Tài liệu Dự đoán câu tích phân trong đề thi đại học 20144444

DỰ ĐOÁN CÂU TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014 Chuẩn bị kiến thức o Công thức lượng giác o Bảng nguyên hàm, đạo hàm o Đồng nhất hệ số o Biến đổi hàm số mũ, logarit o Tích phân cơ bản Tích phân cơ bản Nhận xét: Tại sao ta phải học tích phân cơ bản đầu tiên? Bất kỳ bài tích phân nào đều là sự biến hóa phức tạp hơn từ những tích phân cơ bản. Để giải quyết bài toán ta luôn phải biến đổi những tích phân phức tạp thành các tích phân cơ bản. Nếu không biết tích phân cơ bản, ta sẽ không thể nghĩ được biến đổi như thế nào để ra, hoặc biết biến đổi nhưng không thể tính được ra đáp số đúng. 1 ln 1 Ví d Tính tích phân I ∫ d Ta biến đổi I1 thành tổng của 2 tích phân cơ bản: 1 ln 1 1 I ∫ d ∫ d ∫ d ln ∫ 1 ln d 1 | ∫ 1 1 1 d 1 d . Đến đây, ta đã đưa I thành 2 tích phân được tác giả coi là cơ bản ∫ tổng quát của tích phân cơ bản này là ∫ 1 Nếu không biết tính ∫ 1 d ,∫ a d liệu bạn c dám tách I b 1 1 d và ∫ 1 d mà dạng d . bư c biến đổi đầu tiên Vậy nên bạn hãy nh cho tôi tầm quan trọng của tích phân cơ bản, hay thành thạo n trư c khi làm bài tích phân phức tạp hơn! OK  Bạn đọc “tự” tính và điền kết quả các nguyên hàm cơ bản vào bảng “TÍCH PHÂN CƠ BẢN” Lượng giác ∫ cos d , ∫ sin ∫ sin cos v i m, n d ∫ cos d ∫ sin , 6 d d m, n ∫ sin a d ∫ cos a d ∫ sin a d ∫ cos a d sin d ∫ cos V i a là số thực bất kỳ LOVEBOOK.VN Logarit, mũ 6 Phân thức, đa thức, căn thức ∫e d 1 ∫ d ∫a d ∫ ∫ ln d ∫ ∫ ln d ∫ ∫ log ∫ ∫ ln d d ∫ e d ∫ ∫ e ∫ 1 d d a b d a a d a e d ∫ √a d ∫ √a ln d b d ∫ ∫ d e d b c I - Phân dạng toán Dạng toán Dấu hiệu Ví d sin 1 Tích phân lượng giác bài toán có yếu tố lượng giác sin, cos, tan, cot I ∫ I ∫ cos Tích phân mũ, logarit bài toán xuất hiện hàm mũ hoặc logarit a , ln u , log u I ∫ I ∫ Tích phân phân thức hữu tỷ bài toán phân thức hữu tỷ, v i tử và mẫu là đa thức của biến x I ∫ Tích phân căn thức bài toán c căn thức bậc 2, 3, .. I sin 1 Kỹ thuật thường dùng cos d , cos 1 cos ln 1 1 ln - Biến đổi lượng giác - Đổi biến - Tách, nhóm d d , - Từng phần - Tách, nhóm d 2 1 1 d , 1 - Đồng nhất hệ số - Tách, nhóm d ∫ 1 I ∫ √2 I ∫ d , 4 - Đổi biến 1 √2 1 2 d II - Phân loại phương pháp giải Phương pháp Phân tích Nguyên l ∫ udv u. v| Ví d ∫ vdu - Mấu chốt là bạn phải tư duy được v là gì? Ngoài ra v còn phải giúp ta tính được Tích phân từng phần ∫ vdu dễ dàng. - Một số bài, ta cần tích phân từng phần 2, 3 lần m i ra đáp số. - Thống kê 1 số v hay gặp: d d ln , e d d e , d a sin d d cos d Đổi biến d ln d cos 1 n Nguyên l LOVEBOOK.VN 1 , cos d d sin d , d cot sin d ∫f ∫ e d Có 2 khả năng cho v là e d e d e d e | 2 Nhận thấy ∫ hoặc . Xét 2 lựa chọn: 1 ∫e d 2 K d e d e 1 ∫ 2 ∫ d e . e d không dễ dàng để tính, thậm chí còn phức tạp hơn. a d tan Ví d 1 K Ngược lại K e e | e | ∫ d e e e 1 ∫e d 1. Bài được giải quyết, sau khi từng phần ch c n lại ∫ e d tính được ngay. d ∫ g u du Ví d 1 K Đặt u √2 ∫ √2 d u 2 udu d V i u là một hàm của . Ý đồ đổi biến u để tính tích phân hàm g u đơn giản hơn f . - Sau khi đổi biến u u cần tính d theo u và du. Nếu không thể đưa về hết u thì sẽ không thể giải tiếp. - Lưu đổi biến phải đi kèm v i đổi cận, rất nhiều bạn bị sai vì quên đổi cận. - Những bài toán c căn thường hay đổi biến thành chính căn đ . Xem ví d 1) - Những BT tích phân mũ thường đổi biến u e còn tích phân logarit là u ln . Như vây √2 được ngay) Đổi cận: 0 Suy ra K 3 Ví d 2 H ∫ Đặt u e ∫ 1 e d ud e, 3 u du u u 1 1 1 e 1 2. 