Tài liệu đề thi học sinh giỏi môn toán 9 đa

Phòng GD&ĐT Đại Lộc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014– 2015 Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Môn : Toán Lớp : 9 Người ra đề : Đơn vị : Nguyễn Văn Tiến THCS Phan Bội Châu ĐỀ BÀI. Bài 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức  a3 a   a 2 a 3 9a  A  1    :  a 9   a 3 2 a a  a 6  a) Rút gọn A. b. Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên Bài 2 (1 điểm): Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, luôn là số chính phương Bài 3 (4 điểm) giải phương trình 1 1 1   1 1) x 3  2) x2 x2  x 1 x 1  x x 32 x 4  2 x 4 3 Bài 4: (4điểm) Chứng minh đẳng thức: abc  4 bc 4 1 với a > 0, b > 0 và a a  a abc  2 abc  2 Bài 5: (4điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. a) Chứng minh rằng:  DOE là tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: AD BE = R 2 . c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. Bài 6 ( 3 điểm) Cho đường tròn ( O, 15 cm) dây BC = 20 cm các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. Gọi H là giao điểm OA và BC a. Chứng minh rằng: HB = HC b. Tính độ dài OH c. Tính độ dài OA 1 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN . NĂM HỌC 2012 – 2013. Môn Toán - Lớp 9 (Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề). Nội dung Bài Điểm 1.Cho biểu thức  a3 a   a 2 a 3 9a  A  1    :   a 9   a 3 2 a a  a 6  a) Rút gọn A. 0,5 TXĐ: a  0; a  4  A  1     a 3      a   a 2 a 3 3 a  A  1    :   a 3  a 3 2 a a 2  Bµi 1: 4®iÓm A 3 a 2 : a 3 a 3 A         a 2 a 3 3 a 3 a :    a 3   a 3 2 a a 2 a 3   a ( a  3) 3 a 2 1 0,5 1 0,5 b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên. Giả sử a  Z . Để A  Z            3  Z a 2  a  2 là ước của 3   a  2  1    a 23   a  2  3  a  2 1 0,5 a 3 a 9 a 1 a 1 a  5  a  25 a  1(l ) 2 Bài 2(1đ) Bµi 3: 5® Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n  N) ta có : n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = () n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 (0,5 đ) = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) (0,5 đ) Đặt n2 + 3n = t (t  N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2 (0,5 đ) Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là một số chính phương 1) Gi¶i 1 x 3   x2 ph¬ng 1 x2  x 1  1 x 1  tr×nh: x 1 §K x  0 1 x3  x2     x  2  x 1 x3  x2  x 3  x2 x 1  x x 1  x   x 1  x   x3  x2   1  x3  x2   1  x 1  x      0.25 đ 0.5 đ 0.25 đ 0.25 đ 0,25 0,25 1 x  2  x 1 x  2  x 1  x  2  x 1  1 x  2  x 1  0.25 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x 1  x  1 x  3  x 1  x  3  x  2 x 1  2 x 2 0,25  0,25 x 1  x 1 0,25 x = 1 thỏa mãn ĐK. Vậy PT có nghiệm x = 1 2) x 32 x  4  2 x  4 3   Bµi 4: 4® x  4  2 x  4 1  2 x  4  3   x  4 1 2  2 x 4 3 2 x  4  3  0     x  4 1  2 x  4  3   x  4  1,5     x  4 1  2 x  4  3  x  4  1,5     x4 2   x4 2 x4  4  x 8 3 thoûa maõn ñieàu kieän    �K : x  4  0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 abc  4 bc 4 Chứng minh đẳng thức: 1 a a  abc  2 a với a > 0, b > 0 và abc  2 abc  4 bc 4 a a = abc  2 VT =   a abc  2   abc  4  4 abc a abc  2 2 abc  2   abc  2 1  a ( abc  2) a + Hình vẽ đúng (câu a): + Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân giác góc MOB. ˆ ˆ + Mà AOM và MOB là hai góc ˆ kề bù, nên DOE = 900 . Vậy tam giác DOE vuông tại O. Bài 5: 4 điểm Ý b) + Tam giác DOE vuông tại O và OM  DE nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: DM EM  OM 2  R 2 (1) + Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2). + Từ (1) và (2) ta có: DA EB  R 2 Ý c) + Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là: 1 1 S  AB  DA  EB   2 R  DM  EM   R DE 2 2 Bµi 6: 3 ®iÓm 2 2 0,25 1 0,25 0,25 0,5 0,25 1 0,5 + S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H). Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM  AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: S0  2 R 2 Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa. 0,5 Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận 4 1 0,5 1 ˆ a. Tam giác OBC cân tại O có OH là phân giác của BOC nên HB = HC b. OH = OB 2  HB 2 = 152  122  9cm c.Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác OBA ta có 2 2 OB2 = OH.OA => OA = OB  15  25(cm) OH 9 5