Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p5

Trêng THCS §oµn Thîng ĐỀ 1 §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn líp 9 N¨m häc 2010-2011 M«n : To¸n C©u 1:(1,5 ®iÓm) Cho a  Z , chøng minh r»ng a5- a chia hÕt cho 30. C©u 2 : (2 ®iÓm) Cho P = a. Rót gän P b.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. x2  x x x 1  2x  x x  2 x  1 x 1 c. T×m x ®Ó biÓu thøc Q = 2 x nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn P C©u 3:(2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã c¸c c¹nh lµ a , b , c .KÎ ®êng cao AD . KÎ DE , DF t¬ng øng vu«ng gãc víi AB vµ AC .§Æt BE = m; CF = n ; AD = h. Chøng minh r»ng : 3 a) m   c  b) 3h2 + m2 + n2 = a2   n b  C©u 4(3 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a. x  x  1  x  2  7 b. 7  x  x  5  x 2  12 x  38 c.  x  1  4  4 x  1  x  1  6 x  1  9  1 C©u 5(2 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) tho¶ m·n mét trong c¸c ®¼ng thøc sau : a. xy  3 x  2 y  7 = 0 b. 2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy C©u 6:(1,5 ®iÓm) Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c a b c a c b Chøng minh r»ng :      1 b c a c b a C©u 7 (1,5 ®iÓm) Cho 3 ®êng th¼ng (d1): y =  m 2  1 x   m 2  5 víi m  1 (d2): y = x  1 (d3): y =  x  3 a. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× d1 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . b. Chøng minh r»ng (d1) // (d3) th× (d1) (d2) c. X¸c ®Þnh m ®Ó 3 ®êng th¼ng (d1), (d2), (d3) ®ång quy. C©u 8(3 ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (O) (O,) tiÕp xóc ngoµi t¹i A . Gäi AB lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O), AC lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O,) , DE lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn D thuéc (O), E thuéc (O,), K lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE a) Tø gi¸c ADKE lµ h×nh g× ? v× sao ? b) CMR: AK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn (O) vµ (O,). c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC CMR: MK DE C©u 9 (2 ®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1  4x  4x2  4 x 2  12 x  9 x2 x4  x2  4 C©u 11 (1,5 ®iÓm) Cho ®êng trßn t©m I b¸n kÝnh r néi tiÕp tam gi¸c ABC . CMR: IA+IB+IC  6r b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= .............................................................** *..................................................... §¸p ¸n ®Ò 1 C©u 1: (1,5 ®iÓm) a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2-4+5) = a(a-1)(a+1)   a  2  a  2   5 = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5®) H¹ng tö thø nhÊt chia hÕt cho 5 v× lµ tÝch cña n¨m sè nguyªn liªn tiÕp . H¹ng tö thø hai còng chia hÕt cho 5 do ®ã : a5-a  5 (0.25®) Ta thÊy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1) Do (a-1)a(a+1) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2 vµ 3 , tøc lµ chia hÕt cho 6 v× (2,3) = 1 (0.5®) a5-a võa chia hÕt cho 5 , võa chia hÕt cho 6 mµ (5,6) =1 nªn a5-a  30 (0.25®) C©u 2 (2 ®iÓm) C©u a ,c mçi c©u 0,75 ®iÓm, c©u b 0,5 ®iÓm a) §iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa lµ x > 0, x  1 (0,25®) x P=     x 1 x  x 1  x  x 1 x 2  x 1 2  x (0,25®) = x  x  1  2 x  1  2 x  2  x  b) P = x- x    x 1 x 1 x 1 (0,25®) x 1 2 +1=   1 3 3 x    2 4 4  3 1 khi x= 4 4 2 x 2 x 2 2  c)Q = P  x  x  1  1 x 1 M x P ®¹t GTNN lµ Víi x > 0 vµ x (0,5®) (0,25®)  1 .