1 ∫ d u u 1 u u 1 ln|u 1|| ln 1 Nếu để nguyên e du u du ln|u|| d thì sẽ rất bí, 1 tách 1 1 . Đưa T thành tổng 2 tích phân cơ bản ∫ ln V iT d ∫ ∫ ln d ln d T T Ví d 1: A – 2011 I sin ∫ 1 cos d sin cos Tách I thành 2 tích phân con: I ∫d V iI ∫ ∫ cos sin cos cos sin cos d ∫ d sin sin d cos cos ln Vậy I ln 5 I 4 Đạo hàm mẫu: sin cos số. Vậy ta biểu diễn lại I : I LOVEBOOK.VN u ∫ 1 ) du u Ví d 1 T 2√2 1 . 3 1 du Đổi cận 1 d e 1 T Đạo hàm mẫu u u | 3 ∫ u du ln e Những tích phân bạn kh nghĩ ra lời giải khi sửa d ng 3 phương pháp trên thì hãy để đến đạo hàm của 1 biểu thức nào đ trong hàm số. Thường là đạo hạm của mẫu nên phương pháp này c tên “Đạo hàm mẫu”. Mấu chốt đạo hàm một số biểu thức của hàm số trong dấu tích phân để phát hiện ra: biểu thức này là đạo hàm của biểu thức kia. 1 √2, √ ∫( u Tách, nhóm u √ H - Nguyên lý 1: Tách tích phân cần tính thành nhiều tích phân con tính được. I I I - Nguyên lý 2: Biến đổi tách nh m để hàm số trong dấu tích phân gọn và tính được. d đã tr thành u du (tính cos chính là tử ln| sin 5 5 ln 2 2 5 ln 2. 2 4 . cos || Bạn cũng c thể thử đạo hàm tử xem có ra không? III – Dự đoán đề Đại học 2014 Bảng tích phân 5 năm 3 khối Lượ ng giác Đề bài A – 2013 1 ∫ ln d A – 2012 1 ln ∫ 1 d Mũ loga Phân thức Căn thức Từng phần Đổi biến Tách nhóm Đạo hàm mẫu x x x 1 ∫ ln d , ∫ d x x x ∫ A – 2011 ∫ sin 1 cos sin d cos x A – 2010 e 2 e ∫ d 1 2e Tích phân cơ bản x x x 1 1 d ,∫ a d b 1 ∫ d x x ∫ x x ∫ cos d ,∫ d a b A – 2009 ∫ cos 1 cos d x d , ∫ sin d B – 2013 ∫ √2 x d ∫ x d B – 2012 ∫ 3 2 x d x 1 sin B – 2010 ln ∫ 2 ln B – 2009 3 ln ∫ 1 x d cos x x d x x d x b d d ,∫ , cos sin sin d 1 ∫ d cos cos x x 1 d 1 x x 1 1 ∫ d ,∫ d x ∫ x 1 ∫ d x ∫ D – 2013 ∫ a d ,∫ d a b ∫ B – 2011 ∫ 1 ∫ x 1 d ,∫ C 1 a b d D – 2012 ∫ 1 sin 2 d LOVEBOOK.VN x x d , ∫ sin a d , ∫ cos a d ∫ sin a d , ∫ cos a d D – 2011 4 1 ∫ d 1 2 √2 x x Phân thức hữu tỷ D – 2010 ∫ 2 3 ln x d D – 2009 d ∫ e 1 x x x x ∫ x ∫ ln d , ∫ ln d 1 a b d Nhận xét và dự đoán:  13/15 bài tập có sử d ng kỹ thuật tách, nhóm  Tỷ lệ số bài toán theo dạng: lượng giác/ mũ logarit/ phân thức/ căn thức là 4/7/2/2. Tức là tích phân mũ-logarit áp đảo.  Tỷ lệ số bài toán phương pháp từng phần/ đổi biến/ tách nh m/ đạo hàm là 6/7/13/2. Đổi biến và từng phần rất phổ biến, chiếm gần 1 nửa các bài thi đại học.  