Tài liệu đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp huyện có đa

phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o cÈm khª kú thi chän häc sinh giái c¸c m«n v¨n ho¸ líp 9 cÊp huyÖn n¨m häc 2012 - 2013 §Ò chÝnh thøc ®Ò thi m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò Câu 1: (4 điểm) a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chính phương. b. Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5 Câu 2: (4 điểm) x 1 x 5  4 x3  3x  9  a. Tính giá trị của biểu thức A = với 2 x  x 1 4 x 4  3 x 2  11 2 2 2 b. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: a 1  b  b 1  c  c 1  a  Chứng minh rằng: a 2  b 2  c 2  3 . 2 3 2 Câu 3: ( 3 điểm) Giải phương trình: 2 x 2  5 x  12  2 x 2  3x  2  x  5 . Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn. a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH. b. Tính AH theo R và PO = d. c. Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng R 2 , đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M. Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng a để diện tích  POM đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 a 2  1 1 b 2  1 1 c 2  3 2 -Hết- Họ và tên thí sinh:......................................................... Số báo danh:................ Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o HUYỆN cÈm khª kú thi chän häc sinh giái líp 9 cÊp huyÖn n¨m häc 2012 - 2013 híng dÉn chÊm m«n to¸n (§Ò chÝnh thøc, ngµy thi 26 th¸ng 12 n¨m 2012) I. Mét sè chó ý khi chÊm: - Híng dÉn chÊm díi ®©y chØ dùa vµo lêi gi¶i s¬ lîc cña mét c¸ch, khi chÊm gi¸m kh¶o cÇn b¸m s¸t yªu cÇu cña ®Ò bµi, lêi gi¶i chi tiÕt cña häc sinh ®¶m b¶o l«gic ®óng kiÕn thøc bé m«n. - ThÝ sinh lµm bµi c¸ch kh¸c víi Híng dÉn chÊm mµ ®óng th× tæ chÊm thèng nhÊt cho ®iÓm t¬ng øng víi biÓu ®iÓm cña Híng dÉn chÊm - §iÓm bµi thi lµ tæng c¸c ®iÓm thµnh phÇn lµm trßn ®Õn 0, 25 ®iÓm. II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: §¸p ¸n §iÓm Câu 1: (4 điểm) a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A n = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chính phương. b. Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5 a. Ta có: 1 An  n(n  1)(n  2)(n  3)  1  ( n2  3n)(n2  3n  2)  1 1  (n 2  3n)2  2(n 2  3n)  1  (n 2  3n  1)2 Vậy An là số chính phương với n  N b. Đặt A = x3 - 2x2 +9x - 9 = x(x2 +5) - 2(x2 + 5) + 4x + 1 Do đó: AM(x2 +5)  (4x + 1) M(x2 + 5) (1) Vì 4x  -1 và 4x  1, nên từ (1) suy ra (4x + 1)(4x - 1) M(x2 + 5)  (16x2 - 1) M(x2 + 5)  16(x2 + 5) - 81 M(x2 + 5)  81 M(x2 +5) Vì x2 + 5  5 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau: . x2 + 5 = 81  x2 = 76 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn) . x2 + 5 = 27  x2 = 22 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn) x2 + 5 = 9  x2 = 4  x = 2 (t/m) hoặc x = -2 (không thoả mãn (1). Vậy với x = 2 thoả mãn điều kiện bài toán. Câu 2: (4 điểm) a. Tính giá trị của biểu thức A = a. Ta có Do đó: 0.25 3 . 2 3 2 x 1   4 x  x 2  x  1  x 2  3x  1 x  x 1 4 2 x 3  x 2 .x  (3 x  1).x  3 x 2  x  3(3 x  1)  x  8 x  3 x 4  x 3 .x  (8 x  3).x  8 x 2  3x  8.(3 x  1)  3 x  21x  8 x 5  x 4 .x  (21x  8).x  21x 2  8 x  21.(3x  1)  8 x  55 x  21 Từ đó ta có: x5  4 x3  3 x  9  55 x  21  4(8 x  3)  3 x  9  28 x x 4  7 x 2  15  21x  8  7(3 x  1)  15  42 x Vậy A = 0.25 x 1 x 5  4 x3  3x  9  với 2 4 2 x  x 1 4 x  3 x  11 b. