Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

Phßng GD-§T NghÜa ®µn §Ò thi häc sinh giái huyÖn n¨m häc 2011-2012 M«n : To¸n §Ò chÝnh thøc (Thêi gian lµm bµi: 150 phót kh«ng kÓ giao ®Ò ) Bµi 1: 1. Cho P  x x  5 x  12  2( x  3)  x  3 x x 6 x 2 3 x a) T×m §KX§ vµ rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 2. Chøng tá r»ng x0  3 9  4 5  3 9  4 5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:  x3  3x  17  Bµi 2 : ( ý 4 cña bµi 2 thÝ sinh b¶ng B kh«ng ph¶i lµm ) 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 x  3  5  2 x  3x 2  12 x  14 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 + 2x + 15 = 6 4 x  5 2. Cho a > 0, b > 0 và a + b  1 . Tìm GTNN của biểu thức A = a 2  b 2  2011 1  0 1 1  2 2 a b 3. T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 21 vµ n – 18 lµ hai sè chÝnh ph¬ng. 4. T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 2  xy  y 2  x 2 y 2 Bµi 3: Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị bằng 2 Bµi 4 : Cho ®êng trßn ( O,R) ®êng kÝnh AB. Qua ®iÓm C thuéc ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn d cña ®êng trßn. Gäi I, K lÇn lît lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn ®êng th¼ng d. Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ C ®Õn AB. Chøng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI . BK c) AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh IK. Bµi 5: (Bµi 5 thÝ sinh b¶ng B kh«ng ph¶i lµm ) Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ 2 MB đạt GTNN? HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: …………………………. Sè b¸o danh: ………………………. Phßng GD&§T NghÜa §µn Kú thi chän häc sinh giái HuyÖn líp 9 THCS N¨m häc 2011 - 2012 híng dÉn vµ biÓu ®iÓm ChÊm B¶NG A (Híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 05 trang) M«n: to¸n Líp 9 C©u Bµi 1 ---------------------------------------------Néi dung 1 a- §KX§: x  0, x  9 Víi x  0, x  9 ta cã: P     x 2  x 3    x x  5 x  12  2  2  x 3 x 2    2 x 3  x 2  x 3  x 3 x 3 x 3  x2  x x  5 x  12  2 x  12 x  18  x  5 x  6  x 2  x 3  x x  3x  12 x  36  x   x x  5 x  12   x 2    x 3 x  3  12 x 2  x  2     x 3 x 3   x  3  x  12  x 3  x  12 x 2 Víi x  0, x  9 ta cã: x  12 16 16 P  x 2  x 2 4 x 2 x 2 x 2  B ¸p dông bÊt d¼ng thøc Cosy cho 2 sè kh«ng ©m x  2 vµ 2) x 2 16 2 x 2   16 8 x 2 16  DÊu ®¼ng thøc x¶y ra x  2 = x 2 VËy Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  4  x  4 cã: x 2 Ta cã: x03   3 94 5  3 94 5  3  x 2  x03  3x0  17  1 2011  1  12011  1  0 Do ®ã x= x0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Bµi 2 1a a-  2  42  x  4 (TM)  18  3 3 (9  4 5)(9  4 5). x0  x03  3x0  18  0 Suy ra:  x03  3x0  17  2 x  3  5  2 x  3x 2  12 x  14 (1) 2 16 ta x 2 3 5  x 2 2 §KX§: 1b ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki, ta cã: VT= 2 x  3  5  2 x  2(2 x  3  5  2 x)  2 DÊu “=” x¶y ra khi 2 x  3 = 5  2x  x= 2 Ta l¹i cã: VP = 3x 2  12 x  14  3( x  2) 2  2  2 DÊu “=” x¶y ra khi x = 2 Do ®ã VT = VP  x = 2 ( TM§KX§) vËy S   2 ĐK: x   5 4 Ta có : x2+2x+15 = 6 4 x  5  (x2-2x+1) +(4x+5 -2.3 4 x  5  9 ) =0  (x-1)2 +   2 4x  5  3  0  x  1 2  0   x=1 (TM)  2  4x  5  3  0    Vậy phương trình có nghiệm là x=1 2. 