Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp huyện có đáp án

PHÒNG GD &ĐT CẨM THỦY TRƯỜNG THCS CẨM NGỌC ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) ............................................... ĐỀ BÀI C©u 1: 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2  25 x 2  11  x  5 2 2. ViÕt c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai d¹ng: x2 + mx + n = 0. BiÕt r»ng, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn, c¸c hÖ sè m, n ®Òu lµ nh÷ng sè nguyªn vµ m + n + 1 = 2011. C©u 2: 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = (4x3 - 6x2 - 1)2014 víi x = 2. C©u 3: 1 1  3 3  2 2  3 3  2 2  .   2 3  2x  y  2  x  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  2 y  x  32  y  1. Cho c¸c sè nguyªn a, b, c tháa m·n: C©u 4: 1 1 1 1 . Chøng minh r»ng:    a b c abc (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) lµ sè chÝnh ph¬ng. 2. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 lµ sè chÝnh ph¬ng. 1. Cho ®êng trßn (O; R) vµ ®êng th¼ng (d) c¾t ®êng trßn (O) t¹i hai ®iÓm A, B. Tõ mét ®iÓm M trªn ®êng th¼ng (d) vµ ë ngoµi (O), (d) kh«ng ®i qua O, ta vÏ hai tiÕp tuyÕn MN, MP víi ®êng trßn (O) (N, P lµ hai tiÕp ®iÓm). a. Chøng minh NMO = NPO. b. Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn ®êng th¼ng (d). 2. Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh vµ ®iÓm M di ®éng sao cho tam gi¸c AMB cã ba gãc nhän. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMB vµ K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch KM.HK. C©u 5: Cho ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: xyz = 1. Chøng minh r»ng: 1  x3  y 3  xy 1  y3  z3  yz 1  z 3  x3 3 3 zx Hết HƯỚNG DẪN CHẤM C©u Néi dung ®¸p ¸n §iÓm 1. §K: x  5 2 (1) 5 x  10 x 2   11 x    x 5 x 5    x  10 x   x  5   x  5  11  0    2 §Æt  2 x2  t th× ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: t2 + 10t -11 = 0 x5 t  1 t  11  + Víi t = 1 => x2 - x - 5 = 0. Suy ra: x1,2 = 1  1 (4,0®) 0,5 2 21 2 + Víi t = -11 => x2 + 11x + 55 = 0 (PTVN) 2. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: x2 + mx + n = 0 cã hai nghiÖm nguyªn x1, x2. Theo ®Þnh lÝ Vi 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x1  x2  m - et, ta cã:  x1 x2  n 0,25 0,75 Do ®ã: m + n + 1 = x1x2- (x1 + x2) + 1 = 2011  (x1 - 1)(x2 - 1) = 2011 V× 2011 lµ sè nguyªn tè, gi¶ sö x1 > x2, ta nhËn ®îc: + x1 - 1 = 2011 => x1 = 2012; x2 - 1 = 1 => x2 = 2 Suy m = -2014; n = 4024. + x1 - 1 = -1 => x1 = 0; x2 - 1 = -2011 => x2 = -2010 Suy m = 2010; n = 0. Tõ ®ã, ta cã c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai d¹ng: x2 + mx + n = 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n: x2 - 2014x + 4024 = 0; x2 + 2010x = 0. 1. 2 (4,0®) a  3 3  2 2  §Æt  b  3 3  2 2  ab  1   a 3  b 3  6 a  b  2 x  1  1,0 0,5 Suy ra: (2x - 1)3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = 6 + 3(2x - 1)  2 x  1  2 x  1 2  3 = 6 4x3 - 6x2 - 1 = 1 VËy P = (4x3  6x2  1)2014 = 1. 0,5 2. §K: x, y 0 2 x 3  x 2 y  3  HÖ ph¬ng tr×nh   2 y 3  xy 2  3  0,5 Trõ vế với vế của hai phương trình ta được: 2(x3 – y3) + xy(x - y) = 0  2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = 0  (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = 0 (*) 0,75 0,25 2 V× 2x + 3xy +y = 2 2 3  7  2 x  y   y 2 4  8  > 0 víi  x, y  0 0,5 Nªn (*)  x – y = 0  x = y Thay x = y vµo ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc: 3x3 = 3  x3 = 1  x = 1 (TM §K) VËy x = y = 1. 1. Theo ®Ò ra, ta cã: 3 (4,0®) 1 1 1 1 => ab + bc + ca = 1    a b c abc Khi ®ã, ta cã: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1) 1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2) 1 + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3) Tõ (1), (2) & (3), suy ra: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Víi a, b, c lµ c¸c sè nguyªn th× (a + b)(b + c)(c + a) lµ sè nguyªn. VËy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 lµ sè chÝnh ph¬ng. 2. §Æt n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = y2 (y  N) Suy ra: y2 = (n2 + n)2 + n2 + n + 7 > (n2 + n)2 => y > n2+ n. V× y  N, n2 + n + 1  N => y  n2 + n + 1 => y2  (n2 + n + 1)2 2 = n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 Thay y => n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7  (n2 + n + 1)2 => n2 + n - 6  0 => (n - 2)(n + 3)  0 n  N* => n + 3 > 0 => n - 2  0 Suy ra n  1;2 Thö víi n = 1 th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 13 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng. Thö víi n = 2 th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 49 lµ sè chÝnh ph¬ng. VËy n = 2. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1 a. V× MN, MP lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) => ONM = OPM = 900 (1) => ONM + OPM = 1800 Suy ra tø gi¸c MNOP néi tiÕp => NMO = NPO (Hai gãc néi tiÕp cïng M ch¾n cung ON). 0,5 P 0,5 O I B b. Gäi I lµ trung ®iÓm d©y AB ta cã I cè ®Þnh. (d) kh«ng ®i qua O nªn OI  AB N => OIM = ONM = OPM = 900 => I, N, P thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh OM. O vµ I cè ®Þnh. Do ®ã, ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh O vµ I khi M di ®éng trªn ®êng th¼ng (d). 4 2. 2.  BKM vµ  HKA cã: (6,0®) 0,5 A 0,5 BKM = HKA (= 900) M H BMK = HAK (hai gãc nhän c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Do ®ã  BKM ®ång d¹ng  HKA (g.g) => BK KM  HK KA => BK.KA = KM.HK 0.5 B 2 BK  KA  AB 2 BK.KA      2 4   2 => KM.HK  AB K A 0,25 0,5 4 2 VËy max KM.HK = AB khi BK = KA (K lµ trung ®iÓm AB) 4 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« - si cho 3 sè d¬ng, ta cã: 1 + x 3 + y3  T¬ng tù: 33 1.x 3 . y 3  3 xy 1 y3  z3  yz 5 (2,0®) MÆt kh¸c: 3  xy 3  yz 1 x3  y3  xy 3 xy 3 3 (2) 1  z  x  3 yz Tõ (1), (2) & (3), suy ra:  zx (*) 3  33 zx 3 . xy 3 . yz (1) 3 zx 0,5 0,25 (3) 0,25 3 3 3 zx 0,25 1 z 3  x3 3 3 zx 0,5 (**) Tõ (*) & (**) suy ra: 1 x3  y3  xy 1 y3  z3  yz DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: x = y = z = 1. 0,25 0,25