Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp huyện

UBND HUYẸN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: (4điểm) �1 � � �a � � Cho biểu thức: A = � + � � 1 � 2 1 1� a- b � � . + + � : � � b � a + b a b �a b - b a � 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 ; b = 3 - 8 Câu 2: (4điểm) 1. Giải phương trình: x 2  2 x  2  5 x 2  10 x  14  3  2 x  x 2 2. Xác định đa thức P( x) có bậc bốn thỏa mãn: P (1)  0 và P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). Câu 3: (4 điểm) 48 1. Chứng minh rằng: (n3  6n2  8n) M với  n  N và n chẵn. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thoả mãn: x 2  xy  3 x  2 y  1 Câu 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm thuộc cạnh BC (E khác B). Tia AE cắt tia DC tại K. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AE. Đường thẳng d cắt đường thẳng CD tại I. 1. Chứng minh: AI = AE từ đó suy ra: 1 1  không đổi khi E thay đổi trên cạnh 2 AE AK 2 BC. 2. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M. Chứng minh rằng: 1 1 2   . AE AK AM 3. Tìm vị trí của E để độ dài đoạn thẳng IK ngắn nhất. Câu 5: (2 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 1 2  . x 2  y 2 xy .................................... Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ........................................................, Số báo danh: ..................... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN LỚP 9 (Đáp án - thang điểm gồm 3 trang) Dưới đây chỉ là lời giải vắn tắt Học sinh phải lập luận chi tiết mới cho điểm tối đa. Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng. Câu 1 Ý Nội Dung ĐKXĐ: a>0 ;b>0 ; a ≠ b �a + b Ta có: A = � � 1 . 2 a+ b � ab 2 1 1 a+ b A =( + + ): ab a b ab + Điểm ( ) 1 1� a + b ( a - b) + � : a b� ab ( a - b ) � 0.5 2 �1 1 � ab � =� + � . � � �a � a+ b � b� = 0.5 a+ b 0.25 ab Vậy A = 0.5 a+ b ab với a>0 ;b>0 ; a ≠ b 0.25 Ta có : a = 3 + 2 2 ; b = 3 - 8 => 2 a  3  2 2  ( 2  1) 2  b  3  2 2  ( 2  1) 2  2 1  2 1 2 1  2 1 0.5 0.5 Tính được: ab  1 ; a b2 2 Thay vào A ta được: A = 2 2 Giải phương trình: x 2  2 x  2  5 x 2  10 x  14  3  2 x  x 2 2 1 2 0.5 0.5 Ta có: x 2  2 x  2  ( x  1)2  1 Nhận thấy: (x+1)2 ≥ 0 Với mọi x <=> (x+1)2 + 1≥ 1 Với mọi x <=> x 2  2 x  2  1 Với mọi x. Dấu bằng xảy ra khi x=-1 0.25 Tương tự ta có: 5 x 2  10 x  14  3 . Dấu bằng xảy ra khi x=-1 => x 2  2 x  2  5 x 2  10 x  14  4 Dấu bằng xảy ra khi x=-1(1) Lập luận được: 3  2x  x 2  4 .Dấu bằng xảy ra khi x=-1 (2) Từ (1)(2)=> x 2  2 x  2  5 x 2  10 x  14  3  2 x  x 2 Khi x=-1 Vậy nghiệm của phương trình là: x=-1 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Ta có: P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). Xét x =0 ta có : P(0) - P(-1)=0 Mà P(1)  0 => P(0)= 0 => P(x) có nhân tử là x Xét x =-1 ta có : P(-1) - P(-2)=0 Mà P(1)  0 =>P(-2)=0 => P(x) có nhân tử là x+2 Lại có P(1)  0 => P(x) có nhân tử là x+1 Mà P(x) là đa thức bậc bốn nên: P(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b) Từ P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). xét x=1 ta có P(1)=6 Lại có P(1)= 6(a+b) nên ta có: a+b = 1 (1) Tương tự ta có với x = 2. ta có: 24(2a+b)= 36 <=> 4a +2b=3 (2) Từ (1)(2) Tính được: a=b= 1 2 1 2 1 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Kết luận: P(x)=x(x+1)(x+2)( x+ ) 0.5 0.5 Do x;y nguyên => x+2 ; x+y+1 nguyên. Mà 3=3.1=1.3= (-3).(-1)=(-1).(-3 ) 1 Ta có: n3  6n 2  8n =n(n+2)(n+4) Lại có n chẵn => n = 2k với k  N => n3  6n 2  8n =8k(k+1)(k+2) Do k  N => k(k+1)(k+2) là ba số tự nhiên liên tiếp => k(k+1)(k+2) chia hết cho 6 => 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 48 với  n  N và n chẵn. Ta có: x 2  xy  3 x  2 y  1 <=> (x+2)(x+y+1) = 3 3 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 x  2 1  x  1    x  y 1  3  y  3 + 0.25 0.25  x  2  1  x  3    x  y  1  3  y  1 0.25 +  x  2  3  x  5    x  y  1  1  y  3 0.25 Kết luận :.............................. 2 x  2  3 x 1    x  y  1  1  y  1 0.25 + + 4 A B Q E I D M C K Chứng minh được: ∆BAE = ∆DAI (g.c.g) AI = AE + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giá vuông AIK có: 1 1 1 1 1  2 2 = AI AK AD 2 1 1 1  2 2 = AE AK AD 2 mà AI = AE => Do AD không đổi => 0.5 1 1  không đổi. 2 AE AK 2 0.5 Kẻ MQ //AI Chứng minh tam giác AMQ vuông cân ở Q => AQ=MQ và MQ 2 =AM => Chứng minh 2 1 2  . MQ AM 0.5 0.5 MQ KQ  AI KA => MQ AQ KQ AQ    1 AI AK AK AK => MQ MQ   1 (AI = AE; AQ=MQ) AE KA 0.5 => 1 1 2   . AE AK AM 0.5 Chứng minh: AD.IK=AI.AK Do AD không đổi <=> IK nhỏ nhất khi AI.AK 3 5 Lại có: 1 1 1 2  2 = 2 2 ≥ AD AI AK AI . AK 0.5 =>AI.AK ≥ 2.AD2 (không đổi) Dấu bằng xảy ra khi AI=AK <=> E trùng C. Kết luận: E trùng C. Ta có: M  0.5 0.5 1 2 1 1 6   2   . 2 2 x y xy x y 2 xy 4 xy 2 1 1  1 ( vì x  y  1. ) 2 Chứng minh : 4xy   x  y => 6 6 4xy 0.5 Dấu bằng xảy ra khi x=y= 1 2 0.5 1 1 4    4 Dấu bằng xảy ra khi x=y= 1 x 2  y 2 2 xy  x  y  2 2 => M ≥ 10 Dấu bằng xảy ra khi x=y= 0.5 0.5 1 2 => Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 10 khi x=y= 1 2 0.5