Khối A: trong cả 5 năm thì đề khối A đều là tích phân mũ-logarit 3 bài và lượng giác (2 bài), 2012, 2013 đều cho vào bài tích phân mũ logarit v i bộ 2 phương pháp tách và từng phần. Năm nay sẽ không lặp lại điều này 1 lần nữa, đề khối A rất có thể là một bài tích phân căn thức hoặc phân thức. Tác giả dự đoán 2 bài I ∫ 1 √1 d , I 1 √ ∫ √ 1 d , I d ∫ 1  Khối B: 5 bài toán 5 năm chia đều cho 4 dạng, riêng mũ – logarit nhiều hơn 2 bài nhưng từ năm 2009 và 2010. Hai năm gần nhất đề cho vào tích phân căn và phân thức. Từ đ , dự đoán đề tích phân khối B sẽ rơi vào lượng giác hoặc mũ - logarit (xác suất ít hơn LG . I ∫ I ∫ e 3√3 e 2e 1 cos cos 7 sin d , I ∫ sin 3 d , 1 cos I ∫ sin 1 cos d d  Khối D: Bài tích phân khối D 5 năm gần nhất chia đều cho các dạng, năm 2013 là tích phân phân thức, trong khi khối A, B theo dự đoán trên dễ cho vào tích phân phân thức và tích phân lượng giác nên khối D năm 2014 rất có thể là 1 tích phân mũ – logarit. Về phương pháp, sẽ không c đạo hàm mẫu vì khối D thường không kh , đạo hàm mẫu dễ xuất hiện A, B hơn. Hơn nữa, tích phân dạng mũ – logarit nên tách và từng phần là 2 phương pháp dễ xuất hiện nhất. Ngoài ra, đổi biến cũng c thể c nhưng ác uất thấp hơn. I LOVEBOOK.VN ∫ ln √ln 1 d I ∫ ln 1 ln d I ∫ 1 e e 1 d Đáp số bài dự đoán Khối A I ,I Khối B I ln Khối D I ,I 80 ,I 63 3 4 3ln2 5 ln , 2 2, I 1 2 IV- Kiến thức bổ xung 1. Ứng d ng tính phân Cũng không ngoại trừ, 1 trong các khối A, B, D sẽ có một bài ứng d ng của tích phân, nên các bạn cũng nên học và nắm vững. Tôi nhắc lại 2 công thức về ứng d ng tích phân để tích diện tích, thể tích và 2 ví d để các bạn luyện tập.  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường C y f , C y g , a, b là: S ∫ |f g |d  Nếu cho diện tích S trên quay quanh trục Ox sẽ được một hình khối tròn xoay có thể tích V ∫ |f g |d Ví dụ: 1. Tính thể tích khối tròn xoay, khi quay hình phẳng S giới hạn bởi: y ln , y 2. Tính diện tính hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y ln , y 0, e. 0, 2 quanh trục Ox 2. Tích phân đặc biệt Tích phân đặc biệt là những tích phân ít dùng đến 4 phương pháp trên mà phương pháp tích phân đặc biệt thường ngắn gọn. Nếu biết thì sẽ làm được còn không thì rất kh . Đề thi Đại học 2014 cũng c thể cho vào phần này vì gần đây không thấy xuất hiện Bảng thống kê các tích phân đặc biệt STT Mệnh đề tích phân đặc biệt Ví d áp d ng 1 Nếu f là hàm ch n và liên t c trên [ a a]thì I 2 Nếu f là hàm l và liên t c trên [ a a] thì I 3 Nếu f là hàm ch n và liên t c trên [ a a] thì I 4 Nếu f liên t c trên [a b] thì I 5 Nếu f liên t c trên đoạn [0 1] thì ∫ f sin 6 Nếu f ∫f d ∫f d ∫f ∫f a d d d . 0. f m 1 b d . ∫ ∫ f cos liên t c trên R và tuần hoàn chu kỳ T thì ∫ f LOVEBOOK.VN 2∫f d d ∫f d . ∫f d d I ∫ I ∫ I ∫ d 2 sin d 1 2 I ∫ ln 1 I ∫ I d cos sin ∫ √1 1 tan d d cos cos 2 d PHỤ LỤC Bài viết được trích từ Phần dự đoán Đề thi Đại học các Khối A, A1, B, D trong cuốn sách “Tuyển tập 90 đề thi thử Đại học môn Toán – kèm lời giải chi tiết và bình luận (tập 2 ” do tập thể các tác giả GSTT Group biên soạn và Nhà sách LOVEBOOK.VN phát hành. Để nắm chắc toàn bộ 90 đề trong bộ sách khi ch còn 1 tháng ôn thi nữa, các em có thể tham gia LỚP ÔN THI ĐẠI HỌC THÁNG 6 của VEDU.EDU.VN. Hầu hết tác giả của bộ sách đều giảng dạy tại l p học đặc biệt này. Chi tiết xem tại: http://vedu.edu.vn/news/on-thi-dai-hoc/lop-on-thi-dai-hoc-thang-6-17/ -------------- LOVEBOOK.VN