Ngày giảng:
/
/ 2011
Sĩ số:
CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...) M ( M hằng số)
(1)
- Tồn tại xo,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) =
M
(2)
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn :
-
Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...) m ( m hằng số)
(1’)
- Tồn tại xo,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) =
m
(2’)
2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu
thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể
kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2
A = 2 x -2 = 0 x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c .
Tìm GTNN của P nếu a 0.
Tìm GTLN của P nếu a
0
1
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 +
Đặt c -
b2
4a
- Nếu a
-Nếu a
b
2a
=k . Do ( x +
0 thì a( x +
b
2a
0 thì a( x +
b
2a
b
a
x ) + c = a( x +
b
2a
)2 + c -
b2
4a 2
)2 0 nên :
)2 0 , do đó P k. MinP = k khi và chỉ khi x = -
)2 ` 0 do đó P ` k. MaxP = k khi và chỉ khi x =
b
2a
-
b
2a
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36
minA = -36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6.
3/ Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
2
6x 5 9x2
Giải : A =
.=
2
6x 5 9x2
2
9x 6x 5
2
.
=
2
(3 x 1) 2 4 .
1
Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó (3x 1)2 4
b thì
1
a
1
b
với a, b cùng dấu). Do đó
1
minA = - 2 3x – 1 = 0 x =
1
3
2
(3 x 1) 2 4
2
4
1
4
theo tính chất a
A -
1
2
.
Bài tập áp dụng:
1
1
1
1
1
A 2
. max A= x 2 .
2
HD
giải:
x 4x 9 x 2 5 5
5
x 2 4x 9
1
1
1
1
1
. max A= x 3
2
2. Tìm GTLN của BT : A 2
HD Giải: A x 2 6x 17
8
x 3 8 8
x 6x 17
1. Tìm GTLN của BT : A
3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
3
2 x 2 2x 7
2
b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
3x 2 8 x 6
x2 2x 1
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
2 x2 2 x 1 x2 4 x 4
x2 2 x 1
( x 2) 2
( x 1) 2
= 2 +
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
3( y 1) 2 8( y 1) 6
y 1
2
2 y 1 1
3y2 6 y 3 8 y 8 6 3y2 2 y 1
1
2
1
2
=
3
+
2 = (
2
2
y
y -1) + 2
y
y 2 y 1 2 y 2 1
y
minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: P
2, (36/210) Tìm GTNN của bt : B
x2 1
x2 x 1
x 2 2 x 2006
x2
x2
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: C 2
x 5x 7
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, D
x2 2x 2
x2 2 x 3
b, E
x2 2x 1
2x2 4 x 9
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =
3 4x
x2 1
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =
x2 4x 4 x2 1
x2 1
=
( x 2) 2
- 1 -1
x2 1
Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
Tìm GTLN A =
4x2 4 4x2 4x 1
x2 1
=4-
( 2 x 1) 2
x2 1
4
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
3
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt:
x
a, A 2
x 2
3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt:
a, C
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt:
a, E x 2
b, B
x2 4 x 4
Với x > 0;
x
b, D
2
với x > 0;
x3
b, F
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Q
x 2 2 x 17
Với x > 0
2 x 1
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R
x 6 x 34
Với x > 0
x 3
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S
x2
x
2
2
3
x5 2
Với x > 0
x3
x3 1
Với x > 0
x2
x3 2000
Với x > 0
x
III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2
Đến đây ta có nhiều cách giải
Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
x+y =1
x2 + 2xy + y2 = 1
(x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0
Mà
Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2
minA =
(1)
1
2
khi và chỉ khi x = y =
(2)
1
2
1
2
Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA =
1
2
khi và chỉ khi x = y =
1
2
)2 +
1
2
1
2
1
2
Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
Đặt x =
1
2
+ a thì y =
1
2
- a . Biểu thị x2 + y2 ta được :
4
x2 + y 2 = (
1
2
1
+ a)2 + ( 2 - a)2 =
1
2
+2 a2
1
2
=> MinA =
1
2
a = 0 x=y =
1
2
Bài tập 1: Tìm Min A = a 2 ab b 2 3a 3b 2014
Cách 1 Ta có: A= a 2 2a 1 b 2 2b 1 ab a b 1 2011
= a 2 2a 1 b 2 2b 1 ab a b 1 2011 =
=
a 1
2
a 1
2
1
b 1 a b 1 b 1 2011
2
b 1 a 1 b 1 2011
2
a 1 2 a 1
b 1 b 1
2
2
4
3 b 1
2
4
2
2
3 b 1
