Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p2

§Ò thi HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2009 – 2010. Phßng gi¸o dôc yªn ®Þnh Trêng THCS Yªn L¹c §Ò thi m«n : To¸n. Thêi gian lµm bµi : 150 phót. Ngêi ra ®Ò : TrÞnh V¨n Hïng. Ngêi ThÈm ®Þnh ®Ò: TrÞnh V¨n B»ng, TrÇn TuyÕt Anh, Lu Vò ChÕnh 2x  x 2  1 Bài 1:( 4 ®iÓm ) . Cho biểu thức P(x)  2 3x  4x  1 a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0. Bµi 2. ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh  (m  1) x  my  2m  1  2  mx  y  m  2 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 2 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 3. ( 4 ®iÓm ). Cho hµm sè : y= mx -2m -1 ( m  0 ) . (1). a) Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (1) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè dÞnh khi m thay ®æi. b) TÝnh theo m täa ®é c¸c giao ®iÓm A, B cña ®å thÞ hµm sè (1) lÇn lît víi c¸c trôc Ox vµ Oy . X¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng 1 ( ®.v.d.t) 2 Bµi 4. ( 3 ®iÓm ) . Cho tam gi¸c nhän ABC ; BC = a; CA = b; AB = c. Chøng minh r»ng : b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB Bµi 5. ( 4 ®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 6. ( 2 ®iÓm ) CMR, n ≥ 1 , n  N : 1 1 1 1    ...  2 2 3 2 4 3 (n  1) n Híng dÉn chÊm C©u Tãm t¾t lêi gi¶i 1 a) P(x) x¸c ®Þnh khi 3x2- 4x+1  0  (x-1)(3x-1)  0  x  1; x  (4 ®) 1 3 . §iÓm 0.5 §Ò thi HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2009 – 2010. P(x)  2x  x  1 = 3x 2  4x  1 2 b) x > 1 thì P(x)  P(x) .P(- x) =  1 khix  o   3x  1 = ( x  1)(3 x  1) 1 khix  0 x 1 2,0 2x  x  1 2x  x  1 = 3x 2  4x  1 2 2x  x  1 ( x  1)(3 x  1) 0.5 1 = 3x  1 1 1 1 1 . 3(  x)  1 = (3 x  1)(3x  1)  9 x 2  1 < 3x  1 1,0 0. ( v× 9x2- 1>0 víi x>1) a) Víi m=2 ta cã hÖ 3x  2 y  3 ;  2 x  y  2 1 gi¶i hÖ ta ®îc x=1; y=0. (m 1)x  m(mx  m  )2  2m 1 (m  m 1)x  m 1  2  2 y  mx  m  2 y  mx  m  2 2 2  (m  1) x  my  2m  1 b)  2  mx  y  m  2 (3 ®) x  m  1 ( v× m +m+1 = (m+1/2) +3/4  y  2  m 2 2 2 3 1 0,5 0,5 2  3/4 nªn m +m+1  0.) x.y = (m-1)(2-m) = -m2+3m-2 = - (m-3/2)2+1/4  1/4. DÊu “=” x¶y ra khi m=3/2 VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x; y sao cho x.y lín nhÊt khi m=3/2. 3 (4 ®) a) Gäi (d) : y= mx – 2m -1. I(x0;y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña (d) nªn I  (d) víi mäi m. Nªn y0= m x0-2m-1 víi mäi m.  y0+1= m (x0-2) víi mäi m. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 §Ò thi HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2009 – 2010. 0,5 0,5 y0 1 0 y0  1   x0 2 0 x0  2 VËy I(2;-1) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña (d). b) ®iÓm A ( 2m  1 ;0) vµ B (0;-2m-1) m SAOB =2  1 OA.OB = 2 (2m  1) 2 1   1  4m2+4m m 2 +1 = m + NÕu m > 0  4m2+3m +1 = 0 ; v« nghiÖm. + NÕu m< 0  4m2+5m +1 = 0  (m+1)(4m+1) = 0  m=-1 ; m=  1 . 4 KÎ AH  BC. Tam gi¸c AHC vu«ng ë H . ta cã AC2 = AH2 + HC2 = AH2+ (BC- BH )2 = AH2 +BC2 + HB2 -2BC.BH = (AH2+HB2 ) +a2-2a.HB (1) 4 Trong tam gi¸c vu«ng AHB ta cã: (3 ®) AH2+HB2 = AB2 = c2 HB = AB . cosB = c. cosB (2). Tõ (1) vµ (2) ta suy ra b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB 5 (4 ®) 0,5 A 1,0 c 1,0 b 05 B H C a 1,0 1. AEC = 900 (Gãc cña tam gi¸c cã c¹nh lµ ®êng kÝnh ) => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE A D / 1 / I F 1 2 _H _K O 1 => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK B HE t¹i K (2).  E C Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. Theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB. ADC = 900 (Gãc cña tam gi¸c cã c¹nh lµ ®êng kÝnh ) => BDH = 900 (kÒ bï ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ® êng trßn 0,5 0,5 0,5 0,5 §Ò thi HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2009 – 2010. ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC => BH  AC t¹i F => AFB cã AFB = 900 . 0,5 0,5 Theo trªn ADC cã ADC = 900 =>B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD  ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Tacó : 1 1 1  1  1 1   1 1  k.  k     k   (k  1)k (k  1) k k  1  k k 1   k k 1  k  k  1 1  1 1   1   2   = 1   . Do đó : . k  1  k k 1  (k  1) k k 1   k  6 (2 ®) Vậy 1 1 1 1 1   1 1  1    1    ...   2 1     2    ...  2  2 3 2 4 3 (n  1) n 2  2 3 n 1    n 1   = 2 1    2 víi n ≥ 1 , n  N n 1   Tæng “ NÕu häc sinh cã c¸ch gi¶i kh¸c mµ vÉn ®óng th× gi¸m kh¶o vÉn cho ®iÓm tèi ®a.” 1,0 1,0 20