Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 cấp huyện

UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 7 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1 (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau 2 2 1    0,4- 9  11 1 6  0,875  0, 7  . 2) B = 2014: . 1 1  1 2  7  7   0, 25  3 5   5 9 11 1 1 1 1 1 1) A      . 3 15 35 63 99 Câu 2 (4 điểm) 1) Tim tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thoả man: 2 x 1.3 y  12 x. 1 1 1 1 1 1   ..........    ...............  2) Cho hai biểu thức M  và N  . 1.2 3.4 37.38 20.38 21.37 38.20 M Chứng minh rằng: là một số nguyên. N Câu 3 (4 điểm) 1) Cho các số x,y,z thoả man x y z   . 2013 2014 2015 Chứng minh rằng 4( x – y )(y - z) = ( z – x )2. 2) Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2013  x  2014  x . Câu 4 (6 điểm) 1) Cho hinh vẽ, biết �  �  C . ABC A � x A Chứng minh rằng: Ax // Cy . B y C 2) Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H . Gọi M là trung điểm của BC. � � � � � Biết BAH  HAM  MAC và B  2C . Tính các góc của tam giác ABC. Câu 5 (2 điểm) Cho ba số x, y, z  0 thỏa man xy  2013 x  2013  0 ; yz  y  2013  0 ; xz  z  1  0 và xyz  2013. Chứng minh rằng: 2013 x y z    1. xy  2013x  2013 yz  y  2013 xz  z  1 .................................... Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ..................... UBND HUYÊN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN, LỚP 7 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (Đáp án - thang điểm gồm 3 trang) Ý Nội Dung 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =  A        3 15 35 63 99 1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 1 1 1 1 1 3 3 5 1 1 9 11 2A =     .....   a 2A = 1 - 1 11 Điểm 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 5 11  2 2 2 7 7 7   5 - 9  11 6  8  10  B = 2014:  .  77 7 111   5 9 11 3 4 5  2 7 B = 2014:  .  7 2 0,5diểm Vậy B = 2014 x Ta có 2 x 1.3 y   4.3 0,5diểm 0,5diểm 2 x 1.3 y  22 x.3x 0,5diểm Vậy A = 1 b a 0,5diểm 1diểm Suy ra x + 1 = 2x và x = y 0,5diểm Vậy (x,y) = (1;1) 0,5diểm 1 1 1 1 1 1  1 2 3 4 37 38 1  1 1 1 1   1 1 M = 1    ...        .....   37   2 4 6 38   3 5 1   1 1 1   1 1 M = 1    .....    1    .....   38   2 3 19   2 3 Ta có M =     .....  2 1 1 1   .....  20 21 38 1 1 1 1 1 1     .....   Lại có 58N = 20 38 21 37 38 20 1 1 1   .....  29N = 20 21 38 M= b 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm Suy ra Vậy a Ta có 0,25diểm M  29 N M  29 là một số nguyên. N 0,25diểm x y z xy yz zx      2013 2014 2015 1 1 2 1 diểm 0,5diểm 2  x-y  y  z   z  x  Nên      -1  1   2  b Hay 4(x – y)(y – z) = (z – x)2 Áp dụng BĐT a  b  a  b Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu Ta có P = x  2013  2014  x 0,5diểm 0,5diểm 0,25diểm 0,5diểm P = x  2013  2014  x  1  1 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 2013  x  2014 Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013  x  2014 A x z B a y 0,5diểm 0,25diểm C Kẻ tia Bz nằm giữa hai tia BA và BC sao cho tia Bz //Ax (1) Suy ra �  � ( Cặp góc so le trong) ABz A Mặt khác hay �  CBz  �  C ABz � A � � � Do đó CBz  C � � Mà CBz và C là hai góc so le trong Do đó Bz //Cy (2) Từ (1) và (2) suy ra Ax // Cy (đpcm) 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,5diểm 0,5diểm 0 � 2� Xét tam giác AHC vuông tai H ta có C  BAC  90 0,5diểm 4 3 0,25diểm 2� 0 � Suy ra C  90  BAC b 3 � � Mặt khác B  2C nên 2� 4� � B  2(900  BAC )  1800  BAC 3 3 0,5diểm � � � Xét tam giác ABC ta co BAC  B  C  1800 ( tổng 3 góc của một tam 0,25diểm giác) 4� 2� 0,5diểm 0 0 0 � Do đó BAC  180  BAC  90  BAC  180 5 3 3 �  900 BAC � � Suy ra B  600 và C  300 2013x y z    1. Đặt A = xy  2013 x  2013 yz  y  2013 xz  z  1 2013 2013 Vi xyz = 2013 suy ra xy = và y = z xz 2013x y z    1. Do đó A = 2013  2013 x  2013 yz  2013  2013 xz  z  1 z xz xz 1 z   A= 1  xz  z z  1  xz xz  z  1 xz  z  1 1 A= xz  z  1 Vậy A = 1 ( đpcm) Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,25diểm 0,25diểm