Tài liệu Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (chuyên) năm học 2015-2016 trường thpt chuyên sư phạm, hà nội

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho học sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian: 120 phút Câu 1: (2,5 điểm) 1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức  a 1  S  6  4 2 . 3 20  14 2  3 (a  3) a  3a  1 :   1  2( a  1)  2. Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và x y  1 1 x 1 y Tính giá trị của biểu thức P  x  y  x 2  xy  y 2 Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y  ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1 2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao? Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a 2  b 2  1  2(ab  a  b) Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB 1/3 Thì P = 2 Nếu xy < 1/3n thì P = 3xy Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y  ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1 2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao? 1. Áp dụng định lý py ta go ta có /y/ = 4 thay x = 2 4 = /a/4 suy ra a= -1 ta được y = - x2 2. Thay x= 1.2 ta có y = 1.44 Khoảng cách còn lại 4- 1.44 = 2.56 vậy ô tô đi qua được Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a 2  b 2  1  2(ab  a  b)  a 2  b 2  1  2ab  2a  2b  4a   a  b  1  4a 2 là số chính phương suy ra a là số chính phương a = x2 (x là số nguyên) x 2  b  1  4 x 2  x 2  b  1  2 x 2  b   x  1 2 Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB - Xem thêm -