Tài liệu Dạy học nguyên lý cực trị cho học sinh trung học phổ thông theo hướng tăng cường khả năng tự học.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÝ THỊ HỒNG PHÚ DẠY HỌC NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG KHẢ NĂNG TỰ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÝ THỊ HỒNG PHÚ DẠY HỌC NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG KHẢ NĂNG TỰ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Anh Vinh HÀ NỘI – 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn Khoa sau Đại học Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy, cô giáo tham gia giảng dạy tại Khoa đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Anh Vinh người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT Nhị Chiểu đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình giảng dạy thực nghiệm tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tôi mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô, các nhà khoa học, đồng nghiệp và bạn đọc để hoàn thiện luận văn nghiên cứu này hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả Lý Thị Hồng Phú i DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh PPDH Phương pháp dạy học THPT Trung học phổ thông TN Thực nghiệm GTLN Giá trị lớn nhất GTNN Giá trị nhỏ nhất PT Phương trình HPT Hệ phương trình BPT Bất phương trình ii MỤC LỤC Lời cảm ơn ......................................................................................................... i Danh mục chữ viết tắt ....................................................................................... ii Mục lục ............................................................................................................. iii Danh mục bảng................................................................................................. vi Danh mục sơ đồ, biểu đồ................................................................................. vii MỞ ĐẦU ....................................................................................................... viii Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 1 1.1. Các quan niệm và vai trò của tự học .......................................................... 1 1.1.1. Các quan niệm về tự học ......................................................................... 1 1.1.2. Các khái niệm về năng lực ...................................................................... 2 1.1.3. Vai trò của tự học .................................................................................... 6 1.1.4. Mối quan hệ giữa dạy học và tự học ....................................................... 7 1.1.5. Những kĩ năng cần thiết của người tự học môn Toán............................. 8 1.2. Nội dung của quá trình tự học .................................................................... 9 1.2.1. Xây dựng động cơ học tập ...................................................................... 9 1.2.2. Xây dựng kế hoạch học tập ................................................................... 10 1.2.3. Tự mình nắm vững nội dung tri thức .................................................... 11 1.2.4. Tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập .................................................... 12 1.3. Các bước tiến hành hướng dẫn HS tự học Đại số - Giải tích ở THPT .... 13 1.3.1. Xây dựng mô hình giảng dạy ................................................................ 14 1.3.2. Xây dựng chương trình tự học .............................................................. 16 1.3.3. Hướng dẫn học sinh đọc sách toán ở trung học phổ thông ................... 17 1.3.4. Xây dựng tủ sách tham khảo ................................................................. 19 1.3.5. Xây dựng bài giảng ............................................................................... 20 1.3.6. Phương pháp kiểm tra đánh giá việc tự học.......................................... 21 1.4. Thực trạng tự học môn toán của học sinh ở Trường THPT..................... 22 1.4.1. Thực trạng tự học toán ở Trường THPT hiện nay ................................ 22 1.4.2. Thực trạng tự học toán ở Trường THPT Nhị Chiểu – Hải Dương ....... 22 iii 1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................... 23 Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ MỘT SỐ BÀI GIẢNG NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG KHẢ NĂNG TỰ HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ......... 24 2.1. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .... 24 2.1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ....................... 24 2.1.2. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . 24 2.2. Một vài nguyên lý cực trị áp dụng trong tìm điều kiện có nghiệm của phương trình và bất phương trình ................................................................... 42 2.2.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn ....... 