b 1
2011
2011 = a 1
+
2
4
b 1
0
a 1
a b 1
2
Min A = 2011 khi
b 1 0
Cách 2:
2A 2 a 2 ab b 2 3a 3b 2014 = a 2 2a 1 b 2 2b 1 a 2 2ab b 2 2.2 a b 4 4022
2
1
2
= a 1 b 1 a b 2 4022
a 1 0
a b 1 => Min A = 2011
Min 2A = 4022 khi b 1 0
a b 2 0
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = a 2 ab b2 3a 3b 3
Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: x 2 4 y 2 z 2 2 x 8 y 6 z 15 0
2
2
2
Hướng dẫn Ta có: VT x 2 2 x 1 4 y 2 8 y 4 z 2 6 z 9 1= x-1 2 y 2 z 3 1 1
Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:
1) x 2 4 y 2 z 2 4 x 4 y 8 z 22 0
2) x 2 4 y 2 9 z 2 2 x 12 y 12 z 1994
Hướng dẫn Ta có:
1) VT x 2 4 x 4 4 y 2 4 y 1 z 2 8 z 16 1
2
2
2
= x+2 2 y 1 z 4 1 1
5
2) VT = x 2 2 x 1 4 y 2 12 y 3 9 z 2 12 z 4 1986
2
2
2
= x 1 2 y 3 3 z 2 1986 1986
Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m 2 4mp 5 p 2 10m 22 p 28
Hướng dẫn Ta có:
A = m 2 4mp 4 p 2 p 2 2 p 1 10m 20 p 27
2
2
= m 2 p 2.5 m 2 p 25 p 1 2
2
2
= m 2 p 5 p 1 2 2
Bài 5: CMR: Max B = 4 Với B a 2 5b 2 2a 4ab 10b 6
Hướng dẫn Ta có:
2
2
2
B a 2 4ab 4b 2 b 2 6b 9 2a 4b 1 4 = 4 - a 4ab 4b b 6b 9 2 a 2b 1
2
2
= 4 - a 2b 2 a 2b 1 b 3
2
2
= 4 - a 2b 1 b 3 4
Bài 6: Tìm GTNN của
2
2
a) A=a 2 5b 2 4ab 2b 5
( Gợi ý A = a - 2b b 1 4 )
b) B = x 2 y 2 xy 3x 3 y 2029
( Gợi ý B = x-y y 3 x 3 2011 )
c) C x 2 4 y 2 9 z 2 4 x 12 y 24 z 30
( Gợi ý C = x+2 2 y 3 3z 4 1 )
d) D= 20x 2 18 y 2 24 xy 4 x 12 y 2016
( Gợi ý D= 4x-3y 2 x 1 3 y 2 2011 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : a b c d a b c d (*)
a 2 b 2 c 2 d 2 ab a b c
a 2 b 2 c 2 d 2 a b c d 0
Ta có :
a 2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad 0
4 a 2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad 0
a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 0
2
2
2
a 2b a 2c a 2d a 2 0
Dấu “=” sảy ra khi : a 2b 2c 2d 0 a b c d 0
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
2
2
2
2
2
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a b c d e a b c d e
6
Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : a 2 b 2 1 ab a b
Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 4a 2 4b 2 4ab 4a 4b 4 0
Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : x 2 4 y 2 z 2 2 x 8 y 6 z 14
Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : m2 5 p 2 4mp 10m 22 p 25
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2
ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 minA= 2 y=0 x=2
2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực
trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất
1
lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0
B
Ví dụ : Tìm GTLN của A
x4 1
1
nhỏ nhất và
2
2 (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi
( x 1)
A
ngược lại)
Ta có :
min
1
1
( x 2 1)2 x 4 2 x 2 1
2 x2
1
=
.Vậy 1
4
4
4
A
A
x 1
x 1
x 1
1
= 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0
A
3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết
Bất đăng thức có tính chất sau
a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn
Bất đẳng thức Cô si: a + b 2 ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2
Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
7
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4
2 x 3 y
2 x 3 y 0
2x + 3y 26. Vậy maxA = 26
Thay y =
3x
vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4
2
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0
Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6
3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2
xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)
Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
==================================================================
Ngày giảng:
/
/ 2011
Sĩ số:
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
1
4
VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : A = x y
1 4
1
4
4
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x y xy (1)
Lại có:
1 x y
xy (2 )
2
2
8
Từ (1) và (2) suy ra :
A=
1 4
4
4
8
1
. Vậy Min A = 8
x y
xy
2
Phân tích sai lầm:
1
4
Đẳng thức sảy ra ở (1) khi x y 4 x y
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai.
