Tài liệu Dạy học giải toán tổ hợp - xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh thpt

Lời cảm ơn Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin đặc biệt là thầy giáo – T.S Nguyễn Triệu Sơn đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình làm khóa luận. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới cán bộ phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư viện trường đại học Tây Bắc, các em học sinh và giáo viên hai trường THPT Mường Bi – Tân Lạc, THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Trong quá trình hoàn thành khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận không thể tránh khổi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2013 Sinh viên Từ Thị Mai Hương DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ đầy đủ CĐ Cao đẳng ĐH Đại học GV Giáo viên HS Học sinh NXB Nhà xuất bản SGK Sách giáo khoa TB Trung bình TG Tác giả THPT Trung học phổ thông TP Thành Phố DANH MỤC BẢNG BIỂU Tên bảng Nội dung bảng Trang Bảng 1 Bảng điều tra GV trường THPT Mường Bi 13 Bảng 2 Bảng điều tra GV trường THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên 13 Bảng 3 Bảng điều tra học sinh lớp 11 trường THPT Mường Bi 14 Bảng 4 Bảng điều tra học sinh lớp 1 trường THPT Phan Đình Giót- TP Điện Biên 14 Bảng 5 Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác suất của học sinh lớp 11 trường THPT Mường Bi 15 Bảng 6 Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác suất của học sinh lớp 11 trường THPT Phan Đình Giót – TP Điên Biên 15 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 II. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 1. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1 2. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2 III. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2 IV. Cấu trúc đề tài .............................................................................................. 2 Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 3 1. Cơ sở lí luận ................................................................................................... 3 1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học ........................................................... 3 1.2. Yêu cầu đối với lời giải ............................................................................... 4 1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học.................................................... 5 1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất ........................................... 7 1.5. Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất trong trình toán THPT.......................................................................................................... 8 1.5.1. Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT ........ 8 1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất ......................................... 8 2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học phổ thông miền núi ........................................................................................... 14 2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường THPT miền núi................................................................................................. 14 Chương II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT ............. 21 2.1. Dạy học giải bài tập toán tổ hợp trong chương trình toán THPT ................ 21 2.1.1. Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp ...................................................... 21 2.1.2. Dạng 2: Bài toán xếp các phần tử và bài toán chọn các phần tử .............. 22 2.1.3. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình .............. 24 2.1.4. Dạng 4: Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức ............................ 27 2.1.5. Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton ............. 29 2.2. Một số dạng bài tập xác suất ...................................................................... 35 2.2.1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản ........................................... 35 2.2.3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ....................... 41 Chương III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 49 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 49 3.2. Phương pháp thực nghiệm ......................................................................... 49 3.3. Nội dung thực hiện .................................................................................... 49 3.4. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 49 3.5. Phương pháp thực nghiệm. ........................................................................ 49 3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................... 50 3.6.1. Biện pháp ............................................................................................... 50 3.6.2. Phân tích kết quả .................................................................................... 