Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p7

§Ò thi Häc sinh giái m«n to¸n 9 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc sau: P x2  x x x 1  2x  x x  2 x  1 x 1 1. Rót gän P. 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 3. T×m x ®Ó biÓu thøc Q 2 x P nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn. C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: 2 m  1 x   m  2  y  2 . 1. VÏ (d) víi m = 3. 2. Chøng minh r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. 3. T×m m ®Ó (d) c¸ch gèc to¹ ®é mét kho¶ng lín nhÊt. C©u 3: (2,5 ®iÓm) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: x 2  2 y 2  3 xy   x  y   3  0 2. Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n: a + b = 4. Chøng minh r»ng: 2a  3b  C©u 4: (2,5 ®iÓm) b 10   18 . a b   ˆ ˆ Cho h×nh thang vu«ng ABCD A  D  90 0 , tia ph©n gi¸c cña gãc C ®i qua trung ®iÓm I cña AD. 1. Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (I, IA). 2. Cho AD = 2a. TÝnh tÝch AB vµ CD theo a. 3. Gäi H lµ tiÕp ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (I) nãi trªn. K lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Chøng minh r»ng KH song song víi BC. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c cã 3 gãc nhän. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z ta lu«n cã: x 2 y 2 z 2 2x 2  2 y 2  2z 2 .    2 2 2 2 2 2 a b c a b c Híng dÉn chÊm ®Ò thi häc sinh giái M«n: To¸n 9 C©u ý §iÓm §iÒu kiÖn: 0  x  1 1 P x  P  x  x 1 x  x   2 x 1 x 1  x 1  2   x 1 x 1 2 2 1 3 1 1 3  1 3 3  2 P   x  2 x .      x     víi mäi x tho¶ m·n 2 4 4  2 4 4  ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh 3 1 1  min P   x   0  x  4 2 4 2 x 2 x 2 2 Q    1 P M x  x 1 x 1 x 1 Víi 0  x  1  x   2  M  1  0  Q  2. x  Q 1 2 x x  x 1 KÕt luËn: víi 0,25 v× Q nguyªn 0,25 73 5 73 5 ;x  2 2 73 5 th× Q  Z x 2 4x  y  2 2 0,25 0,25 1 0 1 Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng (d) ®i qua lµ M(x0,y0) Ta cã: 2 m  1 x0   m  2  y 0  2 víi mäi m  x0  1; y 0  2 KÕt luËn: VËy ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M(1; -2) Tõ ph¬ng tr×nh cña (d)  kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é. Gäi giao cña (d) víi Ox lµ 0,25 1 Víi m = 3: ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trë thµnh: Ta cã: x = 0; y = 2 y = 0; x = - 1 2 2 0,25 0,25 x  3 x 1  0  x  2 0,25 0,25 0,25  1  A ;0  ,  m 1  víi trôc tung lµ 2   B 0;   m2 0,25 0,25 0,25 Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ O lªn AB. Ta cã: 3 1 1 1    OH  2 2 OH OA OB 2  2  m  2 5 VËy max OH  5 m 6 5 2  4 m  1 2 0,25 0,5 x 2  2 y 2  3 xy   x  y   3  0   x  y  x  2 y  1  3 V× x, y  Z   x  y   Z vµ  x  2 y  1  Z   x  y  vµ x  2 y  1 3 Lµ c¸c íc cña -3 sao cho tÝch cña chóng b»ng -3 Ta cã c¸c trêng hîp: 1 TH1: x  y  1; x  2 y  1  3  x  4; y  3 TH2: x  y  1; x  2 y  1  3  x  6; y  5 TH3: x  y  3; x  2 y  1  1  x  8; y  5 TH4: x  y  3; x  2 y  1  1  x  6; y  3 Kªt luËn: TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: S    4;3 ;   6;5 ;   8;5 ;  6;3  2a  3b  2 Víi A2 0,25 dông B§T Cauchy ta cã: 3a 6 5b 10 . 2 .  2  2.3  2.5  2  18  ®pcm. 2 a 2 b 0,25 0,25 DÊu “=” a = b = 2 ˆ KÎ IH vu«ng gãc BC. V× I n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc BCD nªn  IH  IB  1 AB 2  H   I , IA 1 4  BC lµ tiÕp tuyÕn cña (I,IA) BA vu«ng gãc IA vµ CD vu«ng gãc víi IB suy ra BA, CD lÇn lît lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i A vµ B - XÐt (I, IA), cã BA, BH lµ 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau t¹i B; CD, CH lµ 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau t¹i C. Theo tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: Iˆ1  Iˆ2 ; Iˆ3  Iˆ4  Iˆ1  Iˆ2  Iˆ3  Iˆ4  2 Iˆ2  Iˆ3  2 Iˆ2  Iˆ3 (1) BA  BH ; CD  CH (2) 2 Ta cã: AIˆH  HIˆD  180 0  Iˆ  Iˆ  Iˆ  Iˆ  180 0  Iˆ  Iˆ  900 1 2 3 4 2 3 ˆ  BHI  90 0  BIC vu«ng t¹i C. - XÐt BIC vu«ng t¹i C, ®êng cao IH, ta cã:  2  2  AB   2a  IH 2  BH .CH  AB.CD  AB.CD        a 2  2  2 V× AB//CD, theo ®Þnh lý Talet ta cã: 3 Theo ®Þnh lý talet ®¶o:  KH // CD 5 AB BK  CD KD hay BH BK  HC KD 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 a2  b2  c2 ;b2  c2  a2 ; a2  c2  b2 a , b  R, x, y  0 . (theo (2)). vÏ h×nh ®óng (0,25) 0,75 0,25 Víi a, b, c lµ 2 c¹nh cña 1 tam gi¸c nhän, ta cã: Víi mäi 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b 10 6   5b 10   3a      2 a b a  2 b   2 a, b  0 ¸p 0,25 Ta lu«n cã: a  b   a  b  (1) 2 x y 2 2 x y   ThËt vËy: (1)  a 2 y  b 2 x  x  y    a  b  2 xy   ay  bx   0 (lu«n ®óng víi mäi a, b, x, y) Suy ra (1) lu«n ®óng. Ta cã: 2x 2 x 2 x 2 x2 x2  x  x  2  4 x 2  x 2  2 x 2 (2)      a2 a2 a2 b2  c2 a2 a2  b2  c2 a2  b2  c2 a2 a2  b2  c2 Lµm t¬ng tù ta cã: y2 2y2  2 b2 a  b2  c2 z2 2z 2  2 c2 a  b2  c2 0,25 0,25 0,25 (3) 2 2 2 2 2 2 Tõ (2) vµ (3)  x 2  y 2  z 2  2 x 2 2 y2  2 z (®pcm) 2 a b c a b c