1
4
4x
y
Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y 5
y x
x y
4x y
4x y
4x y
2
. 4
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm y , x Ta có :
y x
y x
4x y
Dấu “=” xẩy ra khi y x
x y 1
1
x
y 2 x
3
x y 1 y 2
3
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem
chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới
đúng.
2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:
2
1
1
VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : A = x+ y
y
x
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x,
2
1
1
1
Ta có: x+ 2 x. 2 (1)
x
x
x
1
1
1
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ 2 y. 2
y
y
(2)
Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8
Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi
1
x x 2 1
x
1
2
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi y y y 1 . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)
9
Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :
x+y
xy
2
1
1
xy xy
2
4
2
2
1 1
1 1
Ta có : A = 4 + x +y + . Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 1 - = (1)
2 2
x y
2
2
1
1
1
2
1
25
25
1
2 2 2 2 8 (2). Từ (1) và (2) =>A 8 + +4 =
=>Min A =
khi x=y =
2
x
y
x .y
xy
2
2
2
2
Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại
giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
VD1: Tìm GTLN của bt: A =
1
x 6 x 17
2
2
Lời giải sai: A đạt Max khi x 2 6 x 17 đạt Min Ta có : x 2 6 x 17 x 3 8 8
1
2
Do đó Min x 6 x 17 8 x 3 . Vậy Max A = x 3
8
Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên
đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương
2
Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x 2 6 x 17 x 3 8 8 nên tử và mẫu của A là dương
VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4
x 2 y 2 2 xy
x y 2
Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN
x
y
4
2
2
Khi đó MinA = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) g(x,y)
chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số.
Chẳng hạn: Từ x2 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất x2 = 4x – 4 (x – 2 )2 = 0 x =2
Đi đến min x2 = 4 x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 x =0
2
Lời giải đúng: Ta có x + y =4 x + y =16 (1)
2
Ta lại có : x - y 0 x 2 -2xy+y 2 0
(2)
Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 8
10
Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử
và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x
Lời giải sai : x + x =
x
2
2
1
1 1 1
1 1
1
+2 x x . Vậy: Min A =
4
2 4 4
2 4
4
P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x)
1
1
chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=
4
4
x
1
(vô lí )
2
Lời giải đúng: ĐKTT x là x 0 do đó : A = x + x 0 => Min A = 0 x 0
VD2: Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1
2
4x z+y x+y+z 1
2
2
Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy x y ta có : 4y z+x x+y+z 1
2
4z x+y x+y+z 1
=> 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x
1
1
. Vậy Max A =
64
64
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”
z+y = x
y+x = z
1
ĐK để Max A =
là : x+z = y
64
x + z + y = 1
x, y, z 0
x y z 0
x + z + y = 1 ( vô lí )
x, y, z 0
Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z 3 3 x.y.z
(1)
2 = x +y + z+x + y+ z 3 3 x +y z+x y+ z
(2)
2
Từ (1) và (2) => 2 3 3 x. y.z. x +y z+x y+ z hay: 2 3 3 A A
3
9
x +y = z+x = y+ z
1
2
x y z
Max A = khi x y z 1
3
9
x, y, z 0
3
11
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A
x a 2 ax
Lời giải sai: Ta có:
x b 2 bx
Do đó: A
(x a)(x b)
với x > 0, a, b là các hằng số dương.
x
x a x b 2 ax.2 bx 4 x ab
(x a)(x b) 4x ab
4 ab vậy Min A = 4 ab x a b
x
x
Phân tích sai lầm: Nếu a b thì không có: A = 4 ab
Lời giải đúng : Ta có A
(x a)(x b) x 2 ax + bx + ab
ab
x (a b) .
x
x
x
Theo bất đẳng thức Cauchy : x
min A =
a b
Ngày giảng:
/
2
khi và chi khi
/ 2011
ab
2 ab nên A ≥ 2 ab + a + b =
x
a b
2
ab
x
x x ab .
x 0
Sĩ số:
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
1
1
1
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk x y 2 Tìm GTNN của bt: A = x y
1
1
1 1
Do x > 0, y > 0 nên x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số x , y
ta có:
1 1 1
1 1
.
