Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p4

ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi . Năm học 2009-2010 Môn thi : Toán 9 ( Thời gian 150 phút) Bài1(1,5đ) a/ Tính 62 5  62 5 b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng 1 1 1   = a2 b2 c2 1 a 1 b 1 c |   | c/ Hãy chứng tỏ x  3 5  2  3 5  2 là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0 Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A x  y  1 1  1    . xy xy  x y  x  y  2 xy  2 x y  3  1 1  .    x y    Với x = 2  3, y  2  3 b/ Giải phương trình x  9  x  7  4 Bài3(2,5đ) a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức B x2  x  1 x2  x  1 b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E  (O) , B , F  (O’) ) a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng  AOM và  BMO’ đồng dạng b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng � Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos MAN biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD Đáp án thang điểm Bài 1: a/ 62 5  62 5 = =| b) CM 5  1| -| 5  1| 52 = 1 1 1 1 1 1 1    2 2 = 2 a b c a b c 5 1  5 52 5 1 = 5 1 2 5 =   5 1 2    5 1 2 1 1 1   = a2 b2 c2 Ta có 2 2  1 1 1 1 1 1  1 1 1 abc      2          2  a b c  ab bc ac  a b c  abc  abc 2  abc   Mà a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. => Vậy 1 1 1     a b c 1 1 1   = a2 b2 c2 2 =0 1 1 1   a b c = c) Hãy chứng tỏ x  3 5  2  3 5  2 là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0 Tacó : x3 = 3   3 5  2    5 2 3  2 5  2  3 3    5  2 .3   5  2  3 3   5  2 = 4    = 4 – 3  5  2 . 5  2 . 5  2       = 4 – 3x * x3 = 4 – 3x <=> x3 + 3x + 4 = 0 Vậy x  3 5  2  3 5  2 là nghiệm của PT x3 + 3x + 4 = 0 Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức 3 3 A 3 3 x  y  1 1  1    . xy xy  x y  x  y  2 xy 2  x y 3.3  3  = = = = = x  y  1 1  1 :   .  xy xy  x y  x  y  2 xy x  y : . .  xy xy xy  x x  xy y y xy x  xy y xy x  xy y xy x  xy y  : . . . .  xy  :   1 x y x y x  y   2 2     2   x y  :  2  xy x  y          x  2 xy  y    2  xy x  y    2  x y  3  1 1  .    x y    1 1  .    x y   2 x xy  y  3 2 x  y   y   xy    .   x 2      5 2. Với x = 2  3, y  2  3 Giải : ĐK : x > 0 , y > 0 A 2 5  2 . 3    5 2     5  2 .x  5 Khi x = 2  3, y  2  3 thì A = 2 2  3   2 3 2 3 3   2 3  2 3 => A2 = 4 – 2 = 2 Do A < 0 => A = - 2 b/ Giải phương trình x  9  x  7  4 (1) ĐK: x  7 (1) => ( x  9  x  7)2  42 <=> 2x + 2 + 2(  x  9  x  7  ) = 16 <=> 2(  x  9  x  7  ) = 16 – 2( x + 1) <=>  x  9  x  7  = 8 – (x + 1) (2) Nếu 8 – ( x+ 1) < 0 <=> x + 1 > 8 <=>x > 7 thì (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm Nếu 8 – ( x+ 1)  0 <=> x + 1  8 <=> x  7 Kết hợp với ĐK đầu bài => x = 7 . Thử x = 7 vào pt(2) ta có 0 = 0 Vậy x = 7 là nghiệm của pt (2) là nghiệm của PT (1) Bài3(2,5đ) 3x 2  3x  3  2 x 2  4 x  2 2 x  1 Ta có B =  3 2 3 2 x  x 1 x  x 1 GTLN B = 3 khi và chỉ khi x = -1 2 3x 2  3x  3 x2  x 1 2 x 2  2 x  1 1 2 x  1 1      B= 2 2 2 2 3 3 x  x  1 3 3 x  3x  3 3 x  x  1 3 x  x  1 2 GTNN B = 1 3 khi và chỉ khi x = 1 b) y 4 A O C x 3 Đường thẳng đi qua hai điểm A( 0 ;4) và C( 3; 0) có dạng y = ax + b A(0;4)  đường thẳng y = ax + b  4 = a.0 + b  b = 4 B(3;0)  đường thẳng y = ax + b  0 = a.3 + b  3a + 4 = 0  a = Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A và C là : y =  4 3  4 3 x+4 Đường thẳng y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cạnh BC của hcn OABC tại M(3; y0) (y0 > 0) sao cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa là SOMC = 1 3 SOABC  1 1 OC.CM  OA.OC 2 3 (1) Mà OC = |3| = 3 , CM = | y0| = y0 ( do y0 > 0), OA = | 4| = 4 , OC = | 3| = 3 1 1 8 Từ (1) tacó .3.y0 = . 4. 3  y0 = 2 3 Vậy đường thẳng y =ax đi qua M(3; 3 8 3 ) 8 3 = a.3  a = 8 9 Bài 4: E O N O' 12 F 1 2 A a) Chứng minh rằng M B  AOM và  BMO’ đồng dạng � Ta có AB là tiếp tuyến của (O) => OAM  1v � AB là tiếp tuyến của (O’) => O ' BM  1v EF là tiếp tuyến của (O’) và (O’) => OM là phân giác � , O’M là phân AME � 'F giác BO � � - Xét tứ giác BO’FM có FO ' B  FMB = 1800 0 � � EMA  FMB = 180 � � => FO ' B  EMA 1� � Mà O '2  FO ' B (OM là phân giác  AME ) 2 1� � M 2  EMA ( O’M là phân giác  BO’F) 2 =>  O2’ =  M2 Mà  OAM = O’BM = 1V =>  AOM đồng dạng  BMO’ ( g-g) b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF Ta có OM là đường trung trực của AE => OM  AE O’M là đường trung trực của BF => O’M  BF Mà  O1’ =  O2’ ,  M1 =  M2 ,  O2’ =  M2 =>  O1’ =  M1 Ta có  FMO’ +  O1’ = 900 =>  FMO’ +  M1 = 900 =>  O’MO = 900 => O’M  MO Mà O’M  BF => BF // MO , OM  AE ( cmt) => BF  AE c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng Bài5(1đ) B a M C N 2a a D A Đặt  BAM =  DAN =  và cạnh hình vuông là 2a thế thì BM = DN = a Suy ra AM = AN = a 5 ( theo định lý pitago trong tam giác vuông có cạnh a, 2a) DN Vậy cos  = AN  Và sin MAN = cos 2a  a 5 2 ( 2 5 hai góc phụ nhau) 2 2 = 2cos   2  3 - 1 = 2  1    5  5 Mà sin2MAN + cos2MAN = 1 => cos2MAN = 1 – sin2MAN = 1 => cosMAN = 4 5 9 16  25 25