Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p3

Bµi1(4®) a/ TÝnh §Ò THI CHäN HSG m«n To¸n 9 62 5  62 5 b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠ 0. Chøng tá r»ng 1 1 1 1 1 1  2 2 =   2 a b c a b c c/ H·y chøng tá x  3 5  2  3 5  2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 +3x – 4 = 0 Bµi2(4®) a/ Rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A x  y  1 1  1    . xy xy  x y  x  y  2 xy   1 1  .   3  y x y  x  2   Víi x = 2  3, y  2  3 b/ Gi¶i ph¬ng tr×nh x  9  x  7  4 Bµi3(5®) a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x2  x  1 B 2 x  x 1 b/ Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho c¸c ®iÓm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A, C . X¸c ®Þnh a ®Ó ®êng th¼ng y =ax chia h×nh ch÷ nhËt OABC thµnh hai phÇn , trong ®ã diÖn tÝch phÇn chøa ®iÓm A gÊp ®«i diÖn tÝch phÇn chøa ®iÓm C C©u 4:(2đ) Cho h×nh chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trªn cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt 1 1 1 . đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng : 2  2  AB AE 4 AF 2 C©u 5 (5®) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A ,®êng cao AH . Gäi D vµ E lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC . BiÕt BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, TÝnh ®é dµi ®o¹n DE b, Chøng minh r»ng AD . AB = AE.AC c, C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE t¹i D vµ E lÇn lît c¾t BC t¹i M vµ N . Chøng minh M lµ trung ®iÓm BH ; N lµ trung ®iÓm cña CH . d, TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c DENM §¸p ¸n thang ®iÓm Bµi 1: a/ 62 5  62 5 = 5  2 5 1  5  2 5 1 = = | 5  1 | - | 5  1| = 1  5  5  1 =  2 5   2 5 1    5 1 2 1 1 1 1 1 1    2 2 = 2 a b c a b c b) CM 2 Ta cã 2 1 1   1 1 1  1  1 1 1 abc         2      2   a b c  ab bc ac  a b c  abc  1 1 1   = a2 b2 c2 abc  =0  abc  Mµ a +b +c = 0 , a,b,c #0. => 2  VËy  1 1 1     a b c 1 1 1 =   a2 b2 c2 2 = 1 1 1   a b c c) H·y chøng tá x  3 5  2  3 5  2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 +3x – 4 = 0 Tacã : x3 = 3   5 2 3 3 2 5  2   5  2  3 3       5  2 .3   5  2  3 3   5  2 . 3   = 4 – 3  3 5  2 . 3 5  2 .3 5  2  3 5  2  = 4 - 3.3           2 5 2     5  2 . 5  2 .x = 4 – 3x * x3 = 4 – 3x <=> x3 + 3x + 4 = 0 VËy x  3 5  2  3 5  2 lµ nghiÖm cña PT x3 + 3x + 4 = 0 Bµi2(4®) a/ Rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc x  y  1 1  1    . xy xy  x y  x  y  2 xy A  2 x y  3  1 1  .    x y   Víi x = 2  3, y  2  3 Gi¶i : §K : x > 0 , y > 0 A = = = x  y  1 1  1 :   .  xy xy  x y  x  y  2 xy x  y : . . xy xy  xy  x y x y xy xy .   :  xy   1 x y x y x y 2  2     2  x y   xy     2 x y   2    2  x y  = . :  = 2  xy x  y  xy xy   x y    1 1  .    