Tài liệu Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán chuyên khtn - đại học quốc gia hà nội năm 2014 - 2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHTN ( ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI) NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán ( không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I.    x  1  1  x 2 1  x2  2  8 1) Giải phương trình 2) 2 2   x  xy  y  1 Giải hệ phương trình  2 2   x  xy  2 y  4 Câu II. 1) Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Chứng minh rằng: xyz  5 x  4 y  3z  x 2y 3z    1  x 2 1  y 2 1  z 2  x  y  y  z  x  z  2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 y2  x  y   x  y  3  xy Câu III. Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác góc ABC. Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại F. 1. Chứng minh: tam giác ABF đồng dạng tam giác ACE. 2. Chứng minh: AD, BE, CF đồng quy tại G. 3. Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF ở Q. Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P. Chứng minh 5 điểm A, P, G, Q, F thuộc một đường tròn. Câu IV. Giả sử a, b, c là các số thực dương và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 5 2abc  a  b  c    a 4b2  b4c 2  c 4 a 2 9 Page 1 Môn thi: Toán ( chuyên) Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. 1) Giả sử x, y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn: y 2 y2 4 y4 8 y8  2   4 x  y x  y 2 x 4  y 4 x8  y 8 Chứng minh rằng 4x = 5y. 2) 2 x 2  3 y 2  xy  12  Giải hệ phương trình:  2 2  6 x  x y  12  6 y  y x Câu II: 1) Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4 x 2 y 2  7 x  7 y là số chính phương. Chứng minh rằng x = y. 2) Giả sử x, y là những số thực không âm thỏa mãn x3  y 3  xy  x 2  y 2 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P  1 x 2  x  2  y 1 y Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm P nằm trong tam giác sao cho BP = PC. D là điểm nằm trên BC ( D nằm giữa B và C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C. 1) Chứng minh rằng 4 điểm A, E, P, F thuộc 1 đường tròn. 2) Giả sử đường thẳng AD cắt (O) tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng CQ tại L. Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng tam giác CLF. 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB. Chứng minh rằng   PAB   QLK   PAC  . QKL Câu IV. Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập hợp con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) Mỗi tập thuộc dãy m có ít nhất 2 phần tử. ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần thử thì số phần tử của hai tập này khác nhau. Chứng minh rằng : m  900 --------------HẾT----------- Page 2