Tài liệu đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp huyện quỳnh lưu

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 Năm học 2013-2014 Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2,0 điểm) x2  x x2  x  Cho A  x  x 1 x  x 1 a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B. Câu 2: (1,5 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0 Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm x, y biết : 1 1   x y 4 x y b) Giải phương trình : x  2 x  1  x  2 x  1  x3 2 Câu 4: (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y  0 . CMR : x2 y 2  4 y2 x2 x y 3   y x Câu 5: (2,0 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ? c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O. ------Hết------ ĐÁP ÁN Câu 1: ( 2,0 điểm) a) ĐKXĐ: x  0     x x3 1 x x3 1 x2  x x2  x A    x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x     x   x 1 x  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x   x 1  x   x  1  x  x  x  x  2 x b) B = A + x – 1= 2 x  x  1  x  2 x  1   x  1  2  2 2 Dấu “=” xảy ra  x  1  0  x  1 ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1 Câu 2: ( 1,5 điểm) x 2 – 5xy  6y 2  1  0  4x 2  20xy  24y 2  4  0  (2x  5y) 2  y 2  4  0  (2x  5y) 2  y 2  4  (2x  6y)(2x  4y)  1  (x  3y)(x  2y)  1 KQ: (x; y)   ( 5; 2); (5; 2) Câu 3: (2,5 điểm) a) ĐKXĐ: x  0; y  0 1 1   x y 4 x y 2 x 2 1 1   2 y  2  0   x  1   y  1   0   x y x   y   1   x x 0 x 1      ( TM ĐKXĐ)  y 1  y 1 0  y Vậy (x;y)=(1;1) x3 x3  x 1  2 x 1  1  x  1  2 x 1  1  2 2 2 2 x3  x 1 1  x 1 1  ĐKXĐ : x  1 2 x3  x 1 1  x 1 1  (*) 2 Nếu x  2 phương trình (*) x3 x 3  x 1  1  x 1 1   2 x 1   4 x 1  x  3 2 2  16( x  1)  x 2  6 x  9  x 2  10 x  25  0  ( x  5) 2  0  x  5 (TM) Nếu 1  x  2 phương trình (*) x3 x 3  x 1 1 1 x 1   2  4  x  3  x  1 ( TM) 2 2 b) x  2 x  1  x  2 x  1      Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5 Câu 4: (1,0 điểm) x2 y 2  4 y2 x2 x y x 2 y2 3    ۳ y2 x 2 y x x 3 y y  4 0 x (x 2  y 2  xy)(x  y) 2 x 2y2 0 Câu 5: ( 2,0 điểm) a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường �  KMF �  900 kính) suy ra BEF 1 2 Gọi C là trung điểm của KF ta có EC  CM  KF hay EC  CM  CK  CF Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn tâm C. b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC  1 1 HF, mà EC=  KF nên HF=KF. 2 2 I F C H M E K A O K là trực tâm của tam giác FAB nên FK  AB , mà �  EAH � . AH  AB do đó AH//KF suy ra KFE KEF  HEA suy ra AH=KF Do đó AH=AK=KF=EH và AF  HK nên tứ giác AHFK là hình thoi. c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà AM  BF nên HF  BF (1) Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định. B