x y    x  y   . 3  xy  x y   2  x  2 xy  y   . :  2  xy x  y  xy xy   x y  3 x y xy .    52  2 3  2 3 Khi x = 2  3, y  2  3 th× A = 2  3  2  3   2 3  2 3 => A2 = 4 – 2 = 2 Do A < 0 => A = - 2 b/ Gi¶i ph¬ng tr×nh x  9  x  7  4 (1) §K: x  7 (1) => ( x  9  x  7)2  42 <=> 2x + 2 + 2(  x  9 x  7  ) = 16 <=> 2(  x  9 x  7  ) = 16 – 2( x + 1) <=>  x  9 x  7  = 8 – (x + 1) (2) NÕu 8 – ( x+ 1) < 0 <=> x + 1 > 8 <=>x > 7 th× (2) V« nghiÖm => (1) V« nghiÖm NÕu 8 – ( x+ 1)  0 <=> x + 1  8 <=> x  7 KÕt hîp víi §K ®Çu bµi => x = 7 . Thö x = 7 vµo pt(2) ta cã 0 = 0 VËy x = 7 lµ nghiÖm cña pt (2) lµ nghiÖm cña PT (1) Bµi3(5®) 2 2 2 Ta cã B = 3x  3x 23  2 x  4 x  2  3  22 x  1  3 x  x 1 GTLN B = 3 khi vµ chØ khi x = -1 B=   3 x 2  3x  3 x2  x 1 2 x 2  2x  1 1 2 x  1 1      2 2 2 2 3 3 x  x 1 3 3 x  3x  3 3 x  x  1 3 x  x 1 GTNN B = b) x  x 1     1 khi vµ chØ khi x = 1 3 2   y A 4 O C x 3 §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A( 0 ;4) vµ C( 3; 0) cã d¹ng y = ax + b A(0;4)  ®êng th¼ng y = ax + b  4 = a.0 + b  b = 4 B(3;0)  ®êng th¼ng y = ax + b  0 = a.3 + b  3a + 4 = 0  a =  4 3 4 3 VËy ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ C lµ : y =  x + 4 §êng th¼ng y = ax lµ ®êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¹nh BC cña hcn OABC t¹i M(3; y0) (y0 > 0) sao cho chia h×nh ch÷ nhËt OABC thµnh hai phÇn , trong ®ã diÖn tÝch phÇn chøa ®iÓm A gÊp ®«i diÖn tÝch phÇn chøa ®iÓm C nghÜa lµ SOMC = 1 SOABC 3  1 1 OC.CM  OA.OC (1) 2 3 Mµ OC = |3| = 3 , CM = | y0| = y0 ( do y0 > 0), OA = | 4| = 4 , OC = | 3| = 3 1 1 8 .3.y0 = . 4. 3  y0 = 2 3 3 8 8 8 VËy ®êng th¼ng y =ax ®i qua M(3; )  = a.3  a = 3 3 9 Tõ (1) tacã C©u 4(2®) A B E K D C F Kẻ AKAF ( K  CD) (0,5đ) ABE  ADK (g.g) (0,75đ) AE AB   2 (0,25đ) AK AD Suy ra Hay AK  1 AE (0,5đ) 2 Áp dụng hệ thức lượng đối với tam gi¸c vu«ng AKF,ta cã : 1 1 1 (0,5đ)   2 2 AD AK AF 2 1 1 1   2 2 2 Suy ra 1  1  AF  AB   AE  2  2  1 1 1   Hay (0,5đ) 2 2 AB AE 4 AF 2 C©u 5: (5®) VÏ h×nh ®óng ghi gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn s¹ch ®Ñp (0,5®) a.(1®) TÝnh ®óng DE = 6 (cm) (1®) b.(1®) Chøng minh ®óng hÖ thøc dùa vµo hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng (1®). c. (2®) Gäi I lµ giao ®iÓm cña AH vµ DE th×: ID = IE = IA = IH (0,5®)   MID =  MIH (c¹nh huyÒn – c¹nh gãc vu«ng) (0,5®)  MD = MH   MDH c©n t¹i M  MDH = MHD  MDB = MBD (0,5®)   MBD c©n ë M ta cã MD = MB.  MB = MH (= MD) vËy M lµ trung ®iÓm cña BH. Chøng ming……….th× N lµ trung ®iÓm cña HC (0,5®) d. (0,5®) Tõ c©u c suy ra: DM = 1 2 BH = 1 2 . 4 = 2(cm) EN = 1 2 HC =  S DENM = 1 2 1 2 . 9 = 4,5(cm) (DM + EN) DE = (0,25®) 1 2 (2 + 4,5) . 6 = 19,5 (cm2) (0,25®)