50 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 54 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Môn “giải tích tổ hợp xác suất” là một phần của “đại số và giải tích” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi toán và cao đẳng và đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng “chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thứ Newton”, về phần xác suất học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi cao đẳng và đại học. Bài toán về giải tích tổ hợp xác suất rất đa dạng và phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình toán THPT. Mặc dù đã đưa ra các giải tổng quát cho một số dạng toán cụ thể có phương pháp giải rõ ràng song còn nhiều bài toán giải tích tổ hợp xác suất chúng ta chưa có cách giải cụ thể, khi đi sâu vào nghiên cứu tổ hợp xác suất tìm hiểu các khái niệm trong các kiến thức này cho ta thấy các khái niệm đều được xây dựng bằng ngôn ngữ ánh xạ các kiến thức của nó rất cơ bản và liên quan mật thiết với nhau. Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu và làm nhiều bài tập, học sinh muốn nắm vững nội dung bài học thì phải dạy cho học sinh cách học cách làm bài tập một cách có hệ thống có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng từ đó học sinh có thể tự mình làm được các bài tập. Hệ thống các bài tập trong SGK, sách bài tập được chọn lọc cận thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết, song để đáp ứng yêu cầu nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức thì hệ thống bài tập đó chưa đủ và chưa phân dạng được các dạng bài tập. Như vậy học sinh khó nắm bắt hệ thống bài tập, khi gặp các dạng bài tập tổ hợp - xác suất khác với các bài tập học sinh đã quen giải, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải. Vì vậy, việc nghiên cứu tìm tòi hệ thống các phương pháp giải toán tổ hợp - xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm toán và giáo viên toán các trường THPT. Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Dạy học giải toán tổ hợp xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT” nhằm cung cấp thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán tổ hợp - xác suất từ đó nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thú học tập cho học sinh. II. Mục đích nghiên cứu 1. Mục đích nghiên cứu 1 Cung cấp hệ thống một số phương pháp bài toán về tổ hợp - xác suất từ đó giúp cho học sinh hạn chế được những khó khăn khi giải những bài toán tổ hợp - xác suất có dạng đặc biệt, đồng thời giúp các em hình thành tư duy toán học trong quá trình làm các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận chính xác về một số bài toán tổ hợp xác suất trong chương trình toán THPT. - Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán tổ hợp xác suất cụ thể phức tạp hơn những dạng thông thường. III. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. IV. Cấu trúc đề tài - Mở đầu Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất Chương III: Thực nghiệm sư phạm - Kết luận - Tài liệu tham khảo 2 Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lí luận Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh. Về phương pháp giáo dục: phải khuyến khích tự học, phải ứng dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện và thời gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh. Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Tóm lại: Cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động chống lại thói quen thụ động. Quan điểm chung của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động với tinh thần tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo. 1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học Bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán và điều căn bản là mang lại hoạt động cho học sinh. Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí … Những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Vì vậy, vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện sau:  Bình diện mục tiêu dạy học Bài tập toán học ở trường THPT là mang lại những giá trị hoạt động mà việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, 3 những bài tập cũng thể hiện những khả năng khác nhau hướng đến mục tiêu dạy học môn toán cụ thể: + Hình thành củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn. + Phát triển kỹ năng trí tuệ. + Bồi dưỡng thế giới quan duy vật.  Bình diện nội dung Những bài tập toán học là mang lại những hoạt động liên hệ với những nội dung hoạt động nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.  