42 2.2.3. Ví dụ áp dụng ........................................................................................ 44 2.2.4. Một số mở rộng từ các nguyên lý cực trị ............................................. 47 2.3. Thiết kế một số bài giảng tăng cường khả năng tự học của học sinh thông qua dạy học nguyên lý cực trị ......................................................................... 60 2.3.1. Bài giảng 1 ............................................................................................ 60 2.3.2. Bài giảng 2 ............................................................................................ 65 2.3.3. Bài giảng 3 ............................................................................................ 71 2.4. Kết luận chương 2 .................................................................................... 80 Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................................................... 81 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 81 3.2. Nội dung thực nghiệm.............................................................................. 81 3.3. Tổ chức thực nghiệm................................................................................ 81 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ......................................................................... 81 3.3.2. Kế hoạch thực nghiệm .......................................................................... 82 3.3.3. Bố trí thực nghiệm ................................................................................ 82 3.3.4. Tiến hành thực nghiệm.......................................................................... 83 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................. 88 3.4.1. Cơ sở đánh giá thực nghiệm sư phạm ................................................... 88 3.4.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm .............................................................. 89 iv 3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................... 95 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 96 1. Kết luận ....................................................................................................... 96 2. Khuyến nghị ................................................................................................ 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 98 PHỤ LỤC ....................................................................................................... 99 v DANH MỤC BẢNG Tên Trang Bảng 3.1: Bảng thống kê điểm số (Xi) bài kiểm tra thứ nhất 90 Bảng 3.2: Bảng thống kê điểm số (Xi) bài kiểm tra thứ hai 91 Bảng 3.3: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra thứ nhất Bảng 3.4: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra thứ hai Bảng 3.5: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm của bài kiểm tra thứ nhất Bảng 3.6: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm của bài kiểm tra thứ hai vi 91 92 93 94 DANH MỤC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ Tên Trang Sơ đồ 1.1. Mô hình giảng dạy hướng dẫn hoạt động tự học của học sinh Biểu đồ 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm của bài kiểm tra thứ nhất 14 91 Biểu đồ 3.2: Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm đối chứng và 91 thực nghiệm của bài kiểm tra thứ hai vii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong công cuộc đổi mới giáo dục, một trong những vấn đề quan trọng, cấp thiết là đổi mới phương pháp dạy học. Luật Giáo dục (sửa đổi bổ sung năm 2009) điều 28 khoản 2 đã ghi rõ: “Phương pháp giáo dục toán phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho từng học sinh.” Trước những yêu cầu về đổi mới phương pháp dạy học, người giáo viên luôn phải sáng tạo trong cách triển khai và xây dựng các hoạt động học tập của học sinh, vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh. Toán học cũng như các môn học khác góp phần quan trọng vào việc nâng cao chất lượng toàn diện của trường phổ thông. Tuy nhiên, thực tế cho thấy chất lượng dạy và học Toán chưa cao, có sự khác biệt về năng lực toán học giữa các học sinh trong cùng một lớp học, giữa các lớp trong cùng một trường học và giữa các trường học với nhau. Việc dạy học cho học sinh với năng lực toán học trung bình vẫn chưa được chú trọng, chưa khơi dậy được sự ham thích học toán và sự tự tin trong giải toán cho các em. Mặt khác, chủ đề nguyên lý cực trị là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trung học phổ thông. Hơn nữa, thời lượng dạy học dành cho phần này không nhiều, nên việc nắm vững lý thuyết và vận dụng vào bài tập là khó khăn, nên học sinh gặp không ít lúng túng và sai sót. Với những lí do trên, tôi quyết định lựa chọn đề tài: “Dạy học nguyên lý cực trị cho học sinh trung học phổ thông theo hướng tăng cường khả năng tự học” làm đề tài luận văn tốt nghiệp cho mình. viii 2. Mục tiêu nghiên cứu Đưa ra các dạng toán để học sinh hiểu và biết cách áp dụng Nguyên lý cực trị vào giải toán nhằm tăng cường khả năng tự học cho học sinh THPT. 3. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích lớp 12. (NXB Giáo dục – năm 2008) 4. Mẫu khảo sát Học sinh các lớp 12A, 12B, 12E, 12G của Trường THPT Nhị Chiểu, Hải Dương. 5. Vấn đề nghiên cứu Dạy học chủ đề nguyên lý cực trị như thế nào để nâng cao hiệu quả học tập của học sinh với năng lực toán học từ trung bình trở lên? 6. Giả thuyết nghiên cứu Giáo viên xác định đúng những khó khăn học sinh gặp phải, đề xuất sử dụng biện pháp thích hợp sẽ kích thích hoạt động học tập, phát triển được năng lực toán học và lòng ham thích học toán của học sinh, giúp các em vươn lên đạt kết quả cao hơn trong học tập. 7. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa cơ sở lý luận về phương pháp dạy học rèn luyện khả năng tự học cho học sinh. - Tìm hiểu với đặc điểm và những khó khăn của học sinh gặp phải khi học chủ đề Nguyên lý cực trị và đề xuất các biện pháp. - Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài. ix 8. Phương pháp nghiên cứu 8.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số 10, Giải tích 12 hiện hành và các sách tham khảo có liên quan đến chủ đề nguyên lý cực trị. - Nghiên cứu các tài liệu sách báo, tạp chí, bài viết, công trình nghiên cứu phục vụ cho đề tài. 8.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên môn toán và quan sát việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập về nguyên lý cực trị. Dùng thống kê toán học xử lí kết quả thu được rút ra những kết luận của đề tài. 8.3. Phương pháp thống kê Toán học Xử lý các số liệu thu được từ thực nghiệm sư phạm bằng các phần mềm như Excel, SPSS. 9. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập và một số bài giảng nguyên lý cực trị theo hướng tăng cường khả năng tự học cho học sinh trung học phổ thông Chương 3. Thực nghiệm sư phạm x Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Các quan niệm và vai trò của tự học 1.1.1. Các quan niệm về tự học Trong thời đại kinh tế tri thức với xu thế toàn cầu hóa, khả năng tư duy của con người trở thành tài sản vô giá. Để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của xã hội, mỗi con người cần phải biết tự học suốt đời, rèn luyện khả năng tìm tòi, khám phá và sáng tạo tri thức không ngừng. Tự học là một vấn đề có tính truyền thống và tính phổ biến không chỉ ở nước ta mà còn ở nhiều nước khác trên thế giới. Khổng Tử đã ý thức được tầm quan trọng của vệc tự học đối với mỗi con người, ông cho rằng: “cách học quan trọng hơn học cái gì”. Trong lịch sử phát triển ở Việt Nam, hoạt động tự học được chú ý từ lâu. Chủ tịch Hồ Chí Minh là một tấm gương sáng về tự học. Người đã từng khuyên phải biết chủ động học tập, tìm đủ mọi cách mà học. Theo Bác “về cách học phải lấy tự học làm cốt”. Có nhiều quan niệm về tự học: - Theo Chủ tịch Hồ Chí Minh, tự học là học một cách tự động, tức là: Học tập một cách hoàn toàn tự giác, tự chủ, không đợi ai nhắc nhở, không chờ ai giao nhiệm vụ mà tự mình chủ động vạch kế hoạch một cách tự giác, tự mình làm chủ thời gian để học và tự mình kiểm tra, đánh giá việc học của mình. - Trong quyển Học và dạy cách học, GS Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ và có khi cả cơ bắp và các phẩm chất khác của người học, cả động cơ tình cảm, nhân sinh quan thế giới quan để chiếm lĩnh một tri thức nào đó của nhân loại, biến tri thức đó trở thành sở hữu của chính mình”. - Theo tác giả Nguyễn Kỳ ở Tạp chí Nghiên cứu giáo dục số 7/1998 cũng bàn về khái niệm tự học: “Tự học là người học tích cực chủ động, tự mình tìm ra tri thức kinh nghiệm bằng hành động của mình, tự thể hiện mình. Tự học là tự đặt mình vào tình huống học, vào vị trí nghiên cứu, xử lí các tình huống, 1 giải quyết các vấn đề, thử nghiệm các giải pháp… Tự học thuộc quá trình cá nhân hóa việc học”. - Trong bài phát biểu tại hội thảo Nâng cao chất lượng dạy học tổ chức vào tháng 11 năm 2005 tại Đại học Huế, Trần Phương cho rằng: “Học bao giờ và lúc nào cũng chủ yếu là tự học, tức là biến kiến thức khoa học tích lũy từ nhiều thế hệ của nhân loại thành kiến thức của mình, tự cải tạo tư duy của mình và rèn luyện cho mình kĩ năng thực hành những tri thức ấy”. - Trong tập bài giảng chuyên đề Dạy tự học cho sinh viên trong các nhà trường trung học chuyên nghiệp và Cao đẳng, Đại học GS – TSKH Thái Duy Tuyên khẳng định: “Tự học là một hoạt động độc lập chiếm lĩnh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, … ) cùng các phẩm chất động cơ, tình cảm để chiếm lĩnh tri thức một lĩnh vực hiểu biết nào đó hay những kinh nghiệm lịch sử xã hội của nhân loại, biến nó thành sở hữu của chính bản thân người học”. Từ những quan điểm trên đây có thể nhận thấy rằng, khái niệm tự học luôn cùng, gắn bó chặt chẽ với khái niệm tự thân. Tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng của mỗi cá nhân chỉ được hình thành bền vững và phát huy hiệu quả thông qua các hoạt động tự thân ấy. Để có được, đạt tới sự hoàn thiện thì mỗi người học phải tự thân tiếp nhận tri thức theo nhiều nguồn. Tự thân rèn luyện các kĩ năng, tự thân bồi dưỡng tâm hồn của mình ở mọi lúc, mọi nơi. 1.1.2. Các khái niệm về năng lực a. Khái niệm về năng lực Theo nhà tâm lý học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì: “Năng lực được hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng những nhu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”. Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cá thể, một thứ phi vật chất. Song nó thể hiện ra được qua hoạt động và đánh giá được nó qua kết quả hoạt động.Thông thường, một 2 người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực: - Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo; - Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ cho những thành tựu đạt được của xã hội loài người; - Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song.Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra. b. Khái niệm năng lực Toán học Về khái niệm năng lực Toán học, theo nhà tâm lý học người Nga V.A. Cruchetxki sẽ được giải thích trên hai bình diện: - Như là các năng lực sáng tạo (khoa học), các năng lực hoạt động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá; - Như là các năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. Như vậy, năng lực Toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học Toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau. Cũng theo V.A.Cruchetxki, có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của học sinh có năng lực Toán học là: - Khả năng tri giác có tính chất hình thức hóa tài liệu Toán học, gắn liền với sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong một bài toán cụ thể vào trong một biểu thức Toán học; 3 - Khả năng tư duy có tính khái quát nhanh và rộng; - Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn; - Sự tư duy logic lành mạnh; - Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau; sự di chuyển dễ dàng và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, từ tiến trình suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ nghịch; - Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọng tìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm; - Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thức giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ logic; - Khả năng tư duy logic, trừu tượng phát triển tốt. c. Khái niệm về năng lực giải toán Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải toán là gì và thể hiện như thế nào? Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện. Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ của những người khác cùng tiến trình hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học và khái niệm về năng lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán như sau: - Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ; 4 - Sự phát triển mạnh mẽ của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán; - Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với cácký hiệu, ngôn ngữ toán học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: ký hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đối tượng đã biết, chưa biết và ngược lại; - Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề; - Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động giải toán; - Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu; - Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn trong quá trình giải toán; - Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải bài toán đó); - Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể dẫn đến bài toán tổng quát, từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống hóa, đặc biệt hóa. Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng đế ban cho. Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Qua quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng lực giải toán được tăng lên. Một phần do học sinh phải có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện. 5 1.1.3. Vai trò của tự học Theo Tạp chí Mathematical reviews (Mĩ, 1997), mỗi năm có hơn mười vạn bài nghiên cứu toán học được công bố; nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, cứ mười năm lại tăng lên gấp đôi. Với sự bùng nổ thông tin, sự phát triển như vũ bão của khoa học và công nghệ thì việc rèn luyện năng lực tự học được quan tâm ngay từ bậc tiểu học và càng lên cao hơn, càng được coi trọng. Đây là cách hữu hiệu để chuẩn bị cho mỗi người có năng lực học tập liên tục, suốt đời. Phương pháp tự học là cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học. Một yếu tố quan trọng đảm bảo thành công trong học tập và nghiên cứu khoa học là khả năng phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn. Nếu rèn luyện cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, thói quen tự