Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp huyện có đáp án

Ubnd huyÖn yªn phong Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ____________________ céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc ------------------------- ®Ò thi chän häc sinh giái huyÖn cÊp thcs N¨m häc: 2008 – 2009 M«n: To¸n líp 9. Thêi gian lµm bµi : 150 phót ______________ C©u 1:(2 ®iÓm). 1/ Cho x > 0 vµ x 2  1 1  7 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x5  5 x x2 ba a b  2/ Chøng minh ®¼ng thøc: a b víi a,b tr¸i dÊu. b a b a C©u 2:(2 ®iÓm). x  y  2 1/ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  3 3 x  y  8   2/ Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x 2  14  2 x 2  8 x x  8 x  14 x 2  8 x  24  0 C©u 3:( 2 ®iÓm). 1/ T×m m ®Ó c¸c ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh sau ®ång quy: y = x + 1 (d1); y = -2x + 1 (d2); y = (m – 1)x – m (d3). 2/ Trªn ®êng th¼ng y = x + 1. T×m nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n ®¼ng thøc: y2  3 y x  2x  0 Bµi 4:(3 ®iÓm). Cho nöa ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R( R lµ ®é dµi cho tríc). M,N lµ hai ®iÓm n»m trªn nöa ®êng trßn (O) sao cho M thuéc cung AN vµ tæng kho¶ng c¸ch tõ A,B ®Õn MN b»ng R 3 . 1/ TÝnh ®é dµi ®o¹n MN theo R. 2/ Gäi giao ®iÓm cña hai d©y AN vµ BM lµ I, giao ®iÓm cña c¸c ®êng th¼ng AM vµ BN lµ K. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm M,N,I,K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. TÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã theo R. 3/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c AKB theo R khi M,N thay ®æi nhng vÉn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n. Bµi 5:( 1®iÓm). Cã hay kh«ng cã sè tù nhiªn n ®Ó n2 + 2010 lµ sè chÝnh ph¬ng. -------------------------------§Ò gåm 01 trang----------------------------Ubnd huyÖn yªn phong Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ____________________ céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc ------------------------- ®Ò thi chän häc sinh giái huyÖn cÊp thcs C©u 1(2 ®iÓm): N¨m häc: 2008 – 2009 M«n: To¸n líp 9. 1/(1 ®iÓm): 2 1 1 Tõ x 2  2  7   x  1   9  x   3 ( v× x > 0)   x x x  (0,25®) 1 1 1  ( x  )( x 2  2 )  21  x 3  3  18 x x x 1 1  ( x 3  3 )( x 2  2 )  7.18 x x 1  x 5  5  123 x ba a b  2 2/(1 ®iÓm):Ta cã: b  a  a   b  ( V× a,b tr¸i dÊu) b      b  b   a   C©u 2(2 ®iÓm): ab 2   a   b  b       b   a  x  y  2 1/ (1 ®iÓm):Ta cã:  3 3 x  y  8  (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,5®) a b a b  a b b (®pcm) b  a b a a x  y  2  3 2 3  y  6 y  12 y  8  y  8  (0,5®) (0,25®) x  y  2 (0,25®)   2  y  2y  0  x  y  2 hoÆc  x  y  2  y20 y 0 (0,25®)    x  0 hoÆc  x  2   y  2 y 0   x  0 x  2 vµ   y  2 y 0 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:  (0,25®) 2/(1 ®iÓm):§KX§: x  0 hoÆc x  8 Ta cã PT  7  (0,25®) 2 x 2  8 x  x  52  0 x 2  8 x  2  x (1) hoÆc x 2  8 x  12  x (2) Gi¶i (1)  ……  x = 1(chän) Gi¶i (2)  ……  x = - 9(chän) (0,25®)  (0,25®) (0,25®) VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm: S =  1; 9  C©u 3(2 ®iÓm):  y  x 1 (0,25®)  y  2 x  1 1/(1 ®iÓm):/To¹ ®é giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) lµ nghiÖm cña hÖ:  x  0  y 1    (d1) c¾t (d2) t¹i A(0;1). VËy: §Ó (d1) , (d2) vµ (d3) ®ång quy khi vµ chØ khi A (d3)  m = -1 (0,5®) (0,25®) 2/(1 ®iÓm): §KX§: x  0 Thay y = x + 1 vµo ®¼ng thøc y 2  3 y x  2 x  0 , ta ®îc: (x + 1)2 – 3( x + 1) x + 2x = 0. §Æt t = x víi t  0 , ta cã pt: t4 – 3t3 + 4t2 – 3t + 1 = 0 (*) (0,25®) Gi¶i pt (*) ta ®îc t = 1  x = 1  y = 2 VËy ®iÓm thuéc (d1) cã to¹ ®é (1;2) tho¶ m·n ®Ò bµi (0,25®) (0,25®) (0,25®) C©u 4(3 ®iÓm): K N O' B' H M A' I A O B 1/ (1 ®iÓm):VÏ AA’,BB’ lÇn lît vu«ng gãc MN. Gäi H lµ trung ®iÓm MN  OH  MN XÐt h×nh thang AA’B’B, cã: OH = 1 R (AA’ + BB’) = R 3  MH =  MN  R Vµ OMN ®Òu. 2 2 2 2/(1 ®iÓm): Chøng minh ®îc M,N,I,K n»m trªn cïng 1 ®êng trßn ®êng kÝnh IK vµ �  1 (s® � -s® � ) = 600 AKN MN AB 2 (0,25®) (0,25®) (0,5®) (0,5®) � � Gäi O’ lµ trung ®iÓm IK  MO ' N  2MKN  1200  MN  MO ' 3  MO’ = R 3 3 (0,5®) 3/(1 ®iÓm): ChØ ra ®iÓm K n»m trªn cung chøa gãc 600 dùng trªn ®o¹n AB = 2R (0,5®) 2  ®êng cao KP lín nhÊt  KAB ®Òu.Khi ®ã SABK = AB 3  R 2 3 (0,5®) SABK lín nhÊt 4 C©u 5(1®iÓm): Gi¶ sö : n2 + 2010 lµ sè chÝnh ph¬ng (n N )  n2 + 2010 = m2 (víi m  N )  (m – n)(m + n) = 2010  Ýt nhÊt cã m – n hoÆc m + n ch½n (1) Do: m – n + m + n = 2m – ch½n  (m – n) vµ ( m + n ) cïng tÝnh ch½n lÎ (2) (0,25®) (0,25®) (0,25®) Tõ (1) vµ (2)  (m – n) vµ ( m + n ) cïng ch½n  (m – n)(m + n)M , mµ 2010 kh«ng 4 chia hÕt cho 4  Gi¶ sö sai (0,25®) VËy: Kh«ng cã sè tù nhiªn n ®Ó n2 + 2010 lµ sè chÝnh ph¬ng