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: a 1  b 2  b 1  c 2  c 1  a 2  2 2 2 Chứng minh rằng: a  b  c  0.5 0.25 0.25 0.5 x 5  4 x3  3 x  9 28 x 2   (vì x  0 ) x 4  3 x 2  11 42 x 3 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: a 1  b2  b 1  c2  c 1  a 2  a2  1  b2 b2  1  c 2 c 2  1  a 2 3    2 2 2 2 1 Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi:  a  1  b2  a2  1  b2   2 3  2 2 2 2 2  b  1  c   b  1  c  a  b  c   đpcm 2   c2  1  a2 c  1  a2    1 Câu 3: ( 3 điểm) Giải phương trình: 2 x 2  5 x  12  2 x 2  3x  2  x  5 .(1) Đặt u  2 x 2  5 x  12, v  2 x 2  3x  2 ( u  0, v  0)  u 2  2 x 2  5 x  12, v 2  2 x 2  3x  2  u 2  v 2  2 x  10  2( x  5) Từ (1)  2(u  v)  (u 2  v 2 )  (u  v)(u  v  2)  0 (2) Vì u  0, v  0 , từ (2) suy ra: u  v  2  0 . Vì vậy 2 x 2  5 x  12  2 x 2  3x  2  2 (3) 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2 2 x 2  3x  2  x  3 x 3  0  x  3  x  3  x  3    2   2    2  ( x  1)(7 x  1)  0  2 2 x  3 x  2  x  3  7 x  6 x  1  0  (7 x  7)  (6 x  6)  0  x  3 1    1  x  1, x   tm  7  x  1, x  7  Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= 1 0.25 1 7 Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn. a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH. b. Tính AH theo R và PO = d. c. Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng R 2 , đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M. Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng a để diện tích  POM đạt giá trị nhỏ nhất. P A N C 0.5 H K B O M a j NH CH 2 NH CH (1)    PB CB PB OB � � Ta cã: �  BPO (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) ; HAC  BPO (gãc cã c¹nh tABC � � � ¬ng øng song song)  BPO  HAC  ACH : POB (g,g) AH CH (2)   PB OB a. V× AH//PB , ¸p dông ®Þnh lý TalÐt vµo  CPB ta cã: Tõ (1) vµ (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH. b. Trong  ABC vu«ng ë A cã ®êng cao AH. ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng ta cã: AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH (3). 2 NH .OB Tõ (1) ta cã CH  vµo (3) , kÕt hîp víi AH = 2NH ta ®îc: PB AH.CB   AH.CB   AH2 =  2R .   2PB   2.PB    4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH - 4R2.AH2  PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH  AH(PB2 + R2) = 2R2.PB 2 Thay PB2 = d2 - R2 vµo h»ng ®¼ng thøc trªn ta ®îc: AH = 2R d 2 -R 2 d2 1 1 1 MP.OB = ( PB + BM ). OA = ( PB + MB ). R 2 2 2 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cã: (PB + MB)  PB.BM 2 c. Ta cã: SMOP = DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi PB = BM  MOP vu«ng t¹i O, cã : PB.MB = OB2 = R2 Tõ (1), (2), (3) suy ra SMOP  R2   MOP cã diÖn tÝch nhá nhÊt b»ng R2 khi vµ chØ khi PB = BM = R.   PBO vu«ng c©n t¹i B  OP = R 2 . 0.75 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 (1) (2) (3) VËy  MOP cã diÖn tÝch nhá nhÊt khi OP = R 2 . Khi ®ã P lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ O ®Õn ®êng th¼ng a. Câu 5: (2 điểm) 0.75 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 a  1  1  3 2 1 b 1 c Vì vai trò của a, b, c là như nhau, giả sử a  b  c . Do abc = 1 nên bc  1 và a  1. 2 2 2 0.25 Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: 2  1 1  1   1  b2c2   1   2   2 1     2 2  2 2   1  b 1  c   (1  b )(1  c )  1  b2 1  c2   4bc 4 4a    (Vì bc  1; a  1) 1  bc 1  bc 1  a 1 1 a  2 Suy ra: (1) a 1 1  b2 1  c2 a+ Mặt khác, ta có: (1 +) 2 (12 12 )(12 a 2 ) 1 1 a 2  1  b 2c 2  2 1  2   (1  bc)  2 (2) 1 a a 2 3   (3) a 1 1 a 2 Thật vậy, ta có (3)  1  3a  2 2a( a  1)  0  ( 2a  1  a ) 2  0 (luôn đúng với  a) 1 1 1 3    Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 1  a2 1  b2 1  c2 - Chứng minh: 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25