Tài liệu đề thi học sinh giỏi môn toán 9 yên lạc

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN: TOÁN Bài 1: ( 2,5 điểm) Cho biểu thức P  x 1 x2 x 1   x 1 x x 1 x  x  1 a, Rút gọn biểu thức P. b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q  2  x . P Bài 2: ( 2,5 điểm) a, Cho biểu thức A  3 20  14 2  3 20  14 2 . Chứng minh rằng A là số chính phương. b, Giải phương trình x  2  y  2014  z  2015  1  x  y  z 2 Bài 3: ( 2,5 điểm) a, Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128. b, Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số m  n  n  1 ...  n  7   7! không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3…k). Bài 4: ( 1,5 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn  P  O  Gọi Q là một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 5: ( 1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . a3 b3 c3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  b 2c  a  c 2a  b  a 2b  c       -------------------------------------Hết--------------------------------(Giám thị không giải thích gì thêm) UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN: TOÁN Bài Nội dung 1 a, ĐKXĐ x  0; x  1 2,5 đ x  x  1  x  2   x  1  x  1  x  Ta có P     Điểm 0,25 1,25 x  x 1 x 1 x  x  1 b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có: Q   2 x  x  1 x 0,75 2   x  2   x    2  2 2 x  Vậy GTLN của Q= 2  2 2 khi x=2 Bài a, Biến đổi A3  40  3. 3 202  14 2 2 . A  A3  6 A  40  0   2 2,5 đ   A  4   A2  4 A  10   0 Vì A2  4 A  10   A  2   6  6  0 , suy ra A  4  0  A  4  22 Vậy A là một số chính phương. b, ĐKXĐ x  2; y  2014; z  2015 Phương trình đã cho tương đương với 2    Do  x  2  1 2   2 x  2 1  y  2014  1  2  0;   x  2 1  0     y  2014  1  0    z  2015  1  0  0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 z  2015  1  0  2 y  2014  1  0;   2 z  2015  1  0 x  3   y  2013  z  2016  Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016) Bài a, -Ta có 128  23.22.2.2 , trong 8 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho 3 8, một số chia hết cho 6, một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2 2,5 đ -Do đó 8 số nguyên liên tiếp chia hết cho 23.22.2.2  128 b, Giả sử m  a 2  b 2 . Theo ý a, thì n  n  1 ...  n  7   7!  128 k, k  Z Do đó a 2  b 2  128k  7! (1) Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được c 2  d 2  32k  1260 (2) Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được p 2  q 2  8k  315 (3) Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên p 2  q 2 chia cho 4 dư 0;1 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra. Vậy không thể biểu diễn số m  n  n  1 ...  n  7   7! dưới dạng tổng của hai số chính phương. 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4 1,5 đ d Q S P O M N Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S. Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ 0,25 2 Ta có VONQ :VOQM  g  g   OQ  OM  OQ  OM .ON (1) ON 0,25 OP ON   OP.OS  OM .ON (2) OM OS OQ 2 Từ (1) và (2) suy ra OP.OS  OQ 2  OS  không đổi, nên điểm S cố OP 0,5 OQ Ta có VOPN :VOMS  g  g   Bài 5 1,0 đ 0,25 định. Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S 0,25 cố định. a, Áp dụng BĐT AM-GM ta có 0,25 a3 a3 b 2c  a b 2c a b 2c a 8a 2c a (   )    a      b  2c  a  b  2c  a  3 9 3 9 9 3 9 9 9 9 9 a3 b3 c3  8a b 2c   8b c 2a   8c a 2b  0,25                b  2c  a  c  2a  b  a  2b  c   9 3 9   9 3 9   9 3 9  a bc  1 3  P 1 0,25 P Vậy GTNN của P=1 khi a=b=c=1. 0,25