Bình diện phương pháp Bài tập toán học là mang lại giá trị hoạt động để người học kiến tạo tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu giáo dục khác nhau. Khai thác tốt các bài tập đó góp phần tổ chức cho học sinh trong hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập trong giao lưu. 1.2. Yêu cầu đối với lời giải Trước hết ta cần nắm vững yêu cầu của lời giải: Lời giải phải đúng và tốt, trình bày vắn tắt. Nó bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng không quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực hiện yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu đương nhiên phải chấp nhận các yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết: * Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian. * Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ … thỏa mãn các yêu cầu bài ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm trong tính toán, hình vẽ biến đổi biểu thức. * Lập luận chặt chẽ. - Lập để phải nhất quán. - Luận cứ phải đúng. - Luận chứng phải hợp logic. 4 * Lời giải đầy đủ. Lời giả không thể bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Ví dụ: khi giải phương trình không được thiếu nghiệm hoặc khi phân chia các trường hợp không được thiếu khả năng nào … * Ngôn ngữ chính xác. * Trình bày rõ ràng, đảm bảo thẩm mỹ. Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố trong lời giải. * Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn hợp lý nhất. Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. 1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải một bài toán. Nhưng đó là một tham vọng không tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng không thể có chung thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là điều có thể và rất cần thiết. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tế dạy học, có thể tổng kết phương pháp chung để giải bài toán như sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài. Để tìm hiểu nội dung đề bài ta cần thực hiện các thao tác sau: - Phát biểu nội dung đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán. - Phân biệt cái đã cho cái phải tìm, phải chứng minh. - Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài. Khi hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung đề bài giáo viên thường đặt ra những câu hỏi phát vấn dạng: - Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điều kiện cho trước hay không? 5 - Hãy vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp. - Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó bằng công thức hay không? Bước 2: Tìm lời giải. Tìm cách giải bài tập toán học hay ta đi thực hiện các hoạt động sau: - Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng của bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán cụ thể như: Chứng minh phản chứng, quy nạp, dựng hình, quỹ tích … - Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số tri thức liên quan. - Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lý nhất. - Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng: + Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác hay chưa? + Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng yếu tố chưa biết hay yếu tố đã biết tuơng tự. + Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn có lần giải rồi? Có cần phải đưa thêm yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó? + Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác không? + Hãy giải một phần của bài toán. + Có thể thay thế bằng điều kiện khác để xác định cái phải tìm hay không? Có thể thay thế cái phải tìm hay cái đã cho hay cả hai nếu cần thiết sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn? + Đã sử dụng hết cái đã cho hay chưa? + Đã để ý một khái niệm trong bài toán hay chưa? + Kiểm tra lại kết quả? Kiểm tra từng bước? Kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải toán? + Có thể tìm được kết quả theo một cách khác hay không? Có thể thay thế trực tiếp kết quả không? 6 + Hãy so sánh các giải để tìm ra cách giải tối ưu nhất. Bước 3: Trình bày cách giải. Từ cách giải đã được phát hiện sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau: - Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ ở bước hai. - Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết. Bước 4: nghiên cứu sâu lời giải. Nghiên cứu sâu lời giải nghĩa là nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, những bài toán liên quan, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Có thể dung kết quả đó hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác. Kết luận: Phương pháp chung để giải một bài toán không phải là thuật giải để giải bài toán là những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi phát hiện. Nói chung cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải toán như sau: - Thông qua việc giải toán cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung có bốn bước và có ý thức vận dụng. - Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần biết sử dụng những câu hỏi này như công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán. 1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất Kiến thức tổ hợp xác suất là những yếu tố mới được đưa vào chương trình toán THPT. Trong khi dạy những yếu tố này, giáo viên cần nắm vững và thể hiện những tinh thần sau: Thứ nhất là việc dạy những yếu tố về tổ hợp. Những yếu tố này rất cần thiết cho nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đặc