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«Si cho hai sè d¬ng M= x 1 1  1  0  Q  2 x (0,25®) T×m ®îc Q nguyªn khi vµ chØ khi Q = 1  x  7  3 5 C©u 3 (2 ®iÓm) Mçi c©u 1 ®iÓm a) 3 2  c  c c BD.a c BD c  2        b  b b DC .a b DC b 6 (0,25®) 2 A F 3 2 2 m.c c 2 m  c   c  BD c   2        2 n.b b 2 n  b   b  DC b E B h n m C D c  m     n b  2 = (BD + DC)2 = BD2 + 2 BD.DC + DC2 = m.c +2h2 + n.b b) a = m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m2 + n2 +2h2 + m.EA +n.AF = m2 + n2 + 2h2 + ED2 + FD2 = m2 + n2 +2h2 + AF2 + FD2 = m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n2 + 3h2 (®pcm) C©u 4 (3 ®iÓm) mçi c©u 1 ®iÓm x  x 1  x  2  7 a) §Æt (1) XÐt 4 trêng hîp : 3 x > 0 : (1)  x= 4 3 -1  x  0: (1)  x = 4 Lo¹i -2  x < -1: (1)  x=-6 Lo¹i x < - 2: (1)  x=  10 3 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = (0,25®) (0,25®) (0,25®) 4  10 ; x= 3 3 b) §iÒu kiÖn 5  x  7 ¸p dông B§T C«Si cho hai sè kh«ng ©m ta cã (0,25®) (0,25®)  7  x   1   x  5  1  7  x  1  x  5  1 §¼ng thøc x¶y ra 7  x 1 x  5 1  2 2 2  x= 6 (0,25®) MÆt kh¸c : x2 -12x +38 =  x  6  2  2  2 .§¼ng thøc x¶y ra  x= 6 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= 6  c)  2 x 1  2    2 x 1  3  1 + x  1  3 = 1 (1) NÕu 1  x < 5 th× x = 5 lo¹i 5  x  10 tõ (1)  0x=0 ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm x >10 tõ (1)  x = 10 lo¹i VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 5  x  10 C©u 5 (2 ®iÓm) mçi c©u 1 ®iÓm a) xy+3x-2y-7= 0  (x-2)(y+3)= 1  (0,25®) (0,25®) x 1  2 (0,25®) (0,25®) (0,25®) x  2  1 x  2  1 hoÆc   y  3  1  y  3  1 x  3 x  1 Do ®ã :  hoÆc   y  2  y  4 (0,25®) (0.25®) Hai cÆp sè cÇn t×m lµ : (1;-4) vµ (3;-2) b) 2y2x +x+y+1 = x2+2y2+xy (1)    2y2(x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0 V× x= 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nªn chia c¶ hai vÕ cho x-1 ta cã    2y2 - x-y+ §Ó (1) nguyªn th× 1 =0 x 1 (0,25®) (0,25®) (2) 1 ph¶i nguyªn . Nªn x-1 =  1 x 1 (0,25®) x  2   x  0 Thay x = 2 vµ x= 0 vµo (2) ta cã y nguyªn khi y= 1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm nguyªn (2;1) vµ (0;1) C©u 6 (1,5 ®iÓm) §Æt M (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) a b c a c b a b b c c a            b c a c b a b a c b a c  a 2  b 2 b2  c2 c 2  a 2 1    c  a2  b2   a  b2  c 2   b  c 2  a 2  ab bc ac abc  1 ac bc ba abc  ac b  1 bc  a M abc  1 V× a ,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c nªn   abc  ba c VËy M < 1 (®pcm) C©u 7 (1,5 ®iÓm) Mçi c©u 0.5 ®iÓm (0,5®) (0,75®) (0,25®) a) y= (m2-1)x+(m2-5) = m2(x+1)-x-5 Víi mäi m khi x=-1 th× y = -4 VËy (d1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh lµ (-1;-4) 2 b) V× (d1) // (d3)  m  1  1    2 m  5  3  (0,25®) (0,25®) m = 0  (d1): y = -x+5 (0,25®) Hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã (-1).1 = -1 nªn (d1) (d2) (0,25®) c) Hai ®êng th¼ng (d2),(d3) cã hÖ sè gãc kh¸c nhau nªn chóng c¾t nhau t¹i M . T×m to¹ ®é M : x+1 = -x +3  x = 1 . VËy M(1;2) (0,25®) §Ó (d1),(d2),(d3) ®ång quy t¹i M th× d1 ph¶i ®i qua M  m =  2 (0,25®) C©u 8(2,5 ®iÓm) mçi c©u 0.5 ®iÓm a)Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi cña tam gi¸c ta cã K  01 = 2  B  O1' = 2  C Mµ  01 + ˆ 01 = 180o  D  B +  C = 90o 1   K = 90o Trong  BDA cã OD = AB 2   BDA vu«ng   D = 90o E 1 1 B 1 2 1 1 O 2 1 A M C O ’ T¬ng tù :  E = 90 o Tø gi¸c ADKE cã  K =  D =  E =  90  ADKE lµ h×nh ch÷ nhËt ’ b) Cã  A1 +  A2 =  D1+  D2 = 90o  AK BC VËy AK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn c)  MKC c©n t¹i M   K1 =  C  EKD =  KEA   E1 =  EKA Mµ  C +  EKA = 90oTõ ®ã :  K1 +  E 1= 90o  MK DE C©u 9(2 ®iÓm ) mçi c©u 1 ®iÓm a) 1  4 x  4 x 2  4 x 2  12 x  9  1  2 x  2 x  3  1  2 x  3  2 x  1  2 x  3  2 x = 4 (0,25®) (0,5®) o VËy GTNN lµ 4 1  2 x  0  2 x  3  0  1 3 x 2 2 (0,25®) x2 1 1   2 4  b) P= x 4  x 2  4 2 2 x 1 2  x    5 x x  GTLN cña P lµ 1 khi x =  5 (0,5®) A (0,5®) 2 C©u 11(1,5 ®iÓm) Häc sinh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm §Æt BC = a , AC = b, AB = c KÎ BB’ ,CC’ vu«ng gãc víi AI Ta cã :  IMA :  BB’A AI IM   c.r = IA.BB’ AB BB ' T¬ng tù b.r = IA.CC’ Nªn: (b+c)r = IA(BB’ + CC’)  IA . a M r I B B’ ’ C C   IA b  c IB a  c IC ab  ;  ;  r a r b r c IA  IB  IC a b c a c b          6  r b c b  c a a IA+IB+IC  6r