2 x y
x y
1
1
Hay 4 xy =>
xy 4
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x 0, y 0 . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
x y 2
xy 2 4 4
x y
Vậy: Min A = 4 khi : 1 1 1 x y 4
x y 2
VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : A x 2 x 1 x 2 x 1
12
2
1 3 3
Ta có: x x 1 x x R
2 4 4
2
2
1 3 3
x x 1 x x R
2 4 4
2
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số
x 2 x 1 x 2 x 1 2
x 2 x 1, x 2 x 1 ta có :
x 2 x 1. x 2 x 1 2 4 x 4 x 2 1 2
x 4 x 2 1 1
x 0
Max A = 2 khi 2
2
x
x
1
x
x
1
x
y
y
z
VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A
z
với x, y, z > 0.
x
x
y
y
z
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: A
x
y
z
x
y
z
x y z
33 . . 3
x
y z x
z
Do đó min 3 x y z
y z x
y z x
Cách 2 : Ta có :
chứng minh
x y
x y z x y y z y
. Ta đã có 2 (do x, y > 0) nên để
y x
y z x y x z x x
x y z
y z y
3 ta chỉ cần chứng minh : 1
y z x
z x x
(1)
(1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0
(2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được
giá trị nhỏ nhất của
x y z
.
y z x
VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)
(2)
13
2
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. A A ≤
9
3
3
3
1
2
max A = khi và chỉ khi x = y = z = .
3
9
VD 5: Tìm GTNN của A
xy yz zx
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz
xy yz
2
. 2y .
z
x
z x
yz zx
zx xy
2z ;
2x . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
x
y
y
z
1
min A = 1 với x = y = z = .
3
1
2
VD 6: Tìm GTNN của A 2 2 4xy với : x > 0, y > 0, x + y < 1
x y
xy
Tương tự :
2
x y
2 xy x y 4 xy
1 1
1
1 1
4
x y 2 xy .2
4
Ta có: 1 1
xy
x y xy
x y
2 1
x y
xy
1
1
2
1
1
5
4xy 2
4xy
2
2
x y
xy
2xy
4xy 4xy
x y
4
1
5
4
5
11
2
4xy.
2
11
=> A 2
2
2
2
2
x 2xy y 2
4xy x y
x y
x y x y
Ta có: A
2
VD 7: : Cho x
1
, Tìm GTLN của A = 2x 2 5 x 2 + 2 x+3 - 2x
2
Giải : Ta có : A = 2x 2 5 x 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 x 2 + 2 x+3 - 2x Với x
2x 1 0
1
ta có:
2
x 2 0
2x 1 x+2
2x 1 x+2
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2 Ta có:
2
Hay :
3x 3
2
2x 1 x+2 Dấu “ = ” xảy ra khi
2x 1 x+2 x=1
x 3 4
4 x 3 2 x 3
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4 Ta có:
2
Hay :
x 7
2 x 3 .
2
Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 x=1
14
Do đó: A
x 7
3x 3
- 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1
2
2
1
4
9
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x y z
1
4
9
y
4x 4z
9y
9x
z
Ta có: S = x + y + z = 1+4+9+
z z x
x y z
x y y
y 4x
y
4x
y 4x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x , y ta có : 2 . 4
x y
x y
Tương tự ta có :
4z 9 y
4z 9 y
2
.
12 ;
y
z
y z
9x z
9x z
2
. 6
z x
z x
S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
y 4x
x y
4z 9 y
z
Dấu “=” sảy ra khi : y
9x z
x
z
x y z 1
1
3
1
6
Vậy Min S = 36 khi y , x , z
y 2 4 x 2
2
2
4 z 9 y
2
2
9 x z
x y z 1
1
y 3
y 2 x
1
x
z 3 x
6
x y z 1
1
z 2
1
2
Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề
bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng
BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó
3 x 5 0
5
7
x
3
3
7 3x 0
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A 3 x 5 7 3x , ĐKXĐ :
Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 2 3x 5 7 3 x
Với
5
7
x . áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3x 5 và 7 3x ta có:
3
3
3x 5 7 3 x 2 3x 5 7 3x hay
2 2
3x 5 7 3x
A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
15
VD2: Tìm GTNN của biểu thức: A = -x 2 2 x 8 -x 2 x 2 (*)
-x 2 2 x 8 0
ĐKXĐ : 2
-x x 2 0
x 2 x 4 0
x 1 x 2 0
2 x 4
1 x 2
1 x 2
2
2
Khi đó -x 2 x 8 -x x 2 x 6 0 => A > 0
2
2
2
2
2
Từ (*) => A = -x 2 x 8 -x x 2 2 -x 2 x 8. -x x 2
= -2x 2 3 x 10 2
x 2 4 x x 1 2 x
= 2 x x 2 x 1 4 x 2 2
=
4 x2
4 x2
2
2
2 x x 2 . x 1 4 x
2 x x 2 . x 1 4 x x 1 4 x
x 1 4 x
2
2
2
2 2
2
A = 2 4 x x 1 4 x x 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y 1 x 1 x
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y x 2 4 x
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A x 5 23 x
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A 2 x 3 23 2 x
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A 5 x 7 17 5 x
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A 3 x 2 20 3 x
Bài 7:Tìm GTLN của : A x 1 y 2 biết x + y = 4
Bài 8 Tìm GTNN của : A = -x 2 4 x 21 -x 2 3x 10
Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : A =
x
