Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9

C©u1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc  §Ò Thi m«n: To¸n  2 x 3 x x 3 x 3   x2 x 3 x 1 3 x a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P víi x = 14 - 6 5 . c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P C©u 2: (4 ®iÓm) 1) Cho ®êng th¼ng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi  m. 2) Trong mÆt ph¼ng täa ®é cho ®iÓm M cã toµ ®é m 1 xM = (m lµ tham sè) 2 p m 1 2 T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M. C©u 3: (5 ®iÓm) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 5  xyz 24 yz 7  xyz 24 xz 1  xyz 4 2) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x2 - 4xy + 5y2 = 169 C©u 4: (5 ®iÓm) Cho ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB. Gäi K lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, M lµ ®iÓm di chuyÓn trªn cung nhá AK(M  A vµ K). lÊy ®iÓm N trªn ®o¹n BM sao cho BN = Am a) CM: MKN vu«ng c©n b) §êng th¼ng AM c¾t ®êng th¼ng OK t¹i D. Chøng minh MK lµ ®êng ph©n gi¸c cña  DMN. c) Chøng minh ®êng th¼ng  víi BM t¹i N lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. C©u 5: (2 ®iÓm) Cho c¸c sè d¬ng a,b,c,d. Chøng minh: a b c   2 bc ac a b yM = Híng dÉn chÊm C©u ý Néi dung c¬ b¶n §KX§: x  0; x  9 2 x 3 x x 3 x 3 p   x 2 x 3 x 1 3 x  a)   x x 3  x 1  x x 3 2 1 b) c) 1,a 2 1,b 2 2 1 x 3    §iÓm 0.25  2  x 3 x 1   2 x 3   x 3  0,5 x 3 x 3 x 8 x 1  x 1  58  2 5 x  14  6 5  5  3  3  5  P  11 x 8 x 1  9 9 p   x 1 x 1 x 1 x 1 9  x 1 2 2 9 2 4 x 1 (¸p dông B§T c«si)dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi 9 x 1   x  4 . VËy min p = 4 khi x = 4 x 1 y = (m-2)x+2 (d) §Ó dêng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh víi  m th× xm - 2x + 2 - y = 0 cã nghiÖm víi  m x=0 x=0   -2x + 2 - y = 0 y=2 VËy (d) ®i qua N (0,2) cè ®Þnh Gäi A,B theo thø tù lµ giao ®iÓm cña (d) víi trôc hoµnh vµ trôc tung. Ta tÝnh ®îc 2 OA  ; OB  2 2m Gäi OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn AB, ta cã 1 1 1 m2  4m  5    OH 2 OA2 OB 2 4 4 4  OH 2  2  4 m  4m  3  m  2  2  1 VËy OH líp nhÊt = 2 khi m = 2   2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 m 1   yM  2  2x  m 1    M   2 yM  m  1  x  m 1 M  2  2 xM  2 yM  2  xM  yM  1  0 VËy quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng th¼ng x - y + 1 = 0 x y 5 1 1 5  xyz  24  yz  xz  24   xz 1 1 1 1       1   xyz 4  yz xy 4 yz 7 1 1 7      24  xyz  xy xz 24 0,25 1 1 1  3 1 1 1  3  2             2  xz yz xy  4  xz yz xy  8 KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã 0,5  xy  6  2 2 2  xz  8  x y z  576  xyz   24   yz  12   x  2 x  2  y 3 z  4  hoÆc 0,5 0,25 0,75 0,75 0,25 0,25