A = {Ai i  I} lµ mét hÖ h¹t nh©n chuÈn cña nhãm ph¶i S. Quan hÖ hai ng«i trªn S x¸c ®Þnh bëi A = {(a, b)  SxS ax = b vµ bx = a cã nghiÖm thuéc Ai víi i  I} lµ mét t¬ng ®¼ng trªn S.
- Xem thêm -