y
z
với x, y, z dương và x + y + z 12
y
z
x
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A x 4 y 3 biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
x-9
5x
16
Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: A =
x-9
=
5x
1 x-9
x-9
x
3
.3
2
3
3
6 1
5x
5x
5 x 30
x - 9
3
x 18
Dấu “=” xảy ra khi 3
x 9
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
7x - 5
7x-9
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =
x3 - 9
27x 3
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của
chúng là một hằng số:
1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau
3x 4 16
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A =
x3
Giải : Ta có A =
3x 4 16
16
16
3x 3 x x x 3
3
x
x
x
Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+
16
16
4 4 x.x.x. 3 4.2 8
3
x
x
16
x 2
x3
Vậy Min A = 8 x
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min A = x 2 y( 4 - x - y ) với x, y 0 và x + y 6
x x
+y+ 4 - x - y
x x
Xét 0 x y 4 Ta có : A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 2 2
4
2 2
Dấu “=” xẩy ra khi
4
4
x
= y = 4 - x - y y = 1 ; x =2
2
Xét 4 x y 6
Rễ thấy: 4 – x - y 2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6
=> A = x 2 y( 4 - x - y ) đạt GTNN khi x2y đạtGTLN
17
3
2 x+y
x+x+2y
2
Ta có : 2
3 =32 hay x y 32 (2)
x.x.2y
3
x y=
2
2
2
3
x y 6
x 2 y
Từ (1) và (2) => x 2 y( 4 - x - y ) -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi
VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3.
x 4
y 2
x
2
x
.(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức
2
3
x x
2 2 3 x
x x
x x
Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được : . .(3 – x) ≤
1 .
2 2
2 2
3
Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4. .
Do đó A ≤ 4 (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
12 16
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y 6 Tìm GTNN của P 5 x 3 y x y
Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của N
Bài 3( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN của Q
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M
x 3 2000
x
x 2 2 x 17
2( x 1)
x 6 x 34
x 3
Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của Q
x 2 1, 2 xy y 2
x y
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B x 2 y 3
==================================================================
Ngày giảng:
/
/ 2011
Sĩ số:
2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao
cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của B
9x
2
2 x x
18
Ta có : B
9x
2 x
9x 2 x
1 1 2
.
7
2 x
x
2 x x
9x
2 x
1
x
Min B= 7
2 x
x
2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến )
3
4
1 x x
Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của B
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của A 4 x
25
x 1
Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: A =
2x 2 6 x 5
2x
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: B =
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: A =
x-4
x
x 2 3x 4
x
(Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: A =
1
3x
( với x > -1 )
x+1 2
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: B =
2 x
( với x > 1 )
x-1 2
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: C =
5
x
1
( với x >
)
2x-1 3
2
Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: D =
x
5
( với 0 < x < 1 )
1-x x
Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:
VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:
P
x2
y2
z2
yz zx yx
x2
yz
x2 y z
x
2
.
2. x
Ta có :
+
yz
4
yz 4
2
xz
y2
y2 x z
y
2
.
2. y
+
4
xz
xz 4
2
19
z2
yx
2
+
yx
4
z2 y x
z
.
2. z
yx 4
2
x2
y2
z2 y z x z y x
x y z
=>
4
4
4
yz zx yx
x2
y2
z2 x y z
x y z
Hay:
2
yz zx yx
=> P
x2
y2
z2
xyz xyz
x y z
1
yz zx yx
2
2
x2
yz
4
yz
2
y
xz
2
x y z
Vậy Min P = 1
4
3
xz
2
z
yx
4
y x
Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào
z2
x2
y2
,
,
ta vẫn khử được
y+x y+z z+x
(x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời.
Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất.
VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn
a
a b
1 (a và b là hằng số dương).
x y
b
ay
bx
Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = x y a b .
x
y
x y
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương :
ay bx
ay bx
2
.
2 ab .
x
y
x y
2
Do đó A a b 2 ab a b .
min A
a b
2
ay bx
x y
a b
với 1
x y
x, y 0
x a ab
y b ab
20
- Xem thêm -
.DOC 
22 
395 
54 