học, biết tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiến thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, chuẩn bị cho họ tiếp tục tự học khi vào đời, dễ dàng thích ứng với cuộc sống, công tác, lao động trong xã hội. Tự học giúp con người có được ý thức tốt nhất trong quá trình học: chủ động suy nghĩ, tìm tòi, khám phá, nghiên cứu và nắm được bản chất vấn đề. Từ đó, tự học giúp ta tiếp thu được kiến thức từ nhiều nguồn khác nhau như sách, báo, từ truyền hình ti vi, từ bạn bè hoặc từ những người xung quanh, những kinh nghiệm sống của nhân dân. Tự học giúp ta có thể chủ động ghi nhớ các bài giảng trên lớp, tiết kiệm được thời gian, có thể tiếp thu một lượng kiến thức lớn mà vẫn hiểu và nắm chắc bài học. Và qua tự học, từ lí thuyết, chúng ta biết chủ động luyện tập thực hành, giúp ta có thể nhanh chóng hình thành kĩ năng,củng cố và nâng cao kiến thức đã học. Vì vậy, chủ động tự học sẽ giúp ta tìm ra được phương pháp học tốt nhất mang lại hiệu quả cao cho chính bản thân mình. 6 1.1.4. Mối quan hệ giữa dạy học và tự học Phương pháp tự học có cơ sở khoa học và thực tiễn. Theo các nhà tâm lí học: con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu. Hoạt động nhận thức chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích, tự giác và tích cực. Thực tê cho thấy nếu học sinh chỉ học một cách thụ động, được nhồi nhét kiến thức, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên. Giáo dục đạt kết quả cao nếu quá trình đào tạo biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục biến thành quá trình tự giáo dục. Phương pháp dạy học tự học là cách thức tác động của giáo viên vào quá trình tự học của học sinh. Giữa dạy học và tự học tồn tại mối quan hệ biện chứng. Thực chất đó là mối quan hệ giữa ngoại lực và nội lực. Trong đó năng lực tự học của trò chính là nội lực phát triển bản thân người học trò còn sự tác động của thầy, cộng tác lớp học, môi trường xã hội … đóng vai trò ngoại lực đối với sự phát triển của bản thân người học. Theo quy luật khách quan, nội lực bao giờ cũng là yếu tố giữ vai trò quyết định quá trình phát triển của sự vật. Nhưng điều này không có nghĩa được phủ nhận sạch trơn vai trò của ngoại lực. Cần thấy rằng, ngoại lực cũng có vai trò quan trọng, ảnh hưởng đến quá trình phát triển đó theo chiều hướng thúc đẩy hoặc kìm hãm. Chính vì vậy, sự phát triển của sự vật đạt trình độ cao nhất khi nội lực cộng hưởng với ngoại lực. Theo đó, nội lực – năng lực tự học là yếu tố quyết định, còn ngoại lực – tác động dạy của thầy, của môi trường xã hội sẽ thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển đó. Bởi vậy, muốn bản thân người học phát triển cao nhất thì tác động của người thầy phải “cộng hưởng” với năng lực tự học của trò. Việc dạy phải đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu phát triển của người học. Điều này có nghĩa: những yêu cầu đặt ra đối với học sinh phải phù hợp với trình độ mà học sinh đạt được ở thời điểm đó, không quá khó để học sinh có thể dựa vào những hiểu biết, kinh nghiệm đã có, dựa vào sự hợp tác 7 với bạn, với thầy … mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra, thúc đẩy sự phát triển của bản thân học sinh. Như vậy, việc dạy và tự học có mối quan hệ biện chứng tác động lẫn nhau cùng hướng đến sự phát triển của bản thân người học. Mục đích dạy học không phải ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng tổ chức và thực hiện những quá trình học tập có hiệu quả. Dạy học cốt lõi là dạy tự học. Mặt khác, học luôn cần có dạy. Việc học chỉ đạt hiệu quả cao khi có sự tác động hợp lí của việc dạy. 1.1.5. Những kĩ năng cần thiết của người tự học môn Toán Để tự học môn toán đạt hiệu quả người học cần phải có những kĩ năng cần thiết sau đây: ● Đào sâu suy nghĩ, lật đi lật lại vấn đề, tìm ví dụ và phản ví dụ, khai thác bài toán, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán, … Chẳng hạn, tập trung thời gian vào một số bài lí thú, suy nghĩ về đường lối giải bài toán đó, có khi cố gắng đề xuất thêm một vài câu hỏi, cũng có khi mở rộng được bài toán, … ● Tự mình cố gắng hết sức để giải các bài toán, nếu bài toán có nhiều hướng giải cần suy nghĩ để tìm tòi lời giải hay, mới, độc đáo. Đồng thời, học xong một chủ đề hay một chương nào đó cần phải tự tổng kết các vấn đề. Chẳng hạn: các câu hỏi phụ của bài toán khảo sát, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, các tính chất của tứ diện, … ● Biết ghi chép sau khi đọc một tài liệu, một quyển sách, một vấn đề. Khi đọc một bài, một tài liệu nào đó học sinh cần xác định được các mức độ yêu cầu sau đây: Một là, hiểu và nắm vững nội dung đã đọc để vận dụng. Hai là, suy nghĩ, giải thích về những vấn đề đã đọc được. Ba là, ghi chép lại những nội dung cần ghi nhớ đã đọc được. Bốn là, cần phải xem xét lại những vấn đề đã đọc được và liên hệ vấn đề đó với những vấn đề trước đó để tổng kết, sắp xếp lại thành hệ thống phù hợp với cách học của mình. Những vấn đề 8