1   2 1  15  1 1   2  b    2  2 Ta có A =  a  2  2  16 a   16b  16  a b   1 1 1 1 1 1 2 4   , b2   , 2  2  Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a 2  2 2 2 2 a ab 2ab 16a 16b b 1 1 4 Mặt khác ta có: 2  2  2 a b a  b2 Từ đó suy ra: 2 1   1 1  4 16  1    16  2  2   4 2   4. 2 2 2 2ab  b  a b a  b  2ab  a  b  2 a suy ra: 1 1  2 8 2 a b Vậy: A  1 1 15 17    . 2 2 2 2 a  b 1 Dấu “=” xảy ra khi:  a b a  b 1 2 Do đó MinP = 3. 17 1 ab 2 2 §Ó n + 21 vµ n – 18 lµ hai sè chÝnh ph¬ng  n  21  p 2 vµ n  18  q 2 ( p, q  N ) p 2  q 2  (n  21)  (n  18)  39  ( p  q)( p  q)  39 V× 39 = 1 .39 = 3. 13 vµ p – q < p + q ; p +q >0 nªn  p  q 1 pq 3  p  20 p 8   HoÆc  HoÆc    p  q  39  p  q  13  q  19 q  5 3  p  20 p 8  n = 379 (TM) ; Víi   n = 43(TM)  q  19 q  5 Víi  VËy víi n = 379 hoÆc n = 43 th× n +21 vµ n – 18 lµ hai sè chÝnh ph¬ng 4. Ta cã: x 2  xy  y 2  x 2 y 2  4 x 2  4 xy  4 y 2  4 x 2 y 2  0   2x  2 y  2  2 x  2 y  2 xy  1  2 x  2 y  2 xy  1  1  (2 xy  1) 2  1   x  0   2 x  2 y  2 xy  1  1  y  0   x  1  2 x  2 y  2 xy  1  1      2 x  2 y  2 xy  1  1  y  1    2 x  2 y  2 xy  1  1  x  1   y  1  Bµi 3 a vËy ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm lµ (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) Giả sử đường thẳng (d) đi qua điểm cố định M(x0 ;y0) với mọi m khi đó : y0   m  2  x0  2m  1 m  x0 m  2 x0  2m  1  y0  0m  ( x0  2)m  (2 x0  y0  1)  0m  x0  2  0  x0  2      2 x0  y0  1  0  y0  3 Vậyđường thẳng d đi qua điểm cố định M(-2 ;3). B y B H O x A d * Nếu m = 2 thì (d) : y = 3 khi đó khoảng cách từ gốc tọa đô ô O(0,0) đến (d) bằng 3 * Nếu m  2 thì : Gọi A và B thứ tự là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành và trục tung . Ta tính được 4 OA  2m  1 m2 ; OB  2m  1 Gọi OH là khoảng cách từ O đến AB, ta có : 1 1 1 ( m  2) 2 1 ( m  2) 2  1      2 OH 2 OA2 OB 2  2m  1 2  2m  1 2  2m  1  OH  2  m  2m  1 2 (m  2)  1 2   2m  1 2  4( m  2) 2  4 (do OH  2) 19 12 19 12 Vâ ôy OH =2 <=> m = Bµi 4 VÏ h×nh ®óng vµ chÝnh x¸c (0,5®) `` a b Nèi OC. V× d lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C nªn OC vu«ng gãc víi d Ta cã: AI// BK ( v× cïng vu«ng gãc víi d) => ABKI lµ h×nh thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( v× cïng vu«ng gãc víi d) => CI = CK ( T/c ®êng trung b×nh cña h×nh thang) � � v× CAI  ACO ( So le trong, AI//CO), �  CAO(VOAC c©n) ACO � � �  CAI  CAO  VIAC VHAC ( C¹nh huyÒn - gãc nhän) => AI = AH. T¬ng tù: BK = BH. Do VABC néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AB nªn VABC vu«ng t¹i C. => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng) Ta cã: VIAC VHAC  CI  CH  CK IK ) Mµ CH  AB t¹i H 2 IK => AB lµ tiÕp tuyÕn cña (C , ) 2  H  (C , Bµi 5 5 B M N O C A Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O,R). Trên đoạn OC lấy điểm N sao cho Suy ra  OC  2 ON OC OM OA    2 suy ra MOA ~ NOM (c.g.c) ON ON OM MA  2  MA  2 MN MN  MA  2 MB  2 MN  2  MN  MB   2 MB  2 NB (không đổi) Dấu “=” xảy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là giao điểm của đoạn NB với đường tròn(O,R) Lu ý : - Tæng ®iÓm tèi ®a lµ 20 ®iÓm - NÕu häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a - C©u h×nh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ sai h×nh th× kh«ng chÊm ®iÓm. 6