biệt, chúng còn phục vụ cho việc giải toán xác suất. Những bài toán về tổ hợp thường đòi hỏi học sinh phân tích kĩ lưỡng tình huống thực tế, xem xét thấu đáo và hợp lí các trường hợp, không bỏ sót và không để trùng lặp. 7 Khi dạy học một số yếu tố về tổ hợp ở lớp 11, cần nhấn mạnh, hướng dẫn kĩ lưỡng về “bài toán chọn và quy tắc nhân” và “sơ đồ cây” biểu thị trực quan nguyên tắc chọn đó. Theo quan điểm toán học ứng dụng, cần lưu ý học sinh đến sự kiện là số tổ hợp chỉnh hợp chập k của n phần tử tăng nhanh khi n tăng. Thứ hai là việc dạy học một số yếu tố của lý thuyết xác suất. Dựa vào các công thức về hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp, nhi thức newtơn, ở một số ban của trường THPT phân ban, người ta trình bày một số kiến thức về xác suất như những ứng dụng của tổ hợp và mang tính cách là những kiến thức thực hành. 1.5. Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất trong trình toán THPT 1.5.1. Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT Trong chương trình môn toán ở trường THPT, kiến thức tổ hợp – xác suất được tìm hiểu ở chương trình toán lớp 11 và nội dung kiến thức bao gồm các vấn đề sau: - Những khái niệm ban đầu về đại số tổ hợp – xác suất. - Các quy tắc đếm - Các khái niệm và tính chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. - Nhị thức newtơn và các dạng toán liên quan. - Các khái niệm quan trọng ban đầu của xác suất: Phép thử, kết qủ của phép thử và không gian mẫu. - Khái niệm của xác suất của biến cố và biết cách tính xác suất của biến cố Theo Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo phần tổ hợp – xác suất được dạy trong 13 tiết cụ thể như sau: - Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết) - Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết) - Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết) - Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết) - Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết) 1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất 8 1.5.2.1. Kiến thức cần nhớ về tổ hợp 1.5.2.1.1. Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng. Ví dụ: Trong một trường THPT khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinhđi dự đại hội? Giải: Số cách chọn một học sinh đi dự đại hội là 280  325  605 cách.  Ta có quy tắc cộng: Giả sử có một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc theo phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Do vậy công việc đó có thể thực hiện bởi n  m cách.  Quy tắc cho công việc với nhiều phương án: Giải sử có một công việc có thể được thực hiện một trong k phương án A1,A 2 ,...,A k . Có n i cách thực hiện phương án khi đó công việc đó có thể thực hiện bởi n1  n 2  ...  n k cách. Số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là X khi đó quy tắc cộng được phát biểu dưới dạng sau: Nếu A và B là hai tập hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A  B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là: AB  A  B b) Quy tắc nhân Ví dụ: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? Giải: Với mỗi cách đi từ nhà An đến nhà Cường có 6 cách đi tiếp từ nhà Bình đến nhà Cường. Vì có 4 cách đi từ nhà An đến nhà Bình nên có tất cả 4.6  24 cách đi từ nhà An đến nhà Cường.  Ta có quy tắc nhân: Giải sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.  Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn: 9 Giải sử một công việc nào đó gồm k công đoạn A1,A 2 ,...,A k . Công đoạn   Ai có thể làm theo n i i  1,k cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n 2 ...n k cách. 1.5.2.1.2. Hoán vị -chỉnh hợp – tổ hợp a) Hoán vị * Hoán vị là gì? Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình, Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có thể xảy ra. Kết quả của cuộc thi là một danh sách gồm 3 người theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách này là hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu} nếu kí hiệu tập{An, Bình, Châu} là {a, b, c}thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị  a,b,c  ,  a,c,b  ,  c,a,b  ,  c,b,a  ,  b,c,a ,  b,a,c . Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có n phần tử  n  0  . Khi đó sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 hoán vị các phần tử của tập A. * Số các hoán vị Định lí: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn  n! b) Chỉnh hợp * Chỉnh hợp là gì? Một cách tổng quát: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. * Số các chỉnh hợp Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần n! tử k  1,n là: A kn  n  n  1... n  k  1   0!  1*  n  k !   Ta quy ước: A10  1do đó công thức * đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0  k  n. Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của tập hợp đó nên: Ann  Pn  n! 10 c) Tổ hợp là gì? * Định nghĩa Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Mỗi tập con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A). Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà không quan tâm đến thứ tự. Ví dụ: Cho tập hợp A  a,b,c . Các tổ hợp chập hai của A là: a,b,a,c,b,c. * Số các tổ hợp Định lí: Số các tổ hợp k của một tập hợp có n phần tử 1  k  n  là: Ckn  Akn n  n  1... n  k  1 n!   k! k! k! n  k ! (**) Với quy ước: C0n  1thì (**) cũng đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0  k  n. Hai công thức cơ bản về tổ hợp Ckn  Cnn k Với mọi số nguyên n và k thỏa mãn 0  k  n. Ckn 1  Cnk  Cnk 1Với mọi số nguyên n và k thỏa mãn 0  k  n. 1.5.2.1.3. Công thức nhị thức newton a) Công thức nhị thức newton:  a  b n  C0n a n  C1n a n 1bn  ...  Ckn a n k bk  ...  Cnn bn n   k 0 Ckn a n  k b k (0.1) Từ công thức (1.1) ta có: 1. Số các số hạng là n  1. 2. Số mũ của a giảm dần đồng thời số mũ của b tăng dần và tổng số mũ của a và b là n. 3. Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thi bằng nhau (do Ckn  Ckn n ). 11 4. Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1  Cnka n k bk 5. Từ công thức (1.1) cho a  b  1 Suy ra 2n  C0n  C1n  C2n  ...  Ckn  ...  Cnn Từ công thức (1.1) cho a  1,b  1 Suy ra 0  C0n  C1n  C2n  C3n  ...   1 Ckn  ...   1 Cnn k n b) Tam giác Pascal Ta có thể tìm các hệ số có mặt trong khai triể nhị thức Newton theo bảng số dưới đây gọi là tam giác Pascal, do nhà toán học ngườ Pháp Pascal thiết lập vào năm 165: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 .......................................................... Tam giác Pascal được thiết lập như sau: - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. - Nếu biết hàng thứ n  n  0  thì hàng thứ n  1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả đó vào hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Cụ thể: Các số ở hàng thứ n là dãy gồm n  1 số sau: C0n ,C1n ,...,Cnn 1.5.1.2. Kiến thức cần nhớ về xác suất 1.5.1.2.1 Biến cố và phép thử biến cố  Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.  Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là . 12  Biến cố là một tập con của không gian mẫu Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B,C... và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con. Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt: Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.  Phép toán trên biến cố Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng. Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A. Và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B. Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B Nếu A  B   thì ta nói Avà B là xung khắc. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia. 1.5.1.2.2. Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n A là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P  A  và n  PA  n A n  1.5.1.2.3. Tính chất của xác suất: a) Tính chất cơ bản: P   0 P    1 0  P  A   1, với mọi biến cố A. 13   P A  1 PA b) Quy tắc cộng xác suất Nếu A và B xung khắc thì: P  A  B  P  A   P  B Nếu A  B   thì P  A  B  P  A   P  B Thật vậy, ta có n  A  B  n  A   n  B   n  A  B  Chia cả hai vế cho n    ta được: P  A  B  P  A   P  B  P  AB Nếu A và B xung khắc thì AB   nên P  AB  0 khi đó: P  A  B  P  A   P  B Do đó, với mọi biến cố A và B bất kì ta có: P  A  B  P  A   P  B  P  AB c) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P  A  B  P  A  P  B. 2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học phổ thông miền núi 2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường THPT miền núi 2.1.1. Mục đích yêu cầu Việc điều tra nhằm mục đích thu thập thông tin từ đó biết được khả năng chuyên môn nghiệp vụ của giáo viên và kết quả học tập của học sinh. Qua đó nhận xét được trình độ chuyên môn, khả năng tiếp thu của học sinh qua việc học môn toán nói chung và môn đại số giải tích nói riêng, qua đó biết được thực trạng dạy và học ở trường THPT giúp cho việc tạo cơ sở thực tiễn nhằm đề suất các giải pháp sư phạm, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học các kiến thức tổ hợp xác suất. 2.1.2. Đối tượng điều tra 14 Giáo viên toán ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân lạc, THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ. Học sinh lớp 11 ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân Lạc, THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ. 2.1.3. Hình thức và nội dung kiểm a. Hình thức điều tra: Chủ yếu dùng phương pháp thu thập số liệu kết quả dạy đối với giáo viên và trực tiếp dự giờ kiểm tra, đánh giá đối với học sinh. Cụ thể dùng: + Phiếu thăm dò. + Dự giờ giảng dạy của giáo viên. + Giảng dạy ở lớp thực nghiệm. + Kiểm tra mức độ nhận thức môn toán của học sinh qua bài kiểm tra một tiết. b. Nội dung điều tra: - Giáo viên điều tra về tuổi nghề, hệ đào tạo, chất lượng giảng dạy. - Đối với học sinh: + Điều tra học lực của học sinh. + Điều tra độ yêu thích bộ môn đại số và giải tích lớp 11. + Điều tra khả năng tiếp thu và hiểu bài của học sinh lớp 11 trong khi học môn toán lớp 11. 2.1.4. Một số kết quả điều tra về thực trạng dạy và học kiến thứ đại số tổ hợp ở một số trường THPT miền núi a) Kết quả điều tra đối tượng là giáo viên 15